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Definición. Prisma- este es un poliedro, cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en los mismos dos planos se encuentran dos caras de prisma, que son polígonos iguales con lados correspondientemente paralelos, y todas las aristas que no se encuentran en estos planos son paralelas.
Dos caras iguales se llaman bases de prisma (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se denominan caras laterales (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Se forman todas las caras laterales superficie lateral del prisma .
Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .
Las costillas que no descansan en las bases se llaman bordes laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prisma diagonal se llama segmento, cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no descansan en una de sus caras (AD 1).
La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designacion:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Primero, los vértices de una base se indican en el orden de recorrido, y luego, en el mismo orden, los vértices de la otra; los extremos de cada borde lateral se indican con las mismas letras, solo los vértices que se encuentran en una base se indican con letras sin índice, y en la otra, con índice)
El nombre del prisma está asociado con el número de ángulos en la figura que se encuentra en su base, por ejemplo, en la Figura 1, un pentágono se encuentra en la base, por lo tanto, el prisma se llama prisma pentagonal... Pero desde tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro (2 caras - las bases del prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)
Entre los prismas rectos, destaca un tipo particular: los prismas regulares.
El prisma recto se llama correcto,si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo es un prisma cuadrangular con un paralelogramo (paralelepípedo oblicuo) en su base. Paralelepípedo recto - un paralelepípedo con bordes laterales perpendiculares a los planos de la base.Paralelepípedo rectangular - paralelepípedo recto, cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares a las propiedades conocidas de un paralelogramo. Un paralelepípedo rectangular de iguales dimensiones se llama cubo
. Un cubo tiene todas sus caras iguales a cuadrados. El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a - lado del cuadrado.
Una idea del prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- elementos de diseño, etc.
Área de prisma completo y lateral
Superficie total del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras Superficie lateral llamado la suma de las áreas de sus caras laterales. las bases del prisma son iguales al polígono, entonces sus áreas son iguales. por lo tantoS completo \u003d lado S + 2S principal,
dónde S lleno- superficie total, Lado S - el área de la superficie lateral, S principal - área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura del prisma..
Lado S \u003d P principal * h,
dónde Lado S - el área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal - perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura del prisma recto, igual al borde lateral.
Volumen del prisma
El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
Los diferentes prismas no son iguales. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debe averiguar qué tipo tiene.
Teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados laterales tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-gon. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Eso no se aplica a las caras laterales, pueden variar significativamente de tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario el conocimiento de la superficie lateral, es decir, todas las caras que no sean bases. La superficie completa ya será la unión de todas las caras que componen el prisma.
A veces, la altura aparece en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas formas en los bordes superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
Prisma triangular
Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces es suficiente recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
El registro matemático se ve así: S \u003d ½ av.
Para conocer el área de la base en general, son útiles las fórmulas: Garza y \u200b\u200baquella en la que se lleva la mitad del lado a la altura dibujada.
La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Este registro contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S \u003d ½ n a * a.
Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta ser equilátero. Hay una fórmula para ello: S \u003d ¼ a 2 * √3.
Prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadrángulos conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, se necesitará una fórmula diferente.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S \u003d ab, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien resulta estar en el fondo. S \u003d a 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * na. Sucede que se dan el lado del paralelepípedo y una de las esquinas. Luego, para calcular la altura, necesitará usar una fórmula adicional: n a \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es n a opuesta a este ángulo.
Si hay un rombo en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial). Pero también puedes usar esto: S \u003d ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de averiguar. Aunque sucede que las figuras pueden ser con diferente número de vértices.
Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él debe multiplicarse por seis.
La fórmula se verá así: S \u003d 3/2 y 2 * √3.
Tareas
№ 1. Dada una recta correcta, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm Calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.
Decisión. La base del prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puede encontrar su valor de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 \u003d re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento "x" es una hipotenusa en un triángulo, cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Sustituye 22 en lugar de d, y reemplaza "n" con su valor - 14, entonces resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm. Ahora solo averigua el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2.
Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del área de la base y cuadriplicar el lado. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula para un rectángulo: multiplique la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. La superficie total del prisma es de 960 cm 2.
Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm 2. Toda la superficie es de 960 cm 2.
№ 2. Dana En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: base y superficie lateral.
Decisión. Dado que el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área es igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un simple cálculo conduce al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplíquelos por tres, porque hay exactamente tantas caras laterales del prisma. Entonces el área de la superficie lateral es de 180 cm 2 de herida.
Responder. Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Poliedros
El objeto principal del estudio de la estereometría son los cuerpos espaciales. Cuerpo es una parte del espacio delimitada por una determinada superficie.
Poliedro Se denomina cuerpo cuya superficie consta de un número finito de polígonos planos. Se dice que un poliedro es convexo si está ubicado en un lado del plano de cada polígono plano en su superficie. La parte común de dicho plano y la superficie de un poliedro se llama borde... Las caras de un politopo convexo son polígonos convexos planos. Los lados de las caras se llaman bordes de poliedroy los vértices son los vértices del poliedro.
Por ejemplo, un cubo consta de seis cuadrados que son sus caras. Contiene 12 aristas (los lados de los cuadrados) y 8 vértices (la parte superior de los cuadrados).
Los poliedros más simples son los prismas y las pirámides, que estudiaremos más a fondo.
Prisma
Definición y propiedades de un prisma.
Prisma Se llama poliedro que consta de dos polígonos planos que se encuentran en planos paralelos combinados por traslación paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos polígonos. Los polígonos se llaman bases de prisma, y los segmentos que conectan los vértices correspondientes de los polígonos son bordes laterales del prisma.
La altura del prisma se llama la distancia entre los planos de sus bases (). Un segmento que conecta dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara se llama prisma diagonal (). El prisma se llama n-ángulosi hay un n-gon en su base.
Cualquier prisma tiene las siguientes propiedades, resultantes del hecho de que las bases del prisma están alineadas por transferencia paralela:
1. Las bases del prisma son iguales.
2. Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.
La superficie del prisma consta de bases y superficie lateral... La superficie lateral del prisma consta de paralelogramos (esto se deriva de las propiedades del prisma). El área de la superficie lateral del prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.
Prisma recto
El prisma se llama derechosi sus bordes laterales son perpendiculares a las bases. De lo contrario, el prisma se llama oblicuo.
Las caras de un prisma recto son rectángulos. La altura de un prisma recto es igual a sus caras laterales.
Superficie de prisma completa llamado la suma del área de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Prisma correcto llamado prisma recto con un polígono regular en la base.
Teorema 13.1... El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro por la altura del prisma (o, lo que es lo mismo, por el borde lateral).
Evidencia. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos, cuyas bases son los lados de los polígonos en las bases del prisma y las alturas son los bordes laterales del prisma. Entonces, por definición, el área de la superficie lateral es:
,
donde está el perímetro de la base del prisma recto.
Paralelepípedo
Si hay paralelogramos en las bases del prisma, entonces se llama paralelepípedo... Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. En este caso, las caras opuestas del paralelepípedo son paralelas e iguales.
Teorema 13.2... Las diagonales del paralelepípedo se intersecan en un punto y el punto de intersección se divide por la mitad.
Evidencia. Considere dos diagonales arbitrarias, por ejemplo, y. Porque las caras del paralelepípedo son paralelogramos, luego y, y por lo tanto, según T aproximadamente dos rectas paralelas a la tercera. Además, esto significa que las líneas y se encuentran en el mismo plano (plano). Este plano interseca planos paralelos y a lo largo de líneas paralelas y. Así, un cuadrilátero es un paralelogramo, y por la propiedad de un paralelogramo, sus diagonales y se cruzan y el punto de intersección se divide por la mitad, que es lo que se requería para demostrar.
Un paralelepípedo rectangular cuya base es un rectángulo se llama paralelepípedo rectangular... Todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos. Las longitudes de los bordes no paralelos de un paralelepípedo rectangular se denominan dimensiones lineales (medidas). Hay tres tamaños de este tipo (ancho, alto, largo).
Teorema 13.3... En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de cualquier diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
(probado con la ayuda de una doble aplicación de T Pitágoras).
Un paralelepípedo rectangular con todos los bordes iguales se llama cubo.
Tareas
13.1 ¿Cuántas diagonales tiene norte- prisma angular
13.2 En un prisma triangular oblicuo, las distancias entre las nervaduras laterales son 37, 13 y 40. Calcula la distancia entre el borde lateral más grande y el borde lateral opuesto.
13.3 A través del lado de la base inferior de un prisma triangular regular, se dibuja un plano que interseca las caras laterales a lo largo de los segmentos, cuyo ángulo. Encuentre el ángulo de inclinación de este plano a la base del prisma.
Definición 1. Superficie prismática
Teorema 1. En secciones paralelas de una superficie prismática
Definición 2. Sección perpendicular de una superficie prismática
Definición 3. Prisma
Definición 4. Altura del prisma
Definición 5. Prisma recto
Teorema 2. Área de la superficie lateral de un prisma
Paralelepípedo:
Definición 6. Paralelepípedo
Teorema 3. Sobre la intersección de las diagonales de un paralelepípedo
Definición 7. Paralelepípedo derecho
Definición 8. Paralelepípedo rectangular
Definición 9. Medidas de un paralelepípedo
Definición 10. Cubo
Definición 11. Romboedro
Teorema 4. Sobre las diagonales de un paralelepípedo rectangular
Teorema 5. Volumen de un prisma
Teorema 6. Volumen de un prisma recto
Teorema 7. Volumen de un paralelepípedo rectangular
Prisma Se llama poliedro en el que dos caras (bases) se encuentran en planos paralelos, y las aristas que no se encuentran en estas caras son paralelas entre sí.
Las caras distintas de las bases se llaman lateral.
Los lados de las caras laterales y las bases se llaman costillas de prisma, los extremos de las costillas se llaman partes superiores del prisma. Costillas laterales los bordes que no pertenecen a las bases se llaman. La unión de caras laterales se llama superficie lateral del prisma, y la unión de todos los rostros se llama superficie completa del prisma. La altura del prisma llamado perpendicular que cae desde el punto de la base superior al plano de la base inferior o la longitud de esta perpendicular. 
Prisma rectollamado prisma, en el que los bordes laterales son perpendiculares a los planos de las bases. 
Correcto llamado prisma recto (Fig. 3), en la base del cual se encuentra un polígono regular.
Leyenda:
l - costilla lateral;
P - perímetro de la base;
S o - área de la base;
H - altura;
P ^ - perímetro de la sección perpendicular;
S b - área de superficie lateral;
V es el volumen;
S p es el área de superficie total del prisma.
|
V \u003d SH |
*Se supone que cada dos planos consecutivos se cruzan y que el último plano cruza al primero
Teorema 1 ... Las secciones de una superficie prismática por planos paralelos entre sí (pero no paralelos a sus bordes) son polígonos iguales.
Sea ABCDE y A "B" C "D" E "secciones de una superficie prismática por dos planos paralelos. Para asegurarse de que estos dos polígonos son iguales, basta con mostrar que los triángulos ABC y A" B "C" son iguales y tienen la misma dirección de rotación y que lo mismo es cierto para los triángulos ABD y A "B" D ", ABE y A" B "E". Pero los lados correspondientes de estos triángulos son paralelos (por ejemplo, AC paralelo a A "C") como líneas de intersección de un cierto plano con dos planos paralelos; se deduce que estos lados son iguales (por ejemplo, AC es igual a A "C") como lados opuestos del paralelogramo y que los ángulos formados por estos lados son iguales y tienen la misma dirección.
Definición 2 ... La sección perpendicular de una superficie prismática se denomina sección de esta superficie por un plano perpendicular a sus bordes. Según el teorema anterior, todas las secciones perpendiculares de la misma superficie prismática serán polígonos iguales.
Definición 3
... Un prisma es un poliedro delimitado por una superficie prismática y dos planos paralelos entre sí (pero no paralelos a los bordes de la superficie prismática)
Los rostros que yacen en estos últimos planos se llaman bases de prisma; caras pertenecientes a una superficie prismática - caras laterales; bordes de una superficie prismática - bordes laterales del prisma... En virtud del teorema anterior, las bases del prisma son polígonos iguales... Todas las caras laterales del prisma - paralelogramos; todos los bordes laterales son iguales.
Obviamente, si se le da la base del prisma ABCDE y uno de los bordes AA "en tamaño y dirección, entonces puede construir un prisma dibujando los bordes BB", CC ", .., iguales y paralelos al borde AA".
Definición 4 ... La altura del prisma es la distancia entre los planos de sus bases (HH ").
Definición 5
... Un prisma se llama recto si sus bases son secciones perpendiculares de una superficie prismática. En este caso, la altura del prisma es, por supuesto, su costilla lateral; caras laterales rectángulos.
Los prismas se pueden clasificar por el número de caras laterales igual al número de lados del polígono que le sirve de base. Así, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
Teorema 2
... El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto del borde lateral por el perímetro de la sección perpendicular.
Sea ABCDEA "B" C "D" E "- este prisma y abcde - su sección perpendicular, de modo que los segmentos ab, bc, .. sean perpendiculares a sus bordes laterales. La cara ABA" B "es un paralelogramo; su área es igual al producto de la base AA "a una altura que coincide con ab; el área de la cara BCB "C" es igual al producto de la base BB "por la altura bc, etc. Por lo tanto, la superficie lateral (es decir, la suma de las áreas de la cara lateral) es igual al producto del borde lateral, es decir, la longitud total de los segmentos AA", BB ", .., por la cantidad ab + bc + cd + de + ea.
