Información general sobre un prisma recto
La superficie lateral del prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama suma áreas de las caras laterales. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura del prisma, es decir, la longitud de la nervadura lateral.
Evidencia. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma, y \u200b\u200blas alturas son iguales a la longitud de las nervaduras laterales. De ahí se deduce que la superficie lateral del prisma es
S \u003d una 1 l + una 2 l + ... + una norte l \u003d pl,
donde a 1 y n son las longitudes de los bordes de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de los bordes laterales. Se demuestra el teorema.
Tarea practica
Desafío (22) ... En un prisma inclinado, secciónperpendicular a las nervaduras laterales e intersectando todas las nervaduras laterales. Encuentre la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección transversal es py los bordes laterales son l.
Decisión. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a una transferencia paralela, que alinea las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, en el que la base es la sección del prisma original y los bordes laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Por tanto, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.
Resumiendo el tema tratado
Y ahora intentemos resumir el tema anterior sobre un prisma y recordar qué propiedades tiene un prisma.
Propiedades del prisma
Primero, para un prisma, todas sus bases son polígonos iguales;
En segundo lugar, en el caso de un prisma, todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura tan multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;
Además, debe recordarse que los poliedros como los prismas pueden ser rectos y oblicuos.
¿Qué prisma se llama línea recta?
Si el borde lateral del prisma es perpendicular al plano de su base, entonces dicho prisma se llama línea recta.
No será superfluo recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.
¿Qué tipo de prisma se llama oblicuo?
Pero si el borde lateral del prisma no está ubicado perpendicular al plano de su base, entonces podemos decir con seguridad que se trata de un prisma inclinado.
¿Qué prisma se llama correcto?
Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es correcto.
Ahora recordemos las propiedades que posee el prisma correcto.
Propiedades correctas del prisma
Primero, los polígonos regulares siempre sirven como bases de un prisma regular;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, entonces siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las costillas laterales, en el prisma correcto siempre son iguales.
Cuarto, el prisma correcto siempre es recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales son cuadradas, esa figura se suele denominar polígono semirregular.
Sección de prisma
Ahora veamos la sección del prisma:
Deberes
Ahora intentemos consolidar el tema estudiado resolviendo problemas.
Dibujemos un prisma triangular oblicuo, en el que la distancia entre sus bordes será igual a: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será de 60 cm2. Con estos parámetros, encuentre el borde lateral de este prisma.
Sabías que las formas geométricas nos rodean constantemente no solo en las lecciones de geometría, sino que en la vida cotidiana hay objetos que se asemejan a una u otra figura geométrica.
Cada hogar, escuela o trabajo tiene una computadora, cuya unidad del sistema tiene la forma de un prisma recto.
Si toma un lápiz simple, verá que la parte principal del lápiz es un prisma.
Caminando por la calle principal de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies hay una loseta que tiene forma de prisma hexagonal.
A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas
El curso de video "Obtenga una A" incluye todos los temas necesarios para aprobar con éxito el examen de matemáticas con 60-65 puntos. Completamente todas las tareas 1-13 del examen estatal unificado de perfil en matemáticas. También apto para aprobar el examen básico de matemáticas. Si quieres aprobar el examen por 90-100 puntos, ¡debes resolver la parte 1 en 30 minutos y sin errores!
Curso de preparación para el examen para los grados 10-11, así como para profesores. Todo lo necesario para resolver la parte 1 del USE en matemáticas (primeros 12 problemas) y el problema 13 (trigonometría). Y esto es más de 70 puntos en el Examen Estatal Unificado, y ni un estudiante de cien puntos ni un estudiante de humanidades pueden prescindir de ellos.
Toda la teoría necesaria. Soluciones rápidas, trampas y secretos del examen. Se han analizado todas las tareas relevantes de la parte 1 del FIPI Task Bank. El curso cumple con los requisitos del Examen del Estado Unificado-2018.
El curso contiene 5 grandes temas, de 2,5 horas cada uno. Cada tema se da desde cero, simple y claro.
Cientos de exámenes. Problemas verbales y teoría de la probabilidad. Algoritmos simples y fáciles de recordar para resolver problemas. Geometría. Teoría, material de referencia, análisis de todo tipo de asignaciones de USO. Estereometría. Trucos complicados, hojas de trucos útiles, desarrollo de la imaginación espacial. Trigonometría desde cero hasta el problema 13. Comprensión en lugar de abarrotar. Explicación visual de conceptos complejos. Álgebra. Raíces, grados y logaritmos, función y derivada. La base para la resolución de problemas complejos de la 2ª parte del examen.
Los polígonos ABCDE y FHKMP, situados en planos paralelos, se denominan bases del prisma, la perpendicular OO 1, que cae desde cualquier punto de la base al plano de otro, se denomina altura del prisma. Paralelogramos ABHF, BCKH, etc. se denominan caras laterales del prisma, y \u200b\u200bsus lados SC, DM, etc., que conectan los vértices correspondientes de las bases, son aristas laterales. En un prisma, todos los bordes laterales son iguales entre sí como segmentos de líneas rectas paralelas, encerrados entre planos paralelos.
El prisma se llama recto ( figura 282, b) u oblicua ( figura 282, c) dependiendo de si sus bordes laterales son perpendiculares o inclinados a las bases. Un prisma recto tiene caras laterales: rectángulos. El borde lateral puede tomarse como la altura de dicho prisma.
Un prisma recto se llama regular si sus bases son polígonos regulares. Todas las caras laterales de tal prisma son rectángulos iguales.
Para representar un prisma en un dibujo complejo, debe conocer y poder representar los elementos que lo componen (punto, figura recta, plana).
y su imagen en el dibujo integrado (Fig.283, a - y)
a) Dibujo complejo de un prisma. La base del prisma se ubica en el plano de las proyecciones P 1; una de las caras laterales del prisma es paralela al plano de las proyecciones P2.
b) La base inferior del prisma DEF es una figura plana: un triángulo regular ubicado en el plano P 1; el lado del triángulo DE es paralelo al eje x 12 - La proyección horizontal se fusiona con la base dada y, por lo tanto, es igual a su valor natural; la proyección frontal se fusiona con el eje x 12 y es igual al lado de la base del prisma.
c) La base superior del prisma ABC es una figura plana, un triángulo ubicado en el plano horizontal. La proyección horizontal se funde con la proyección de la base inferior y la recubre consigo misma, ya que el prisma es recto; Proyección frontal: recta, paralela al eje x 12, a una distancia de la altura del prisma.
d) La cara lateral del prisma ABED es una figura plana, un rectángulo que se encuentra en el plano frontal. Proyección frontal: un rectángulo igual al tamaño natural de la cara; Proyección horizontal: una línea recta igual al lado de la base del prisma.
e) yf) Las caras laterales del prisma ACFD y CBEF son figuras planas: rectángulos que se encuentran en planos de proyección horizontales ubicados en un ángulo de 60 ° con el plano de proyecciones P 2. Las proyecciones horizontales son líneas rectas ubicadas al eje x 12 en un ángulo de 60 °, y son iguales al tamaño natural de los lados de la base del prisma; Las proyecciones frontales son rectángulos, cuya imagen es menor que el tamaño real: dos lados de cada rectángulo son iguales a la altura del prisma.
g) El borde AD del prisma es una línea recta perpendicular al plano de las proyecciones P 1. Proyección horizontal - punto; frontal - recto, perpendicular al eje x 12, igual al borde lateral del prisma (la altura del prisma).
h) Lado AB de la base superior - recto, paralelo a los planos P 1 y P 2. Las proyecciones horizontal y frontal son líneas rectas paralelas al eje x 12 e iguales al lado de la base dada del prisma. La proyección frontal está espaciada del eje x 12 a una distancia igual a la altura del prisma.
i) La parte superior del prisma. Punto E: la parte superior de la base inferior se encuentra en el plano P 1. La proyección horizontal coincide con el propio punto; frontal: se encuentra en el eje x 12. El punto C, la parte superior de la base superior, está ubicado en el espacio. La proyección horizontal tiene profundidad; frontal: una altura igual a la altura de este prisma.
Esto implica: al diseñar cualquier poliedro, es necesario desmembrarlo mentalmente en sus elementos constitutivos y determinar el orden de su representación, consistente en operaciones gráficas secuenciales. En (Fig. 284 y Fig. 285), se muestran ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo y una imagen visual (axonometría) de prismas.
(Figura 284).
Dado:
1. La base está ubicada en el plano de proyecciones P 1.
2. Ninguno de los lados de la base es paralelo al eje x 12.
I. Dibujo integrado.
I a. Diseñamos la base inferior: un polígono, según la condición, que se encuentra en el plano P 1.
Yo, b. Diseñamos la base superior: un polígono igual a la base inferior con lados correspondientemente paralelos a la base inferior, separados de la base inferior por la altura H de este prisma.
Yo, c. Diseñamos los bordes laterales del prisma: los segmentos ubicados en paralelo; sus proyecciones horizontales son puntos que se fusionan con las proyecciones de las cimas de las bases; frontales - segmentos (paralelos) obtenidos de la conexión por líneas rectas de las proyecciones del mismo nombre de la parte superior de las bases. Las proyecciones frontales de los bordes, extraídas de las proyecciones de los vértices B y C de la base inferior, se representan con líneas discontinuas, como invisibles.
Carné de identidad. Dado: proyección horizontal F 1 punto F en la base superior y proyección frontal K 2 punto K en la cara lateral. Se requiere determinar las ubicaciones de sus segundas proyecciones.
Para el punto F. La segunda proyección (frontal) F 2 del punto F coincidirá con la proyección de la base superior, como un punto que se encuentra en el plano de esta base; su lugar está determinado por la línea de comunicación vertical.
Para el punto K - La segunda proyección (horizontal) K 1 del punto K coincidirá con la proyección horizontal de la cara lateral, como un punto que se encuentra en el plano de la cara; su lugar está determinado por la línea de comunicación vertical.
II. Despliegue de la superficie del prisma - una figura plana formada por caras laterales - rectángulos, en la que dos lados son iguales a la altura del prisma y los otros dos son iguales a los lados correspondientes de la base, y a partir de dos bases iguales - polígonos irregulares.
Las dimensiones naturales de las bases y lados de las caras, necesarias para construir el barrido, se revelan en los salientes; los usamos para construir; en línea recta, separamos sucesivamente los lados AB, BC, CD, DE y ЕA del polígono, las bases del prisma tomadas de la proyección horizontal. Sobre las perpendiculares trazadas desde los puntos A, B, C, D, E y A, posponemos la altura H de este prisma tomado de la proyección frontal y trazamos una línea recta a través de las marcas. Como resultado, obtenemos un escaneo de las caras laterales del prisma.
Si adjuntamos las bases del prisma a este escaneo, obtenemos un escaneo de la superficie completa del prisma. Las bases del prisma deben fijarse a la cara lateral correspondiente mediante el método de triangulación.
En la base superior del prisma, usando los radios R y R 1, determinamos la ubicación del punto F, y en la cara lateral usando el radio R 3 y H 1 - el punto K.
III. Una representación visual de un prisma en dimetría.
III, a. Representamos la base inferior del prisma mediante las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E (Fig. 284 I, a).
III, b. Representamos la base superior paralela a la inferior, separada de ella por la altura H del prisma.
III, c. Representamos los bordes laterales, para lo cual conectamos los vértices correspondientes de las bases con líneas rectas. Determine los elementos visibles e invisibles del prisma y delimítelos con las líneas adecuadas,
III, d) Determine los puntos F y K en la superficie del prisma - Punto F - en la base superior, lo determinamos usando las dimensiones iye; punto K - en la cara lateral usando i 1 y H ".
Para obtener una vista isométrica del prisma y determinar las ubicaciones de los puntos F y K, siga la misma secuencia.
figura 285).
Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Las nervaduras laterales son paralelas al plano П 2.
3. Ningún lado de la base es paralelo al eje x 12
I. Dibujo integrado.
I a. Diseñamos de acuerdo con esta condición: la base inferior es un polígono que se encuentra en el plano P 1, y el borde lateral es un segmento paralelo al plano P 2 e inclinado al plano P 1.
Yo, b. Diseñamos el resto de los bordes laterales: los segmentos iguales y paralelos al primer borde CE.
Yo, c. Diseñamos la base superior del prisma como un polígono, igual y paralelo a la base inferior, obtenemos un dibujo complejo del prisma.
Revelamos elementos invisibles en proyecciones. La proyección frontal del borde BM y la proyección horizontal del lateral del CD base se dibujan con líneas punteadas como invisibles.
I, d. Se le da una proyección frontal Q 2 del punto Q en la proyección A 2 K 2 F 2 D 2 de la cara lateral; se requiere encontrar su proyección horizontal. Para ello, dibuje a través del punto Q 2 en la proyección A 2 K 2 F 2 D 2 de la cara del prisma una línea recta auxiliar paralela a los bordes laterales de esta cara. Encontramos la proyección horizontal de la línea recta auxiliar y sobre ella, utilizando la línea de comunicación vertical, determinamos el lugar de la proyección horizontal requerida Q 1 del punto Q.
II. Despliegue de la superficie del prisma.
Teniendo las dimensiones naturales de los lados de la base en la proyección horizontal y las dimensiones de las nervaduras en la proyección frontal, puede construir una superficie completamente desplegada de este prisma.
Haremos rodar el prisma, girándolo cada vez alrededor del borde lateral, luego cada cara lateral del prisma en el plano dejará un rastro (paralelogramo) igual a su valor natural. Construiremos un barrido lateral en el siguiente orden:
a) de los puntos A 2, B 2, D 2. ... ... E 2 (proyecciones frontales de la parte superior de las bases) traza líneas rectas auxiliares perpendiculares a las proyecciones de las costillas;
b) con un radio R (igual al lado de la base CD) hacemos una muesca en el punto D en una recta auxiliar trazada desde el punto D 2; conectando los puntos rectos C 2 y D y dibujando líneas rectas paralelas a E 2 C 2 y C 2 D, obtenemos la cara lateral de CEFD;
c) luego, uniendo de manera similar las siguientes caras laterales, obtenemos un escaneo de las caras laterales del prisma. Para obtener un barrido completo de la superficie de este prisma, lo adjuntamos a las caras correspondientes de la base.
III. Una representación visual de un prisma en vista isométrica.
III, a. Representamos la base inferior del prisma y el borde CE, utilizando coordenadas según (
Definición. Prismaes un poliedro, cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en los mismos dos planos hay dos caras de prisma, que son polígonos iguales con lados correspondientemente paralelos, y todas las aristas que no se encuentran en estos planos son paralelas.
Dos caras iguales se llaman bases de prisma (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se denominan caras laterales (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Se forman todas las caras laterales superficie lateral del prisma .
Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .
Las costillas que no descansan en las bases se denominan bordes laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prisma diagonal se llama segmento, cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no se encuentran en una de sus caras (AD 1).
La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y es perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designacion:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Primero, los vértices de una base se indican en el orden de recorrido, y luego, en el mismo orden, los vértices de la otra; los extremos de cada borde lateral se indican con las mismas letras, solo los vértices que se encuentran en una base se indican con letras sin índice, y en la otra, con índice)
El nombre del prisma está asociado con el número de ángulos en la figura que se encuentra en su base, por ejemplo, en la Figura 1, hay un pentágono en la base, por lo que el prisma se llama prisma pentagonal... Pero desde tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro (2 caras - bases de prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)
Entre los prismas rectos, destaca un tipo particular: los prismas regulares.
El prisma recto se llama correcto,si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo es un prisma cuadrangular con un paralelogramo (paralelepípedo oblicuo) en su base. Paralelepípedo recto - un paralelepípedo con bordes laterales perpendiculares a los planos de la base.Paralelepípedo rectangular - paralelepípedo recto, cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares a las propiedades conocidas de un paralelogramo. Un paralelepípedo rectangular de iguales dimensiones se llama cubo
.Un cubo tiene todas sus caras iguales a cuadrados. El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a - lado del cuadrado.
La idea de un prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- elementos de diseño, etc.
Área de prisma completo y lateral
Superficie total del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras Superficie lateral llamado la suma de las áreas de sus caras laterales. las bases del prisma son iguales al polígono, entonces sus áreas son iguales. por lo tantoS completo \u003d lado S + 2S principal,
dónde S lleno- superficie total, Lado S - el área de la superficie lateral, S principal - área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma..
Lado S \u003d P principal * h,
dónde Lado S - el área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal: el perímetro de la base de un prisma recto,
h - la altura del prisma recto, igual al borde lateral.
Volumen del prisma
El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
