Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base del prisma, necesitarás entender qué tipo tiene.
teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen forma de paralelogramo. Además, su base puede ser cualquier poliedro, desde un triángulo hasta un n-gón. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales es que pueden variar significativamente de tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede requerir conocimiento de la superficie lateral, es decir, de todas las caras que no son bases. Superficie completa ya habrá unión de todas las caras que componen el prisma.
A veces los problemas tienen que ver con la altura. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
Prisma triangular
Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Como sabes, puede ser diferente. Si es así, basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para averiguar el área de la base en vista general, las fórmulas serán útiles: Garza y aquella en la que la mitad del lado se lleva a la altura que se le dibuja.
La primera fórmula debe escribirse de la siguiente manera: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Esta notación contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si necesitas saber el área de la base. prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta equilátero. Hay una fórmula para ello: S = ¼ a 2 * √3.
Prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitarás tu propia fórmula.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = ab, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula mediante la fórmula del cuadrado. Porque es él quien está en el fundamento. S = un 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S = a * n a. Sucede que se dan el lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, necesitarás usar una fórmula adicional: n a = b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b" y la altura n es opuesta a este ángulo.
Si hay un rombo en la base del prisma, para determinar su área necesitarás la misma fórmula que para un paralelogramo (ya que es un caso especial). Pero también puedes usar esto: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.
Como la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Utilizando el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono de la base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Sólo hay que multiplicarlo por seis.
La fórmula quedará así: S = 3/2 a 2 * √3.
Tareas
No. 1. Dada una recta regular, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm, Calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base del prisma es un cuadrado, pero se desconoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 = re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento “x” es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 = a 2 + a 2. Por tanto resulta que a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Sustituye el número 22 en lugar de d, y reemplaza "n" con su valor - 14, resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm, ahora solo descubre el área de la base: 12 * 12 = 144 cm 2.
Para saber el área de toda la superficie, debes sumar el doble del área de la base y cuadriplicar el área lateral. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula de un rectángulo: multiplica la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. La superficie total del prisma resulta ser 960 cm 2.
Respuesta. El área de la base del prisma es 144 cm 2. La superficie total es de 960 cm 2.
No. 2. Dado que en la base hay un triángulo de 6 cm de lado, en este caso la diagonal de la cara lateral es de 10 cm, calcula las áreas: la base y la superficie lateral.
Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser 6 al cuadrado, multiplicada por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.
Todo caras laterales son idénticos y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente esa misma cantidad de caras laterales. Entonces el área de la superficie lateral de la herida resulta ser 180 cm 2.
Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Estas son las figuras tridimensionales más comunes entre otras similares que se encuentran en la vida cotidiana y en la naturaleza. La estereometría, o geometría espacial, estudia sus propiedades. En este artículo discutiremos la cuestión de cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular, así como de uno cuadrangular y hexagonal.
¿Qué es un prisma?
Antes de calcular el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular y otros tipos de esta figura, debes entender cuáles son. Luego aprenderemos a determinar las cantidades de interés.
Un prisma, desde el punto de vista de la geometría, es un cuerpo volumétrico que está delimitado por dos polígonos idénticos arbitrarios yn paralelogramos, donde n es el número de lados de un polígono. Dibujar una figura así es fácil, para ello debes dibujar algún tipo de polígono. Luego dibuja un segmento de cada uno de sus vértices que será igual de largo y paralelo a todos los demás. Luego debes conectar los extremos de estas líneas para obtener otro polígono igual al original.
Arriba puedes ver que la figura está limitada por dos pentágonos (se llaman bases inferior y superior de la figura) y cinco paralelogramos, que corresponden a los rectángulos de la figura.
Todos los prismas se diferencian entre sí en dos parámetros principales:
- el tipo de polígono subyacente a la figura;
- Ángulos entre paralelogramos y bases.
El número de lados de un rectángulo le da el nombre a un prisma. De aquí obtenemos las figuras triangulares, hexagonales y cuadrangulares antes mencionadas.
También difieren en la cantidad de pendiente. En cuanto a los ángulos marcados, si son iguales a 90 o, entonces dicho prisma se llama recto o rectangular (el ángulo de inclinación es cero). Si alguno de los ángulos no es recto, entonces la figura se llama oblicua. La diferencia entre ellos es clara a primera vista. La siguiente imagen muestra estas variedades.
Como puede ver, la altura h coincide con la longitud de su borde lateral. En el caso de un ángulo oblicuo, este parámetro siempre es menor.
¿Qué prisma se llama correcto?
Dado que debemos responder a la pregunta de cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma regular (triangular, cuadrangular, etc.), debemos definir este tipo de figura volumétrica. Analicemos el material con más detalle.
El prisma correcto es figura rectangular, en el que un polígono regular forma bases idénticas. Esta figura puede ser un triángulo equilátero, un cuadrado u otros. Cualquier n-gón cuyas longitudes de lados y ángulos sean iguales será regular.
En la siguiente figura se muestran esquemáticamente varios de estos prismas.
Superficie lateral del prisma
Como se dijo en esta figura consta de n + 2 planos, que, al cruzarse, forman n + 2 caras. Dos de ellos pertenecen a las bases, el resto están formados por paralelogramos. El área de toda la superficie consiste en la suma de las áreas de las caras indicadas. Si no incluimos los valores de las dos bases, entonces obtenemos la respuesta a la pregunta de cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma. Por lo tanto, puede determinar su significado y sus bases por separado.
A continuación se muestra para qué superficie lateral formado por tres cuadriláteros.
Consideremos más a fondo el proceso de cálculo. Evidentemente, el área de la superficie lateral del prisma es igual a la suma de las n áreas de los paralelogramos correspondientes. Aquí n es el número de lados del polígono que forma la base de la figura. El área de cada paralelogramo se puede encontrar multiplicando la longitud de su lado por su altura. Esto se aplica al caso general.
Si el prisma en estudio es recto, entonces el procedimiento para determinar el área de su superficie lateral S b se simplifica enormemente, ya que dicha superficie consta de rectángulos. En este caso, puedes utilizar la siguiente fórmula:
Donde h es la altura de la figura, P o es el perímetro de su base
Prisma regular y su superficie lateral.
En el caso de tal cifra, la fórmula dada en el párrafo anterior adquiere una forma muy específica. Dado que el perímetro de un n-gón es igual al producto del número de sus lados por la longitud de uno, se obtiene la siguiente fórmula:
Donde a es la longitud del lado del n-gón correspondiente.
Superficie lateral de cuadrangular y hexagonal.
Usemos la fórmula anterior para determinar los valores requeridos para los tres tipos de formas indicados. Los cálculos se verán así:
Para una fórmula triangular tomará la forma:
Por ejemplo, el lado de un triángulo mide 10 cm y la altura de la figura es 7 cm, entonces:
S 3 b = 3*10*7 = 210 cm 2
En el caso de un prisma cuadrangular, la expresión deseada toma la forma:
Si tomamos los mismos valores de longitud que en el ejemplo anterior, obtenemos:
S 4 b = 4*10*7 = 280 cm 2
El área de la superficie lateral de un prisma hexagonal se calcula mediante la fórmula:
Sustituyendo los mismos números que en los casos anteriores, tenemos:
S 6 b = 6*10*7 = 420 cm 2
Obsérvese que en el caso de un prisma regular de cualquier tipo, su superficie lateral está formada por rectángulos idénticos. En los ejemplos anteriores, el área de cada uno de ellos era a*h = 70 cm 2.
Cálculo de un prisma oblicuo.
Determinar el valor del área de la superficie lateral de una figura determinada es algo más difícil que de una rectangular. Sin embargo, la fórmula anterior sigue siendo la misma, solo que en lugar del perímetro de la base se debe tomar el perímetro de corte perpendicular, y en lugar de la altura, se debe tomar la longitud del borde lateral.
La imagen de arriba muestra un prisma oblicuo cuadrangular. El paralelogramo sombreado es el corte perpendicular cuyo perímetro P sr debe calcularse. La longitud del borde lateral en la figura se indica con la letra C. Luego obtenemos la fórmula:
El perímetro del corte se puede encontrar si se conocen los ángulos de los paralelogramos que forman la superficie lateral.
El curso en vídeo "Obtén una A" incluye todos los temas que necesitas completar con exito Examen Estatal Unificado de Matemáticas por 60-65 puntos. Completamente todos los problemas 1-13 Perfil Examen estatal unificado matemáticas. También apto para aprobar el Examen Estatal Unificado Básico de Matemáticas. Si quieres aprobar el Examen Estatal Unificado con 90-100 puntos, ¡debes resolver la parte 1 en 30 minutos y sin errores!
Curso de preparación para el Examen del Estado Unificado para los grados 10-11, así como para docentes. Todo lo que necesitas para resolver la Parte 1 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas (los primeros 12 problemas) y el Problema 13 (trigonometría). Y esto son más de 70 puntos en el Examen Estatal Unificado, y ni un estudiante de 100 puntos ni un estudiante de humanidades pueden prescindir de ellos.
Toda la teoría necesaria. Maneras rápidas Soluciones, trampas y secretos del Examen Estatal Unificado. Se han analizado todas las tareas actuales de la parte 1 del Banco de tareas FIPI. El curso cumple plenamente con los requisitos del Examen Estatal Unificado 2018.
El curso contiene 5 grandes temas, de 2,5 horas cada uno. Cada tema se da desde cero, de forma sencilla y clara.
Cientos de tareas del Examen Estatal Unificado. Problemas verbales y teoría de la probabilidad. Algoritmos simples y fáciles de recordar para la resolución de problemas. Geometría. Teoría, material de referencia, análisis de todo tipo de tareas del Examen Estatal Unificado. Estereometría. Soluciones complicadas, trucos útiles, desarrollo de la imaginación espacial. Trigonometría desde cero hasta el problema 13. Comprender en lugar de abarrotar. Explicaciones claras de conceptos complejos. Álgebra. Raíces, potencias y logaritmos, función y derivada. Base para la solución tareas complejas 2 partes del Examen del Estado Unificado.
Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.
Recopilación y uso de información personal.
La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.
Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.
A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.
Qué información personal recopilamos:
- Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección. Correo electrónico etc.
Cómo usamos tu información personal:
- La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
- De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
- También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
- Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.
Divulgación de información a terceros
No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.
Excepciones:
- Si es necesario, de conformidad con la ley, el procedimiento judicial, los procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de agencias gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia: divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, cumplimiento de la ley u otros fines de importancia pública.
- En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.
Protección de información personal
Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.
Respetando su privacidad a nivel de empresa
Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.
El área de la superficie lateral del prisma. ¡Hola! En esta publicación analizaremos un grupo de problemas en estereometría. Consideremos una combinación de cuerpos: un prisma y un cilindro. En este momento Este artículo completa toda la serie de artículos relacionados con la consideración de tipos de tareas en estereometría.
Si aparecen nuevos en el banco de tareas, entonces, por supuesto, habrá adiciones al blog en el futuro. Pero lo que ya hay es suficiente para que aprendas a resolver todos los problemas con una respuesta corta como parte del examen. Habrá suficiente material para los próximos años (el programa de matemáticas es estático).
Las tareas presentadas implican calcular el área de un prisma. Observo que a continuación consideramos un prisma recto (y, en consecuencia, un cilindro recto).
Sin conocer fórmulas, entendemos que la superficie lateral de un prisma son todas sus caras laterales. Un prisma recto tiene caras laterales rectangulares.
El área de la superficie lateral de dicho prisma es igual a la suma de las áreas de todas sus caras laterales (es decir, rectángulos). Si hablamos de un prisma regular en el que está inscrito un cilindro, entonces está claro que todas las caras de este prisma son rectángulos IGUAL.
Formalmente, el área de la superficie lateral de un prisma regular se puede reflejar de la siguiente manera:
27064. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio base y altura son iguales a 1. Encuentre el área de la superficie lateral del prisma.
La superficie lateral de este prisma consta de cuatro rectángulos de igual área. La altura de la cara es 1, el borde de la base del prisma es 2 (estos son dos radios del cilindro), por lo tanto el área de la cara lateral es igual a:
Superficie lateral:
73023. Calcula el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio base es √0,12 y altura 3.
El área de la superficie lateral de un prisma dado es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales (rectángulos). Para encontrar el área de la cara lateral, necesitas saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura es tres. Encontremos la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos un triángulo regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √0,12. Del triángulo rectángulo AOC podemos encontrar AC. Y luego AD (AD=2AC). Por definición de tangente:
Esto significa AD = 2AC = 1,2. Por lo tanto, el área de la superficie lateral es igual a:
27066. Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular circunscrito a un cilindro cuyo radio base es √75 y altura es 1.
El área requerida es igual a la suma de las áreas de todas las caras laterales. Un prisma hexagonal regular tiene caras laterales que son rectángulos iguales.
Para encontrar el área de una cara, necesitas saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura se conoce, es igual a 1.
Encontremos la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos hexágono regular, en el que está inscrito un círculo de radio √75.
Considere el triángulo rectángulo ABO. Conocemos el cateto OB (este es el radio del cilindro). También podemos determinar el ángulo AOB, es igual a 300 (el triángulo AOC es equilátero, OB es bisectriz).
Usemos la definición de tangente en un triángulo rectángulo:
AC = 2AB, ya que OB es la mediana, es decir, divide a AC por la mitad, lo que significa AC = 10.
Así, el área de la cara lateral es 1∙10=10 y el área de la superficie lateral es:
76485. Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular inscrito en un cilindro cuyo radio base es 8√3 y altura 6.
El área de la superficie lateral del prisma especificado de tres caras del mismo tamaño (rectángulos). Para encontrar el área, necesitas saber la longitud del borde de la base del prisma (conocemos la altura). Si consideramos la proyección (vista superior), tenemos un triángulo regular inscrito en un círculo. El lado de este triángulo se expresa en términos de radio como:
Detalles de esta relación. Entonces será igual
Entonces el área de la cara lateral es: 24∙6=144. Y el área requerida:
245354. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio base es 2. El área de la superficie lateral del prisma es 48. Encuentre la altura del cilindro.
