Aslında, şeklin alanını bulmak için belirsiz ve tanımlanmış integral hakkında böyle bir bilgi yoktur. "Belirli bir integral yardımı ile alanı hesapla" görevi her zaman çizimin yapımını ifade eder.Bu nedenle, çok daha alakalı bir konu, bina çizimlerinin bilgi ve becerileriniz olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasında yenilemek faydalıdır ve en azından bir düz ve hiperbol yapabilme.

Eğrisel yamuk trapezyon, eksen, düz ve bu aralıktaki işareti değiştirmeyen bir fonksiyonun segmentinde sürekli bir programla sınırlıdır. Bu rakamın bulunmasına izin ver az değil Abscissa ekseni:

Sonra curvilinear trapezinin alanı, sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir özel integral (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından, belirli bir integral bir alandır.

Yani, (Varsa) belirli bir integral (varsa) geometrik olarak bir miktarın alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli bir bütünlüğü göz önünde bulundurun. Integrand Fonksiyonu, eksenin üzerinde bulunan (istekler çizimi çizebilir) yukarıda bulunan bir eğri ayarlar ve spesifik integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel trapeziumun alanına sayısal olarak eşittir.

Örnek 1.

Bu tipik bir görev formülasyonudur. Kararın ilk ve en önemli noktası - bir çizim oluşturma. Ve çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bu görevde, karar böyle görünebilir.
Çizimi yapın (denklemin ekseni ayarladığını unutmayın):

Segment programında bir işlev bulunur eksen üzerinde, yani:

Cevap:

Görev tamamlandıktan sonra, çizim ve tahminlere bakmak her zaman faydalıdır, gerçek olanı ortaya çıktı. Bu durumda, "gözlerde" çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - kuyu, yaklaşık 9 uçacak, gerçeğe benziyor. Olsaydık, söylersek, Cevaplar: 20 kare ünite, bir yerde bir yerde yapıldığı açıktır - 20 hücre figüründe bir düzinenin gücünden açıkça takılmamıştır. Cevap negatif ortaya çıkarsa, görev de yanlış karar verilir.

Örnek 3.

Şeklin, sınırlı çizgilerin ve koordinat eksenlerinin alanını hesaplayın.

Karar: Çizim yap:

Eğrili trapezium bulunursa eksen altında(ya da en azından daha yüksek değil Bu eksen), daha sonra alanı formül tarafından bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Geometrik bir anlam olmadan basit bir ayrımı çözmeye davet edilirseniz, negatif olabilir.

2) Eğer belirli bir integral kullanarak şeklin rakamını bulmaya davetliyseniz, alan her zaman pozitifdir! Bu yüzden sadece kabul edilen formül eksi görünür.

Uygulamada, rakam en sık üst ve alt yarım düzlemde bulunur ve bu nedenle, en basit okul çizelgelerinden daha anlamlı örneklere gidin.

Örnek 4.

Düz figürün alanını, sınırlı çizgilerin bulunduğu alanı bulun.

Karar: İlk önce bir çizim çizmeniz gerekir. Genel olarak konuşursak, bölgeye görevlerde bir çizim yaparken, en çok çizgilerin kavşak noktalarıyla ilgileniyoruz. Parabol'ın kesişme noktalarını ve doğrudan bulun. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Böylece, alt entegrasyon sınırı, entegrasyonun üst sınırı.

Bu şekilde mümkünse daha iyidir, kullanmayın.

Çizginin çizgilerini oluşturmak için çok daha karlı ve daha hızlıdır, entegrasyon sınırları "kendileri" gibi netleşir. Bununla birlikte, sonuçları bulmanın analitik bir yolu, örneğin programın yeterince büyükse veya eğitimli bir yapının entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmadığında (kesirli veya irrasyonel olabilir) uygulanmadığı takdirde uygulanması gerekmektedir. Ve böyle bir örnek de düşünüyoruz.

Görevimize geri dönüyoruz: daha rasyonel önce doğrudan düz bir çizgi oluşturun ve sadece parabol. Çizimi gerçekleştirin:

Ve şimdi çalışma formülü: Eğer segmentte bazı sürekli işlev daha fazla veya eşit Bazı sürekli fonksiyon, şekilin alanı, bu fonksiyonların grafikleriyle sınırlı ve doğrudan, formül tarafından bulunabilir:

Burada, figürün nerede olduğunu düşünmek, eksen üzerinde veya eksen altında, ve kabaca konuşurken, artık gerekli değildir. Önemli Yukarıdaki grafik nedir(başka bir programa göre) ve ne - aşağıda.

Bu örnekte, Parabol'ın segmentinde düz yukarıda bulunduğu açıktır ve bu nedenle çıkarılması gereklidir.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenilen rakam, yukarıdan ve doğrudan alttan parabol ile sınırlıdır.
Segmentte, ilgili formüle göre:

Cevap:

Örnek 4.

Şeklin alanını, sınırlı satırları ,,,.

Karar: İlk önce çizim yapın:

Bulmamız gereken bölge mavi renkte gölgeli (Şekilde dikkatlice bakın - rakam sınırlıdır!). Ancak pratikte, "Glitch", genellikle yeşil ile gölgelendirilmiş olan bir alanı bulmanız gereken farkındadır!

Bu örnek hala kullanışlıdır ve bunun içindeki alanın iki spesifik integral kullanılarak kabul edilir.

Gerçekten mi:

1) Eksen üzerindeki segmentte düz bir program bulunur;

2) Eksen üzerindeki segmentte hiperbollerin bir grafiği vardır.

Karenin ayrışması için meydanın (ve ihtiyacı) olduğu açıktır, böylece:

Sitede matematiksel formüller nasıl yerleştirilir?

Bir Web sayfasında bir veya iki matematiksel formül eklemeniz gerekirse, makalede açıklandığı gibi bunu yapmak en kolaydır: Matematiksel formüller, otomatik olarak alfa tungsten üreten resimler şeklinde siteye kolayca yerleştirilir. Sadeliğe ek olarak, bu evrensel yol, sitenin arama motorlarında görünürlüğünü iyileştirmeye yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışır (ve bence, sonsuza dek çalışacak), ama ahlaki olarak modası geçmiş.

Sitenizde sürekli matematiksel formülleri kullanıyorsanız, MathJax - MathML, Latex veya ASCIIMATHML Markup'u kullanarak Web tarayıcılarında matematiksel atamaları gösteren özel bir JavaScript kütüphanesini kullanmanızı öneririm.

MathJax'u kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) Basit bir kodun yardımıyla, MathJax komut dosyasını sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz, bu da uzak sunucudan istenen bir şekilde otomatik olarak otomatik olarak yüklenecektir; (2) MathJax komut dosyasını uzak bir sunucunuzdan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlanın. İkinci yöntem daha karmaşık ve uzundur - sitenizin sayfalarının indirilmesini hızlandıracak ve bir nedenden dolayı MathJax ebeveyn sunucusu geçici olarak kullanılamıyorsa, kendi web sitenizi etkilemez. Bu avantajlara rağmen, ilk yolu daha basit, hızlı ve teknik beceriler gerektirmeyen olarak seçtim. Örneğimi takip edin ve 5 dakika sonra, MathJax'ın tüm özelliklerini web sitenizde kullanabilirsiniz.

MathJax Kitaplığı komut dosyasını, MathJax'ın ana web sitesinde veya belgeler sayfasında alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden biri kopyalanmalı ve web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasında eklenmelidir. ve veya etiketten hemen sonra . İlk versiyona göre, MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek otomatik olarak en son MathJax sürümlerini izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekir. İkinci kodu eklerseniz, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli olarak izlemenize gerek kalmaz.

Connect MathJax Blogger veya WordPress'in en kolay yoludur. , MathJax komut dosyası asenkron bir şekilde yüklendiğinden beri hiçbir şekilde gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, Lateks ve ASCIIMATHML MARKUP sözdizimini okuyun ve sitenizin web sayfalarında matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sınırsız sayıda süreye sürekli olarak uygulanan belirli bir kurallara dayanır. Herkesin yineleme denir.

Menger süngerini inşa etmek için yinelemeli algoritma oldukça basittir: Bir tarafı 1 olan kaynak küpü, yüzlerine paralel düzlemlerle, 27 eşit küp üzerinde bölünmüştür. Bir merkezi küp ve 6 bitişik küp ondan çıkarılır. Kalan 20 küçük küpden oluşan bir set elde edilir. Aynı şeyi bu küplerin her biriyle yaparak, zaten 400 daha küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu sürece sonsuz şekilde devam ettirerek, mengücün bir süngeri alıyoruz.

İntegral uygulama uygulamaları dikkate alın. Bu derste, tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. belirli bir integral olan düz bir rakamın hesaplanması. Son olarak, en yüksek matematikte anlamın tüm anlamları - onu bulacak. Çok az. Ülke alanını hayata ilköğretim fonksiyonlarıyla getirmemiz ve alanını belirli bir integral kullanarak bulacağız.

Başarılı maddi geliştirme için gereklidir:

1) Belirsiz integrali en az bir ortalama düzeyde anlamak. Böylece, TeAPotes dersi aşina olmalıdır Değil.

2) Newton Labnic formülünü uygulayabilmek ve belirli bir bütünlüğü hesaplayabilmek. Sayfada belirli integrallerle sıcak arkadaşlıklar kurmak Belirli integral. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral yardımı ile alanı hesapla" görevi her zaman çizimin yapımını ifade eder.Bu nedenle, bina çizimlerinin bilgi ve becerileriniz de acil bir konu olacaktır. Minimum olarak, düz, parabol ve hiperbol inşa edebilmeniz gerekir.

Bir eğrisel trapez ile başlayalım. Bir eğrisel yamuk trapezium, bazı özelliklerin bir grafiğiyle sınırlı olan düz bir rakamdır. y. = f.(x.), eksen ÖKÜZ. ve çizgiler x. = a.; x. = b..

Curvilinear trapezinin alanı, sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

Herhangi bir özel integral (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Belirli integral. Çözüm örnekleribelirli bir integral bir sayı olduğunu söyledik. Ve şimdi başka bir faydalı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından, belirli bir integral bir alandır. Yani, (Varsa) belirli bir integral (varsa) geometrik olarak bir miktardaki alana karşılık gelir. Belirli bir integral düşünün

İntegrand

düzlemdeki eğriyi belirtir (istendiğinde çekilebilir) ve belirli bir integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel trapezyum alanına sayısal olarak eşittir.

Örnek 1.

, , , .

Bu tipik bir görev formülasyonudur. Kararın en önemli noktası bir çizim yapmaktır.. Ve çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir çizim yaparken, aşağıdaki sırayı öneririm: ilk Tüm düz (eğer varsa) ve sadece inşa etmek daha iyidir. sonra - Paraboller, hiperbolalar, diğer fonksiyonların programları. Check-in yapımı tekniği referans malzemesinde bulunabilir. İlköğretim fonksiyonlarının çizelgeleri ve özellikleri. Orada, malzeme dersimize göre çok faydalı bir malzeme bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol yapılır.

Bu görevde, karar böyle görünebilir.

Çizimi gerçekleştir (denklemin y. \u003d 0 ekseni ayarlar ÖKÜZ.):

Curvilinear trapezion grev yapmaz, burada hangi alanda bir konuşma olduğu açıktır. Karar bu şekilde devam ediyor:

Segmentte [-2; 1] İşlev Takvimi y. = x. 2 + 2 bulunur eksen üzerindeÖKÜZ., yani:

Cevap: .

Belirli bir integrale ve Newton-Leibnia formülünün kullanılmasıyla ilgili zorluk çeken

derse bakın Belirli integral. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra, çizim ve tahminlere bakmak her zaman faydalıdır, gerçek olanı ortaya çıktı. Bu durumda, "gözlerde" çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - kuyu, yaklaşık 9 uçacak, gerçeğe benziyor. Olsaydık, söylersek, Cevaplar: 20 kare ünite, bir yerde bir yerde yapıldığı açıktır - 20 hücre figüründe bir düzinenin gücünden açıkça takılmamıştır. Cevap negatif ortaya çıkarsa, görev de yanlış karar verilir.

Örnek 2.

Şeklin alanını hesaplayın, sınırlı çizgiler xy. = 4, x. = 2, x. \u003d 4 ve eksen ÖKÜZ..

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrili trapezium bulunursa ne yapmalı eksen altındaÖKÜZ.?

Örnek 3.

Şeklin alanını hesaplayın, sınırlı çizgiler y. = e - X., x. \u003d 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Çizimi gerçekleştirin:

Eğri bir trapezium varsa eksen altında tam olarak yerleştirilmiş ÖKÜZ. , sonra alanı formül tarafından bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Geometrik bir anlam olmadan basit bir ayrımı çözmeye davet edilirseniz, negatif olabilir.

2) Eğer belirli bir integral kullanarak şeklin rakamını bulmaya davetliyseniz, alan her zaman pozitifdir! Bu yüzden sadece kabul edilen formül eksi görünür.

Uygulamada, rakam en sık üst ve alt yarım düzlemde bulunur ve bu nedenle, en basit okul çizelgelerinden daha anlamlı örneklere gidin.

Örnek 4.

Alan düz şekli sınırlı satırları bulun y. = 2x. – x. 2 , y. = -x..

Çözüm: İlk önce bir çizim çizmeniz gerekir. Bölgeye görevlerde bir çizim yaparken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniyoruz. Parabol'ın kesişme noktalarını bulun y. = 2x. – x. 2 ve doğrudan y. = -x.. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Yani, entegrasyonun alt sınırı a. \u003d 0, üst entegrasyon sınırı b. \u003d 3. Genellikle akış çizgilerini oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır, entegrasyon sınırları "kendileri" gibi netleşir. Bununla birlikte, sonuçları bulmanın analitik bir yolu, örneğin programın yeterince büyükse veya eğitimli bir yapının entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmadığı takdirde, bazen uygulanması gerekmektedir. Görevimize geri dönüyoruz: daha rasyonel önce doğrudan düz bir çizgi oluşturun ve sadece parabol. Çizimi gerçekleştirin:

Bu güncel yapıda, entegrasyon sınırları en sık "otomatik olarak" bulur.

Ve şimdi çalışma formülü:

Eğer segmentte [ a.; b.] Bazı sürekli fonksiyonlar f.(x.) daha fazla veya eşit Bazı sürekli fonksiyon g.(x.), ardından karşılık gelen figürün alanı formül tarafından bulunabilir:

Burada, rakamın eksen üzerinde veya eksen altında nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok ve Önemli Yukarıdaki grafik nedir(başka bir programa göre) ve ne - aşağıda.

Bu örnekte, parabol segmentinde düz yukarıda ve bu nedenle 2 üzerinden bulunduğu açıktır. x. – x. 2 Çıkarmanız Gerekiyor x..

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenilen rakam Parabol ile sınırlıdır y. = 2x. – x. 2 üst ve düz y. = -x. alt.

2 segmentte. x. – x. 2 ≥ -x.. İlgili formüle göre:

Cevap: .

Aslında, düşük yarı düzlemde eğrisel trapezyumun alanı için okul formülü (bakınız örnek numarası 3) - özel bir formül durumu

Eksenden beri ÖKÜZ. Denklem ile geçerlidir y. \u003d 0 ve bir işlev programı g.(x.) Eksenin altında bulunan ÖKÜZ.T.

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5.

Örnek 6.

Rakamlar sınırlı satırları bulun

Alanın belirli bir integral ile hesaplanması için görevleri çözme sürecinde, bazen komik bir kasa meydana gelir. Çizim doğru tamamlandı, hesaplamalar - sağ, ancak dikkatsizlik, ... bulunan alan figür değil.

Örnek 7.

İlk önce çizimi uygulayın:

Bulmamız gereken bölge mavi renkte gölgeli(Şekilde dikkatlice bakın - rakam sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizce, genellikle yeşil ile gölgelendirilmiş rakamın alanını bulmanız gerektiğine karar verin!

Bu örnek, aynı zamanda iki spesifik integralin boyutunda olduğu düşünüldüğünde de faydalıdır. Gerçekten mi:

1) segmentte [-1; 1] Eksen üzerinde ÖKÜZ. Bulma Programı Doğrudan y. = x.+1;

2) eksen üzerindeki segmentte ÖKÜZ. Bir hiperbol grafiği bulunur y. = (2/x.).

Karenin ayrışması için meydanın (ve ihtiyacı) olduğu açıktır, böylece:

Cevap:

Örnek 8.

Şeklin alanını hesaplayın, sınırlı çizgiler

"Okul" formundaki denklemi hayal edin

ve mevcut çizim yapmak:

Çizimden "iyi" olduğumuz üst sınırın olduğu açıktır: b. = 1.

Ama alt sınır nedir?! Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne?

Olabilir, a.\u003d (- 1/3)? Ancak, çizimin ideal bir doğrulukla yapıldığı garantisi nerede, bu olabilir a.\u003d (- 1/4). Ve genellikle uygunsuz bir şekilde bir program yapılırsak?

Bu gibi durumlarda, fazladan zaman geçirmeniz ve entegrasyon sınırlarını analitik olarak belirlemelisiniz.

Grafiklerin kesişimini bulun

Bunu yapmak için denklemi çözün:

Dolayısıyla a.=(-1/3).

Daha fazla çözüm önemsizdir. Asıl şey, ikame ve işaretlerle karıştırılmamaktır. Hesaplamalar en basit değildir. Kesim

, ,

İlgili formüle göre:

Cevap:

Dersin sonunda iki görevi daha zor göz önünde bulundurun.

Örnek 9.

Şeklin alanını hesaplayın, sınırlı çizgiler

Çözüm: Bu şekli çizimde gösterin.

Çizimin yazlık yapımı için sinüzoidlerin görünümünü bilmek gerekir. Genel olarak, tüm temel fonksiyonların grafiklerini ve bazı sinüs değerlerinin grafiklerini bilmek faydalıdır. Değerler tablosunda bulunabilirler trigonometrik fonksiyonlar. Bazı durumlarda (örneğin, bu), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının prensibe yansıtılması gereken bir şematik çizim yapmasına izin verilir.

Entegrasyonun sınırları ile burada herhangi bir sorun yoktur, doğrudan durumdan takip ederler:

- "X" sıfırdan "pi" ye değişir. Başka bir çözüm hazırlıyoruz:

Kesim grafik fonksiyonunda y. \u003d Sin 3. x. Eksen üzerinde bulunan ÖKÜZ., yani:

(1) Sines ve Cosines'leri tek derecelerde nasıl entegre edilir, derse bakabilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonlardan entegraller. Bir sinüs takın.

(2) Ana trigonometrik kimliği biçiminde kullanıyoruz.

(3) Değişkenin yerini alacağız t. \u003d Çünkü. x., Sonra: eksen üzerinde bulunur, böylece:

Not: Küba'da teğetten ayrılmanın nasıl yapıldığına dikkat edin, ana trigonometrik kimliğin bir sonucu burada kullanılır.

Görev numarası 3. Çizim yapın ve rakam sınırlı satırların alanını hesaplayın

Uygulamalı görevleri çözmek için bir uygulama integrali

Kare hesaplaması

Sürekli negatif olmayan fonksiyonun F (X) 'nin belirlenen integrali, sayısal olarak eşittireğri Y \u003d F (x) eğrisi ile sınırlandırılan eğrisel yamukun alanı, x ve düz x \u003d a ve x \u003d b. Buna göre, alanın alanı aşağıdaki gibi yazılmıştır:

Düz figürlerin karelerinin hesaplanmasına ilişkin bazı örnekler düşünün.

Görev # 1. Y \u003d X2 +1, Y \u003d 0, X \u003d 0, X \u003d 2 çizgilerinin sınırlı alanını hesaplayın.

Karar. Hesaplamak zorunda kalacağımız alan, bir figürü inşa ediyoruz.

Y \u003d x 2 + 1, dalları yukarı doğru yönlendirilen ve parabolla bir üniteye kadar öküz eksenine göre kaydırılan bir paraboladır (Şekil 1).

Şekil 1. İşlev grafiği Y \u003d x 2 + 1

Görev # 2. Y \u003d x 2 - 1, Y \u003d 0 çizgilerinin sınırlı alanını 0 ila 1 arasında hesaplayın.

Karar. Bu fonksiyonun grafiği, yukarı doğru yönlendirilen bir parabol şubesidir ve parabol bir üniteye göre öküz eksenine göre kaydırılır (Şekil 2).

Şekil 2. İşlev grafiği Y \u003d x 2 - 1

Görev numarası 3. Çizim yapın ve rakam sınırlı satırların alanını hesaplayın

y \u003d 8 + 2x - x 2 ve y \u003d 2x - 4.

Karar. İki satır satırından ilki - Şubeler tarafından yönlendirilen parabol, x 2'deki katsayısı negatif olduğundan ve ikinci satırın düz bir çizgi olduğundan, her iki koordinat ekseninin geçmesini sağlayın.

Bir parabol oluşturmak için, köşelerinin koordinatlarını bulacağız: Y '\u003d 2 - 2x; 2 - 2x \u003d 0, x \u003d 1 - köşelerin abscissa; Y (1) \u003d 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 \u003d 9 - ORDİNE, N (1; 9) - Üst.

Şimdi parabolun kesişme noktalarını ve doğrudan denklem sistemini çözeceğiz:

Denklemin sağ kısımlarını eşitleme, sol kısımları eşittir.

Nerede 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 veya x 2 - 12 \u003d 0 alırız. .

Dolayısıyla, puanlar parabolun kesiştiği ve düz noktalarıdır (Şekil 1).

Şekil 3 İşlev grafikleri Y \u003d 8 + 2x - x 2 ve y \u003d 2x - 4

Düz bir Y \u003d 2x - 4'ü oluştururuz. Koordinatların eksenleri üzerine noktalardan (0; -4), (2; 0) geçer.

Bir parabol oluşturmak için, yine de eksen 0x ile kesişme noktalarına sahip olabilirsiniz, yani denklemin kökleri 8 + 2x - x 2 \u003d 0 veya x 2 - 2x - 8 \u003d 0 veya X2 - 2x - 8 \u003d 0. Vieta teoremi tarafından Köklerini bulmak kolaydır: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d dördü.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlı olan rakamı (parabolik segment Mı 2 m2) göstermektedir.

Görevin ikinci kısmı bu rakamın alanını bulmaktır. Alanı, formül tarafından belirli bir integral kullanılarak bulunabilir. .

Bu durumla ilgili olarak, ayrılmaz bir alıyoruz:

2 Hacim gövdesi hacminin hesaplanması

Y \u003d F (x) x'in etrafındaki eğrinin döndürülmesinden elde edilen vücudun hacmi formül tarafından hesaplanır:

Y üzerindeki eksen etrafında dönerken, formül formu vardır:

Görev numarası 4. Düz X \u003d 0 x \u003d 3 ile sınırlandırılmış eğrisel trapezyonun dönüşünden elde edilen gövdenin hacmini tanımlayın ve X ile ilgili eksenin etrafındaki eğri y \u003d.

Karar. Bir çizim inşa ediyoruz (Şekil 4).

Şekil 4. İşlev grafiği Y \u003d

İstenilen hacim eşittir

Görev Numarası 5. Y \u003d X2 eğrisi ile sınırlanan eğrisel trapezyonun dönüşünden elde edilen vücudun hacmini ve Y \u003d 0 ve y \u003d 4 ekseni etrafındaki düz y \u003d 0 ve y \u003d 4'ü hesaplayın.

Karar. Sahibiz:

Tekrarlama için sorular

Bu yazıdan, entegreleri kullanarak hesaplamaları kullanarak satırlarla sınırlı bir alanın nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. İlk defa, belirli integrallerin çalışmasından geçtiğimizde, lisede böyle bir görevle karşılaşıyoruz ve uygulamada kazanılan bilginin geometrik yorumlamasına başlama zamanı geldik.

Öyleyse, entegrelerin yardımı ile figürün bir alanını arama problemini başarıyla çözmek için gerekenler:

Beceri yetkin bir şekilde çizimler oluşturur;
Tanınmış Newton-Leibnic formülünün yardımı ile belirli bir bütünlüğü çözme yeteneği;
Daha karlı bir çözüm çözümü "görme" yeteneği - yani Böyle bir durumda nasıl, entegrasyonu gerçekleştirmek için daha uygun olacağını anlayın? X ekseni (Öküz) veya oyunun ekseni (OY)?
Peki, doğru bilgi işlem olmadan nerede?) Bu, diğer integrallerin ve doğru sayısal hesaplamaları nasıl çözeceğini bir anlayış içerir.

Figürün alanını hesaplama görevini çözmek için algoritma, sınırlı çizgiler:

1. Bir çizim inşa et. Kafeste bir parça üzerinde, büyük ölçüde yapmanız önerilir. Bu fonksiyonun adı her grafik üzerinde bir kalem abone oluruz. Grafiklerin imzası, yalnızca daha fazla bilgisayarın rahatlığı için yapılır. İstenilen rakamın bir grafiğini aldıktan sonra, çoğu durumda, entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen görülecektir. Böylece görevi bir grafik yöntemi ile çözüyoruz. Bununla birlikte, limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olduğu olur. Bu nedenle, ek hesaplamalar yapabilirsiniz, iki adıma gidin.

2. Entegrasyon limitleri açıkça belirtilmemişse, grafiklerin kesişme noktalarını birbirleriyle buluruz ve analitik olan grafik çözümümüzün çakıştığına bakıp bakıyoruz.

3. Daha sonra, çizimi analiz etmek gerekir. Fonksiyonların grafiklerinin nasıl bulunduğuna bağlı olarak, şeklin alanını bulmak için farklı yaklaşımlar vardır. Bütünleşiklerin yardımı ile figür alanını bulmak için farklı örnekler düşünün.

3.1. En klasik ve basit görev seçeneği, eğrisel trapezyumun alanını bulmanız gerektiğindedir. Bir eğrisel trapez nedir? Bu, x ekseni ile sınırlı olan düz bir rakamdır (Y \u003d 0)Düz x \u003d a, x \u003d b ve aralıkta sürekli herhangi bir eğri a. önce b.. Aynı zamanda, bu rakam negatif değildir ve abscissa ekseninden daha düşük değildir. Bu durumda, eğrisel yamukların alanı, NEWTON LABINDER formülü tarafından hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:

Örnek 1. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Şekil hangi satırlar sınırlıdır? Parabol var y \u003d X2 - 3X + 3hangi eksenin üzerinde bulunur Oh, negatif değil, çünkü Bu parabolun tüm noktaları olumlu. Sonraki, doğrudan x \u003d 1. ve x \u003d 3.eksen'e paralel olarak çalışan OuSol ve sağdaki rakamın kısıtlayıcı çizgileridir. İyi y \u003d 0.Aşağıdaki rakamı sınırlayan bir X eksenidir. Elde edilen şekil, soldaki çizimden görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda, sorunu çözmeye hemen başlayabilirsiniz. Newton-Leibnic formülünün yardımıyla daha fazla çözen bir eğrisel trapezium örneğine sahibiz.

3.2. Önceki paragraf 3.1'de, eğrisel trapezium X ekseninin üstünde bulunduğunda durum sökülür. Şimdi, görev koşullarının aynı olduğunda, işlevin X ekseni altında çalıştığı durumlarda durumunu düşünün. Standart Newton-Lakkular Formülü eksi eklendi. Böyle bir görevi nasıl çözebilirsiniz, daha fazla düşünün.

Örnek 2. . Şeklin alanını hesaplayın, sınırlı çizgiler y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Bu örnekte, bir parabol var y \u003d X2 + 6X + 2hangi eksenden kaynaklanan Oh, Düz x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Buraya y \u003d 0. İstenen rakamı yukarıdan sınırlar. Düz x \u003d -4. ve x \u003d -1. Bunlar, belirli bir integralin hesaplanacağı sınırlardır. Şekildeki bir alan bulma problemini çözme prensibi, örneğin 1 örnek numarası ile tamamen çakışıyor. Tek fark, belirtilen işlevin pozitif olmadığı ve her şeyin de aralıkta sürekli olmasıdır. [-4; -1] . Olumlu olan ne yok? Şekilden görülebileceği gibi, belirtilen ICS içinde yatan rakam, sorunu çözünken görmemiz gereken ve hatırlamamız gereken "olumsuz" koordinatlara sahiptir. Figürün alanı, yalnızca bir eksi işareti olan Newton Labitsa formülünü arıyor.

Makale tamamlanmadı.