Resolver la mayoría de los problemas matemáticos de una forma u otra implica transformar expresiones numéricas, algebraicas o funcionales. Lo anterior se aplica especialmente a la decisión. En las versiones del Examen Estatal Unificado de Matemáticas, este tipo de problemas incluye, en particular, la tarea C3. Aprender a resolver las tareas C3 es importante no solo para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado, sino también porque esta habilidad será útil al estudiar un curso de matemáticas en la escuela secundaria.
Al completar las tareas C3, debes resolver varios tipos de ecuaciones y desigualdades. Entre ellos se encuentran los módulos racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicos, trigonométricos, que contienen (valores absolutos), así como los combinados. Este artículo analiza los principales tipos de ecuaciones y desigualdades exponenciales, así como varios métodos para resolverlas. Lea sobre la resolución de otros tipos de ecuaciones y desigualdades en la sección "" de los artículos dedicados a los métodos para resolver problemas C3 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
Antes de comenzar a analizar aspectos específicos ecuaciones y desigualdades exponenciales, como tutor de matemáticas te sugiero repasar algún material teórico que necesitaremos.
Funcion exponencial
¿Qué es una función exponencial?
Función de la forma y = una x, Dónde a> 0 y a≠ 1 se llama funcion exponencial.
Básico propiedades de la función exponencial y = una x:
Gráfica de una función exponencial
La gráfica de la función exponencial es exponente:
Gráficas de funciones exponenciales (exponentes)
Resolver ecuaciones exponenciales
Indicativo Se llaman ecuaciones en las que la variable desconocida se encuentra sólo en exponentes de algunas potencias.
Para soluciones ecuaciones exponenciales necesita saber y poder utilizar el siguiente teorema simple:
Teorema 1. Ecuación exponencial a F(X) = a gramo(X) (Dónde a > 0, a≠ 1) es equivalente a la ecuación F(X) = gramo(X).
Además, conviene recordar las fórmulas y operaciones básicas con grados:
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Ejemplo 1. Resuelve la ecuación:
Solución: Usamos las fórmulas anteriores y la sustitución:
La ecuación entonces queda:
El discriminante de la ecuación cuadrática resultante es positivo:
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Esto significa que esta ecuación tiene dos raíces. Los encontramos:
Pasando a la sustitución inversa, obtenemos:
La segunda ecuación no tiene raíces, ya que la función exponencial es estrictamente positiva en todo el dominio de definición. Resolvamos el segundo:
Teniendo en cuenta lo dicho en el Teorema 1, pasamos a la ecuación equivalente: X= 3. Esta será la respuesta a la tarea.
Respuesta: X = 3.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación:
Solución: La ecuación no tiene restricciones en el rango de valores permitidos, ya que la expresión radical tiene sentido para cualquier valor. X(funcion exponencial y = 9 4 -X positivo y distinto de cero).
Resolvemos la ecuación mediante transformaciones equivalentes usando las reglas de multiplicación y división de potencias:
La última transición se realizó de acuerdo con el Teorema 1.
Respuesta:X= 6.
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación:
Solución: ambos lados de la ecuación original se pueden dividir por 0,2 X. Esta transición será equivalente, ya que esta expresión es mayor que cero para cualquier valor. X(la función exponencial es estrictamente positiva en su dominio de definición). Entonces la ecuación toma la forma:
Respuesta: X = 0.
Ejemplo 4. Resuelve la ecuación:
Solución: simplificamos la ecuación a una elemental mediante transformaciones equivalentes usando las reglas de división y multiplicación de potencias dadas al principio del artículo:
Dividiendo ambos lados de la ecuación por 4 X, como en el ejemplo anterior, es una transformación equivalente, ya que esta expresión no es igual a cero para ningún valor X.
Respuesta: X = 0.
Ejemplo 5. Resuelve la ecuación:
Solución: función y = 3X, que se encuentra en el lado izquierdo de la ecuación, está aumentando. Función y = —X El -2/3 en el lado derecho de la ecuación está disminuyendo. Esto significa que si las gráficas de estas funciones se cruzan, entonces como máximo un punto. En este caso, es fácil adivinar que las gráficas se cruzan en el punto X= -1. No habrá otras raíces.
Respuesta: X = -1.
Ejemplo 6. Resuelve la ecuación:
Solución: simplificamos la ecuación mediante transformaciones equivalentes, teniendo en cuenta en todos lados que la función exponencial es estrictamente mayor que cero para cualquier valor X y utilizando las reglas para calcular el producto y cociente de potencias dadas al principio del artículo:
Respuesta: X = 2.
Resolver desigualdades exponenciales
Indicativo Se llaman desigualdades en las que la variable desconocida está contenida sólo en exponentes de algunas potencias.
Para soluciones desigualdades exponenciales Se requiere conocimiento del siguiente teorema:
Teorema 2. Si a> 1, entonces la desigualdad a F(X) > a gramo(X) equivale a una desigualdad del mismo significado: F(X) > gramo(X). Si 0< a < 1, то показательное неравенство a F(X) > a gramo(X) equivale a una desigualdad con significado opuesto: F(X) < gramo(X).
Ejemplo 7. Resuelve la desigualdad:
Solución: Presentemos la desigualdad original en la forma:
Dividamos ambos lados de esta desigualdad por 3 2 X, en este caso (debido a la positividad de la función y= 3 2X) el signo de desigualdad no cambiará:
Usemos la sustitución:
Entonces la desigualdad tomará la forma:
Entonces, la solución de la desigualdad es el intervalo:
Pasando a la sustitución inversa, obtenemos:
Debido a la positividad de la función exponencial, la desigualdad de la izquierda se satisface automáticamente. Utilizando la conocida propiedad del logaritmo, pasamos a la desigualdad equivalente:
Dado que la base del grado es un número mayor que uno, equivalente (según el teorema 2) es la transición a la siguiente desigualdad:
Así que finalmente conseguimos respuesta:
Ejemplo 8. Resuelve la desigualdad:
Solución: Usando las propiedades de la multiplicación y división de potencias, reescribimos la desigualdad en la forma:
Introduzcamos una nueva variable:
Teniendo en cuenta esta sustitución, la desigualdad toma la forma:
Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 7 obtenemos la siguiente desigualdad equivalente:
Entonces, los siguientes valores de la variable satisfacen la desigualdad t:
Luego, pasando a la sustitución inversa, obtenemos:
Dado que la base del grado aquí es mayor que uno, la transición a la desigualdad será equivalente (según el teorema 2):
Finalmente conseguimos respuesta:
Ejemplo 9. Resuelve la desigualdad:
Solución:
Dividimos ambos lados de la desigualdad por la expresión:
Siempre es mayor que cero (debido a la positividad de la función exponencial), por lo que no es necesario cambiar el signo de la desigualdad. Obtenemos:
t ubicado en el intervalo:
Pasando a la sustitución inversa, encontramos que la desigualdad original se divide en dos casos:
La primera desigualdad no tiene soluciones debido a la positividad de la función exponencial. Resolvamos el segundo:
Ejemplo 10. Resuelve la desigualdad:
Solución:
Ramas de parábola y = 2X+2-X 2 están dirigidos hacia abajo, por lo tanto está limitado desde arriba por el valor que alcanza en su vértice:
Ramas de parábola y = X 2 -2X Los +2 en el indicador están dirigidos hacia arriba, lo que significa que está limitado desde abajo por el valor que alcanza en su vértice:
Al mismo tiempo, la función también resulta estar limitada desde abajo. y = 3 X 2 -2X+2, que está en el lado derecho de la ecuación. Alcanza su valor más pequeño en el mismo punto que la parábola del exponente, y este valor es 3 1 = 3. Entonces, la desigualdad original sólo puede ser cierta si la función de la izquierda y la función de la derecha toman el valor , igual a 3 (la intersección de los rangos de valores de estas funciones es solo este número). Esta condición se cumple en un solo punto. X = 1.
Respuesta: X= 1.
Para aprender a decidir ecuaciones y desigualdades exponenciales, es necesario capacitarse constantemente para solucionarlos. Varios materiales didácticos, libros de problemas de matemáticas elementales, colecciones de problemas competitivos, clases de matemáticas en la escuela, así como lecciones individuales con un tutor profesional pueden ayudarle en esta difícil tarea. Sinceramente te deseo éxito en tu preparación y excelentes resultados en el examen.
Serguéi Valérievich
P.D. ¡Queridos invitados! No escriba solicitudes para resolver sus ecuaciones en los comentarios. Desafortunadamente, no tengo absolutamente ningún tiempo para esto. Se eliminarán tales mensajes. Por favor lea el artículo. Quizás en él encuentres respuestas a preguntas que no te permitieron resolver tu tarea por tu cuenta.
Veamos cómo resolver desigualdades exponenciales que involucran potencias con diferentes bases. La solución a tales desigualdades es similar a la solución a las correspondientes.
(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="Representado por QuickLaTeX.com">!}
Agrupamos titulaciones con las mismas bases. Es más conveniente separarlos en lados opuestos de la desigualdad:
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De cada par de potencias sacamos de paréntesis el factor común: la potencia con el exponente menor. Sacar el factor común de paréntesis significa dividir cada término por este factor. Al dividir grados con las mismas bases, dejamos la base igual y restamos los exponentes:
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Puedes dividir inmediatamente entre 20 (20=4∙5), pero la práctica demuestra que dividir en dos etapas te permite evitar posibles errores:
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Como la base es 2/5<1, показательная функция
disminuye, por lo tanto el signo de la desigualdad entre exponentes cambia al contrario:
Resolvamos la desigualdad cuadrática usando el método del intervalo. Los ceros de la función en el lado izquierdo de la desigualdad son x1=-1; x2=2. Los marcamos en la recta numérica.
Para comprobar el signo, tome un cero: 0²-0-2=-2, en el intervalo al que pertenece el cero ponga “-“. Organizamos los carteles restantes en forma de tablero de ajedrez. Como estamos resolviendo una desigualdad en la que el lado izquierdo es menor que cero, elegimos el intervalo con el signo “-”.
Respuesta: x ∈ (-1; 2).
Una variante de desigualdades de este tipo es que todas las potencias tienen las mismas bases, pero difieren en los coeficientes de x en los exponentes.
En el lado izquierdo ponemos entre paréntesis el grado con menor exponente
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Llegamos a una desigualdad exponencial. Desde la base 7>1, la función
aumenta, el signo de desigualdad entre los indicadores no cambia:
Para resolver esta desigualdad usando el método del intervalo, movemos todos los términos al lado izquierdo y reducimos las fracciones a
En esta lección veremos varias desigualdades exponenciales y aprenderemos cómo resolverlas, basándonos en la técnica para resolver las desigualdades exponenciales más simples.
1. Definición y propiedades de una función exponencial.
Recordemos la definición y las propiedades básicas de la función exponencial. La solución de todas las ecuaciones y desigualdades exponenciales se basa en estas propiedades.
Funcion exponencial es una función de la forma , donde la base es el grado y aquí x es la variable independiente, argumento; y es la variable dependiente, función.
Arroz. 1. Gráfica de función exponencial
La gráfica muestra exponentes crecientes y decrecientes, lo que ilustra la función exponencial con una base mayor que uno y menor que uno pero mayor que cero, respectivamente.
Ambas curvas pasan por el punto (0;1)
Propiedades de la función exponencial:
Dominio: ;
Rango de valores: ;
La función es monótona, aumenta con, disminuye con.
Una función monótona toma cada uno de sus valores dado un único valor de argumento.
Cuando , cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función aumenta de cero inclusive a más infinito, es decir, para valores dados del argumento tenemos una función monótonamente creciente (). Por el contrario, cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función disminuye de infinito a cero inclusive, es decir, para valores dados del argumento tenemos una función monótonamente decreciente ().
2. Las desigualdades exponenciales más simples, método de solución, ejemplo.
Con base en lo anterior, presentamos un método para resolver desigualdades exponenciales simples:
Técnica para resolver desigualdades:
Igualar las bases de los grados;
Compara indicadores manteniendo o cambiando el signo de desigualdad al opuesto.
La solución a desigualdades exponenciales complejas suele consistir en reducirlas a las desigualdades exponenciales más simples.
La base del grado es mayor que uno, lo que significa que se conserva el signo de desigualdad:
Transformemos el lado derecho según las propiedades del grado:
La base del grado es menor que uno, se debe invertir el signo de desigualdad:
Para resolver la desigualdad cuadrática, resolvemos la ecuación cuadrática correspondiente:
Usando el teorema de Vieta encontramos las raíces:
Las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba.
Por tanto, tenemos una solución a la desigualdad:
Es fácil adivinar que el lado derecho se puede representar como una potencia con exponente cero:
La base del grado es mayor que uno, el signo de desigualdad no cambia, obtenemos:
Recordemos la técnica para resolver tales desigualdades.
Considere la función fraccionaria-racional:
Encontramos el dominio de definición:
Encontrar las raíces de la función:
La función tiene una sola raíz, 
Seleccionamos intervalos de signo constante y determinamos los signos de la función en cada intervalo:
Arroz. 2. Intervalos de constancia de signo
Así recibimos la respuesta.
Respuesta: 
3. Resolver desigualdades exponenciales estándar
Consideremos desigualdades con los mismos indicadores, pero bases diferentes.
Una de las propiedades de la función exponencial es que para cualquier valor del argumento toma valores estrictamente positivos, lo que significa que se puede dividir en una función exponencial. Dividamos la desigualdad dada por su lado derecho:
La base del grado es mayor que uno, se conserva el signo de desigualdad.
Ilustremos la solución:
La figura 6.3 muestra gráficas de funciones y . Obviamente, cuando el argumento es mayor que cero, la gráfica de la función es mayor, esta función es mayor. Cuando los valores de los argumentos son negativos, la función baja, es más pequeña. Si el argumento es igual, las funciones son iguales, lo que significa que este punto también es una solución a la desigualdad dada.
Arroz. 3. Ilustración por ejemplo 4
Transformemos la desigualdad dada según las propiedades del grado:
Aquí hay algunos términos similares:
Dividamos ambas partes en:
Ahora continuamos resolviendo de manera similar al ejemplo 4, dividimos ambas partes entre:
La base del grado es mayor que uno, el signo de desigualdad queda:
4. Solución gráfica de desigualdades exponenciales.
Ejemplo 6: resuelve la desigualdad gráficamente:
Miremos las funciones de los lados izquierdo y derecho y construyamos una gráfica para cada una de ellas.
La función es exponencial y aumenta en todo su dominio de definición, es decir, para todos los valores reales del argumento.
La función es lineal y decrece en todo su dominio de definición, es decir, para todos los valores reales del argumento.
Si estas funciones se cruzan, es decir, el sistema tiene una solución, entonces dicha solución es única y puede adivinarse fácilmente. Para hacer esto, iteramos sobre números enteros ()
Es fácil ver que la raíz de este sistema es:
Así, las gráficas de las funciones se cruzan en un punto con un argumento igual a uno.
Ahora necesitamos obtener una respuesta. El significado de la desigualdad dada es que el exponente debe ser mayor o igual a la función lineal, es decir, ser mayor o coincidir con ella. La respuesta es obvia: (Figura 6.4)
Arroz. 4. Ilustración del ejemplo 6
Entonces, buscamos resolver varias desigualdades exponenciales estándar. A continuación pasamos a considerar desigualdades exponenciales más complejas.
Bibliografía
Mordkovich A. G. Álgebra y los inicios del análisis matemático. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Álgebra y los inicios del análisis matemático. - M.: Avutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. y otros Álgebra y los inicios del análisis matemático. - M.: Iluminación.
Matemáticas. Maryland. Matemáticas-repetición. com. Difuminado. kemsu. ru.
Tarea
1. Álgebra y los inicios del análisis, grados 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Resuelve la desigualdad:
3. Resuelve la desigualdad.
Mucha gente piensa que las desigualdades exponenciales son algo complejo e incomprensible. Y que aprender a resolverlos es casi un gran arte, que sólo los Elegidos son capaces de comprender...
¡Una completa tontería! Las desigualdades exponenciales son fáciles. Y siempre se resuelven de forma sencilla. Bueno, casi siempre. :)
Hoy veremos este tema por dentro y por fuera. Esta lección será de gran utilidad para quienes recién comienzan a comprender esta sección de las matemáticas escolares. Comencemos con problemas simples y pasemos a temas más complejos. No habrá mucho trabajo hoy, pero lo que leerás ahora será suficiente para resolver la mayoría de las desigualdades en todo tipo de pruebas y trabajo independiente. Y en este examen tuyo también.
Como siempre, comencemos con la definición. Una desigualdad exponencial es cualquier desigualdad que contiene una función exponencial. En otras palabras, siempre se puede reducir a una desigualdad de la forma
\[((a)^(x)) \gt b\]
Donde el papel de $b$ puede ser un número ordinario, o tal vez algo más complicado. ¿Ejemplos? Sí, por favor:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(alinear)\]
Creo que el significado es claro: hay una función exponencial $((a)^(x))$, se compara con algo y luego se le pide que encuentre $x$. En casos particularmente clínicos, en lugar de la variable $x$, pueden poner alguna función $f\left(x \right)$ y así complicar un poco la desigualdad. :)
Por supuesto, en algunos casos la desigualdad puede parecer más grave. Por ejemplo:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
O incluso esto:
En general, la complejidad de tales desigualdades puede ser muy diferente, pero al final aún se reducen a la construcción simple $((a)^(x)) \gt b$. Y de alguna manera descubriremos tal construcción (en casos especialmente clínicos, cuando no se nos ocurre nada, los logaritmos nos ayudarán). Por eso, ahora te enseñaremos a resolver construcciones tan sencillas.
Resolver desigualdades exponenciales simples
Consideremos algo muy simple. Por ejemplo, esto:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Obviamente, el número de la derecha se puede reescribir como una potencia de dos: $4=((2)^(2))$. Por tanto, la desigualdad original se puede reescribir de una forma muy conveniente:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Y ahora mis manos están ansiosas por “tachar” los dos en las bases de potencias para obtener la respuesta $x \gt 2$. Pero antes de tachar nada, recordemos las potencias de dos:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Como puede ver, cuanto mayor sea el número en el exponente, mayor será el número de salida. "¡Gracias, Capitán!" - exclamará uno de los alumnos. ¿Es diferente? Desafortunadamente, sucede. Por ejemplo:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ derecha))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Aquí también todo es lógico: cuanto mayor es el grado, más veces se multiplica el número 0,5 por sí mismo (es decir, se divide por la mitad). Por lo tanto, la secuencia de números resultante es decreciente y la diferencia entre la primera y la segunda secuencia es solo en la base:
- Si la base de grado $a \gt 1$, entonces a medida que aumenta el exponente $n$, el número $((a)^(n))$ también aumentará;
- Y viceversa, si $0 \lt a \lt 1$, entonces a medida que el exponente $n$ aumenta, el número $((a)^(n))$ disminuirá.
Resumiendo estos hechos, obtenemos el enunciado más importante en el que se basa toda la solución de desigualdades exponenciales:
Si $a \gt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \lt n$.
En otras palabras, si la base es mayor que uno, simplemente puedes eliminarla; el signo de desigualdad no cambiará. Y si la base es menor que uno, también se puede eliminar, pero al mismo tiempo tendrás que cambiar el signo de desigualdad.
Tenga en cuenta que no hemos considerado las opciones $a=1$ y $a\le 0$. Porque en estos casos surge la incertidumbre. Digamos cómo resolver una desigualdad de la forma $((1)^(x)) \gt 3$. Uno a cualquier potencia volverá a dar uno; nunca obtendremos tres o más. Aquellos. no hay soluciones.
Con razones negativas todo es aún más interesante. Por ejemplo, considere esta desigualdad:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
A primera vista, todo es sencillo:
¿Bien? ¡Pero no! Es suficiente sustituir un par de números pares y un par de números impares en lugar de $x$ para asegurarse de que la solución sea incorrecta. Echar un vistazo:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Como puede ver, los signos se alternan. Pero también hay potencias fraccionarias y otras tonterías. ¿Cómo, por ejemplo, ordenarías calcular $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dos elevado a siete)? ¡De ninguna manera!
Por lo tanto, para ser más precisos, asumimos que en todas las desigualdades exponenciales (y, por cierto, también en las ecuaciones) $1\ne a \gt 0$. Y luego todo se soluciona de forma muy sencilla:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
En general, recuerde una vez más la regla principal: si la base en una ecuación exponencial es mayor que uno, simplemente puede eliminarla; y si la base es menor que uno, también se puede quitar, pero el signo de la desigualdad cambiará.
Ejemplos de soluciones
Entonces, veamos algunas desigualdades exponenciales simples:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(alinear)\]
La tarea principal en todos los casos es la misma: reducir las desigualdades a la forma más simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Esto es exactamente lo que haremos ahora con cada desigualdad y al mismo tiempo repetiremos las propiedades de los grados y las funciones exponenciales. ¡Entonces vamos!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
¿Qué puedes hacer aquí? Bueno, a la izquierda ya tenemos una expresión indicativa: no es necesario cambiar nada. Pero a la derecha hay una especie de basura: una fracción, ¡e incluso una raíz en el denominador!
Sin embargo, recordemos las reglas para trabajar con fracciones y potencias:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(alinear)\]
¿Qué significa? Primero, podemos deshacernos fácilmente de la fracción convirtiéndola en una potencia con un exponente negativo. Y en segundo lugar, dado que el denominador tiene raíz, sería bueno convertirlo en una potencia, esta vez con un exponente fraccionario.
Apliquemos estas acciones secuencialmente al lado derecho de la desigualdad y veamos qué sucede:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
No olvides que al elevar un grado a una potencia, los exponentes de esos grados suman. Y en general, cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades exponenciales, es absolutamente necesario conocer al menos las reglas más simples para trabajar con potencias:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(alinear)\]
En realidad, acabamos de aplicar la última regla. Por lo tanto, nuestra desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Ahora nos deshacemos de los dos de la base. Como 2 > 1, el signo de desigualdad seguirá siendo el mismo:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
¡Esa es la solución! La principal dificultad no está en absoluto en la función exponencial, sino en la transformación competente de la expresión original: es necesario llevarla con cuidado y rapidez a su forma más simple.
Considere la segunda desigualdad:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Más o menos. Aquí nos esperan fracciones decimales. Como he dicho muchas veces, en cualquier expresión con potencias debes eliminar los decimales; esta suele ser la única forma de encontrar una solución rápida y sencilla. Aquí nos desharemos de:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(alinear)\]
Aquí nuevamente tenemos la desigualdad más simple, e incluso con base 1/10, es decir menos que uno. Bueno, quitamos las bases, cambiando simultáneamente el signo de “menos” a “más”, y obtenemos:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(alinear)\]
Recibimos la respuesta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Tenga en cuenta: la respuesta es precisamente un conjunto, y en ningún caso una construcción de la forma $x \lt -1$. Porque formalmente, tal construcción no es un conjunto en absoluto, sino una desigualdad con respecto a la variable $x$. Sí, es muy simple, ¡pero no es la respuesta!
Nota IMPORTANTE. Esta desigualdad podría resolverse de otra manera: reduciendo ambos lados a una potencia con una base mayor que uno. Echar un vistazo:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Después de tal transformación, obtendremos nuevamente una desigualdad exponencial, pero con una base 10 > 1. Esto significa que simplemente podemos tachar la decena; el signo de la desigualdad no cambiará. Obtenemos:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(alinear)\]
Como puedes ver, la respuesta fue exactamente la misma. Al mismo tiempo, nos salvamos de la necesidad de cambiar el letrero y, en general, recordar las reglas. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Sin embargo, no dejes que esto te asuste. No importa lo que contengan los indicadores, la tecnología para resolver la desigualdad sigue siendo la misma. Por lo tanto, observemos primero que 16 = 2 4. Reescribamos la desigualdad original teniendo en cuenta este hecho:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
¡Hurra! ¡Obtuvimos la desigualdad cuadrática habitual! El signo no ha cambiado en ninguna parte, ya que la base es dos, un número mayor que uno.
Ceros de una función en la recta numérica.
Ordenamos los signos de la función $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, por lo que habrá “ventajas” " en los lados. Nos interesa la región donde la función es menor que cero, es decir $x\in \left(2;5 \right)$ es la respuesta al problema original.
Finalmente, considere otra desigualdad:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Nuevamente vemos una función exponencial con una fracción decimal en la base. Convirtamos esta fracción a una fracción común:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
En este caso, utilizamos la observación dada anteriormente: reducimos la base al número 5 > 1 para simplificar nuestra solución adicional. Hagamos lo mismo con el lado derecho:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Reescribamos la desigualdad original teniendo en cuenta ambas transformaciones:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Las bases de ambos lados son iguales y exceden uno. No hay otros términos a derecha e izquierda, por lo que simplemente "tachamos" los cinco y obtenemos una expresión muy simple:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Aquí es donde debes tener más cuidado. A muchos estudiantes les gusta simplemente tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad y escribir algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Bajo ninguna circunstancia se debe hacer esto , ya que la raíz de un cuadrado exacto es un módulo, y en ningún caso una variable original:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\izquierda| x\derecha|\]
Sin embargo, trabajar con módulos no es la experiencia más placentera, ¿verdad? Entonces no trabajaremos. En lugar de eso, simplemente movemos todos los términos hacia la izquierda y resolvemos la desigualdad habitual usando el método del intervalo:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(alinear)$
Nuevamente marcamos los puntos obtenidos en la recta numérica y miramos los signos:
Tenga en cuenta: los puntos están sombreados Como estábamos resolviendo una desigualdad no estricta, todos los puntos del gráfico están sombreados. Por lo tanto, la respuesta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ no es un intervalo, sino un segmento.
En general, me gustaría señalar que las desigualdades exponenciales no tienen nada de complicado. El significado de todas las transformaciones que realizamos hoy se reduce a un algoritmo simple:
- Encuentre la base a la que reduciremos todos los grados;
- Realice cuidadosamente las transformaciones para obtener una desigualdad de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Por supuesto, en lugar de las variables $x$ y $n$ pueden haber funciones mucho más complejas, pero el significado no cambiará;
- Tacha las bases de los grados. En este caso, el signo de la desigualdad puede cambiar si la base $a \lt 1$.
De hecho, este es un algoritmo universal para resolver todas esas desigualdades. Y todo lo demás que te dirán sobre este tema son solo técnicas y trucos específicos que simplificarán y acelerarán la transformación. Hablaremos de una de estas técnicas ahora. :)
Método de racionalización
Consideremos otro conjunto de desigualdades:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \derecha))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Entonces, ¿qué tienen de especial? Son ligeros. Aunque ¡para! ¿El número π está elevado a alguna potencia? ¿Qué absurdo?
¿Cómo elevar el número $2\sqrt(3)-3$ a una potencia? ¿O $3-2\sqrt(2)$? Los redactores del problema obviamente bebieron demasiado Hawthorn antes de sentarse a trabajar. :)
De hecho, estas tareas no tienen nada de aterrador. Déjame recordarte: una función exponencial es una expresión de la forma $((a)^(x))$, donde la base $a$ es cualquier número positivo excepto uno. El número π es positivo, eso ya lo sabemos. Los números $2\sqrt(3)-3$ y $3-2\sqrt(2)$ también son positivos; esto es fácil de ver si los comparas con cero.
¿Resulta que todas estas desigualdades "aterradoras" no se resuelven de manera diferente a las simples discutidas anteriormente? ¿Y se resuelven de la misma manera? Sí, eso es absolutamente correcto. Sin embargo, usando su ejemplo, me gustaría considerar una técnica que ahorra mucho tiempo en trabajos y exámenes independientes. Hablaremos del método de racionalización. Entonces, atención:
Cualquier desigualdad exponencial de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ derecha) \gt 0 $.
Ese es el método completo :) ¿Pensaste que habría algún tipo de juego diferente? ¡Nada como esto! Pero este simple hecho, escrito literalmente en una línea, simplificará enormemente nuestro trabajo. Echar un vistazo:
\[\begin(matriz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
¡Así que ya no hay funciones exponenciales! Y no es necesario recordar si el signo cambia o no. Pero surge un nuevo problema: ¿qué hacer con el maldito multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? No sabemos cuál es el valor exacto del número π. Sin embargo, el capitán parece insinuar lo obvio:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
En general, el valor exacto de π realmente no nos concierne; solo es importante que entendamos que en cualquier caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. esta es una constante positiva y podemos dividir ambos lados de la desigualdad por ella:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como puede ver, en un momento determinado tuvimos que dividir por menos uno y el signo de la desigualdad cambió. Al final, expandí el trinomio cuadrático usando el teorema de Vieta: es obvio que las raíces son iguales a $((x)_(1))=5$ y $((x)_(2))=-1$ . Luego todo se resuelve utilizando el método de intervalo clásico:
Resolver desigualdades usando el método del intervalo. Se eliminan todos los puntos porque la desigualdad original es estricta. Estamos interesados en la región con valores negativos, por lo que la respuesta es $x\in \left(-1;5 \right)$. Esa es la solución. :)
Pasemos a la siguiente tarea:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
En general, aquí todo es simple, porque hay una unidad a la derecha. Y recordemos que uno es cualquier número elevado a la potencia cero. Incluso si este número es una expresión irracional en la base de la izquierda:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \derecha))^(0)); \\\end(alinear)\]
Bueno, racionalicemos:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Todo lo que queda es descubrir las señales. El factor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ no contiene la variable $x$; es solo una constante y necesitamos encontrar su signo. Para hacer esto, tenga en cuenta lo siguiente:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matriz)\]
¡Resulta que el segundo factor no es sólo una constante, sino una constante negativa! Y al dividir por ella, el signo de la desigualdad original cambia al contrario:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Ahora todo se vuelve completamente obvio. Las raíces del trinomio cuadrado de la derecha son: $((x)_(1))=0$ y $((x)_(2))=2$. Los marcamos en la recta numérica y miramos los signos de la función $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
El caso en el que nos interesan los intervalos laterales. Nos interesan los intervalos marcados con un signo más. Sólo queda escribir la respuesta:
Pasemos al siguiente ejemplo:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ derecha))^(16-x))\]
Bueno, aquí todo es completamente obvio: las bases contienen potencias del mismo número. Por eso, escribiré todo brevemente:
\[\begin(matriz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matriz)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ izquierda(16-x \derecha))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como puedes ver, durante el proceso de transformación tuvimos que multiplicar por un número negativo, por lo que el signo de desigualdad cambió. Al final, apliqué nuevamente el teorema de Vieta para factorizar el trinomio cuadrático. Como resultado, la respuesta será la siguiente: $x\in \left(-8;4 \right)$ - cualquiera puede verificar esto dibujando una recta numérica, marcando los puntos y contando los signos. Mientras tanto, pasemos a la última desigualdad de nuestro “conjunto”:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Como puede ver, en la base nuevamente hay un número irracional, y a la derecha nuevamente hay una unidad. Por lo tanto, reescribimos nuestra desigualdad exponencial de la siguiente manera:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ derecha))^(0))\]
Aplicamos la racionalización:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Sin embargo, es bastante obvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, ya que $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Por lo tanto, el segundo factor es nuevamente una constante negativa, por la cual se pueden dividir ambos lados de la desigualdad:
\[\begin(matriz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matriz)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Mover a otra base
Un problema aparte a la hora de resolver desigualdades exponenciales es la búsqueda de la base "correcta". Desafortunadamente, no siempre es obvio a primera vista de una tarea qué tomar como base y qué hacer según el grado de esta base.
Pero no te preocupes: aquí no hay magia ni tecnología “secreta”. En matemáticas, cualquier habilidad que no pueda ser algorítmica puede desarrollarse fácilmente mediante la práctica. Pero para ello tendrás que resolver problemas de diferentes niveles de complejidad. Por ejemplo, así:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(alinear)\]
¿Difícil? ¿Aterrador? ¡Es más fácil que golpear a un pollo en el asfalto! Intentemos. Primera desigualdad:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Bueno, creo que aquí todo está claro:
Reescribimos la desigualdad original, reduciendo todo a base dos:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Sí, sí, escuchaste bien: acabo de aplicar el método de racionalización descrito anteriormente. Ahora tenemos que trabajar con cuidado: tenemos una desigualdad fraccionaria-racional (esta es aquella que tiene una variable en el denominador), por lo que antes de igualar algo a cero, debemos llevar todo a un denominador común y deshacernos del factor constante. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Ahora usamos el método de intervalo estándar. Ceros del numerador: $x=\pm 4$. El denominador llega a cero sólo cuando $x=0$. Hay tres puntos en total que deben marcarse en la recta numérica (todos los puntos están señalados porque el signo de desigualdad es estricto). Obtenemos:
Caso más complejo: tres raíces Como puedes adivinar, el sombreado marca aquellos intervalos en los que la expresión de la izquierda toma valores negativos. Por tanto, la respuesta final incluirá dos intervalos a la vez:
Los extremos de los intervalos no se incluyen en la respuesta porque la desigualdad original era estricta. No se requiere verificación adicional de esta respuesta. En este sentido, las desigualdades exponenciales son mucho más simples que las logarítmicas: sin ODZ, sin restricciones, etc.
Pasemos a la siguiente tarea:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Aquí tampoco hay problemas, ya que ya sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, por lo que toda la desigualdad se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\izquierda(-2 \derecha) \derecha. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Tenga en cuenta: en la tercera línea decidí no perder el tiempo en nimiedades e inmediatamente dividir todo por (−2). Minul entró en el primer grupo (ahora hay ventajas en todas partes) y dos se redujeron con un factor constante. Esto es exactamente lo que debe hacer al preparar cálculos reales para trabajos independientes y de prueba; no es necesario describir cada acción y transformación directamente.
A continuación entra en juego el conocido método de los intervalos. Ceros del numerador: pero no hay ninguno. Porque el discriminante será negativo. A su vez, el denominador se restablece sólo en $x=0$, como la última vez. Bueno, está claro que a la derecha de $x=0$ la fracción tomará valores positivos y a la izquierda, negativos. Como estamos interesados en valores negativos, la respuesta final es: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
¿Qué deberías hacer con fracciones decimales en desigualdades exponenciales? Así es: deshazte de ellos, convirtiéndolos en comunes. Aquí traduciremos:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ izquierda(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\derecha))^(x)). \\\end(alinear)\]
Entonces, ¿qué obtuvimos en los fundamentos de las funciones exponenciales? Y obtuvimos dos números mutuamente inversos:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ derecha))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ izquierda(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Por tanto, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \derecha))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(alinear)\]
Eso sí, al multiplicar potencias con la misma base, sus exponentes suman, que es lo que ocurrió en la segunda línea. Además, representamos la unidad de la derecha, también como potencia en base 4/25. Sólo queda racionalizar:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Tenga en cuenta que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, es decir el segundo factor es una constante negativa, y al dividirlo por él, el signo de desigualdad cambiará:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Finalmente, la última desigualdad del “conjunto” actual:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
En principio, la idea de la solución aquí también es clara: todas las funciones exponenciales incluidas en la desigualdad deben reducirse a base “3”. Pero para ello tendrás que trastear un poco con raíces y poderes:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(alinear)\]
Teniendo en cuenta estos hechos, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(alinear)\]
Preste atención a la segunda y tercera línea de los cálculos: antes de hacer algo con la desigualdad, asegúrese de llevarla a la forma de la que hablamos desde el principio de la lección: $((a)^(x)) \ Es ((a)^(n))$. Siempre que tenga algunos factores para zurdos, constantes adicionales, etc. a la izquierda o a la derecha, no se podrá realizar ninguna racionalización o “tacha” de motivos! Innumerables tareas se han completado incorrectamente debido a que no se ha entendido este simple hecho. Yo mismo observo constantemente este problema con mis alumnos cuando recién comenzamos a analizar desigualdades exponenciales y logarítmicas.
Pero volvamos a nuestra tarea. Intentemos esta vez prescindir de la racionalización. Recordemos: la base del grado es mayor que uno, por lo que los triples simplemente se pueden tachar; el signo de desigualdad no cambiará. Obtenemos:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Eso es todo. Respuesta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Aislar una expresión estable y reemplazar una variable
En conclusión, propongo resolver cuatro desigualdades exponenciales más, que ya son bastante difíciles para estudiantes no preparados. Para afrontarlos, es necesario recordar las reglas para trabajar con títulos. En particular, poner los factores comunes entre paréntesis.
Pero lo más importante es aprender a comprender qué se puede sacar exactamente de entre paréntesis. Esta expresión se llama estable: se puede denotar mediante una nueva variable y así deshacerse de la función exponencial. Entonces, veamos las tareas:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Empecemos desde la primera línea. Escribamos esta desigualdad por separado:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Tenga en cuenta que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, por lo que la mano derecha El lado se puede reescribir:
Tenga en cuenta que no hay otras funciones exponenciales excepto $((5)^(x+1))$ en la desigualdad. Y en general, la variable $x$ no aparece en ningún otro lugar, así que introduzcamos una nueva variable: $((5)^(x+1))=t$. Obtenemos la siguiente construcción:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Volvemos a la variable original ($t=((5)^(x+1))$), y al mismo tiempo recordamos que 1=5 0 . Tenemos:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(alinear)\]
¡Esa es la solución! Respuesta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pasemos a la segunda desigualdad:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Todo es lo mismo aquí. Tenga en cuenta que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Entonces el lado izquierdo se puede reescribir:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \derecha. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(alinear)\]
Así es aproximadamente como es necesario elaborar una solución para pruebas reales y trabajo independiente.
Bueno, intentemos algo más complicado. Por ejemplo, aquí está la desigualdad:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
¿Cuál es el problema aquí? En primer lugar, las bases de las funciones exponenciales de la izquierda son diferentes: 5 y 25. Sin embargo, 25 = 5 2, por lo que el primer término se puede transformar:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Como puede ver, al principio llevamos todo a la misma base y luego notamos que el primer término se puede reducir fácilmente al segundo; solo necesita expandir el exponente. Ahora puedes introducir con seguridad una nueva variable: $((5)^(2x+2))=t$, y toda la desigualdad se reescribirá de la siguiente manera:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Y de nuevo, ¡sin dificultades! Respuesta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pasemos a la desigualdad final de la lección de hoy:
\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
Lo primero a lo que debes prestar atención es, por supuesto, a la fracción decimal en la base de la primera potencia. Es necesario deshacerse de él y, al mismo tiempo, llevar todas las funciones exponenciales a la misma base: el número "2":
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Flecha derecha ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Genial, hemos dado el primer paso, todo nos ha llevado a la misma base. Ahora necesitas seleccionar una expresión estable. Tenga en cuenta que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si introducimos una nueva variable $((2)^(4x+6))=t$, entonces la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(alinear)\]
Naturalmente, puede surgir la pregunta: ¿cómo descubrimos que 256 = 2 8? Desafortunadamente, aquí solo necesitas saber las potencias de dos (y al mismo tiempo las potencias de tres y cinco). Bueno, o dividimos 256 entre 2 (puedes dividir, ya que 256 es un número par) hasta obtener el resultado. Se verá algo como esto:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Lo mismo ocurre con el tres (los números 9, 27, 81 y 243 son sus grados), y con el siete (también sería bueno recordar los números 49 y 343). Bueno, el cinco también tiene grados “hermosos” que debes conocer:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(alinear)\]
Por supuesto, si lo deseas, todos estos números pueden recuperarse en tu mente simplemente multiplicándolos sucesivamente entre sí. Sin embargo, cuando tienes que resolver varias desigualdades exponenciales y cada una de ellas es más difícil que la anterior, lo último en lo que quieres pensar son en las potencias de algunos números. Y en este sentido, estos problemas son más complejos que las desigualdades “clásicas” que se resuelven mediante el método de intervalo.
Espero que esta lección te haya ayudado a dominar este tema. Si algo no queda claro, pregunta en los comentarios. Y nos vemos en las próximas lecciones. :)
