Raíz de un cuadrado. ¿Qué es la raíz cuadrada aritmética?

Los estudiantes siempre preguntan: “¿Por qué no puedo usar una calculadora en el examen de matemáticas? ¿Cómo extraer la raíz cuadrada de un número sin calculadora? Intentemos responder a esta pregunta.

¿Cómo extraer la raíz cuadrada de un número sin ayuda de una calculadora?

Acción raíz cuadrada acción inversa a la de elevar al cuadrado.

√81= 9 9 2 =81

Si sacas la raíz cuadrada de un número positivo y elevas el resultado al cuadrado, obtienes el mismo número.

de no números grandes, que son cuadrados exactos números naturales, por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25,..., se pueden extraer 100 raíces cuadradas por vía oral. Normalmente en la escuela enseñan una tabla de cuadrados de números naturales hasta veinte. Conociendo esta tabla, es fácil extraer raíces cuadradas de los números 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. De números mayores a 400 puedes extraerlas usando el método de selección usando algunos consejos. Intentemos ver este método con un ejemplo.

Ejemplo: Extrae la raíz del número 676..

Observamos que 20 2 = 400 y 30 2 = 900, lo que significa 20< √676 < 900.

Los cuadrados exactos de los números naturales terminan en 0; 1; 4; 5; 6; 9.
El número 6 está dado por 4 2 y 6 2.
Esto significa que si la raíz se toma de 676, entonces será 24 o 26.

Queda por comprobar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Respuesta: √676 = 26 .

Más ejemplo: √6889 .

Como 80 2 = 6400 y 90 2 = 8100, entonces 80< √6889 < 90.
El número 9 está dado por 3 2 y 7 2, entonces √6889 es igual a 83 o 87.

Comprobemos: 83 2 = 6889.

Respuesta: √6889 = 83 .

Si te resulta difícil resolver usando el método de selección, puedes factorizar la expresión radical.

Por ejemplo, encontrar √893025.

Factoricemos el número 893025, recuerda, hiciste esto en sexto grado.

Obtenemos: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Más ejemplo: √20736. Factoricemos el número 20736:

Obtenemos √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Por supuesto, la factorización requiere conocimiento de los signos de divisibilidad y habilidades de factorización.

Y finalmente, hay regla para extraer raíces cuadradas. Conozcamos esta regla con ejemplos.

Calcular √279841.

Para extraer la raíz de un número entero de varios dígitos, lo dividimos de derecha a izquierda en caras que contienen 2 dígitos (el borde más a la izquierda puede contener un dígito). Lo escribimos así: 27’98’41

Para obtener el primer dígito de la raíz (5), tomamos la raíz cuadrada del mayor cuadrado perfecto contenido en la primera cara de la izquierda (27).
Luego a la primera cara se le resta el cuadrado del primer dígito de la raíz (25) y a la diferencia se le suma (resta) la siguiente cara (98).
A la izquierda del número resultante 298, escriba el doble dígito de la raíz (10), divida por él el número de todas las decenas del número obtenido anteriormente (29/2 ≈ 2), pruebe el cociente (102 ∙ 2 = 204 no debe ser más de 298) y escribe (2) después del primer dígito de la raíz.
Luego, el cociente resultante 204 se resta de 298 y la siguiente arista (41) se suma a la diferencia (94).
A la izquierda del número resultante 9441, escribe el producto doble de los dígitos de la raíz (52 ∙2 = 104), divide el número de todas las decenas del número 9441 (944/104 ≈ 9) por este producto, prueba la el cociente (1049 ∙9 = 9441) debe ser 9441 y escríbelo (9) después del segundo dígito de la raíz.

Recibimos la respuesta √279841 = 529.

Extraer de manera similar raíces de fracciones decimales. Sólo el número radical debe dividirse en caras para que la coma quede entre las caras.

Ejemplo. Encuentra el valor √0.00956484.

Solo recuerda que si una fracción decimal tiene un número impar de decimales, no se puede extraer la raíz cuadrada de ella.

Ahora has visto tres formas de extraer la raíz. Elige el que más te convenga y practica. Para aprender a resolver problemas, es necesario resolverlos. Y si tienes alguna duda, apúntate a mis lecciones.

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El área de un terreno cuadrado es de 81 dm². Encuentra su lado. Supongamos que la longitud del lado del cuadrado es X decímetros. Entonces el área de la parcela es X² decímetros cuadrados. Dado que, según la condición, esta área es igual a 81 dm², entonces X² = 81. La longitud de un lado de un cuadrado es un número positivo. Un número positivo cuyo cuadrado es 81 es el número 9. Al resolver el problema, era necesario encontrar el número x cuyo cuadrado es 81, es decir resolver la ecuación X² = 81. Esta ecuación tiene dos raíces: X 1 = 9 y X 2 = - 9, ya que 9² = 81 y (- 9)² = 81. Ambos números 9 y - 9 se llaman raíces cuadradas del número 81.

Tenga en cuenta que una de las raíces cuadradas X= 9 es un número positivo. Se llama raíz cuadrada aritmética de 81 y se denota √81, por lo que √81 = 9.

Raíz cuadrada aritmética de un número A es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a A.

Por ejemplo, los números 6 y - 6 son raíces cuadradas del número 36. Sin embargo, el número 6 es una raíz cuadrada aritmética de 36, ya que 6 es un número no negativo y 6² = 36. El número - 6 no es un raíz aritmética.

Raíz cuadrada aritmética de un número A denotado de la siguiente manera: √ A.

El signo se llama signo de raíz cuadrada aritmética; A- llamó expresión radical. Expresión √ A leer así: raíz cuadrada aritmética de un número A. Por ejemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. En los casos en los que está claro que estamos hablando de una raíz aritmética, dicen brevemente: “la raíz cuadrada de A«.

El acto de encontrar la raíz cuadrada de un número se llama raíz cuadrada. Esta acción es la inversa de elevar al cuadrado.

Puedes elevar al cuadrado cualquier número, pero no puedes extraer raíces cuadradas de ningún número. Por ejemplo, es imposible extraer la raíz cuadrada del número - 4. Si tal raíz existiera, entonces, denotándola con la letra X, obtendríamos la igualdad incorrecta x² = - 4, ya que hay un número no negativo a la izquierda y un número negativo a la derecha.

Expresión √ A sólo tiene sentido cuando un ≥ 0. La definición de raíz cuadrada se puede escribir brevemente como: √ un ≥ 0, (√A)² = A. Igualdad (√ A)² = A valido para un ≥ 0. Por tanto, para garantizar que la raíz cuadrada de un número no negativo A es igual b, es decir, en el hecho de que √ A =b, debe comprobar que se cumplan las dos condiciones siguientes: segundo ≥ 0, b² = A.

Raíz cuadrada de una fracción

Calculemos. Tenga en cuenta que √25 = 5, √36 = 6, y comprobemos si se cumple la igualdad.

Porque y , entonces la igualdad es verdadera. Entonces, .

Teorema: Si A≥ 0 y b> 0, es decir, la raíz de la fracción es igual a la raíz del numerador dividida por la raíz del denominador. Se requiere demostrar que: y .

Desde √ A≥0 y √ b> 0, entonces.

Sobre la propiedad de elevar una fracción a una potencia y la definición de raíz cuadrada el teorema está demostrado. Veamos algunos ejemplos.

Calcula usando el teorema probado. .

Segundo ejemplo: Demuestre que , Si A ≤ 0, b < 0. .

Otro ejemplo: Calcular.

.

Conversión de raíz cuadrada

Quitando el multiplicador de debajo del signo raíz. Dejemos que se dé la expresión. Si A≥ 0 y b≥ 0, entonces usando el teorema de la raíz del producto podemos escribir:

Esta transformación se llama eliminar el factor del signo raíz. Veamos un ejemplo;

Calcular en X= 2. Sustitución directa X= 2 en la expresión radical conduce a cálculos complejos. Estos cálculos se pueden simplificar si primero elimina los factores debajo del signo raíz: . Sustituyendo ahora x = 2, obtenemos:.

Entonces, al quitar un factor de debajo del signo de la raíz, la expresión radical se representa como un producto en el que uno o más factores son cuadrados de números no negativos. Luego aplica el teorema de la raíz del producto y saca la raíz de cada factor. Consideremos un ejemplo: Simplificamos la expresión A = √8 + √18 - 4√2 quitando los factores en los dos primeros términos debajo del signo de la raíz, obtenemos:. Destacamos que la igualdad válido sólo cuando A≥ 0 y b≥ 0. si A < 0, то .

Antes de las calculadoras, los estudiantes y profesores calculaban raíces cuadradas a mano. Hay varias formas de calcular manualmente la raíz cuadrada de un número. Algunos de ellos ofrecen sólo una solución aproximada, otros dan una respuesta exacta.

Pasos

factorización prima

Factoriza el número radical en factores que sean números cuadrados. Dependiendo del número radical obtendrás una respuesta aproximada o exacta. Los números cuadrados son números de los cuales se puede sacar la raíz cuadrada entera. Los factores son números que al multiplicarse dan el número original. Por ejemplo, los factores del número 8 son 2 y 4, ya que 2 x 4 = 8, los números 25, 36, 49 son números cuadrados, ya que √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factores cuadrados son factores, que son números cuadrados. Primero, intenta factorizar el número radical en factores cuadrados.

• Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 400 (a mano). Primero intenta factorizar 400 en factores cuadrados. 400 es múltiplo de 100, es decir, divisible por 25; este es un número cuadrado. Al dividir 400 entre 25, obtienes 16. El número 16 también es un número cuadrado. Por lo tanto, 400 se puede factorizar en los factores cuadrados de 25 y 16, es decir, 25 x 16 = 400.
• Esto se puede escribir de la siguiente manera: √400 = √(25 x 16).

1. La raíz cuadrada del producto de algunos términos es igual al producto de las raíces cuadradas de cada término, es decir, √(a x b) = √a x √b. Usa esta regla para sacar la raíz cuadrada de cada factor cuadrado y multiplicar los resultados para encontrar la respuesta.

   • En nuestro ejemplo, toma la raíz de 25 y 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Si el número radical no se descompone en dos factores cuadrados (y esto sucede en la mayoría de los casos), no podrás encontrar la respuesta exacta en forma de un número entero. Pero puedes simplificar el problema descomponiendo el número radical en un factor cuadrado y un factor ordinario (un número del que no se puede sacar la raíz cuadrada completa). Luego sacarás la raíz cuadrada del factor cuadrado y sacarás la raíz del factor común.

   • Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada del número 147. El número 147 no se puede factorizar en dos factores cuadrados, pero se puede factorizar en los siguientes factores: 49 y 3. Resuelve el problema de la siguiente manera:
     • = √(49×3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Si es necesario, estime el valor de la raíz. Ahora puedes estimar el valor de la raíz (encontrar un valor aproximado) comparándolo con los valores de las raíces de los números cuadrados que están más cerca (a ambos lados de la recta numérica) del número radical. Obtendrás el valor de la raíz como decimal, que debe multiplicarse por el número detrás del signo raíz.

   • Volvamos a nuestro ejemplo. El número radical es 3. Los números cuadrados más cercanos a él serán los números 1 (√1 = 1) y 4 (√4 = 2). Así, el valor de √3 se sitúa entre 1 y 2. Dado que el valor de √3 probablemente esté más cerca de 2 que de 1, nuestra estimación es: √3 = 1,7. Multiplicamos este valor por el número del signo raíz: 7 x 1,7 = 11,9. Si haces los cálculos con una calculadora, obtendrás 12,13, que se acerca bastante a nuestra respuesta.
     • Este método también funciona con números grandes. Por ejemplo, considere √35. El número radical es 35. Los números cuadrados más cercanos a él serán los números 25 (√25 = 5) y 36 (√36 = 6). Así, el valor de √35 se sitúa entre 5 y 6. Como el valor de √35 está mucho más cerca de 6 que de 5 (porque 35 es sólo 1 menos que 36), podemos decir que √35 es ligeramente menor que 6 La comprobación en la calculadora nos da la respuesta 5,92 - teníamos razón.

4. Otra forma es factorizar el número radical en factores primos. Los factores primos son números que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos. Escríbelo factores primos en una fila y encontrar pares de factores idénticos. Estos factores se pueden eliminar del signo raíz.

   • Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 45. Factorizamos el número radical en factores primos: 45 = 9 x 5 y 9 = 3 x 3. Por lo tanto, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 se puede sacar como signo raíz: √45 = 3√5. Ahora podemos estimar √5.
   • Veamos otro ejemplo: √88.
     • = √(2×44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Recibiste tres multiplicadores de 2; toma un par de ellos y muévelos más allá del signo raíz.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ahora puedes evaluar √2 y √11 y encontrar una respuesta aproximada.

   Calcular la raíz cuadrada manualmente

   Usando división larga

   1. Este método implica un proceso similar a la división larga y proporciona una respuesta precisa. Primero, dibuje una línea vertical que divida la hoja en dos mitades, y luego hacia la derecha y ligeramente debajo del borde superior de la hoja, dibuje una línea horizontal hasta la línea vertical. Ahora divide el número radical en pares de números, comenzando con la parte fraccionaria después del punto decimal. Entonces, el número 79520789182.47897 se escribe como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada del número 780,14. Dibuja dos líneas (como se muestra en la imagen) y escribe el número dado en la forma "7 80, 14" en la parte superior izquierda. Es normal que el primer dígito desde la izquierda sea un dígito no apareado. Respuesta (raíz de numero dado) lo escribirás arriba a la derecha.

   2. Para el primer par de números (o número único) de la izquierda, encuentre el entero más grande n cuyo cuadrado sea menor o igual que el par de números (o número único) en cuestión. En otras palabras, encuentre el número cuadrado más cercano, pero más pequeño, al primer par de números (o número único) de la izquierda, y saque la raíz cuadrada de ese número cuadrado; obtendrás el número n. Escribe la n que encontraste en la parte superior derecha y escribe el cuadrado de n en la parte inferior derecha.

      • En nuestro caso, el primer número de la izquierda será el 7. El siguiente, el 4.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Resta el cuadrado del número n que acabas de encontrar del primer par de números (o número único) de la izquierda. Escribe el resultado del cálculo debajo del sustraendo (el cuadrado del número n).

      • En nuestro ejemplo, resta 4 de 7 y obtiene 3.

   4. Anota el segundo par de números y anótalo junto al valor obtenido en el paso anterior. Luego duplica el número en la parte superior derecha y escribe el resultado en la parte inferior derecha con la adición de "_×_=".

      • En nuestro ejemplo, el segundo par de números es "80". Escribe "80" después del 3. Luego, duplicar el número en la parte superior derecha da 4. Escribe "4_×_=" en la parte inferior derecha.

   5. Complete los espacios en blanco a la derecha.

      • En nuestro caso, si ponemos el número 8 en lugar de guiones, entonces 48 x 8 = 384, que es más de 380. Por tanto, 8 es un número demasiado grande, pero 7 servirá. Escriba 7 en lugar de guiones y obtenga: 47 x 7 = 329. Escriba 7 en la parte superior derecha: este es el segundo dígito de la raíz cuadrada deseada del número 780,14.

   6. Resta el número resultante del número actual de la izquierda. Escribe el resultado del paso anterior debajo del número actual a la izquierda, encuentra la diferencia y escríbelo debajo del sustraendo.

      • En nuestro ejemplo, resta 329 de 380, lo que equivale a 51.

   7. Repita el paso 4. Si el par de números que se transfieren es la parte fraccionaria del número original, coloque un separador (coma) entre las partes entera y fraccionaria en la raíz cuadrada requerida en la parte superior derecha. A la izquierda, baja el siguiente par de números. Duplique el número en la parte superior derecha y escriba el resultado en la parte inferior derecha con la adición de "_×_=".

      • En nuestro ejemplo, el siguiente par de números a eliminar será la parte fraccionaria del número 780.14, así que coloque el separador de las partes entera y fraccionaria en la raíz cuadrada deseada en la parte superior derecha. Anota 14 y escríbelo en la parte inferior izquierda. El doble del número en la parte superior derecha (27) es 54, así que escribe "54_×_=" en la parte inferior derecha.

   8. Repita los pasos 5 y 6. Encuentra uno mayor numero en lugar de los guiones de la derecha (en lugar de los guiones debes sustituir el mismo número) para que el resultado de la multiplicación sea menor o igual que el número actual de la izquierda.

      • En nuestro ejemplo, 549 x 9 = 4941, que es menor que el número actual a la izquierda (5114). Escribe 9 en la parte superior derecha y resta el resultado de la multiplicación del número actual a la izquierda: 5114 - 4941 = 173.

   9. Si necesita encontrar más decimales para la raíz cuadrada, escriba un par de ceros a la izquierda del número actual y repita los pasos 4, 5 y 6. Repita los pasos hasta que obtenga la precisión de la respuesta (número de decimales) que necesita. necesidad.

      Comprender el proceso

      1. Para la asimilación este método piensa en el número cuya raíz cuadrada quieres encontrar como el área del cuadrado S. En este caso, buscarás la longitud del lado L de dicho cuadrado. Calculamos el valor de L tal que L² = S.

         Da una letra para cada número en la respuesta. Denotemos por A el primer dígito del valor de L (la raíz cuadrada deseada). B será el segundo dígito, C el tercero y así sucesivamente.

         Especifique una letra para cada par de primeros dígitos. Denotemos con S a el primer par de dígitos del valor de S, con S b el segundo par de dígitos, y así sucesivamente.

         Comprenda la conexión entre este método y la división larga. Al igual que en la división, donde solo nos interesa el siguiente dígito del número que estamos dividiendo cada vez, al calcular una raíz cuadrada, trabajamos con un par de dígitos en secuencia (para obtener el siguiente dígito en el valor de la raíz cuadrada). ).

      2. Considere el primer par de dígitos Sa del número S (Sa = 7 en nuestro ejemplo) y encuentre su raíz cuadrada. En este caso, el primer dígito A del valor de raíz cuadrada deseado será un dígito cuyo cuadrado sea menor o igual que S a (es decir, buscamos una A tal que la desigualdad A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Digamos que necesitamos dividir 88962 entre 7; aquí el primer paso será similar: consideramos el primer dígito del número divisible 88962 (8) y seleccionamos el número más grande que, multiplicado por 7, dé un valor menor o igual a 8. Es decir, buscamos un número d para el cual la desigualdad es verdadera: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imagina mentalmente un cuadrado cuya área necesitas calcular. Estás buscando L, es decir, la longitud del lado de un cuadrado cuyo área es S. A, B, C son los números del número L. Puedes escribirlo de otra manera: 10A + B = L (para número de dos dígitos) o 100A + 10V + C = L (para número de tres dígitos) etcétera.

         • Dejar (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Recuerda que 10A+B es un número en el que el dígito B representa las unidades y el dígito A representa las decenas. Por ejemplo, si A=1 y B=2, entonces 10A+B es igual al número 12. (10A+B)² es el área de todo el cuadrado, 100A²- área de la gran plaza interior, B²- área del pequeño cuadrado interior, 10A×B- el área de cada uno de los dos rectángulos. Sumando las áreas de las figuras descritas, encontrarás el área del cuadrado original.

Muy a menudo, al resolver problemas, nos enfrentamos a grandes números de los que debemos extraer Raíz cuadrada. Muchos estudiantes deciden que esto es un error y comienzan a resolver el ejemplo completo. ¡Bajo ninguna circunstancia deberías hacer esto! Hay dos razones para esto:

1. Las raíces de grandes números aparecen en los problemas. Especialmente en los de texto;
2. Existe un algoritmo mediante el cual estas raíces se calculan casi de forma oral.

Consideraremos este algoritmo hoy. Quizás algunas cosas le parezcan incomprensibles. Pero si prestas atención a esta lección, recibirás un arma poderosa contra raíces cuadradas.

Entonces, el algoritmo:

1. Limite la raíz requerida arriba y abajo a números que sean múltiplos de 10. Por lo tanto, reduciremos el rango de búsqueda a 10 números;
2. De estos 10 números, elimine aquellos que definitivamente no pueden ser raíces. Como resultado, quedarán 1-2 números;
3. Eleva al cuadrado estos 1 o 2 números. Aquel cuyo cuadrado sea igual al número original será la raíz.

Antes de poner en práctica este algoritmo, veamos cada paso individual.

Limitación de raíz

En primer lugar, debemos saber entre qué números se encuentra nuestra raíz. Es muy deseable que los números sean múltiplos de diez:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obtenemos una serie de números:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

¿Qué nos dicen estos números? Es simple: tenemos límites. Tomemos, por ejemplo, el número 1296. Se encuentra entre 900 y 1600. Por lo tanto, su raíz no puede ser menor que 30 ni mayor que 40:

[Título de la imagen]

Lo mismo se aplica a cualquier otro número del cual puedas encontrar la raíz cuadrada. Por ejemplo, 3364:

[Título de la imagen]

Así, en lugar de un número incomprensible, obtenemos un rango muy específico en el que se encuentra la raíz original. Para limitar aún más el área de búsqueda, continúe con el segundo paso.

Eliminando números obviamente innecesarios

Entonces, tenemos 10 números, candidatos a la raíz. Los obtuvimos muy rápidamente, sin pensamientos complejos ni multiplicaciones en una columna. Es hora de moverse.

Lo creas o no, ahora reduciremos el número de candidatos a dos, y de nuevo sin ninguna cálculos complejos! Basta conocer la regla especial. Aquí lo tienes:

El último dígito del cuadrado depende solo del último dígito. número original.

En otras palabras, basta con mirar el último dígito del cuadrado e inmediatamente entenderemos dónde termina el número original.

Sólo hay 10 dígitos que pueden quedar en último lugar. Intentemos descubrir en qué se convierten cuando se elevan al cuadrado. Echa un vistazo a la tabla:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Esta tabla es otro paso hacia el cálculo de la raíz. Como puede ver, los números de la segunda línea resultaron ser simétricos con respecto a los cinco. Por ejemplo:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Como puedes ver, el último dígito es el mismo en ambos casos. Esto quiere decir que, por ejemplo, la raíz de 3364 debe terminar en 2 u 8. Por otro lado, recordamos la restricción del párrafo anterior. Obtenemos:

[Título de la imagen]

Los cuadrados rojos indican que aún no conocemos esta cifra. Pero la raíz está en el rango de 50 a 60, en el que sólo hay dos números terminados en 2 y 8:

[Título de la imagen]

¡Eso es todo! De todas las raíces posibles, ¡solo dejamos dos opciones! Y esto es en el caso más difícil, porque el último dígito puede ser 5 o 0. ¡Y entonces solo habrá un candidato para las raíces!

Cálculos finales

Entonces, nos quedan 2 números candidatos. ¿Cómo saber cuál es la raíz? La respuesta es obvia: elevar al cuadrado ambos números. La que al cuadrado dé el número original será la raíz.

Por ejemplo, para el número 3364 encontramos dos números candidatos: 52 y 58. Elevémoslos al cuadrado:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

¡Eso es todo! ¡Resultó que la raíz es 58! Al mismo tiempo, para simplificar los cálculos, utilicé la fórmula de los cuadrados de la suma y la diferencia. ¡Gracias a esto ni siquiera tuve que multiplicar los números en una columna! Este es otro nivel de optimización de cálculo, pero, por supuesto, es completamente opcional :)

Ejemplos de cálculo de raíces.

La teoría es, por supuesto, buena. Pero comprobémoslo en la práctica.

[Título de la imagen]

Primero, averigüemos entre qué números se encuentra el número 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ahora veamos el último número. Es igual a 6. ¿Cuándo sucede esto? Sólo si la raíz termina en 4 o 6. Obtenemos dos números:

Sólo queda elevar al cuadrado cada número y compararlo con el original:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

¡Excelente! El primer cuadrado resultó ser igual al número original. Entonces esta es la raíz.

Tarea. Calcula la raíz cuadrada:

[Título de la imagen]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Veamos el último dígito:

1369 → 9;
33; 37.

Encuadrelo:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Aquí está la respuesta: 37.

Tarea. Calcula la raíz cuadrada:

[Título de la imagen]

Limitamos el número:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Veamos el último dígito:

2704 → 4;
52; 58.

Encuadrelo:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Recibimos la respuesta: 52. Ya no será necesario elevar al cuadrado el segundo número.

Tarea. Calcula la raíz cuadrada:

[Título de la imagen]

Limitamos el número:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Veamos el último dígito:

4225 → 5;
65.

Como puedes ver, después del segundo paso solo queda una opción: 65. Esta es la raíz deseada. Pero aún así cuadramos y comprobamos:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Todo es correcto. Anotamos la respuesta.

Conclusión

Por desgracia, no hay nada mejor. Veamos las razones. Hay dos de ellos:

• En cualquier examen normal de matemáticas, ya sea el Examen Estatal o el Examen Estatal Unificado, está prohibido el uso de calculadoras. Y si traes una calculadora a clase, fácilmente te pueden expulsar del examen.
• No seas como los estúpidos estadounidenses. Que no son como raíces: no pueden sumar dos números primos. Y cuando ven fracciones, generalmente se ponen histéricos.