En esta lección, veremos una característica importante del movimiento desigual: la aceleración. Además, consideraremos movimiento desigual con aceleración constante. Este movimiento también se denomina uniformemente acelerado o uniformemente desacelerado. Finalmente, hablaremos sobre cómo representar gráficamente la dependencia de la velocidad de un cuerpo con el tiempo en movimiento uniformemente acelerado.
Tarea
Habiendo resuelto los problemas de Esta lección, puede prepararse para las preguntas 1 del GIA y las preguntas A1, A2 del Examen Estatal Unificado.
1. Problemas 48, 50, 52, 54 sb. problemas a.p. Rymkevich, ed. 10.
2. Escriba la dependencia de la velocidad del cuerpo con el tiempo y dibuje gráficas de la dependencia de la velocidad del cuerpo con el tiempo para los casos que se muestran en la Fig. 1, casos b) yd). Marque los puntos de inflexión en los gráficos, si los hay.
3. Considere las siguientes preguntas y sus respuestas:
Pregunta. es aceleración caida libre aceleración, según la definición dada anteriormente?
Respuesta. Por supuesto que es. La aceleración de la gravedad es la aceleración de un cuerpo que cae libremente desde una determinada altura (debe despreciarse la resistencia del aire).
Pregunta.¿Qué pasará si la aceleración del cuerpo se dirige perpendicular a la velocidad del cuerpo?
Respuesta. El cuerpo se moverá uniformemente alrededor del círculo.
Pregunta.¿Es posible calcular la tangente de un ángulo usando un transportador y una calculadora?
Respuesta.¡No! Porque la aceleración obtenida de esta manera será adimensional, y la dimensión de la aceleración, como mostramos anteriormente, debe tener la dimensión m/s 2.
Pregunta.¿Qué se puede decir sobre el movimiento si la gráfica de velocidad versus tiempo no es recta?
Respuesta. Podemos decir que la aceleración de este cuerpo cambia con el tiempo. Un movimiento así no se acelerará uniformemente.
La característica más importante a la hora de mover un cuerpo es su velocidad. Conociéndolo, además de algunos otros parámetros, siempre podremos determinar el tiempo de movimiento, la distancia recorrida, la velocidad y aceleración inicial y final. El movimiento uniformemente acelerado es sólo un tipo de movimiento. Suele encontrarse en problemas de física de la sección de cinemática. En tales problemas, el cuerpo se toma como un punto material, lo que simplifica significativamente todos los cálculos.
Velocidad. Aceleración
En primer lugar, me gustaría llamar la atención del lector sobre el hecho de que estos dos Cantidades fisicas no son escalares, sino vectoriales. Esto significa que al resolver cierto tipo de problemas, es necesario prestar atención a qué aceleración tiene el cuerpo en términos de signo, así como cuál es el vector de la velocidad del cuerpo en sí. En general, en problemas de naturaleza puramente matemática, tales momentos se omiten, pero en problemas de física esto es bastante importante, ya que en cinemática, debido a un signo incorrecto, la respuesta puede resultar errónea.
Ejemplos
Un ejemplo es el movimiento uniformemente acelerado y uniformemente desacelerado. El movimiento uniformemente acelerado se caracteriza, como es sabido, por la aceleración del cuerpo. La aceleración permanece constante, pero la velocidad aumenta continuamente en cada momento individual. Y con un movimiento uniformemente lento, la aceleración tiene un valor negativo, la velocidad del cuerpo disminuye continuamente. Estos dos tipos de aceleración forman la base de muchos problemas físicos y se encuentran con bastante frecuencia en problemas de la primera parte de los exámenes de física.
Ejemplo de movimiento uniformemente acelerado
Todos los días nos encontramos con movimientos uniformemente acelerados en todas partes. No entra ningún coche vida real igualmente. Incluso si la aguja del velocímetro marca exactamente 6 kilómetros por hora, debes entender que esto no es del todo cierto. En primer lugar, si analizamos este tema desde un punto de vista técnico, entonces el primer parámetro que dará inexactitud será el dispositivo. O mejor dicho, su error.
Los encontramos en todos los instrumentos de control y medida. Las mismas líneas. Coge unas diez reglas, al menos idénticas (de 15 centímetros, por ejemplo), o diferentes (15, 30, 45, 50 centímetros). Colóquelos uno al lado del otro y notará que hay ligeras imprecisiones y que sus escalas no se alinean del todo. Esto es un error. EN en este caso será igual a la mitad del valor de división, como ocurre con otros dispositivos que producen ciertos valores.
El segundo factor que provocará inexactitud es el tamaño del dispositivo. El velocímetro no tiene en cuenta valores como medio kilómetro, medio kilómetro, etc. Es bastante difícil notar esto en el dispositivo a simple vista. Casi imposible. Pero hay un cambio de velocidad. Aunque sea por una cantidad tan pequeña, pero aún así. Por tanto, será un movimiento uniformemente acelerado, no uniforme. Lo mismo puede decirse de un paso regular. Digamos que estamos caminando y alguien dice: nuestra velocidad es de 5 kilómetros por hora. Pero esto no es del todo cierto, y por qué se explica un poco más arriba.
aceleración del cuerpo
La aceleración puede ser positiva o negativa. Esto se discutió anteriormente. Agreguemos que la aceleración es una cantidad vectorial, que es numéricamente igual al cambio de velocidad durante un cierto período de tiempo. Es decir, mediante la fórmula se puede denotar de la siguiente manera: a = dV/dt, donde dV es el cambio de velocidad, dt es el intervalo de tiempo (cambio de tiempo).
Matices
Inmediatamente puede surgir la pregunta de cómo la aceleración en esta situación puede ser negativa. Quienes hacen una pregunta similar lo motivan por el hecho de que ni siquiera la velocidad puede ser negativa, y mucho menos el tiempo. De hecho, el tiempo realmente no puede ser negativo. Pero muchas veces se olvidan que la velocidad se toma valores negativos muy posiblemente. Esta es una cantidad vectorial, ¡no debemos olvidarla! Probablemente se trate de estereotipos y pensamientos incorrectos.
Entonces, para resolver problemas, basta con entender una cosa: la aceleración será positiva si el cuerpo acelera. Y será negativo si el cuerpo se ralentiza. Eso es todo, bastante simple. Lo más simple pensamiento lógico o la capacidad de ver entre líneas será, de hecho, parte de la solución a un problema físico relacionado con la velocidad y la aceleración. Un caso especial es la aceleración de la gravedad y no puede ser negativa.
Fórmulas. resolución de problemas
Debe entenderse que los problemas relacionados con la velocidad y la aceleración no son sólo prácticos, sino también teóricos. Por eso, las analizaremos y, si es posible, intentaremos explicar por qué tal o cual respuesta es correcta o, por el contrario, incorrecta.
problema teórico
Muy a menudo, en los exámenes de física en los grados 9 y 11, puedes encontrarte con preguntas similares: "¿Cómo se comportará un cuerpo si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero?" De hecho, la formulación de la pregunta puede ser muy diferente, pero la respuesta sigue siendo la misma. Aquí, lo primero que hay que hacer es utilizar construcciones superficiales y pensamiento lógico ordinario.
El estudiante recibe 4 respuestas para elegir. Primero: “la velocidad será cero”. Segundo: “la velocidad del cuerpo disminuye durante un cierto período de tiempo”. Tercero: “la velocidad del cuerpo es constante, pero definitivamente no es cero”. Cuarto: “la velocidad puede tener cualquier valor, pero en cada momento será constante”.
La respuesta correcta aquí es, por supuesto, la cuarta. Ahora averigüemos por qué es así. Intentemos considerar todas las opciones por turno. Como se sabe, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es el producto de la masa por la aceleración. Pero nuestra masa sigue siendo un valor constante, la descartaremos. Es decir, si la suma de todas las fuerzas es cero, la aceleración también será cero.
Entonces, supongamos que la velocidad será cero. Pero esto no puede ser, ya que nuestra aceleración es igual a cero. Físicamente esto está permitido, pero en este caso no, ya que ahora estamos hablando de otra cosa. Deje que la velocidad del cuerpo disminuya durante un período de tiempo. Pero ¿cómo puede disminuir si la aceleración es constante e igual a cero? No existen motivos ni requisitos previos para reducir o aumentar la velocidad. Por tanto, rechazamos la segunda opción.
Supongamos que la velocidad del cuerpo es constante, pero definitivamente no es cero. De hecho, será constante debido al hecho de que simplemente no hay aceleración. Pero no se puede decir inequívocamente que la velocidad será distinta de cero. Pero la cuarta opción da en el blanco. La velocidad puede ser cualquiera, pero como no hay aceleración, será constante en el tiempo.
problema practico
Determine qué camino recorrió el cuerpo en un cierto período de tiempo t1-t2 (t1 = 0 segundos, t2 = 2 segundos) si los siguientes datos están disponibles. La velocidad inicial del cuerpo en el intervalo de 0 a 1 segundo es de 0 metros por segundo, la velocidad final es de 2 metros por segundo. La velocidad del cuerpo en el tiempo de 2 segundos también es de 2 metros por segundo.
Resolver este problema es bastante simple, solo hay que captar su esencia. Entonces, necesitamos encontrar una manera. Bueno, comencemos a buscarlo, habiendo identificado previamente dos áreas. Como es fácil ver, el cuerpo recorre el primer tramo del recorrido (de 0 a 1 segundo) con aceleración uniforme, como lo demuestra el aumento de su velocidad. Entonces encontraremos esta aceleración. Se puede expresar como la diferencia de velocidad dividida por el tiempo de movimiento. La aceleración será (2-0)/1 = 2 metros por segundo al cuadrado.
En consecuencia, la distancia recorrida en el primer tramo del camino S será igual a: S = V0t + at^2/2 = 0*1 + 2*1^2/2 = 0 + 1 = 1 metro. En el segundo tramo del camino, en el período de 1 segundo a 2 segundos, el cuerpo se mueve uniformemente. Esto significa que la distancia será igual a V*t = 2*1 = 2 metros. Ahora sumamos las distancias, obtenemos 3 metros. Esta es la respuesta.
¿Cómo, conociendo la distancia de frenado, determinar la velocidad inicial del automóvil y cómo, conociendo las características del movimiento, como la velocidad inicial, la aceleración, el tiempo, determinan el movimiento del automóvil? Las respuestas las obtendremos después de familiarizarnos con el tema de la lección de hoy: "Movimiento durante un movimiento uniformemente acelerado, dependencia de las coordenadas en el tiempo durante un movimiento uniformemente acelerado".
Con un movimiento uniformemente acelerado, la gráfica parece una línea recta que va hacia arriba, ya que su proyección de aceleración es mayor que cero.
Con un movimiento rectilíneo uniforme, el área será numéricamente igual al módulo de proyección del movimiento del cuerpo. Resulta que este hecho se puede generalizar no solo para el caso de movimiento uniforme, sino también para cualquier movimiento, es decir, se puede demostrar que el área debajo de la gráfica es numéricamente igual al módulo de proyección de desplazamiento. Esto se hace estrictamente matemáticamente, pero usaremos un método gráfico.
Arroz. 2. Gráfica de velocidad versus tiempo para un movimiento uniformemente acelerado ()
Dividamos la gráfica de la proyección de la velocidad versus el tiempo para un movimiento uniformemente acelerado en pequeños intervalos de tiempo Δt. Supongamos que son tan pequeños que la velocidad prácticamente no cambia a lo largo de ellos, es decir, la gráfica dependencia lineal en la figura lo convertiremos condicionalmente en una escalera. A cada paso creemos que la velocidad prácticamente no ha cambiado. Imaginemos que hacemos que los intervalos de tiempo Δt sean infinitesimales. En matemáticas dicen: hacemos la transición al límite. En este caso, el área de dicha escalera coincidirá infinitamente con el área del trapezoide, que está limitada por la gráfica V x (t). Esto significa que para el caso de movimiento uniformemente acelerado podemos decir que el módulo de la proyección de desplazamiento es numéricamente igual al área limitada por la gráfica V x (t): los ejes de abscisas y ordenadas y la perpendicular bajada a las abscisas, es decir es decir, el área del trapezoide OABC que vemos en la Figura 2.
El problema pasa de ser físico a matemático: encontrar el área de un trapezoide. Esta es una situación estándar cuando los físicos crean un modelo que describe un fenómeno particular, y luego entran en juego las matemáticas, enriqueciendo este modelo con ecuaciones y leyes, algo que convierte el modelo en una teoría.
Encontramos el área del trapezoide: el trapezoide es rectangular, ya que el ángulo entre los ejes es 90 0, dividimos el trapezoide en dos figuras: un rectángulo y un triángulo. Evidentemente, el área total será igual a la suma de las áreas de estas figuras (Fig. 3). Encontremos sus áreas: el área del rectángulo es igual al producto de los lados, es decir, V 0x · t, el área del triángulo rectángulo será igual a la mitad del producto de los catetos - 1/ 2AD · BD, sustituyendo los valores de las proyecciones, obtenemos: 1/2t · (V x - V 0x), y, recordando la ley de cambios de velocidad en el tiempo durante un movimiento uniformemente acelerado: V x (t) = V 0x + a x t, es bastante obvio que la diferencia en las proyecciones de velocidad es igual al producto de la proyección de aceleración a x por el tiempo t, es decir, V x - V 0x = a x t.
Arroz. 3. Determinación del área del trapezoide ( Fuente)
Teniendo en cuenta que el área del trapezoide es numéricamente igual al módulo de proyección de desplazamiento, obtenemos:
S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2
Hemos obtenido la ley de dependencia de la proyección del desplazamiento con el tiempo durante un movimiento uniformemente acelerado en forma escalar; en forma vectorial se verá así:
(t) = t + t2/2
Derivemos otra fórmula para la proyección de desplazamiento, que no incluirá el tiempo como variable. Resolvamos el sistema de ecuaciones eliminando el tiempo:
S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2
V x (t) = V 0 x + a x t
Imaginemos que desconocemos el tiempo, luego expresaremos el tiempo a partir de la segunda ecuación:
t = V x - V 0x / a x
Sustituyamos el valor resultante en la primera ecuación:
Consigamos esta engorrosa expresión, la elevemos al cuadrado y demos otras similares:
Hemos obtenido una expresión muy conveniente para la proyección del movimiento para el caso en el que no conocemos el tiempo del movimiento.
Sea nuestra velocidad inicial del automóvil, cuando comenzó a frenar, V 0 = 72 km/h, velocidad final V = 0, aceleración a = 4 m/s 2 . Descubra la longitud de la distancia de frenado. Convirtiendo kilómetros a metros y sustituyendo los valores en la fórmula, encontramos que la distancia de frenado será:
S x = 0 - 400(m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m
Analicemos la siguiente fórmula:
S x = (V 0 x + V x) / 2 t
La proyección de desplazamiento es la mitad de las proyecciones de las velocidades inicial y final, multiplicada por el tiempo de movimiento. Recordemos la fórmula de desplazamiento para la velocidad media.
S x = V av · t
En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media será:
V av = (V 0 + V k) / 2
Nos hemos acercado a resolver el principal problema de la mecánica del movimiento uniformemente acelerado, es decir, obtener la ley según la cual la coordenada cambia con el tiempo:
x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2
Para aprender a utilizar esta ley, analicemos un problema típico.
Un automóvil, partiendo del reposo, adquiere una aceleración de 2 m/s 2 . Calcula la distancia recorrida por el auto en 3 segundos y en un tercer segundo.
Dado: V 0 x = 0
Escribamos la ley según la cual el desplazamiento cambia con el tiempo en
movimiento uniformemente acelerado: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 segundos< Δt 2 < 3.
Podemos responder la primera pregunta del problema ingresando los datos:
t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - este es el camino recorrido
c coche en 3 segundos.
Averigüemos qué distancia recorrió en 2 segundos:
S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)
Entonces, tú y yo sabemos que en dos segundos el auto recorrió 4 metros.
Ahora, conociendo estas dos distancias, podemos encontrar el camino que recorrió en el tercer segundo:
S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)
Y el tiempo de movimiento, puedes encontrar la distancia recorrida:
Sustituyendo la expresión en esta fórmula V promedio = V/2, encontraremos el camino recorrido durante un movimiento uniformemente acelerado desde un estado de reposo:
Si sustituimos en la fórmula (4.1) la expresión V promedio = V 0/2, entonces obtenemos el camino recorrido durante el frenado:
Las dos últimas fórmulas incluyen velocidades. V 0 y V. Sustituyendo la expresión V=at en la fórmula (4.2), y la expresión V 0 =at - en la fórmula (4.3), obtenemos
La fórmula resultante es válida tanto para un movimiento uniformemente acelerado desde un estado de reposo como para un movimiento con velocidad decreciente cuando el cuerpo se detiene al final del camino. En ambos casos, la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo de movimiento (y no solo el tiempo, como ocurría con el movimiento uniforme). El primero en establecer este patrón fue G. Galileo.
La Tabla 2 proporciona las fórmulas básicas que describen la velocidad uniformemente acelerada. movimiento rectilíneo.
Galileo no tuvo la oportunidad de ver su libro, que esbozaba la teoría del movimiento uniformemente acelerado (junto con muchos de sus otros descubrimientos). ¿Cuándo se publicó? El científico de 74 años ya estaba ciego. Galileo se tomó muy mal la pérdida de la visión. “Puedes imaginarte”, escribió, “cómo me aflijo cuando me doy cuenta de que este cielo, este mundo y el Universo, que según mis observaciones y evidencia clara se han expandido cien y mil veces en comparación con lo que la gente pensaba que eran ciencias. en todos los siglos pasados ahora se han vuelto tan disminuidos y disminuidos para mí”.
Cinco años antes, Galileo fue juzgado por la Inquisición. Sus puntos de vista sobre la estructura del mundo (y se adhirió al sistema copernicano, en el que el lugar central lo ocupaba el Sol, no la Tierra) durante mucho tiempo no agradaban a los ministros de la iglesia. En 1614, el sacerdote dominico Caccini declaró a Galileo hereje y a las matemáticas una invención del diablo. Y en 1616, la Inquisición declaró oficialmente que “la doctrina atribuida a Copérnico de que la Tierra se mueve alrededor del Sol, mientras que el Sol está en el centro del Universo, sin moverse de este a oeste, es contraria a las Sagradas Escrituras y, por tanto, no puede ser defendido ni aceptado como verdad." El libro de Copérnico que describía su sistema del mundo fue prohibido y se advirtió a Galileo que si "no se calmaba, sería encarcelado".
Pero Galileo “no se calmó”. "No hay mayor odio en el mundo", escribió el científico, "que la ignorancia por el conocimiento". Y en 1632 se publicó su famoso libro "Diálogo sobre los dos sistemas más importantes del mundo: el ptolemaico y el copernicano", en el que presentó numerosos argumentos a favor del sistema copernicano. Sin embargo, sólo se vendieron 500 ejemplares de esta obra, ya que después de unos meses, por orden del Papa
Rimsky, el editor del libro, recibió una orden de suspender la venta de esta obra.
En el otoño del mismo año, Galileo recibió la orden de la Inquisición de presentarse en Roma, y después de un tiempo, el científico enfermo de 69 años fue trasladado en camilla a la capital. Aquí, en la prisión de la Inquisición, Galileo se vio obligado a renunciar a sus puntos de vista sobre la estructura del mundo, y el 22 de junio de 1633 en un monasterio romano Minerva Galileo lee y firma el texto de renuncia previamente preparado.
“Yo, Galileo Galilei, hijo del difunto Vincenzo Galilei de Florencia, de 70 años de edad, traje personalmente a la corte y de rodillas ante Vuestras Eminencias, a los reverendísimos señores cardenales, inquisidores generales contra la herejía en toda la cristiandad, teniendo ante mí el sagrado Evangelio y ofreciéndole las manos, juro que siempre he creído, creo ahora, y con la ayuda de Dios seguiré creyendo en todo lo que la Santa Iglesia Católica y Apostólica Romana reconoce, define y predica”.
Según la decisión judicial, el libro de Galileo fue prohibido y él mismo fue condenado a prisión por tiempo indefinido. Sin embargo, el Papa perdonó a Galileo y reemplazó el encarcelamiento por el exilio. Galileo se mudó a Arcetri y aquí, mientras estaba bajo arresto domiciliario, escribió el libro "Conversaciones y pruebas matemáticas, sobre dos nuevas ramas de la ciencia relacionadas con la mecánica y el movimiento local" En 1636, el manuscrito del libro fue enviado a Holanda, donde fue publicado en 1638. Con este libro, Galileo resumió sus muchos años. de la investigación física. En el mismo año, Galileo quedó completamente ciego. Hablando de lo que le había sucedido a la desgracia del gran científico, Viviani (alumno de Galileo) escribió: “Le salieron fuertes secreciones de los ojos, de modo que después de unos meses se quedó completamente sin ojos. sí, digo, sin sus ojos, que poco tiempo Vi más en este mundo que todos los demás. ojos humanos a lo largo de todos los siglos pasados hemos podido ver y observar"
El inquisidor florentino que visitó a Galileo en su carta a Roma dijo que lo encontró en un estado muy grave. Basándose en esta carta, el Papa permitió que Galileo regresara a su casa en Florencia, donde inmediatamente se le dio la orden “bajo pena de muerte”. cadena perpetua en una verdadera prisión y excomunión “No salgas a la ciudad y no hables con nadie, sea quien sea, de la maldita opinión sobre el doble movimiento de la Tierra”.
Galileo no permaneció mucho tiempo en casa. Al cabo de unos meses se le ordenó nuevamente que viniera a Arcetri. Le quedaban unos cuatro años de vida. El 8 de enero de 1642, a las cuatro de la madrugada, Galileo murió.
1. ¿En qué se diferencia el movimiento uniformemente acelerado del movimiento uniforme? 2. ¿En qué se diferencia la fórmula de la trayectoria para el movimiento uniformemente acelerado de la fórmula de la trayectoria para el movimiento uniforme? 3. ¿Qué sabes sobre la vida y obra de G. Galileo? ¿En qué año nació?
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