Aşağıdaki formül denir parça formülü ile entegrasyon belirsiz bir integralde:

Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak için, integralin iki faktöre bölünmesi gerekir. Bunlardan biri ile gösterilir sen, ve geri kalanı ikinci faktörü ifade eder ve ile gösterilir dv. Sonra türev alarak buluruz sen ve entegrasyon - işlev v. için aynı zamanda sen dv- entegrenin kolayca entegre edilebilecek kısmı.

Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanmak ne zaman avantajlıdır? Sonra ne zaman entegre içerir :

1) - logaritmik fonksiyonlar ve tersi trigonometrik fonksiyonlar("yay" ön ekiyle), daha sonra, parçalarla uzun bir entegrasyon deneyimine dayanarak, bu işlevler şu şekilde gösterilir: sen;

2) , , - sinüs, kosinüs ve üs ile çarpılan P(X) x'te isteğe bağlı bir polinomdur, o zaman bu fonksiyonlar şu şekilde gösterilir: dv ve polinom - aracılığıyla sen;

3) , , , , bu durumda kısmi integral iki kez uygulanır.

İntegrasyon yönteminin değerini parçalara göre birinci durum örneğini kullanarak açıklayalım. İntegral işareti altındaki ifade logaritmik bir fonksiyon içersin (bu örnek 1 olacak). Parçalara göre entegrasyon kullanılarak, böyle bir integral, yalnızca cebirsel işlevlerin (çoğunlukla bir polinom), yani logaritmik veya ters trigonometrik bir işlev içermeyen integralinin hesaplanmasına indirgenir. Dersin başında verilen parçalara göre integral alma formülünün uygulanması

ilk terimde (integral olmadan) bir logaritmik fonksiyon ve ikinci terimde (integral işareti altında) - logaritma içermeyen bir fonksiyon elde ederiz. Bir cebirsel fonksiyonun integrali, işareti altında ayrı ayrı veya birlikte olan integralden çok daha basittir. cebirsel faktör logaritmik veya ters trigonometrik fonksiyon.

Böylece yardım ile parçalara göre entegrasyon formülleri entegrasyon hemen yapılmaz: belirli bir integrali bulmak, başka bir integrali bulmaya indirgenir. Parçalara göre entegrasyon formülünün anlamı, uygulanmasının bir sonucu olarak, yeni integralin tablo şeklinde çıkması veya en azından orijinalinden daha basit hale gelmesidir.

Parçalara göre entegrasyon yöntemi, iki işlevin ürününü farklılaştırmak için formülün kullanımına dayanır:

şeklinde yazılabilir.

dersin en başında verildi.

Fonksiyonu entegre ederek bulurken v sonsuz bir küme verir ters türevli fonksiyonlar. Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak için bunlardan herhangi birini ve dolayısıyla keyfi bir sabite karşılık gelen olanı alabilirsiniz. İLE sıfıra eşittir. Bu nedenle, işlevi bulurken v keyfi sabit İLE girilmemelidir.

Parçalara göre entegrasyon yönteminin çok özel bir uygulaması vardır: İntegral işareti altındaki fonksiyonların derecesini düşürmek gerektiğinde ters türevleri bulmak için özyinelemeli formüller türetmek için kullanılabilir. Sinüs ve kosinüs gibi ikiden büyük bir güce sahip fonksiyonlar ve bunların çarpımı için tablo integralleri olmadığında derece indirgeme gereklidir. Özyinelemeli bir formül, bir dizinin bir sonraki üyesini önceki üye cinsinden bulmak için kullanılan bir formüldür. Belirtilen durumlarda, hedefe, derecenin art arda düşürülmesiyle ulaşılır. İntegrand, sinüs üzeri x'in dördüncü kuvveti ise, o zaman parçalara göre integral alarak sinüsün üçüncü kuvvetine göre integrali için bir formül bulabilirsiniz, vb. Bu dersin son paragrafı açıklanan soruna ayrılmıştır.

Parçalara göre entegrasyonu birlikte uygulama

Örnek 1. Parçalara göre integral alarak belirsiz integrali bulun:

Çözüm. İntegrand'da, zaten bildiğimiz gibi makul bir şekilde şu şekilde gösterilebilen logaritma: sen. Sanıyoruz ki , .

Şunu buluruz (teorik referansın açıklamasında daha önce bahsedildiği gibi, hemen birinci terimde (integral olmadan) bir logaritmik fonksiyon ve ikinci terimde (integral işareti altında) logaritmayı içermeyen bir fonksiyon elde ederiz:

Ve yine logaritma ...

Örnek 2 Belirsiz integrali bulun:

Çözüm. İzin vermek , .

Logaritma karede bulunur. Bu, karmaşık bir fonksiyon olarak ayırt edilmesi gerektiği anlamına gelir. Bulduk
,
.

İkinci integrali parça parça buluyoruz ve daha önce bahsedilen avantajı elde ediyoruz (ilk terimde (integral olmadan) logaritmik bir fonksiyon ve ikinci terimde (integral işareti altında) - logaritma içermeyen bir fonksiyon).

Orijinal integrali buluyoruz:

Örnek 3

Çözüm. Ark teğeti, logaritma gibi en iyi şu şekilde gösterilir: sen. Öyleyse izin ver .

Daha sonra ,
.

Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

İkinci integral, değişken yönteminin değiştirilmesiyle bulunur.

değişkene dönüş X, alırız

.

Orijinal integrali buluyoruz:

.

Örnek 4. Parçalara göre integral alarak belirsiz integrali bulun:

Çözüm. Üs daha iyi şu şekilde gösterilir: dv. İntegrandı iki faktöre ayırdık. varsayarsak

Örnek 5. Parçalara Göre İntegral Kullanarak Belirsiz İntegrali Bulun:

.

Çözüm. İzin vermek , . Daha sonra , .

Parçalara göre entegrasyon formülünü (1) kullanarak şunu buluruz:

Örnek 6 Parçalara göre integral alarak belirsiz integrali bulun:

Çözüm. Üs gibi sinüs de rahatlıkla şu şekilde gösterilebilir: dv. İzin vermek , .

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanarak şunu buluruz:

Parçalara göre entegrasyonu tekrar birlikte uygulamak

Örnek 10 Parçalara göre integral alarak belirsiz integrali bulun:

.

Çözüm. Tüm benzer durumlarda olduğu gibi, kosinüs uygun şekilde şu şekilde gösterilir: dv. , .

Daha sonra , .

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

İkinci terime kısmi integral de uyguluyoruz. , .

Bu gösterimleri uygulayarak, belirtilen terimi entegre ediyoruz:

Şimdi gerekli integrali buluyoruz:

Parçalara göre entegrasyon yöntemiyle çözülebilen integraller arasında, teorik bölümde belirtilen üç gruptan hiçbirine dahil olmayanlar vardır ve bunlar için pratikten şu şekilde göstermenin daha iyi olduğu bilinmektedir: sen ve ne aracılığıyla dv. Bu nedenle, bu durumlarda, "Kısmen entegrasyon yönteminin özü" paragrafında da verilen uygunluk değerlendirmesini kullanmak gerekir: sen integrand'ın öyle bir kısmı alınmalıdır ki, farklılaşma sırasında çok daha karmaşık hale gelmez, ancak dv- entegrenin kolayca entegre edilebilecek kısmı. Bu dersin son örneği, böyle bir integralin çözümüdür.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugünkü dersimizde parçalar halinde integral almayı öğreneceğiz. Parçalara göre entegrasyon yöntemi, integral hesabın temel taşlarından biridir. Testte, sınavda, öğrenciye neredeyse her zaman aşağıdaki türlerdeki integralleri çözmesi önerilir: en basit integral (makaleye bakın) veya değişkeni değiştirmek için bir integral (makaleye bakın) veya integral parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Her zaman olduğu gibi, elinizde olması gerekenler: İntegral tablosu Ve türev tablosu. Hala sahip değilseniz, lütfen sitemin deposunu ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar. Tekrarlamaktan yorulmayacağım - her şeyi yazdırmak daha iyidir. Tüm materyali tutarlı, basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım; parçalar halinde bütünleştirmede özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon hangi sorunu çözer? Parçalara göre entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer, tabloda olmayan bazı fonksiyonları entegre etmenize izin verir, iş işlevler ve bazı durumlarda - ve özel. Hatırladığımız gibi, uygun bir formül yok: . Ama şu var: şahsen kısımlar halinde entegrasyonun formülüdür. Biliyorum, biliyorum, sen teksin - onunla tüm dersi çalışacağız (zaten daha kolay).

Ve hemen stüdyodaki liste. Aşağıdaki türlerin integralleri kısımlara göre alınır:

1) , , - logaritma, bazı polinomlarla çarpılan logaritma.

2) ,bazı polinomlarla çarpılan üstel bir fonksiyondur. Bu, aşağıdaki gibi integralleri de içerir: üstel fonksiyon, bir polinomla çarpılır, ancak pratikte yüzde 97'dir, integralin altında güzel bir "e" harfi görünür. ... makale lirik bir şeye benziyor, ah evet ... bahar geldi.

3) , , bazı polinomlarla çarpılan trigonometrik fonksiyonlardır.

4) , - ters trigonometrik fonksiyonlar (“kemerler”), “kemerler”, bazı polinomlarla çarpılır.

Ayrıca bazı kesirler kısım kısım alınır, ilgili örnekleri de detaylı olarak ele alacağız.

logaritmaların integralleri

örnek 1

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir, ancak öğretmen baharda beriberi olduğu ve çok azarlayacağı için hazır bir cevap kullanmak istenmez. Söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde olmadığı için - parçalar halinde alınır. karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözümü yarıda kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz:. Açıkçası, örneğimizde (ve ele alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin ile ve bir şeyin de ile gösterilmesi gerekir.

Ele alınan türdeki integrallerde, her zaman logaritmayı gösteririz.

Teknik olarak, çözümün tasarımı aşağıdaki gibi uygulanır, sütuna yazarız:

Yani, logaritmayı belirttiğimiz için ve - kalan kısım integrand.

Sonraki adım: farkı bulun:

Diferansiyel, türev ile hemen hemen aynıdır, onu nasıl bulacağımızı daha önceki derslerde tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu bulduk. Fonksiyonu bulmak için entegre etmek gerekir. Sağ Taraf alt eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: .
Bu arada, birkaç notla birlikte nihai bir çözüm örneği:

Çarpımdaki tek anı hemen yeniden düzenledim ve çarpanı logaritmadan önce yazmak alışılmış olduğu için.

Gördüğünüz gibi, parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü temelde iki basit integrale indirgedi.

Lütfen bazı durumlarda hemen sonra formülün uygulanması, kalan integral altında zorunlu olarak bir sadeleştirme yapılır - incelenen örnekte, integrali "x" ile azalttık.

Bir kontrol yapalım. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integral elde edilmiştir, bu da integralin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Doğrulama sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu tesadüf değil.

Parça formülüne göre entegrasyon ve formül Bunlar karşılıklı olarak ters iki kuraldır.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İntegrand, logaritma ve polinomun ürünüdür.
Biz karar veririz.

Kuralı uygulama prosedürünü bir kez daha ayrıntılı olarak anlatacağım, gelecekte örnekler daha kısaca yapılacak ve kendi başınıza çözmekte herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersin ilk iki örneğine geri dönmeniz gerekir. .

Daha önce de belirtildiği gibi, çünkü logaritmayı belirlemek gerekir (derecede olması önemli değildir). Biz belirtiyoruz kalan kısım integrand.

Bir sütuna yazıyoruz:

Önce diferansiyeli buluruz:

Burada farklılaşma kuralını kullanıyoruz karmaşık fonksiyon . Konunun ilk dersinde olması tesadüf değil belirsiz integral Çözüm örnekleriİntegrallerde ustalaşmak için türevlerde "elinizi tutmanız" gerektiğine odaklandım. Türevler bir kereden fazla yüzleşmek zorunda kalacak.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz, bunun için entegre ediyoruz Sağ Taraf alt eşitlik:

Entegrasyon için en basit tablo formülünü uyguladık.

Artık formülü uygulamaya hazırsınız . Bir "yıldız" ile açıyoruz ve çözümü sağ tarafa göre "tasarlıyoruz":

İntegralin altında yine logaritma üzerinde bir polinomumuz var! Bu nedenle çözüm tekrar kesilir ve ikinci kez kısmi integral kuralı uygulanır. Unutmayın ki benzer durumlarda logaritma her zaman gösterilir.

olsa güzel olurdu şimdiki an en basit integralleri ve türevleri sözlü olarak bulabilirsiniz.

(1) İşaretlerde kafanız karışmasın! Çoğu zaman burada bir eksi kaybolur, ayrıca eksi geçerli olduğuna dikkat edin herkese parantez , ve bu parantezlerin doğru açılması gerekiyor.

(2) Parantezleri genişletin. Son integrali sadeleştiriyoruz.

(3) Son integrali alıyoruz.

(4) Cevabı "Taramak".

Kısmen entegrasyon kuralını iki kez (hatta üç kez) uygulama ihtiyacı alışılmadık bir durum değildir.

Ve şimdi birkaç örnek bağımsız çözüm:

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek, değişken yönteminin değiştirilmesi (veya diferansiyel işareti altına alınması) ile çözülmüştür! Ve neden olmasın - onu parçalara ayırmayı deneyebilirsiniz, komik bir şey elde edersiniz.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Ancak bu integral, parçalar halinde entegre edilir (vaat edilen kesir).

Bunlar dersin sonunda kendi kendine çözme, çözümler ve cevaplar için örneklerdir.

Görünüşe göre örnekler 3,4'te integraller benzer, ancak çözüm yöntemleri farklı! Bu tam olarak integrallerde ustalaşmanın ana zorluğudur - integrali çözmek için yanlış yöntemi seçerseniz, o zaman gerçek bir bulmacada olduğu gibi saatlerce oynayabilirsiniz. Bu nedenle, çeşitli integralleri ne kadar çok çözerseniz, o kadar iyi, test ve sınav o kadar kolay olacaktır. Ayrıca ikinci yılda yapılacak diferansiyel denklemler ve integralleri ve türevleri çözme deneyimi olmadan orada yapacak hiçbir şey yoktur.

Logaritmalara göre, belki fazlasıyla yeterli. Bir şeyler atıştırmak için, teknoloji öğrencilerinin logaritma dediği şeyi hâlâ hatırlayabiliyorum kadın memesi=). Bu arada, ana temel fonksiyonların grafiklerini ezbere bilmek faydalıdır: sinüs, kosinüs, ark teğet, üs, üçüncü, dördüncü derece polinomlar, vb. Hayır, elbette, küre üzerinde bir prezervatif
Çekmeyeceğim ama şimdi bölümden çok şey hatırlayacaksınız Grafikler ve fonksiyonlar =).

Polinom ile çarpılan üssün integralleri

Genel kural:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalar halinde entegre ediyoruz:

İntegral ile ilgili herhangi bir sorununuz varsa, makaleye geri dönmelisiniz. belirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi.

Yapılacak diğer tek şey, cevabı "taramaktır":

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçeneği cevap olarak bırakın. ya da

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş kabul edilir. Bu bir hata olmayacak, öğretmenin cevabı basitleştirmek için sorabileceği başka bir konu.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu bir kendin yap örneğidir. Bu integral parça parça iki kez entegre edilir. Özel dikkat işaretlere dikkat etmelisiniz - içlerinde kafa karıştırmak kolaydır, bunu da hatırlıyoruz - karmaşık bir işlev.

Katılımcı hakkında söylenecek fazla bir şey yok. Sadece şunu ekleyebilirim ki, katılımcı ve doğal logaritma karşılıklı fonksiyonlar, bu benim eğlenceli grafikler konusuna geliyorum yüksek Matematik=) Dur, dur, merak etme hoca ayık.

Bir polinomla çarpılan trigonometrik fonksiyonların integralleri

Genel kural: her zaman polinomu temsil eder

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre entegrasyon:

Hmmm... ve yorumlanacak bir şey yok.

Örnek 8

belirsiz integrali bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir.

Örnek 9

belirsiz integrali bulun

Kesirli başka bir örnek. Önceki iki örnekte olduğu gibi, bir polinom ile gösterilir.

Parçalara göre entegrasyon:

İntegrali bulmakta zorluk çekiyorsanız veya yanlış anlıyorsanız, o zaman derse katılmanızı tavsiye ederim. Trigonometrik fonksiyonların integralleri.

Örnek 10

belirsiz integrali bulun

Bu bir kendin yap örneğidir.

İpucu: Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanmadan önce, iki trigonometrik fonksiyonun çarpımını tek bir fonksiyona çeviren bazı trigonometrik formülleri uygulamalısınız. Formül, daha uygun olduğu kısımlara göre entegrasyon yönteminin uygulanması sırasında da kullanılabilir.

Belki de hepsi bu paragrafta. Nedense Fizik ve Matematik Bölümü marşından bir satır hatırladım "Ve dalgadan sonra sinüs grafiği apsis ekseni boyunca ilerliyor" ....

Ters trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Bir polinomla çarpılan ters trigonometrik fonksiyonların integralleri

Genel kural: her zaman ters trigonometrik fonksiyonu temsil eder.

Size ters trigonometrik fonksiyonların arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantı içerdiğini hatırlatırım. Kısa olması için onlara "kemerler" diyeceğim.

İntegrallerin parçalara göre çözüm örnekleri, integrali logaritma, yay, arktanjant ve ayrıca bir tam sayının logaritmasını ve polinomun logaritmasını içeren ayrıntılı olarak ele alınır.

Parça formülüne göre entegrasyon

Aşağıda, örnekleri çözerken, parçalara göre entegrasyon formülü uygulanır:
;
.

Logaritma ve ters trigonometrik fonksiyonları içeren integral örnekleri

Parçalar halinde bütünleşen integrallere örnekler:
, , , , , , .

İntegral alırken, integralin logaritmayı veya ters trigonometrik fonksiyonları içeren kısmı u ile, geri kalanı - dv ile gösterilir.

Aşağıda bu integrallerin ayrıntılı çözümleriyle örnekler verilmiştir.

Basit bir logaritma örneği

Polinomun ve logaritmanın çarpımını içeren integrali hesaplıyoruz:

Çözüm

Burada integral logaritmayı içerir. Oyuncu değişikliği yapma
sen= ln x, dv = x 2 dx . Daha sonra
,
.

Parçalara göre entegre ediyoruz.
.

.
Daha sonra
.
Hesaplamaların sonunda C sabitini ekliyoruz.

Cevap

2 üssü logaritma örneği

İntegrand'ın bir tamsayı üssünün logaritmasını içerdiği bir örneği ele alalım. Bu tür integraller ayrıca parçalar tarafından da entegre edilebilir.

Çözüm

Oyuncu değişikliği yapma
sen= (ln x) 2 dv = x dx . Daha sonra
,
.

Kalan integral de kısımlara göre hesaplanır:
.
Yerine geçmek
.

Cevap

Logaritma bağımsız değişkeninin bir polinom olduğu bir örnek

Kısmen, integrali argümanı bir polinom, rasyonel veya irrasyonel fonksiyon olan bir logaritmayı içeren integraller hesaplanabilir. Örnek olarak, bağımsız değişkeni bir polinom olan bir logaritma ile bir integral hesaplayalım.
.

Çözüm

Oyuncu değişikliği yapma
sen= günlük( x 2 - 1) dv = x dx .
Daha sonra
,
.

Kalan integrali hesaplıyoruz:
.
Modül işaretini buraya yazmıyoruz. ln | x 2 - 1|, integral x için tanımlı olduğundan 2 - 1 > 0 . Yerine geçmek
.

Cevap

Arcsine örneği

İntegrandı bir yay içeren bir integral örneğini ele alalım.
.

Çözüm

Oyuncu değişikliği yapma
sen= yay x,
.
Daha sonra
,
.

Ayrıca, integralin |x|< 1 . Bunu dikkate alarak, modülün işaretini logaritmanın altında genişletiriz. 1 - x > 0 Ve 1 + x > 0.

Cevap

Ark teğet örneği

Örneği ark teğeti ile çözelim:
.

Çözüm

Parçalara göre entegre ediyoruz.
.
Kesrin tamsayı kısmını alalım:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Entegre ediyoruz:
.
Sonunda elimizde:
.

Cevap

Arcsine ile başka bir örnek

İntegrali çözün:
.

Çözüm

Parçalara göre entegre ediyoruz.
.

Kalan integrali hesaplıyoruz. x için > 0 sahibiz:
.
.
.

x için < 0 x = - t, t yerine koyalım > 0 :
.

Sonunda elimizde.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Çözüm.

Örneğin.

İntegrali hesapla:

İntegralin özelliklerini uygulama (doğrusallık), ᴛ.ᴇ. , bir tablo integraline indirgeyin, bunu elde ederiz

Tekrar merhaba. Bugünkü dersimizde parçalar halinde integral almayı öğreneceğiz. Parçalara göre entegrasyon yöntemi ϶ᴛᴏ, integral hesaplamanın temel taşlarından biridir. Testte, sınavda, öğrenciye neredeyse her zaman aşağıdaki türlerdeki integralleri çözmesi önerilir: en basit integral (makaleye bakınbelirsiz integral Çözüm örnekleri ) veya değişkeni değiştirmek için bir integral (makaleye bakınbelirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi ) veya integral parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Her zaman olduğu gibi, elinizde olması gerekenler: İntegral tablosu Ve türev tablosu. Hala sahip değilseniz, lütfen sitemin kilerini ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar. Tekrarlamaktan yorulmayacağım - her şeyi yazdırmak daha iyidir. Tüm materyali tutarlı, basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım; parçalar halinde bütünleştirmede özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon hangi sorunu çözer? Parçalara göre entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer, tabloda olmayan bazı fonksiyonları entegre etmenize izin verir, iş işlevler ve bazı durumlarda - ve özel. Hatırladığımız gibi, uygun bir formül yoktur: . Ama şu var: - Şahsen kısımlar halinde entegrasyon formülü. Biliyorum, biliyorum, sen teksin - onunla tüm dersi çalışacağız (zaten daha kolay).

Ve hemen stüdyodaki liste. Aşağıdaki türlerin integralleri kısımlara göre alınır:

1) , - logaritma, bazı polinomlarla çarpılan logaritma.

2) , bazı polinomlarla çarpılan üstel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda - bir polinomla çarpılan üstel bir fonksiyon gibi integralleri de içerir, ancak pratikte yüzde 97'dir, integralin altında güzel bir ʼʼеʼʼ harfi görünür. ... makale lirik bir şeye benziyor, ah evet ... bahar geldi.

3) , bazı polinomlarla çarpılan trigonometrik fonksiyonlardır.

4) , ters trigonometrik fonksiyonlardır ('arches'), 'arches', bazı polinomlarla çarpılmıştır.

Ayrıca bazı kesirler kısım kısım alınır, ilgili örnekleri de detaylı olarak ele alacağız.

örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir, ancak öğretmen baharda beriberi olduğu ve çok azarlayacağı için hazır bir cevap kullanmak istenmez. Söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde olmadığı için - parçalar halinde alınır. karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözümü yarıda kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

Logaritmaların integralleri - kavram ve türleri. "Logaritmaların integralleri" kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri 2017, 2018.