Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el mcd de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y demostramos el teorema: el mayor común divisor varios numeros un 1 , un 2 , ..., un k igual al numero dk, que se encuentra mediante cálculo secuencial MCD(a 1 , a 2)=d 2, MCD(d 2 , a 3)=d 3, MCD(d 3 , a 4)=d 4, …,MCD(d k-1 , a k)=d k.
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el mcd de varios números mirando la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de cuatro números. 78 , 294 , 570 Y 36 .
Solución.
En este ejemplo un 1 = 78, un 2 = 294, 3 = 570, un 4 = 36.
Primero, usando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor. re 2 primeros dos números 78 Y 294 . Al dividir obtenemos las igualdades. 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Y 18=6·3. De este modo, d 2 =MCD(78, 294)=6.
Ahora calculemos d 3 =MCD(d 2, a 3)=MCD(6, 570). Usemos nuevamente el algoritmo euclidiano: 570=6·95, por eso, d 3 =MCD(6, 570)=6.
queda por calcular d 4 =MCD(d 3, a 4)=MCD(6, 36). Porque 36 dividido por 6 , Eso d 4 =MCD(6, 36)=6.
Por tanto, el máximo común divisor de los cuatro números dados es igual a re 4 = 6, eso es, MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Factorizar números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.
Ejemplo.
Calcula el mcd de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Solución.
Analicemos los números 78 , 294 , 570 Y 36 por factores primos obtenemos 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Los factores primos comunes de todos los cuatro números dados son los números. 2 Y 3 . Por eso, MCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
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Encontrar MCD de números negativos
Si uno, varios o todos los números, máximo divisor que hay que encontrar son números negativos, entonces su mcd es igual al máximo común divisor de los módulos de estos números. Esto se debe al hecho de que los números opuestos a Y −un tienen los mismos divisores, como comentamos al estudiar las propiedades de la divisibilidad.
Ejemplo.
Encuentra el mcd de números enteros negativos −231 Y −140 .
Solución.
El valor absoluto de un número. −231 es igual 231 , y el módulo del número −140 es igual 140 , Y MCD(−231, −140)=MCD(231, 140). El algoritmo euclidiano nos da las siguientes igualdades: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Y 42=7 6. Por eso, MCD(231, 140)=7. Entonces el máximo común divisor deseado de números negativos es −231 Y −140 es igual 7 .
Respuesta:
MCD(−231, −140)=7.
Ejemplo.
Determinar el mcd de tres números. −585 , 81 Y −189 .
Solución.
Al encontrar el máximo común divisor, los números negativos se pueden reemplazar por sus valores absolutos, es decir, MCD(−585, 81, −189)=MCD(585, 81, 189). Expansiones numéricas 585 , 81 Y 189 en factores primos tienen la forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Y 189=3·3·3·7. Los factores primos comunes de estos tres números son 3 Y 3 . Entonces MCD(585, 81, 189)=3·3=9, por eso, MCD(−585, 81, −189)=9.
Respuesta:
MCD(−585, 81, −189)=9.
35. Raíces de un polinomio. Teorema de Bezout. (33 y más)
36. Raíces múltiples, criterio de multiplicidad de raíces.
Signos de divisibilidad números naturales.
Los números divisibles por 2 sin resto se llamanincluso .
Los números que no son divisibles por 2 se llamanextraño .
Prueba de divisibilidad por 2
Si un número natural termina en un dígito par, entonces este número es divisible por 2 sin resto, y si un número termina en un dígito impar, entonces este número no es divisible por 2.
Por ejemplo, los números 6.0 , 30 8 , 8 4 son divisibles por 2 sin resto y los numeros son 51 , 8 5 , 16 7 no son divisibles por 2 sin resto.
Prueba de divisibilidad por 3
Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3; Si la suma de las cifras de un número no es divisible por 3, entonces el número no es divisible por 3.
Por ejemplo, averigüemos si el número 2772825 es divisible por 3. Para ello, calculemos la suma de los dígitos de este número: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - divisible por 3. Esto significa que el número 2772825 es divisible por 3.
Prueba de divisibilidad por 5
Si el registro de un número natural termina con el dígito 0 o 5, entonces este número es divisible por 5 sin resto. Si el registro de un número termina con otro dígito, entonces el número no es divisible por 5 sin resto.
Por ejemplo, los números 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 son divisibles por 5 sin resto, y los números son 17 , 37 8 , 9 1 no compartas.
Prueba de divisibilidad por 9
Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 9, entonces el número es divisible por 9; Si la suma de los dígitos de un número no es divisible por 9, entonces el número no es divisible por 9.
Por ejemplo, averigüemos si el número 5402070 es divisible por 9. Para ello, calculemos la suma de los dígitos de este número: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - no divisible por 9 Esto significa que el número 5402070 no es divisible por 9.
Prueba de divisibilidad por 10
Si un número natural termina en el dígito 0, entonces este número es divisible sin resto por 10. Si un número natural termina en otro dígito, entonces no es divisible por 10.
Por ejemplo, los números 4.0 , 17 0 , 1409 0 son divisibles por 10 sin resto, y los números 17 , 9 3 , 1430 7 - no compartas.
La regla para encontrar el máximo común divisor (MCD).
Para encontrar el máximo común divisor de varios números naturales, necesitas:
2) de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachar los que no están incluidos en la expansión de otros números;
3) encuentra el producto de los factores restantes.
Ejemplo. Encontremos MCD (48;36). Usemos la regla.
1. Factoricemos los números 48 y 36 en factores primos.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. De los factores incluidos en la expansión del número 48, eliminamos los que no están incluidos en la expansión del número 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Los factores restantes son 2, 2 y 3.
3. Multiplica los factores restantes y obtén 12. Este número es el máximo común divisor de los números 48 y 36.
MCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
La regla para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM).
Para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números naturales, necesitas:
1) factorizarlos en factores primos;
2) anotar los factores incluidos en la expansión de uno de los números;
3) agregarles los factores que faltan de las expansiones de los números restantes;
4) encuentre el producto de los factores resultantes.
Ejemplo. Encontremos el LOC (75;60). Usemos la regla.
1. Factoricemos los números 75 y 60 en factores primos.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Anotamos los factores incluidos en el desarrollo del número 75: 3, 5, 5.
MCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Súmales los factores que faltan de la expansión del número 60, es decir 2, 2.
MCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Encuentra el producto de los factores resultantes.
MCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
De vuelta atras
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Los estudiantes de secundaria se encuentran con los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) en sexto grado. Este tema siempre es difícil de entender. Los niños a menudo confunden estos conceptos y no entienden por qué es necesario estudiarlos. EN Últimamente y en la literatura científica popular hay declaraciones individuales de que este material debería excluirse del plan de estudios escolar. Creo que esto no es del todo cierto, y es necesario estudiarlo, si no en clase, luego en horas extraescolares durante las clases del componente escolar, ya que contribuye al desarrollo del pensamiento lógico en los escolares, aumentando la velocidad de las operaciones computacionales. y la capacidad de resolver problemas utilizando métodos hermosos.
Al estudiar el tema "Suma y resta de fracciones con diferentes denominadores"Enseñamos a los niños a encontrar el denominador común de dos o más números. Por ejemplo, es necesario sumar las fracciones 1/3 y 1/5. Los estudiantes pueden encontrar fácilmente un número que sea divisible entre 3 y 5 sin resto. es el número 15. De hecho, si los números son pequeños, entonces su denominador común es fácil de encontrar si conoces bien la tabla de multiplicar. Uno de los niños se da cuenta de que este número es el producto de los números 3 y 5. Los niños tienen el Creo que de esta manera siempre es posible encontrar el denominador común de los números. Por ejemplo, restamos las fracciones 7/18 y 5/24. Hallemos el producto de los números 18 y 24. Es igual a 432. ya he recibido Número grande, y si además necesita hacer algunos cálculos (especialmente en ejemplos para todas las acciones), entonces aumenta la probabilidad de error. Pero el mínimo común múltiplo encontrado (MCM), que en este caso equivale al mínimo común denominador (LCD), el número 72, facilitará significativamente los cálculos y conducirá a una solución más rápida del ejemplo, ahorrando así tiempo asignado para completar esta tarea, que juega un papel importante en la realización de las pruebas finales, pruebas, especialmente durante la evaluación final.
Al estudiar el tema "Reducir fracciones", puedes avanzar secuencialmente dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número natural, utilizando los signos de divisibilidad de los números, obteniendo finalmente una fracción irreducible. Por ejemplo, debes reducir la fracción 128/344. Primero, dividimos el numerador y denominador de la fracción por el número 2, obtenemos la fracción 64/172. Una vez más, dividimos el numerador y denominador de la fracción resultante entre 2, obtenemos la fracción 32/86. Dividimos nuevamente el numerador y denominador de la fracción entre 2, obtenemos la fracción irreducible 16/43. Pero reducir una fracción se puede hacer mucho más fácilmente si encontramos el máximo común divisor de los números 128 y 344. MCD(128, 344) = 8. Al dividir el numerador y el denominador de la fracción por este número, inmediatamente obtenemos una fracción irreducible. .
Necesito mostrarles a los niños diferentes caminos encontrar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de números. En casos simples, es conveniente encontrar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (LCD) de números mediante enumeración simple. A medida que los números crecen, puedes utilizar la factorización prima. El libro de texto de sexto grado (autor N.Ya. Vilenkin) muestra el siguiente método para encontrar el máximo común divisor (MCD) de números. Factoricemos los números en factores primos:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Luego, de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachamos los que no están incluidos en la expansión del otro número. El producto de los factores restantes será el máximo común divisor de estos números. En este caso, este es el número 8. Por mi propia experiencia, estoy convencido de que para los niños queda más claro si subrayamos los mismos factores en las descomposiciones de números, y luego en una de las descomposiciones encontramos el producto de factores subrayados. Este es el máximo común divisor de estos números. En sexto grado, los niños son activos e curiosos. Puedes asignarles la siguiente tarea: intenta usar el método descrito para encontrar el máximo común divisor de los números 343 y 287. No es inmediatamente obvio cómo factorizarlos en factores primos. Y aquí puedes contarles sobre el maravilloso método inventado por los antiguos griegos, que permite buscar el máximo común divisor (MCD) sin descomponerlo en factores primos. Este método para encontrar el máximo común divisor se describió por primera vez en el libro Elementos de Euclides. Se llama algoritmo euclidiano. Consta de lo siguiente: Primero se divide el número mayor por el menor. Si se obtiene un resto, se divide el número menor por el resto. Si se vuelve a obtener un resto, se divide el primer resto entre el segundo. Continúe dividiendo de esta manera hasta que el resto sea cero. El último divisor es el máximo común divisor (MCD) de estos números.
Volvamos a nuestro ejemplo y, para mayor claridad, escribamos la solución en forma de tabla.
| Dividendo | Divisor | Privado | Resto |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Entonces mcd(344,287) = 7
¿Cómo encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los mismos números? ¿Existe alguna forma de hacerlo que no requiera la descomposición previa de estos números en factores primos? Resulta que sí lo hay, y además es muy sencillo. Necesitamos multiplicar estos números y dividir el producto por el máximo común divisor (MCD) que encontramos. En este ejemplo, el producto de números es 98441. Divídelo por 7 y obtén el número 14063. MCM(343,287) = 14063.
Uno de los temas difíciles en matemáticas es la resolución de problemas planteados. Necesitamos mostrar a los estudiantes cómo los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) se pueden utilizar para resolver problemas que a veces son difíciles de resolver de la forma habitual. Aquí conviene considerar con los estudiantes, junto con las tareas propuestas por los autores del libro de texto escolar, la antigua y tareas entretenidas, desarrollando la curiosidad de los niños y aumentando el interés por estudiar este tema. El dominio hábil de estos conceptos permite a los estudiantes ver una hermosa solución a un problema no estándar. Y si el estado de ánimo de un niño mejora después de resolver un buen problema, es señal de un trabajo exitoso.
Por lo tanto, estudiar en la escuela conceptos como "Máximo común divisor (MCD)" y "Mínimo común múltiplo (LCD)" de números
Le permite ahorrar tiempo asignado para completar el trabajo, lo que conduce a un aumento significativo en el volumen de tareas completadas;
Aumenta la velocidad y precisión en la realización de operaciones aritméticas, lo que conduce a una reducción significativa en la cantidad de errores computacionales;
Le permite encontrar formas hermosas de resolver problemas de texto no estándar;
Desarrolla la curiosidad de los estudiantes, amplía sus horizontes;
Crea los requisitos previos para la formación de una personalidad creativa versátil.
Muchos divisores
Consideremos el siguiente problema: encuentre el divisor del número 140. Obviamente, el número 140 no tiene un divisor, sino varios. En tales casos se dice que el problema tiene un montón de decisiones. Encontrémoslos a todos. Primero que nada, descompongamos. numero dado en factores primos:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Ahora podemos escribir fácilmente todos los divisores. Comencemos con los factores primos, es decir, aquellos que están presentes en la expansión anterior:
Luego anotamos los que se obtienen por multiplicación por pares de divisores primos:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Luego, aquellos que contienen tres divisores primos:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Por último, no olvidemos la unidad y el propio número descompuesto:
Todos los divisores que encontramos forman un montón de divisores del número 140, que se escribe entre llaves:
Conjunto de divisores del número 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Para facilitar la percepción, hemos escrito los divisores aquí ( elementos del conjunto) en orden ascendente, pero, en general, esto no es necesario. Además, introducimos una abreviatura de notación. En lugar de “Conjunto de divisores del número 140” escribiremos “D(140)”. De este modo,
De la misma forma, puedes encontrar el conjunto de divisores de cualquier otro número natural. Por ejemplo, de la descomposición
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
obtenemos:
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
Del conjunto de todos los divisores se debe distinguir el conjunto de divisores simples, que para los números 140 y 105 son iguales, respectivamente:
PD(140) = (2, 5, 7).
PD(105) = (3, 5, 7).
Cabe destacar especialmente que en la descomposición del número 140 en factores primos, los dos aparecen dos veces, mientras que en el conjunto PD(140) solo hay uno. El conjunto de PD(140) es, en esencia, todas las respuestas al problema: "Encuentra el factor primo del número 140". Está claro que no se debe repetir la misma respuesta más de una vez.
Reducir fracciones. Máximo común divisor
Considere la fracción
Sabemos que esta fracción se puede reducir a un número que es a la vez divisor del numerador (105) y divisor del denominador (140). Miremos los conjuntos D(105) y D(140) y escribámoslos. elementos comunes.
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
Elementos comunes de los conjuntos D(105) y D(140) =
La última igualdad se puede escribir más brevemente, a saber:
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).
Aquí el icono especial “∩” (“bolsa con el agujero hacia abajo”) indica que de los dos conjuntos escritos según lados diferentes a partir de él, debe seleccionar solo elementos comunes. La entrada "D(105) ∩ D(140)" dice " intersección conjuntos de De de 105 y De de 140”.
[Tenga en cuenta que puede realizar varias operaciones binarias con conjuntos, casi como con números. Otra operación binaria común es Unión, que se indica con el icono “∪” (“bolsa con el agujero hacia arriba”). La unión de dos conjuntos incluye todos los elementos de ambos conjuntos:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]
Entonces descubrimos que la fracción
se puede reducir por cualquiera de los números que pertenecen al conjunto
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)
y no puede reducirse por ningún otro número natural. Eso es todo formas posibles abreviaturas (excepto la poco interesante abreviatura de uno):
Obviamente, lo más práctico es reducir la fracción a un número lo más grande posible. EN en este caso este es el numero 35, que dicen que es máximo común divisor (MCD) números 105 y 140. Esto se escribe como
MCD(105, 140) = 35.
Sin embargo, en la práctica, si nos dan dos números y necesitamos encontrar su máximo común divisor, no deberíamos construir ningún conjunto. Basta simplemente descomponer ambos números en factores primos y resaltar aquellos de estos factores que son comunes a ambas descomposiciones, por ejemplo:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Multiplicando los números subrayados (en cualquiera de las expansiones), obtenemos:
mcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Eso sí, es posible que haya más de dos factores subrayados:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
De esto queda claro que
mcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Mención especial merece la situación cuando no hay ningún factor común y no hay nada que destacar, por ejemplo:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
En este caso,
MCD(42, 55) = 1.
Dos números naturales para los cuales MCD es igual a uno se llaman mutuamente primos. Si haces una fracción a partir de tales números, por ejemplo,
entonces tal fracción es irreducible.
En términos generales, la regla para reducir fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
|
a/ mcd( a, b) |
|||
|
b/ mcd( a, b) |
Aquí se supone que a Y b son números naturales y la fracción entera es positiva. Si ahora sumamos un signo menos a ambos lados de esta igualdad, obtenemos la regla correspondiente para fracciones negativas.
Sumar y restar fracciones. Minimo común multiplo
Supongamos que necesitas calcular la suma de dos fracciones:
Ya sabemos cómo se descomponen los denominadores en factores primos:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
De esta descomposición se deduce inmediatamente que, para llevar fracciones a un denominador común, basta con multiplicar el numerador y el denominador de la primera fracción por 2 ∙ 2 (el producto de los factores primos no enfatizados del segundo denominador), y el numerador y denominador de la segunda fracción por 3 (“producto” factores primos átonos del primer denominador). Como resultado, los denominadores de ambas fracciones serán iguales a un número que se puede representar de la siguiente manera:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Es fácil ver que ambos denominadores originales (tanto 105 como 140) son divisores del número 420, y el número 420, a su vez, es un múltiplo de ambos denominadores, y no solo un múltiplo, es minimo común multiplo (CON) números 105 y 140. Está escrito así:
MCM(105, 140) = 420.
Observando más de cerca la descomposición de los números 105 y 140, vemos que
105 ∙ 140 = MCD(105, 140) ∙ MCD(105, 140).
De manera similar, para números naturales arbitrarios b Y d:
b ∙ d= LOC( b, d) ∙ MCD( b, d).
Ahora completemos la suma de nuestras fracciones:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Nota. Para resolver algunos problemas necesitas saber cuál es el cuadrado de un número. Cuadrar el numero a número llamado a, multiplicado por sí mismo, es decir a∙a. (Como es fácil ver, es igual al área de un cuadrado de lado a). |
