Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar a qué tipo se parece.
teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-ágono. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales: pueden variar significativamente en tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no son bases. La superficie completa será ya la unión de todas las caras que forman el prisma.
A veces aparecen alturas en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que une por parejas dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
prisma triangular
Tiene en la base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para hallar el área de la base en vista general, son útiles las fórmulas: Garza y aquella en la que se lleva la mitad del lado a la altura trazada a él.
La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta equilátero. Tiene su propia fórmula: S = ¼ a 2 * √3.
prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará su propia fórmula.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = av, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, entonces el área de la base prisma recto calculado por la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien yace en la base. S \u003d un 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * n a. Sucede que se dan un lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, deberá usar una fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es na opuesta a este ángulo.
Si un rombo se encuentra en la base del prisma, se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial de este). Pero también puedes usar este: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso consiste en dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.
Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él se debe multiplicar por seis.
La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.
Tareas
No. 1. Se da una línea recta regular. Su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm. Calcule el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base de un prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por otro lado, este segmento "x" es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Sustituya el número 22 en lugar de d, y reemplace "n" con su valor: 14, resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora es fácil encontrar el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del valor del área base y cuadriplicar el lado. Este último es fácil de encontrar por la fórmula de un rectángulo: multiplicar la altura del poliedro y el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Se encuentra que el área de superficie total del prisma es de 960 cm 2 .
Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm2. Toda la superficie - 960 cm 2 .
No. 2. Dana En la base se encuentra un triángulo de 6 cm de lado. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.
Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.
Todo caras laterales idénticos y son rectángulos de 6 y 10 cm de lado, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente tantas caras laterales. Luego, el área de la superficie lateral se enrolla 180 cm 2 .
Responder.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
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El área de la superficie lateral del prisma. ¡Hola! En esta publicación, analizaremos un grupo de tareas sobre estereometría. Considere una combinación de cuerpos: un prisma y un cilindro. Por el momento, este artículo completa toda la serie de artículos relacionados con la consideración de tipos de tareas en estereometría.
Si aparecen nuevas tareas en el banco de tareas, entonces, por supuesto, habrá adiciones al blog en el futuro. Pero lo que ya hay es suficiente para que puedas aprender a resolver todos los problemas con una respuesta corta como parte del examen. El material será suficiente para los próximos años (el programa de matemáticas es estático).
Las tareas presentadas están relacionadas con el cálculo del área del prisma. Observo que a continuación consideramos un prisma recto (y, en consecuencia, un cilindro recto).
Sin saber ninguna fórmula, entendemos que superficie lateral prismas son todas sus caras laterales. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos.
El área de la superficie lateral de dicho prisma es igual a la suma de las áreas de todas sus caras laterales (es decir, rectángulos). Si hablamos de un prisma regular en el que está inscrito un cilindro, entonces es claro que todas las caras de este prisma son rectángulos IGUALES.
Formalmente, el área de la superficie lateral de un prisma regular se puede expresar de la siguiente manera:
27064. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio de base y altura son iguales a 1. Halla el área de la superficie lateral del prisma.
La superficie lateral de este prisma consta de cuatro rectángulos de igual área. La altura de la cara es 1, la arista de la base del prisma es 2 (estos son dos radios del cilindro), entonces el área de la cara lateral es:
Superficie lateral:
73023. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √0,12 y cuya altura es 3.
El área de la superficie lateral de este prisma es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales (rectángulos). Para encontrar el área de la cara lateral, necesita saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura es tres. Encuentra la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos un triángulo regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √0,12. Del triángulo rectángulo AOC podemos encontrar AC. Y luego AD (AD=2AC). Por definición de tangente:
Entonces AD \u003d 2AC \u003d 1.2 Por lo tanto, el área de la superficie lateral es igual a:
27066. Halla el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √75 y cuya altura es 1.
El área deseada es igual a la suma de las áreas de todas las caras laterales. Para un prisma hexagonal regular, las caras laterales son rectángulos iguales.
Para encontrar el área de una cara, necesitas saber su altura y la longitud de la arista base. La altura es conocida, es igual a 1.
Encuentra la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos hexágono regular, en la que está inscrita una circunferencia de radio √75.
Considere un triángulo rectángulo ABO. Conocemos el cateto OB (este es el radio del cilindro). también podemos determinar el ángulo AOB, es igual a 300 (el triángulo AOC es equilátero, OB es una bisectriz).
Usemos la definición de la tangente en un triángulo rectángulo:
AC \u003d 2AB, ya que OB es una mediana, es decir, divide AC por la mitad, lo que significa AC \u003d 10.
Así, el área de la cara lateral es 1∙10=10 y el área de la superficie lateral es:
76485. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular inscrito en un cilindro cuyo radio de base es 8√3 y cuya altura es 6.
El área de la superficie lateral del prisma especificado de tres caras de igual tamaño (rectángulos). Para encontrar el área, necesitas saber la longitud del borde de la base del prisma (sabemos la altura). Si consideramos la proyección (vista superior), entonces tenemos un triángulo regular inscrito en un círculo. El lado de este triángulo se expresa en términos del radio como:
Detalles de esta relación. asi sera igual
Entonces el área de la cara lateral es igual a: 24∙6=144. Y el área requerida:
245354. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito cerca de un cilindro cuyo radio base es 2. El área de la superficie lateral del prisma es 48. Encuentra la altura del cilindro.
Todo es simple. Tenemos cuatro caras laterales de igual área, por lo que el área de una cara es 48:4=12. Dado que el radio de la base del cilindro es 2, entonces el borde de la base del prisma será 4 temprano, es igual al diámetro del cilindro (estos son dos radios). Conocemos el área de la cara y una arista, siendo la segunda la altura será igual a 12:4=3.
27065. Halla el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio de base es √3 y cuya altura es 2.
Atentamente, Alejandro.
En geometría espacial, a la hora de resolver problemas con prismas, suele surgir un problema con el cálculo del área de los lados o caras que forman estas figuras tridimensionales. Este artículo está dedicado al tema de determinar el área de la base del prisma y su superficie lateral.
Prisma de figura
Antes de continuar con la consideración de las fórmulas para el área de la base y la superficie de un prisma de un tipo u otro, es necesario comprender de qué tipo de figura estamos hablando.
Un prisma en geometría es una figura espacial que consta de dos polígonos paralelos que son iguales entre sí y varios cuadriláteros o paralelogramos. El número de estos últimos siempre es igual al número de vértices de un polígono. Por ejemplo, si la figura está formada por dos n-ágonos paralelos, entonces el número de paralelogramos será n.
Los n-gons de conexión del paralelogramo se denominan lados del prisma, y su área total es el área de la superficie lateral de la figura. Los n-ágonos mismos se llaman bases.
La figura de arriba muestra un ejemplo de un prisma de papel. El rectángulo amarillo es su base superior. Sobre la segunda base de la misma figura se levanta. Los rectángulos rojo y verde son las caras laterales.
¿Qué son los prismas?
Hay varios tipos de prismas. Todos ellos se diferencian entre sí en tan solo dos parámetros:
- el tipo de n-ágono que forma las bases;
- ángulo entre el n-ágono y las caras laterales.
Por ejemplo, si las bases son triángulos, entonces el prisma se llama prisma triangular, si son cuadriláteros, como en la figura anterior, entonces la figura se llama prisma cuadrangular, y así sucesivamente. Además, el n-ágono puede ser convexo o cóncavo, entonces esta propiedad también se agrega al nombre del prisma.
El ángulo entre las caras laterales y la base puede ser recto, agudo u obtuso. En el primer caso, hablan de un prisma rectangular, en el segundo, de uno inclinado u oblicuo.
Los prismas regulares se distinguen en un tipo especial de figuras. Tienen la simetría más alta entre los otros prismas. Será correcto solo si es rectangular y su base es un n-ágono regular. La siguiente figura muestra un conjunto de prismas regulares, en los que el número de lados del n-ágono varía de tres a ocho.
superficie del prisma
La superficie de la figura considerada de tipo arbitrario se entiende como la totalidad de todos los puntos que pertenecen a las caras del prisma. Es conveniente estudiar la superficie de un prisma considerando su desarrollo. A continuación se muestra un ejemplo de tal barrido para un prisma triangular.
Se puede observar que toda la superficie está formada por dos triángulos y tres rectángulos.
En el caso de un prisma tipo general su superficie estará formada por dos bases n-gonales y n cuadriláteros.
Consideremos con más detalle el tema del cálculo del área de superficie de los prismas. diferentes tipos.
Area de la base de un prisma
Quizás el problema más simple al trabajar con prismas es el problema de encontrar el área de la base figura correcta. Como está formado por un n-ágono, en el que todos los ángulos y las longitudes de los lados son iguales, siempre es posible dividirlo en triángulos idénticos, para los cuales se conocen los ángulos y los lados. El área total de los triángulos será el área del n-ágono.
Otra forma de determinar la porción del área de la superficie de un prisma (base) es usar una fórmula conocida. Se parece a esto:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
Es decir, el área S n de un n-ágono se determina de manera única con base en el conocimiento de la longitud de su lado a. Alguna dificultad para calcular la fórmula puede ser el cálculo de la cotangente, especialmente cuando n>4 (para n≤4, los valores de la cotangente son datos tabulares). Para determinar esta función trigonométrica, se recomienda utilizar una calculadora.
Al plantear un problema geométrico, debe tener cuidado, ya que puede ser necesario encontrar el área de las bases del prisma. Luego, el valor obtenido por la fórmula se debe multiplicar por dos.
Area de la base de un prisma triangular
Usando el ejemplo de un prisma triangular, considere cómo puede encontrar el área de la base de esta figura.
Primero, considere un caso simple: un prisma regular. El área de la base se calcula de acuerdo con la fórmula dada en el párrafo anterior, debe sustituir n \u003d 3 en ella. Obtenemos:
S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2
Queda por sustituir en la expresión los valores específicos de la longitud del lado a de un triángulo equilátero para obtener el área de la base ósea.
Ahora supongamos que tenemos un prisma cuya base es un triángulo arbitrario. Se conocen sus dos lados a y b y el ángulo entre ellos α. Esta figura se muestra a continuación.
¿Cómo encontrar el área de la base de un prisma triangular en este caso? Hay que recordar que el área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto del lado y la altura bajada a este lado. La figura muestra la altura h al lado b. La longitud h corresponde al producto del seno del ángulo alfa y la longitud del lado a. Entonces el área de todo el triángulo es:
S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sen(α)
Esta es el área de la base del prisma triangular representado.
Superficie lateral
Descubrimos cómo encontrar el área de la base de un prisma. La superficie lateral de esta figura siempre consta de paralelogramos. Para prismas rectos, los paralelogramos se convierten en rectángulos, por lo que es fácil calcular su área total:
S = ∑ i=1 norte (a i *b)
Aquí b es la longitud del borde lateral, e i es la longitud del lado del i-ésimo rectángulo, que coincide con la longitud del lado del n-ágono. En el caso de un prisma n-gonal regular, obtenemos una expresión simple:
Si el prisma está inclinado, entonces para determinar el área de su superficie lateral, se debe hacer un corte perpendicular, calcular su perímetro P sr y multiplicarlo por la longitud de la nervadura lateral.
La figura de arriba muestra cómo se debe hacer este corte para un prisma pentagonal oblicuo.
Estas son las figuras volumétricas más comunes entre otras similares que se encuentran en la vida cotidiana y en la naturaleza. El estudio de sus propiedades se ocupa de la estereometría o geometría espacial. En este artículo, revelaremos la cuestión de cómo puede encontrar el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular, así como cuadrangular y hexagonal.
¿Qué es un prisma?
Antes de calcular el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular y otros tipos de esta figura, debe comprender qué son. Luego aprenderemos a determinar las cantidades de interés.
Un prisma, desde el punto de vista de la geometría, es un cuerpo tridimensional, que está limitado por dos polígonos idénticos arbitrarios y n paralelogramos, donde n es el número de lados de un polígono. Es fácil dibujar una figura de este tipo, para esto debes dibujar algún tipo de polígono. Luego dibuja un segmento de cada uno de sus vértices, que será igual de largo y paralelo a todos los demás. Luego, debe conectar los extremos de estas líneas entre sí para obtener otro polígono igual al original.
Se puede ver arriba que la figura está limitada por dos pentágonos (se les llama bases inferior y superior de la figura) y cinco paralelogramos, que corresponden a los rectángulos de la figura.
Todos los prismas difieren entre sí en dos parámetros principales:
- el tipo de polígono que se encuentra en la base de la figura;
- ángulos entre paralelogramos y bases.
El número de lados de un rectángulo le da su nombre al prisma. De aquí obtenemos las figuras triangulares, hexagonales y cuadrangulares antes mencionadas.
También varían en pendiente. En cuanto a los ángulos marcados, si son iguales a 90 o, dicho prisma se llama recto o rectangular (el ángulo de inclinación es cero). Si algunos de los ángulos no son rectos, entonces la figura se llama oblicua. La diferencia entre ellos se puede ver de un vistazo. La siguiente figura muestra estas variedades.
Como puede verse, la altura h coincide con la longitud de su borde lateral. En el caso de oblicuos, este parámetro siempre es menor.
¿Cuál es el prisma correcto?
Dado que debemos responder a la pregunta de cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma regular (triangular, cuadrangular, etc.), necesitamos definir este tipo de figura tridimensional. Analicemos el material con más detalle.
El prisma correcto es figura rectangular, cuyo polígono regular forma bases idénticas. Esta figura puede ser un triángulo equilátero, un cuadrado y otros. Cualquier n-ágono, cuyas longitudes de lado y ángulos sean iguales, será correcto.
Varios de estos prismas se muestran esquemáticamente en la siguiente figura.
Superficie lateral del prisma
Como se menciona en esta figura, esta figura consta de n + 2 planos, que al intersecarse forman n + 2 caras. Dos de ellos pertenecen a las bases, el resto están formados por paralelogramos. El área de toda la superficie consiste en la suma de las áreas de las caras indicadas. Si no incluye los valores de dos bases, obtenemos la respuesta a la pregunta de cómo encontrar el área de la superficie lateral del prisma. Por lo tanto, es posible determinar su significado y motivos por separado.
Se da lo siguiente para que la superficie lateral esté formada por tres cuadriláteros.
Consideremos más el proceso de cálculo. Evidentemente, el área de la superficie lateral del prisma es igual a la suma de n áreas de los correspondientes paralelogramos. Aquí n es el número de lados del polígono que forma la base de la figura. El área de cada paralelogramo se puede encontrar multiplicando la longitud de su lado por la altura que baja sobre él. Esto es para el caso general.
Si el prisma en estudio es recto, entonces el procedimiento para determinar el área de su superficie lateral S b se facilita enormemente, ya que dicha superficie consiste en rectángulos. En este caso, puede utilizar la siguiente fórmula:
Donde h es la altura de la figura, P o es el perímetro de su base
Prisma regular y su cara lateral
La fórmula dada en el párrafo anterior en el caso de tal figura toma una forma muy específica. Como el perímetro de un n-ágono es igual al producto del número de sus lados por la longitud de uno, se obtiene la siguiente fórmula:
Donde a es la longitud del lado del n-ágono correspondiente.
Superficie lateral de superficie cuadrangular y hexagonal
Usemos la fórmula anterior para determinar los valores requeridos para los tres tipos de formas marcados. Los cálculos se verán así.
Para una fórmula triangular, tomará la forma:
Por ejemplo, el lado de un triángulo es de 10 cm y la altura de la figura es de 7 cm, entonces:
S 3 b \u003d 3 * 10 * 7 \u003d 210 cm 2
En el caso de un prisma cuadrangular, la expresión deseada toma la forma:
Si tomamos los mismos valores de longitud que en el ejemplo anterior, obtenemos:
S 4 b \u003d 4 * 10 * 7 \u003d 280 cm 2
El área de la superficie lateral de un prisma hexagonal se calcula mediante la fórmula:
Sustituyendo los mismos números que en los casos anteriores, tenemos:
S 6 b \u003d 6 * 10 * 7 \u003d 420 cm 2
Tenga en cuenta que en el caso de un prisma regular de cualquier tipo, su superficie lateral está formada por rectángulos idénticos. En los ejemplos anteriores, el área de cada uno de ellos era a*h = 70 cm 2 .
Cálculo de un prisma oblicuo
Determinar el valor del área de la superficie lateral para una figura dada es algo más difícil que para una rectangular. Sin embargo, la fórmula anterior sigue siendo la misma, solo que en lugar del perímetro de la base, se debe tomar el perímetro del corte perpendicular, y en lugar de la altura, la longitud del borde lateral.
La figura de arriba muestra un prisma oblicuo cuadrilátero. El paralelogramo sombreado es el corte perpendicular cuyo perímetro P sr necesita ser calculado. La longitud del borde lateral en la figura se indica con la letra C. Luego obtenemos la fórmula:
El perímetro de corte se puede encontrar si se conocen los ángulos de los paralelogramos que forman la superficie lateral.
