Conferencias de física. Representación gráfica de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Moverse con movimiento uniformemente acelerado

Preguntas.

1. Escriba la fórmula mediante la cual puede calcular la proyección del vector de velocidad instantánea del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, si conoce: a) la proyección del vector de velocidad inicial y la proyección del vector de aceleración; b) la proyección del vector de aceleración con la velocidad inicial igual a cero.

2. ¿Cuál es la gráfica de la proyección del vector de velocidad del movimiento uniformemente acelerado a la rapidez inicial: a) igual a cero; b) no es igual a cero?

3. ¿En qué se parecen los movimientos, cuyas gráficas se presentan en las Figuras 11 y 12, y en qué se diferencian entre sí?

En ambos casos el movimiento ocurre con aceleración, sin embargo, en el primer caso, la aceleración es positiva, y en el segundo, es negativa.

Ejercicios.

1. El jugador de hockey golpea ligeramente el disco con su palo, dándole una velocidad de 2 m / s. ¿Cuál será la rapidez del disco 4 s después del impacto si, como resultado de la fricción sobre el hielo, se mueve con una aceleración de 0.25 m / s 2?

2. El esquiador sale de la montaña desde un estado de reposo con una aceleración igual a 0.2 m / s 2. ¿Después de qué período de tiempo aumentará su velocidad a 2 m / s?

3. En los mismos ejes de coordenadas, cree gráficos de la proyección del vector de velocidad (en el eje X, codireccional con el vector de la velocidad inicial) en línea recta. movimiento uniformemente acelerado para los casos: a) v ox = 1 m / s, a x = 0,5 m / s 2; b) v ox = 1 m / s, a x = 1 m / s 2; c) v ox = 2 m / s, a x = 1 m / s 2.
La escala es la misma en todos los casos: 1 cm - 1 m / s; 1cm - 1s.

4. En los mismos ejes de coordenadas, construya gráficas de la proyección del vector velocidad (en el eje X, codireccional con el vector de la velocidad inicial) con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado para los casos: a) v ox = 4.5 m / s, ax = -1,5 m / s 2; b) v ox = 3 m / s, a x = -1 m / s 2
Elija la escala usted mismo.

5. La Figura 13 muestra las gráficas de la dependencia del módulo del vector velocidad con el tiempo para el movimiento rectilíneo de dos cuerpos. ¿Cuál es el módulo de aceleración del cuerpo I? cuerpo II?

Representación gráfica de acelerado uniformemente movimiento recto.

Moverse con movimiento uniformemente acelerado.

Inivel.

Muchas cantidades físicas que describen el movimiento de los cuerpos cambian con el tiempo. Por lo tanto, para mayor claridad de la descripción, el movimiento a menudo se representa gráficamente.

Veamos cómo se representan gráficamente las dependencias en el tiempo de las cantidades cinemáticas que describen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Movimiento rectilíneo igualmente acelerado- este es un movimiento en el que la velocidad del cuerpo para intervalos de tiempo iguales cambia de la misma manera, es decir, es un movimiento con aceleración constante en magnitud y dirección.

a = constante - ecuación de aceleración. Es decir, a tiene un valor numérico que no cambia con el tiempo.

Por definición de aceleración

A partir de aquí ya hemos encontrado ecuaciones para la dependencia de la velocidad con el tiempo: v = v0 + en.

Veamos cómo se puede usar esta ecuación para representar gráficamente un movimiento acelerado uniformemente.

Representemos gráficamente la dependencia de las cantidades cinemáticas en el tiempo para tres cuerpos

.

1, el cuerpo se mueve a lo largo del eje 0X, mientras aumenta su velocidad (el vector de aceleración a es codireccional con el vector de velocidad v). vx> 0, ax> 0

2, el cuerpo se mueve a lo largo del eje 0X, mientras disminuye su velocidad (el vector de aceleración no es codireccional con el vector de velocidad v). vx> 0, ah< 0

2, el cuerpo se mueve contra el eje 0X, mientras disminuye su velocidad (el vector de aceleración no es codireccional con el vector de velocidad v). vx< 0, ах > 0

Gráfico de aceleración

La aceleración es constante por definición. Entonces, para la situación presentada, la gráfica de la dependencia de la aceleración en el tiempo a (t) tendrá la forma:

A partir del gráfico de aceleración, puede determinar cómo cambió la velocidad, si aumentó o disminuyó, y por qué valor numérico cambió la velocidad y para qué cuerpo cambió más la velocidad.

Gráfico de velocidad

Si comparamos la dependencia de la coordenada en el tiempo con el movimiento uniforme y la dependencia de la proyección de la velocidad en el tiempo con el movimiento uniformemente acelerado, podemos ver que estas dependencias son las mismas:

x = x0 + vx t vx = v 0 X + a X t

Esto significa que los gráficos de las dependencias tienen el mismo aspecto.

Para trazar este gráfico, el tiempo de movimiento se traza en el eje de abscisas y la velocidad (proyección de la velocidad) del cuerpo se traza en el eje de ordenadas. En un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad del cuerpo cambia con el tiempo.

Moverse con movimiento uniformemente acelerado.

Con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la velocidad del cuerpo está determinada por la fórmula

vx = v 0 X + a X t

En esta fórmula, υ0 es la velocidad del cuerpo a t = 0 (velocidad inicial ), a= constante - aceleración. En la gráfica de la velocidad υ ( t) esta dependencia tiene la forma de una línea recta (Fig.).

La aceleración se puede determinar a partir de la pendiente del gráfico de velocidad. a cuerpo. Las construcciones correspondientes se muestran en la Fig. para el gráfico I.La aceleración es numéricamente igual a la razón de los lados del triángulo A B C: MsoNormalTable ">

Cuanto mayor es el ángulo β, que forma el gráfico de velocidad con el eje del tiempo, es decir, mayor es la pendiente del gráfico ( lo escarpado), mayor es la aceleración del cuerpo.

Para el gráfico I: υ0 = –2 m / s, a= 1/2 m / s2.

Para el gráfico II: υ0 = 3 m / s, a= –1/3 m / s2.

El gráfico de velocidad también le permite determinar la proyección del movimiento. s cuerpos por un tiempo t... Señalemos en el eje del tiempo un pequeño intervalo de tiempo Δ t... Si este intervalo de tiempo es lo suficientemente pequeño, entonces el cambio en la velocidad durante este intervalo no es grande, es decir, el movimiento durante este intervalo de tiempo puede considerarse uniforme con una velocidad promedio, que es igual a la velocidad instantánea υ del cuerpo en el mitad del intervalo Δ t... Por lo tanto, el desplazamiento Δ s en el tiempo Δ t será igual a Δ s = υΔ t... Este movimiento es igual al área de la franja sombreada (Fig.). Desglosando el lapso de tiempo desde 0 hasta algún punto t para pequeños intervalos Δ t, conseguimos que el desplazamiento s por un tiempo dado t con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es igual al área del trapezoide ODEF... Las construcciones correspondientes se realizan para el gráfico II en la Fig. 1.4.2. Hora t tomado igual a 5,5 s.

Dado que υ - υ0 = en s t se escribirá como:

Para encontrar la coordenada y cuerpos en un momento dado t Necesito empezar a coordinar y 0 agregar movimiento a lo largo del tiempo t: DIV_ADBLOCK189 ">

Dado que υ - υ0 = en, la fórmula definitiva para moverse s cuerpo con movimiento uniformemente acelerado durante un intervalo de tiempo de 0 a t se escribirá en la forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_57.gif "ancho =" 146 alto = 55 "alto =" 55 ">

Al analizar el movimiento uniformemente acelerado, a veces surge el problema de determinar el desplazamiento de un cuerpo de acuerdo con los valores dados de las velocidades y aceleraciones inicial υ0 y final υ. a... Este problema se puede resolver usando las ecuaciones escritas anteriormente excluyendo el tiempo de ellas. t... El resultado se escribe como

Si la velocidad inicial υ0 es igual a cero, estas fórmulas toman la forma MsoNormalTable ">

Cabe señalar una vez más que las cantidades υ0, υ, s, a, y 0 son cantidades algebraicas. Dependiendo del tipo específico de movimiento, cada uno de estos valores puede tomar valores tanto positivos como negativos.

Un ejemplo de solución del problema:

Petya sale de la ladera de la montaña desde un estado de reposo con una aceleración de 0.5 m / s2 en 20 sy luego se mueve a lo largo de una sección horizontal. Después de pasar los 40 m, choca contra un Vasya abierto y cae en un ventisquero, reduciendo su velocidad a 0 m / s. ¿Con qué aceleración se movió Petya a lo largo de la superficie horizontal hasta el ventisquero? ¿Cuál es la longitud de la pendiente de la montaña, desde la que Petia se movió tan sin éxito?

Nivel 1.

Ecuación para la velocidad de Petya al final del descenso de la montaña:

v 1 = v 01 + a 1t 1.

En proyecciones sobre el eje X obtenemos:

v 1X = a 1Xt.

Escribamos la ecuación que conecta las proyecciones de velocidad, aceleración y desplazamiento de Petya en la primera etapa del movimiento:

o porque Petya conducía desde lo alto de la colina con una velocidad inicial V01 = 0

(en lugar de Petit, tendría cuidado de no montar en toboganes tan altos)

Considerando que la velocidad inicial de Petya en esta segunda etapa de movimiento es igual a su velocidad final en la primera etapa:

v 02 X = v 1 X, v 2X = 0, donde v1 es la velocidad con la que Petya llegó al pie de la colina y comenzó a moverse hacia Vasya. V2x: la velocidad de Petya en un ventisquero.

2. Por este horario aceleración, díganos cómo cambia la velocidad del cuerpo. Escriba las ecuaciones de la dependencia de la velocidad con el tiempo, si en el momento del inicio del movimiento (t = 0) la velocidad del cuerpo es v0х = 0. Tenga en cuenta que en cada sección posterior de movimiento, el cuerpo comienza a pasar a una cierta velocidad (¡lo que se logró en el tiempo anterior!).

3. Un tren subterráneo que sale de la estación puede alcanzar una velocidad de 72 km / h en 20 segundos. Determina con qué aceleración se aleja de ti una bolsa olvidada en un vagón del metro. ¿De qué manera viajará ella?

4. Un ciclista que se mueve a una velocidad de 3 m / s comienza a descender de la montaña con una aceleración de 0.8 m / s2. Calcula la longitud de la montaña si el descenso tomó 6 segundos.

5. Habiendo comenzado a frenar con una aceleración de 0.5 m / s2, el tren viajó hasta una parada de 225 m ¿Cuál era su velocidad antes del inicio del frenado?

6. Comenzando a moverse, el balón de fútbol alcanzó una velocidad de 50 m / s, después de haber recorrido una distancia de 50 my se estrelló contra una ventana. Determine el tiempo que le tomó a la pelota recorrer este camino y la aceleración con la que se movió.

7. El tiempo de reacción del vecino del tío Oleg = 1,5 minutos, durante este tiempo se dará cuenta de lo que pasó con su ventana y tendrá tiempo para salir corriendo al patio. Determine qué velocidad deben desarrollar los jóvenes jugadores de fútbol para que los alegres dueños de la ventana no los alcancen si necesitan correr 350 m hasta su entrada.

8. Dos ciclistas viajan uno hacia el otro. El primero, con una velocidad de 36 km / h, comenzó a subir la montaña con una aceleración de 0.2 m / s2, y el segundo, con una velocidad de 9 km / h, comenzó a descender de la montaña con una aceleración de 0.2 m / s2. ¿Cuánto tiempo y en qué lugar chocarán debido a su distracción, si la longitud de la montaña es de 100 m?

Movimiento uniforme- se trata de un movimiento con velocidad constante, es decir, cuando la velocidad no cambia (v = constante) y no se produce aceleración o desaceleración (a = 0).

Movimiento recto- este es un movimiento en línea recta, es decir, la trayectoria del movimiento rectilíneo es una línea recta.

Movimiento rectilíneo uniforme Es un movimiento en el que el cuerpo realiza los mismos movimientos durante intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, si dividimos algún intervalo de tiempo en segmentos de un segundo, entonces, con un movimiento uniforme, el cuerpo se moverá la misma distancia para cada uno de estos segmentos de tiempo.

La velocidad del movimiento rectilíneo uniforme no depende del tiempo y en cada punto de la trayectoria se dirige de la misma forma que el movimiento del cuerpo. Es decir, el vector de desplazamiento coincide en dirección con el vector de velocidad. En este caso, la velocidad media para cualquier período de tiempo es igual a la velocidad instantánea:

Velocidad de movimiento recto uniforme Es una cantidad de vector físico igual a la razón del desplazamiento del cuerpo en cualquier intervalo de tiempo al valor de este intervalo t:

Por tanto, la velocidad del movimiento rectilíneo uniforme muestra cuánto se mueve un punto material por unidad de tiempo.

Moviente con movimiento rectilíneo uniforme está determinado por la fórmula:

Distancia viajada en movimiento rectilíneo, es igual al módulo de desplazamiento. Si la dirección positiva del eje OX coincide con la dirección del movimiento, entonces la proyección de la velocidad sobre el eje OX es igual a la magnitud de la velocidad y es positiva:

v x = v, es decir, v> 0

La proyección de desplazamiento sobre el eje OX es igual a:

s = vt = x - x 0

donde x 0 es la coordenada inicial del cuerpo, x es la coordenada final del cuerpo (o la coordenada del cuerpo en cualquier momento)

Ecuación de movimiento, es decir, la dependencia de las coordenadas del cuerpo en el tiempo x = x (t) toma la forma:

Si la dirección positiva del eje OX es opuesta a la dirección del movimiento del cuerpo, entonces la proyección de la velocidad del cuerpo sobre el eje OX es negativa, la velocidad es menor que cero (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Dependencia temporal de la velocidad, las coordenadas y la trayectoria.

La dependencia de la proyección de la velocidad del cuerpo en el tiempo se muestra en la Fig. 1,11. Dado que la velocidad es constante (v = constante), la gráfica de la velocidad es una línea recta paralela al eje del tiempo Ot.

Arroz. 1,11. Dependencia de la proyección de la velocidad del cuerpo en el tiempo para un movimiento rectilíneo uniforme.

La proyección del desplazamiento en el eje de coordenadas es numéricamente igual al área del rectángulo OABS (figura 1.12), ya que la magnitud del vector de desplazamiento es igual al producto del vector de velocidad por el tiempo durante el cual el desplazamiento fue hecho.

Arroz. 1.12. Dependencia de la proyección del movimiento del cuerpo en el tiempo con movimiento rectilíneo uniforme.

El gráfico de movimiento en función del tiempo se muestra en la Fig. 1,13. Puede verse en el gráfico que la proyección de la velocidad es

v = s 1 / t 1 = tan α

donde α es el ángulo de inclinación del gráfico con respecto al eje del tiempo.

Cuanto mayor es el ángulo α, más rápido se mueve el cuerpo, es decir, mayor es su velocidad (cuanto más tiempo viaja el cuerpo en menos tiempo). La tangente del ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la coordenada versus el tiempo es igual a la velocidad:

Arroz. 1,13. Dependencia de la proyección del movimiento del cuerpo en el tiempo con movimiento rectilíneo uniforme.

La dependencia de la coordenada en el tiempo se muestra en la Fig. 1,14. La figura muestra que

tg α 1> tg α 2

por lo tanto, la rapidez del cuerpo 1 es mayor que la rapidez del cuerpo 2 (v 1> v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Si el cuerpo está en reposo, entonces el gráfico de coordenadas es una línea recta paralela al eje del tiempo, es decir

Arroz. 1,14. Dependencia de las coordenadas del cuerpo en el tiempo con movimiento rectilíneo uniforme.

Relación de cantidades angulares y lineales.

Los puntos individuales de un cuerpo en rotación tienen diferentes velocidades lineales. La velocidad de cada punto, al estar dirigida tangencialmente al círculo correspondiente, cambia continuamente de dirección. La magnitud de la velocidad está determinada por la velocidad de rotación del cuerpo y la distancia R del punto considerado desde el eje de rotación. Deje que durante un corto período de tiempo el cuerpo haya girado en ángulo (Figura 2.4). Un punto ubicado a una distancia R del eje pasa por una trayectoria igual a

Velocidad lineal de un punto por definición.

Aceleración tangencial

Usando la misma relación (2.6), obtenemos

Por tanto, tanto las aceleraciones normales como las tangenciales crecen linealmente con la distancia entre el punto y el eje de rotación.

Conceptos básicos.

Oscilación periódica Se denomina proceso en el que un sistema (por ejemplo, mecánico) vuelve al mismo estado después de un cierto período de tiempo. Este período de tiempo se llama período de oscilación.

Fuerza restauradora- la fuerza bajo la influencia de la cual se produce el proceso oscilatorio. Esta fuerza tiende a devolver un cuerpo o punto material, desviado de la posición de reposo, a su posición original.

Dependiendo de la naturaleza del impacto sobre el cuerpo oscilante, se distinguen oscilaciones libres (o naturales) y oscilaciones forzadas.

Vibraciones libres tienen lugar cuando solo la fuerza de recuperación actúa sobre el cuerpo oscilante. En el caso de que no haya disipación de energía, las vibraciones libres no son amortiguadoras. Sin embargo, los procesos oscilatorios reales se amortiguan, porque sobre el cuerpo oscilante actúan fuerzas de resistencia al movimiento (principalmente fuerzas de fricción).

Vibraciones forzadas se realizan bajo la acción de una fuerza externa que cambia periódicamente, que se llama fuerza convincente. En muchos casos, los sistemas realizan vibraciones que pueden considerarse armónicas.

Vibraciones armónicas Se denominan tales movimientos oscilatorios, en los que el desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio se realiza de acuerdo con la ley del seno o coseno:

Para ilustrar el significado físico, considere un círculo, y rotaremos el radio OK con flechas de velocidad angular ω en sentido antihorario (7.1). Si en el momento inicial de tiempo el OC estaba en el plano horizontal, luego del tiempo t se desplazará en un ángulo. Si el ángulo inicial es distinto de cero y es igual a φ 0 , entonces el ángulo de rotación será igual a. La proyección en el eje XO 1 es igual a. A medida que gira el radio de OK, la magnitud de la proyección cambia y el punto oscilará alrededor del punto: hacia arriba, hacia abajo, etc. En este caso, el valor máximo de x es igual a A y se llama amplitud de las oscilaciones; ω - frecuencia circular o cíclica; - fase de oscilación; - fase inicial. Para una revolución del punto K alrededor de la circunferencia, su proyección hará una oscilación completa y regresará al punto de partida.

Período T el tiempo de una oscilación completa se llama. Una vez transcurrido el tiempo T, se repiten los valores de todas las magnitudes físicas que caracterizan las oscilaciones. En un período, el punto oscilante recorre un camino que es numéricamente igual a cuatro amplitudes.

Velocidad angular se determina a partir de la condición de que para el período T el radio del OK hará una revolución, es decir rotará en un ángulo de 2π radianes:

Frecuencia de oscilación- el número de oscilaciones de un punto en un segundo, es decir la frecuencia de oscilación se define como el recíproco del período de oscilación:

Fuerzas elásticas del péndulo de resorte.

Un péndulo cargado por resorte consta de un resorte y una bola maciza montada en una varilla horizontal, a lo largo de la cual puede deslizarse. Deje que se fije una bola con un agujero en el resorte, que se desliza a lo largo del eje de guía (varilla). En la Fig. 7.2, a muestra la posición de la pelota en reposo; en la Fig. 7.2, b - compresión máxima y en la Fig. 7.2, en - una posición arbitraria de la pelota.

Bajo la acción de una fuerza restauradora igual a la fuerza de compresión, la bola vibrará. Fuerza de compresión F = -kx, donde k es el coeficiente de rigidez del resorte. El signo menos muestra que la dirección de la fuerza F y el desplazamiento x son opuestos. Energía potencial de un resorte comprimido

cinético.

Para derivar la ecuación de movimiento de la pelota, es necesario conectar xy t. La conclusión se basa en la ley de conservación de la energía. La energía mecánica total es igual a la suma de la energía cinética y potencial del sistema. En este caso:

... En la posición b): .

Dado que en el movimiento considerado se cumple la ley de conservación de la energía mecánica, podemos escribir:

... Determinemos la velocidad a partir de aquí:

Pero a su vez y, por tanto, ... Divide las variables ... Integrando esta expresión, obtenemos: ,

donde es la constante de integración. De este último se sigue que

Así, bajo la acción de la fuerza elástica, el cuerpo realiza vibraciones armónicas. Las fuerzas de naturaleza diferente a la elástica, pero en las que se cumple la condición F = -kx, se denominan cuasi-elásticas. Bajo la influencia de estas fuerzas, los cuerpos también realizan vibraciones armónicas. Donde:

Péndulo matemático.

Un péndulo matemático es un punto material suspendido de un hilo ingrávido inextensible que oscila en un plano vertical bajo la acción de la gravedad.

Tal péndulo puede considerarse una bola pesada de masa m, suspendida de un hilo delgado, cuya longitud l es mucho mayor que el tamaño de la bola. Si lo desvía en un ángulo α (Figura 7.3.) Desde la línea vertical, entonces, bajo la influencia de la fuerza F, una de las componentes del peso P, oscilará. El otro componente dirigido a lo largo del hilo no se tiene en cuenta, porque equilibrado por la tensión del hilo. En pequeños ángulos de desplazamiento y, entonces la coordenada x se puede medir en la dirección horizontal. La figura 7.3 muestra que la componente del peso perpendicular al hilo es

El signo menos en el lado derecho significa que la fuerza F se dirige hacia la disminución del ángulo α. Teniendo en cuenta la pequeñez del ángulo α

Para derivar la ley del movimiento de péndulos matemáticos y físicos, usamos la ecuación básica de la dinámica del movimiento rotacional.

El momento de fuerza relativo al punto O :, y el momento de inercia: M = FL... Momento de inercia J en este caso Aceleración Angular:

Teniendo en cuenta estos valores, tenemos:

Su decisión ,

Como puede ver, el período de oscilaciones de un péndulo matemático depende de su longitud y la aceleración de la gravedad y no depende de la amplitud de las oscilaciones.

Oscilaciones amortiguadas.

Todos los sistemas oscilatorios reales son disipativos. La energía de las vibraciones mecánicas de dicho sistema se gasta gradualmente en el trabajo contra las fuerzas de fricción, por lo tanto, las vibraciones libres siempre son húmedas: su amplitud disminuye gradualmente. En muchos casos, cuando no hay fricción seca, en una primera aproximación se puede suponer que a bajas velocidades de movimiento las fuerzas que provocan la amortiguación de las vibraciones mecánicas son proporcionales a la velocidad. Estas fuerzas, independientemente de su origen, se denominan fuerzas de resistencia.

Reescribamos esta ecuación de la siguiente manera:

y denotar:

donde representa la frecuencia con la que se producirían oscilaciones libres del sistema en ausencia de resistencia del medio, es decir cuando r = 0. Esta frecuencia se denomina frecuencia natural de oscilación del sistema; β es el coeficiente de atenuación. Entonces

Buscaremos una solución a la ecuación (7.19) en la forma donde U es alguna función de t.

Diferenciamos esta expresión dos veces con respecto al tiempo ty, sustituyendo los valores de la primera y segunda derivadas en la ecuación (7.19), obtenemos

La solución de esta ecuación depende esencialmente del signo del coeficiente en U. Considere el caso en el que este coeficiente es positivo. Introduzcamos entonces la notación con un real ω la solución de esta ecuación, como sabemos, es la función

Así, en el caso de baja resistencia del medio, la solución a la ecuación (7.19) será la función

El gráfico de esta función se muestra en la Fig. 7.8. Las líneas punteadas muestran los límites dentro de los cuales se ubica el desplazamiento del punto de oscilación. La cantidad se denomina frecuencia cíclica natural de oscilaciones del sistema disipativo. Las oscilaciones amortiguadas son oscilaciones no periódicas, porque nunca repiten, por ejemplo, los valores máximos de desplazamiento, velocidad y aceleración. El valor generalmente se llama período de oscilaciones amortiguadas, más correctamente: el período condicional de oscilaciones amortiguadas,

El logaritmo natural de la razón de las amplitudes de los desplazamientos que se suceden después de un intervalo de tiempo igual al período T se denomina decremento de amortiguamiento logarítmico.

Denotemos por τ el intervalo de tiempo durante el cual la amplitud de las oscilaciones disminuye en un factor de e. Entonces

En consecuencia, el coeficiente de amortiguación es una cantidad física inversa al intervalo de tiempo τ, durante el cual la amplitud disminuye en un factor de e. La cantidad τ se denomina tiempo de relajación.

Sea N el número de oscilaciones después de las cuales la amplitud disminuye en un factor de e, Entonces

Por lo tanto, el decremento de amortiguamiento logarítmico δ es cantidad física, el recíproco del número de oscilaciones N, después de lo cual la amplitud disminuye en un factor de e

Vibraciones forzadas.

En el caso de oscilaciones forzadas, el sistema oscila bajo la acción de una fuerza externa (impulsora) y, debido al trabajo de esta fuerza, las pérdidas de energía del sistema se compensan periódicamente. La frecuencia de las vibraciones forzadas (la frecuencia de conducción) depende de la frecuencia del cambio en la fuerza externa. Determinemos la amplitud de las vibraciones forzadas de un cuerpo de masa m, considerando las vibraciones no amortiguadas debido a una acción constante fuerza.

Deje que esta fuerza cambie con el tiempo de acuerdo con la ley, donde es la amplitud de la fuerza impulsora. La fuerza restauradora y la fuerza de resistencia Entonces, la segunda ley de Newton se puede escribir de la siguiente forma.

Si se conoce la trayectoria del punto, entonces la dependencia de la trayectoria recorrida por el punto en el intervalo de tiempo transcurrido da Descripción completa Este movimiento. Hemos visto que, para un movimiento uniforme, esta dependencia se puede dar en la forma de la fórmula (9.2). La relación entre y para puntos individuales en el tiempo también se puede establecer en forma de una tabla que contiene los valores correspondientes del intervalo de tiempo y la distancia recorrida. Supongamos que la rapidez de algún movimiento uniforme es de 2 m / s. La fórmula (9.2) en este caso tiene la forma. Hagamos una tabla del camino y el tiempo de tal movimiento:

La dependencia de una cantidad de otra a menudo es conveniente para representar no mediante fórmulas o tablas, sino mediante gráficos, que muestran más claramente la imagen de los cambios en las variables y pueden facilitar los cálculos. Construyamos un gráfico de la dependencia de la distancia recorrida en el tiempo para el movimiento considerado. Para hacer esto, tome dos líneas rectas perpendiculares entre sí: ejes de coordenadas; uno de ellos (eje de abscisas) se denominará eje de tiempo y el otro (eje de ordenadas), eje de trayectoria. Elijamos escalas para la imagen de intervalos de tiempo y trayectorias y tomemos el punto de intersección de los ejes como momento inicial y como punto de partida de la trayectoria. Pongamos en los ejes los valores de tiempo y distancia recorridos para el movimiento considerado (Fig. 18). Para "atar" los valores de la distancia recorrida a los puntos en el tiempo, dibujamos perpendiculares a los ejes desde los puntos correspondientes en los ejes (por ejemplo, los puntos 3 sy 6 m). El punto de intersección de las perpendiculares corresponde simultáneamente a ambos valores: la trayectoria y el momento, y así se logra el "apego". La misma construcción se puede realizar para cualquier otro punto en el tiempo y las trayectorias correspondientes, obteniendo para cada par de valores de trayectoria temporal un punto en el gráfico. En la Fig. 18, se realiza dicha construcción, reemplazando ambas filas de la tabla con una fila de puntos. Si tal construcción se llevara a cabo para todos los puntos en el tiempo, en lugar de puntos individuales, resultaría una línea sólida (también se muestra en la figura). Esta línea se llama gráfico de la dependencia del camino en el tiempo o, en resumen, gráfico del camino.

Arroz. 18. Gráfico de la trayectoria del movimiento uniforme a una velocidad de 2 m / s

Arroz. 19. Para ejercitar 12.1

En nuestro caso, el gráfico de la trayectoria resultó ser una línea recta. Se puede demostrar que la gráfica de la trayectoria del movimiento uniforme es siempre una línea recta; y viceversa: si la gráfica de la trayectoria en función del tiempo es una línea recta, entonces el movimiento es uniforme.

Repitiendo la construcción para una velocidad de movimiento diferente, encontraremos que los puntos del gráfico para una velocidad más alta se encuentran más altos que los puntos correspondientes del gráfico para una velocidad más baja (Fig. 20). Por lo tanto, cuanto mayor es la velocidad del movimiento uniforme, más empinada es la gráfica rectilínea de la trayectoria, es decir, mayor es el ángulo que forma con el eje del tiempo.

Arroz. 20. Gráficas de la trayectoria de movimientos uniformes con velocidades de 2 y 3 m / s

Arroz. 21. Gráfico del mismo movimiento que en la fig. 18, dibujado en una escala diferente

La pendiente del gráfico depende, por supuesto, no solo del valor numérico de la velocidad, sino también de la elección de escalas de tiempo y longitud. Por ejemplo, el gráfico que se muestra en la Fig. 21, da la dependencia de la trayectoria en el tiempo para el mismo movimiento que el gráfico de la Fig. 18, aunque tiene una pendiente diferente. Por lo tanto, está claro que es posible comparar los movimientos por la pendiente de los gráficos solo si están dibujados en la misma escala.

Con la ayuda de los gráficos de seguimiento, puede resolver fácilmente varios problemas de conducción. Por ejemplo, en la Fig. 18 líneas discontinuas muestran las construcciones necesarias para resolver las siguientes tareas para un movimiento dado: a) encontrar el camino recorrido en 3.5 s; b) calcule el tiempo durante el cual la distancia recorrida 9 m En la figura gráficamente (líneas discontinuas) se encontraron las respuestas: a) 7 m; b) 4,5 s.

En los gráficos que describen un movimiento rectilíneo uniforme, puede trazar la coordenada de un punto en movimiento a lo largo de la ordenada en lugar de la ruta. Tal descripción abre grandes posibilidades. En particular, permite distinguir la dirección del movimiento en relación con el eje. Además, tomando el origen de la referencia de tiempo como cero, es posible mostrar el movimiento del punto en puntos anteriores en el tiempo, lo que debe considerarse negativo.

Arroz. 22. Gráficos de movimientos con la misma velocidad, pero en diferentes posiciones iniciales del punto en movimiento.

Arroz. 23. Gráficos de varios movimientos con velocidades negativas

Por ejemplo, en la Fig. 22 la línea recta I es un gráfico de movimiento que ocurre con una velocidad positiva de 4 m / s (es decir, en la dirección del eje), y en el momento inicial el punto en movimiento estaba en un punto con coordenada m. A modo de comparación, el mismo La figura muestra un gráfico del movimiento que ocurre con la misma velocidad, pero en el que en el momento inicial el punto en movimiento se ubica en un punto con una coordenada (línea II). Derecho. III corresponde al caso en el que en ese momento el punto en movimiento estaba en el punto con la coordenada M. Finalmente, la recta IV describe el movimiento en el caso en que el punto en movimiento tenía la coordenada en el momento c.

Vemos que las pendientes de los cuatro gráficos son las mismas: la pendiente depende solo de la velocidad del punto en movimiento y no de su posición inicial. Cuando cambia la posición inicial, todo el gráfico simplemente se transfiere paralelo a sí mismo a lo largo del eje hacia arriba o hacia abajo en la distancia adecuada.

Los gráficos de los movimientos que ocurren con velocidades negativas (es decir, en la dirección opuesta a la dirección del eje) se muestran en la Fig. 23. Son líneas rectas, inclinadas hacia abajo. Para tales movimientos, la coordenada del punto disminuye con el tiempo., Tenía coordenadas

Los gráficos de trayectoria también se pueden construir para los casos en los que el cuerpo se mueve uniformemente durante un cierto período de tiempo, luego se mueve uniformemente, pero a una velocidad diferente durante otro período de tiempo, luego cambia de velocidad nuevamente, etc. Por ejemplo, en la Fig. 26 muestra un gráfico de movimiento en el que el cuerpo se movió durante la primera hora a una velocidad de 20 km / h, durante la segunda hora a una velocidad de 40 km / hy durante la tercera hora a una velocidad de 15 km / h.

Ejercicio: 12.8. Trace un gráfico de la trayectoria de un movimiento en el que, durante intervalos sucesivos de una hora, el cuerpo tuvo velocidades de 10, -5, 0, 2, -7 km / h. ¿Cuál es el desplazamiento total del cuerpo?