Üçgen, kare, altıgen - bu rakamlar neredeyse herkes tarafından bilinir. Ancak herkes normal bir çokgenin ne olduğunu bilmiyor. Ancak bunların hepsi aynıdır Düzenli çokgen, eşit açılara ve yanlara sahip olana denir. Bu tür pek çok şekil vardır, ancak hepsi aynı özelliklere sahiptir ve bunlar için aynı formüller geçerlidir.
Düzenli çokgen özellikleri
İster kare ister sekizgen olsun, herhangi bir normal çokgen bir daireye yazılabilir. Bu temel özellik genellikle bir şekil oluştururken kullanılır. Ek olarak, bir poligonun içine bir daire yazılabilir. Bu durumda, temas noktalarının sayısı, taraflarının sayısına eşit olacaktır. Düzgün bir çokgen içine yazılmış bir dairenin onunla ortak bir merkeze sahip olması önemlidir. Bu geometrik şekiller aynı teoremlere tabidir. Normal bir n-gon'un herhangi bir tarafı, sınırlı daire R'nin yarıçapı ile ilişkilidir. Bu nedenle, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: a \u003d 2R ∙ sin180 °. Aracılığıyla sadece kenarları değil, aynı zamanda çokgenin çevresini de bulabilirsiniz.
Normal bir çokgenin kenar sayısı nasıl bulunur
Herhangi biri, bağlandığında kapalı bir çizgi oluşturan birkaç eşit parçadan oluşur. Bu durumda, oluşturulan şeklin tüm açıları aynı değere sahiptir. Çokgenler basit ve karmaşık olarak ikiye ayrılır. İlk grup bir üçgen ve bir kare içerir. Karmaşık çokgenlerin daha fazla tarafı vardır. Yıldız şekilli figürler de içerirler. Karmaşık düzgün çokgenler için, kenarlar bir daireye yazılarak bulunur. İşte bir kanıt. Rastgele sayıda kenarı olan düzgün bir çokgen çizin n. Çevresine bir daire çizin. R yarıçapını ayarlayın. Şimdi size biraz n-gon verildiğini hayal edin. Köşelerinin noktaları bir dairenin üzerindeyse ve birbirine eşitse, o zaman kenarlar aşağıdaki formülle bulunabilir: a \u003d 2R ∙ sinα: 2.
Yazılı bir düzenli üçgenin kenar sayısını bulma
Eşkenar üçgen, normal bir çokgendir. Formüller, kare ve n-gon ile aynı şekilde ona da uygulanır. Aynı uzunlukta kenarlara sahip bir üçgen doğru kabul edilecektir. Bu durumda, açılar 60⁰'ye eşittir. Verilen bir kenar uzunluğuna sahip bir üçgen oluşturalım a. Medyanını ve yüksekliğini bilerek, kenarlarının anlamını bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, a \u003d x: cosα formülüyle bulma yöntemini kullanacağız, burada x medyan veya yüksekliktir. Üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan, a \u003d b \u003d c elde ederiz. O zaman aşağıdaki ifade doğru olacaktır a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. Benzer şekilde, bir ikizkenar üçgende kenarların değerini bulabilirsiniz, ancak x verilen yükseklik olacaktır. Bu durumda, kesinlikle şeklin tabanına yansıtılmalıdır. Böylece, x yüksekliğini bildiğimizde, bir ikizkenar üçgenin a kenarını a \u003d b \u003d x: cosα formülüyle buluruz. A'nın değerini bulduktan sonra, c tabanının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Pisagor teoremini uygulayalım. C: 2 \u003d √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α \u003d x ∙ tgα tabanının yarısının değerini arayacağız. Sonra c \u003d 2xtgα. Bu kadar basit bir şekilde, herhangi bir yazılı çokgenin kenar sayısını bulabilirsiniz.
Bir daire içine yazılmış bir karenin kenarlarını hesaplamak
Herhangi bir yazılı normal çokgen gibi, bir karenin de eşit kenarları ve açıları vardır. Üçgen için de aynı formüller geçerlidir. Köşegenin değerini kullanarak bir karenin kenarlarını hesaplayabilirsiniz. Bu yöntemi daha ayrıntılı olarak ele alalım. Köşegenin açıyı ikiye böldüğü bilinmektedir. Başlangıçta değeri 90 dereceydi. Böylelikle bölünmeden sonra iki tane oluşur ve tabandaki açıları 45 dereceye eşit olacaktır. Buna göre, karenin her bir kenarı eşit olacaktır, yani: a \u003d b \u003d c \u003d q \u003d e ∙ cosα \u003d e√2: 2, burada e, karenin köşegeni veya bölünmeden sonra oluşan dik üçgenin tabanıdır. Bir karenin kenarlarını bulmanın tek yolu bu değil. Bu şekli bir daireye yazalım. Bu R dairesinin yarıçapını bilerek karenin kenarını buluyoruz. Bunu a4 \u003d R√2 olarak hesaplayacağız. Normal çokgenlerin yarıçapları, a kenar uzunluğunun olduğu R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) formülüyle hesaplanır.
Bir n-gon çevresi nasıl hesaplanır
Bir n-gon'un çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır. Bunu hesaplamak zor değil. Bunun için tüm tarafların anlamlarını bilmek gerekiyor. Bazı çokgen türleri için özel formüller vardır. Çevreyi çok daha hızlı bulmana izin veriyorlar. Herhangi bir normal çokgenin eşit kenarları olduğu bilinmektedir. Bu nedenle çevresini hesaplamak için bunlardan en az birini bilmek yeterlidir. Formül, şeklin kenarlarının sayısına bağlı olacaktır. Genel olarak, şöyle görünür: P \u003d an, burada a kenarın değeridir ve n açı sayısıdır. Örneğin, 3 cm kenarlı normal bir sekizgenin çevresini bulmak için onu 8 ile çarpmanız gerekir, yani P \u003d 3 ∙ 8 \u003d 24 cm. 5 cm kenarlı bir altıgen için aşağıdaki gibi hesaplıyoruz: P \u003d 5 ∙ 6 \u003d 30 cm. her çokgen.
Bir paralelkenar, kare ve eşkenar dörtgenin çevresini bulma
Normal bir çokgenin kaç kenarı olduğuna bağlı olarak çevresi hesaplanır. Bu, görevi çok daha kolay hale getirir. Nitekim diğer figürlerden farklı olarak bu durumda tüm yönlerini aramanıza gerek yok, bir tane yeterli. Aynı ilkeye göre, dörtgenlerin çevresini, yani kare ve eşkenar dörtgeni buluruz. Bunların farklı rakamlar olmasına rağmen, onlar için formül aynı P \u003d 4a'dır, burada a taraftır. Bir örnek verelim. Bir eşkenar dörtgen veya karenin kenarı 6 cm ise, çevreyi şu şekilde buluruz: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Paralelkenarın sadece zıt kenarları eşittir. Bu nedenle, çevresi farklı bir yöntem kullanılarak bulunur. Yani, şekildeki a uzunluğunu ve genişliğini bilmemiz gerekiyor. Daha sonra P \u003d (a + b) ∙ 2 formülünü uygularız. Aralarındaki tüm kenarların ve açıların eşit olduğu bir paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar ve dik açılı bir üçgenin çevresini bulma
Doğru olanın çevresi P \u003d 3a formülüyle bulunabilir, burada a kenarın uzunluğudur. Bilinmiyorsa, medyan aracılığıyla bulunabilir. Dik açılı bir üçgende sadece iki kenar eşit öneme sahiptir. Temel, Pisagor teoremi ile bulunabilir. Her üç tarafın değerleri bilindikten sonra, çevreyi hesaplıyoruz. P \u003d a + b + c formülünü uygulayarak bulunabilir, burada a ve b eşit kenarlardır ve c tabandır. İkizkenar üçgende a \u003d b \u003d a, yani a + b \u003d 2a, sonra P \u003d 2a + c olduğunu hatırlayın. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin kenarı 4 cm ise, tabanını ve çevresini bulacağız. Hipotenüsün değerini Pisagor teoremine göre \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 cm ile hesaplıyoruz ve şimdi P \u003d 2 ∙ 4 + 5.65 \u003d 13.65 cm çevresini hesaplıyoruz.
Normal bir çokgenin köşeleri nasıl bulunur
Her gün hayatımızda normal bir çokgen oluşur, örneğin sıradan bir kare, üçgen, sekizgen. Görünüşe göre bu rakamı kendiniz inşa etmekten daha kolay bir şey yok. Ancak bu sadece ilk bakışta. Herhangi bir n-gon oluşturmak için, açılarının değerini bilmeniz gerekir. Ama onları nasıl buluyorsunuz? Eski bilim adamları bile düzenli çokgenler oluşturmaya çalıştı. Onları dairelere yazacaklarını tahmin ettiler. Ve sonra gerekli noktaları işaretlediler, onları düz çizgilerle birleştirdiler. Basit şekiller için yapım sorunu çözüldü. Formüller ve teoremler elde edildi. Örneğin, ünlü eseri "Başlangıç" ta Öklid, 3-, 4-, 5-, 6- ve 15-galonluk problemleri çözmekle uğraşıyordu. Onları inşa etmenin ve köşeleri bulmanın yollarını buldu. 15 gon için bunu nasıl yapacağımızı görelim. İlk önce, iç açılarının toplamını hesaplamanız gerekir. S \u003d 180⁰ (n-2) formülünü kullanmalısınız. Böylece, bize bir 15-gon verildi, bu yüzden n sayısı 15'tir. Bildiğimiz verileri formüle koyarsak S \u003d 180⁰ (15 - 2) \u003d 180⁰ х 13 \u003d 2340⁰ elde ederiz. Bir 15-gon'un tüm iç açılarının toplamını bulduk. Şimdi her birinin değerini almanız gerekiyor. Toplamda 15 açı var, hesaplamayı 2340⁰: 15 \u003d 156 yapıyoruz. Bu, her iç açının 156⁰ olduğu anlamına gelir, şimdi bir cetvel ve bir pusula yardımıyla, normal bir 15-gon oluşturabilirsiniz. Peki ya daha karmaşık n-gons? Yüzyıllar boyunca bilim adamları bu sorunu çözmek için mücadele ettiler. Sadece 18. yüzyılda Karl Friedrich Gauss tarafından bulundu. 65537-gon yapabildi. O zamandan beri sorunun resmi olarak tamamen çözülmüş olduğu kabul ediliyor.
Radyan cinsinden n-galon açılarının hesaplanması
Elbette, çokgenlerin köşelerini bulmanın birkaç yolu vardır. Çoğu zaman derece cinsinden hesaplanırlar. Ancak bunları radyan olarak da ifade edebilirsiniz. Nasıl yapılır? Aşağıdaki gibi ilerlemek gerekir. İlk önce, normal bir çokgenin kenarlarının sayısını buluruz, sonra 2'yi çıkarırız. Böylece, değeri elde ederiz: n - 2. Bulunan farkı n sayısıyla çarpın ("pi" \u003d 3.14). Şimdi geriye kalan tek şey, sonuçtaki ürünü n-gon'daki açı sayısına bölmektir. Aynı altıgen örneğini kullanarak bu hesaplamaları düşünün. Dolayısıyla, n sayısı 15'tir. S \u003d n (n - 2) formülünü uygulayalım: n \u003d 3.14 (15 - 2): 15 \u003d 3.14 ∙ 13: 15 \u003d 2.72. Açıyı radyan cinsinden hesaplamanın tek yolu elbette bu değildir. Açıyı derece cinsinden 57,3'e bölebilirsiniz. Sonuçta, tam olarak bu derece sayısı bir radyanla eşdeğerdir.
Açıların değerinin derece cinsinden hesaplanması
Derece ve radyanlara ek olarak, normal bir çokgenin açılarının değerini derece cinsinden bulmaya çalışabilirsiniz. Bu aşağıdaki şekilde yapılır. Toplam açı sayısından 2'yi çıkarın, ortaya çıkan farkı normal bir çokgenin kenarlarının sayısına bölün. Bulunan sonucu 200 ile çarpıyoruz. Bu arada, derece gibi bir açı ölçü birimi pratikte kullanılmıyor.
N-galonların dış açılarının hesaplanması
Herhangi bir normal çokgen için, iç olana ek olarak, dış açıyı da hesaplayabilirsiniz. Anlamı, diğer figürlerle aynı şekilde bulunur. Dolayısıyla, normal bir çokgenin dış köşesini bulmak için içteki çokgenin değerini bilmeniz gerekir. Ayrıca, bu iki açının toplamının her zaman 180 derece olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, hesaplamaları şu şekilde yapıyoruz: 180⁰ eksi iç açının değeri. Farkı Bul. Bitişik açının değerine eşit olacaktır. Örneğin, karenin iç köşesi 90 derecedir, bu nedenle dış 180⁰ - 90⁰ \u003d 90⁰ olacaktır. Gördüğümüz gibi onu bulmak zor değil. Dış açı sırasıyla + 180⁰ ile -180⁰ arasında bir değer alabilir.
Çokgen türleri:
Dörtgenler
Dörtgenlersırasıyla 4 kenar ve köşeden oluşur.
Birbirine zıt kenarlar ve köşeler denir karşısında.
Köşegenler dışbükey dörtgenleri üçgenlere böler (resme bakın).
Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı 360 ° 'dir (formüle göre: (4-2) * 180 °).
Paralelkenarlar
Paralelkenar zıt paralel kenarlara sahip dışbükey bir dörtgendir (1 numaranın altındaki şekilde).
Bir paralelkenardaki zıt kenarlar ve açılar her zaman eşittir.
Ve kesişme noktasındaki köşegenler yarıya indirilmiştir.
Trapez
Yamuk aynı zamanda bir dörtgendir ve trapez sadece iki taraf paraleldir, bunlara gerekçesiyle... Diğer taraflar yan taraflar.
Şekildeki yamuk 2 ve 7 olarak numaralandırılmıştır.
Üçgende olduğu gibi:
Taraflar eşitse, yamuk ikizkenar;
Köşelerden biri düzse, yamuk dikdörtgen.
Yamuğun orta çizgisi, bazların yarı toplamına eşittir ve onlara paraleldir.
Eşkenar dörtgen
Eşkenar dörtgen tüm tarafları eşit olan bir paralelkenardır.
Bir paralelkenarın özelliklerine ek olarak, eşkenar dörtgenlerin kendi özel özellikleri vardır - eşkenar dörtgenin köşegenleri dikbirbirimiz ve eşkenar dörtgenin köşelerini ikiye bölün.
Şekilde, 5 numaralı eşkenar dörtgen.
Dikdörtgenler
Dikdörtgen her köşesi düz bir çizgi olan bir paralelkenardır (bkz. şekil 8).
Bir paralelkenarın özelliklerine ek olarak, dikdörtgenlerin kendi özel özellikleri vardır - dikdörtgenin köşegenleri.
Kareler
Meydan tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir (# 4).
Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerine sahiptir (çünkü tüm kenarlar eşittir).
Çokgen ne denir? Çokgen türleri. POLYGON, üç veya daha fazla kenarı üç veya daha fazla noktada (köşelerde) kesişen düz geometrik bir şekil. Tanım. Çokgen, üç veya daha fazla parçadan (bağlantılardan) oluşan kapalı bir sürekli çizgiyle her yandan sınırlanmış geometrik bir şekildir. Bir üçgen kesinlikle bir çokgendir. Çokgen, beş veya daha fazla köşesi olan bir şekildir.
Tanım. Dörtgen, dört noktadan (bir dörtgenin köşeleri) ve dört ardışık çizgi bölümünden (bir dörtgenin kenarları) oluşan düz geometrik bir şekildir.
Dikdörtgen, tüm köşeleri düz olan bir dikdörtgendir. Kenarların veya köşelerin sayısına göre adlandırılırlar: ÜÇGEN (üç kenarlı); DÖRT TARAF (dört taraflı); PENTAGON (beş kenarlı) vb. Temel geometride, M., kenarlar adı verilen düz çizgilerle sınırlanan bir şekildir. Kenarların birleştiği noktalara köşeler denir. Bir çokgenin üçten fazla köşesi vardır. Yani kabul edildi veya kabul edildi.
Üçgen - bu bir üçgendir. Ve dörtgen de bir çokgen değildir ve dörtgen olarak da adlandırılmaz - ya bir kare ya da bir eşkenar dörtgen ya da bir yamuktur. Üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgenin kendi adı "üçgen" olması onu çokgen statüsünden mahrum bırakmaz.
Diğer sözlüklerde "POLYGON" ifadesinin ne olduğuna bakın:
Bu figürün kapalı bir çoklu çizgi ile sınırlandığını ve bu da basit ve kapalı olduğunu öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzenli, dışbükey olduğu gerçeğinden bahsedelim. Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak bize çocukluktan tanıdık gelen üçgen, birçok ilginç ve gizemli ile doludur.
Tabii ki, üç köşeden oluşan bir figür de bir çokgen olarak kabul edilebilir.
Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değildir. Kesikli çizgi A1A2 ... An, A1, A2, ... An noktalarından ve bunları birbirine bağlayan A1A2, A2A3, ... segmentlerinden oluşan bir şekildir. Bitişik bağları tek bir düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, basit bir kapalı çoklu çizgiye çokgen denir (Şekil 5). "Çokgen" kelimesinde "çok" yerine belirli bir sayıyı değiştirin, örneğin 3. Bir üçgen elde edeceksiniz. Açıların olduğu kadar çok kenarın da olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu rakamlar çok taraflı olarak adlandırılabilir.
A1A2 ... Ve n verilen bir dışbükey çokgen ve n\u003e 3 olsun. İçinde (bir tepe noktasından) köşegenleri çizin
Her üçgenin açılarının toplamı 1800'dür ve bu üçgenlerin sayısı n - 2'dir. Bu nedenle, dışbükey n - gon A1A2'nin açılarının toplamı ... Ve n 1800 * (n - 2) 'dir. Teorem kanıtlandı. Belirli bir tepe noktasında bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç köşesine bitişik olan açıdır.
Bir dörtgende, onu üç üçgene bölen bir çizgi çizin
Bir dörtgenin tek bir doğru üzerinde asla üç köşesi yoktur. "Çokgen" kelimesi, bu ailedeki tüm şekillerin "birçok açıya" sahip olduğunu gösterir. Kesikli çizgi, kendi kendine kesişimleri yoksa basit olarak adlandırılır (Şekil 2, 3).
Kesikli bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4). N \u003d 3 durumunda teorem geçerlidir. Yani kare başka bir şekilde çağrılabilir - normal bir dörtgen. Bu tür rakamlar, binaları dekore eden ustaların uzun zamandır ilgisini çekiyor.
Köşelerin sayısı kenarların sayısına eşittir. Kesikli bir çizgi, uçları çakışırsa kapalı olarak adlandırılır. Örneğin parke üzerinde güzel desenler yaptılar. Beş köşeli yıldızımız, normal bir beşgen yıldızdır.
Ancak tüm normal çokgenler parkeye katlanamaz. İki tür çokgene daha yakından bakalım: bir üçgen ve bir dörtgen. Tüm iç açıların eşit olduğu bir çokgene normal denir. Çokgenler, kenarların veya köşelerin sayısına göre adlandırılır.
Konu, öğrenci yaşı: geometri, 9. sınıf
Dersin amacı: çokgen türlerini inceleyin.
Öğrenme görevi: öğrencilerin poligonlar hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; çokgenin "kurucu kısımları" hakkında bir fikir oluşturmak; düzenli çokgenlerin kurucu elemanlarının sayısı hakkında bir çalışma yapmak (üçgenden n - gon'a);
Gelişimsel görev: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini geliştirme, sözlü ve yazılı matematiksel konuşma, hafıza, ayrıca düşünme ve öğrenme etkinliklerinde bağımsızlık, çiftler ve gruplar halinde çalışma becerisini geliştirmek; araştırma ve bilişsel etkinlikler geliştirmek;
Eğitim görevi: bağımsızlık, faaliyet, verilen iş için sorumluluk, belirlenen hedefe ulaşmada sebat sağlamak.
Dersler sırasında:tahtaya bir alıntı yazılır
"Doğa matematik dilinde konuşur, bu dilin harfleri ... matematiksel figürler." G. Gallilei
Dersin başında, sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda, her birinde 4 kişilik gruplara bölünür - grup üyelerinin sayısı soru gruplarının sayısına eşittir).
1. Çağrı aşaması -
Hedefler:
a) öğrencilerin konuyla ilgili bilgilerini güncellemek;
b) çalışılan konuya olan ilgiyi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetleri için motive etmek.
Teknik: “Buna inanıyor musun ...” oyunu, metin ile çalışmanın organizasyonu.
Çalışma biçimleri: ön, grup.
"Buna inanıyor musun ...."
1.… "çokgen" kelimesi bu ailedeki tüm şekillerin "birçok açıya" sahip olduğunu gösterir?
2.… bir üçgen, bir düzlemdeki birçok farklı geometrik şekil arasında ayrılan geniş bir çokgen ailesine aittir?
3.… kare düzgün bir sekizgendir (dört kenar + dört köşe)?
Bugünün dersi çokgenlere odaklanacak. Bu figürün kapalı bir çoklu çizgi ile sınırlandığını ve bu da basit ve kapalı olduğunu öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzenli, dışbükey olduğu gerçeğinden bahsedelim. Düz çokgenlerden biri, uzun süredir aşina olduğunuz bir üçgendir (öğrencilere çokgen görüntüsü, kesik çizgi ile posterleri gösterebilir, çeşitli türlerini gösterebilir, TCO'ları da kullanabilirsiniz).
2. Anlama aşaması
Amaç: yeni bilgi edinmek, anlamak, seçim.
Resepsiyon: zikzak.
Çalışma biçimleri: bireysel-\u003e çift-\u003e grup.
Her gruba dersin konusuyla ilgili bir metin verilir ve metin hem öğrencilerin zaten bildiği bilgileri hem de tamamen yeni bilgileri içerecek şekilde oluşturulur. Metinle birlikte öğrenciler, yanıtları bu metinde bulunması gereken sorular alırlar.
Çokgenler. Çokgen türleri.
Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak bize çocukluktan tanıdık gelen üçgen, birçok ilginç ve gizemli ile doludur.
Halihazırda bildiğimiz, kenarlara (çok yönlü, ikizkenar, eşkenar) ve köşelere (dar açılı, geniş, dik açılı) bölünmüş üçgen türlerine ek olarak, üçgen, düzlemdeki birçok farklı geometrik şekil arasında ayırt edilen geniş bir çokgen ailesine aittir.
"Çokgen" kelimesi, bu ailedeki tüm şekillerin "birçok açıya" sahip olduğunu gösterir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değildir.
Kesikli çizgi А 1 А 2 ... А n noktalarından ve bunları birbirine bağlayan А 1 А 2, А 2 А 3, ... bölümlerinden oluşan bir rakamdır. Noktalar, çoklu çizginin köşeleri olarak adlandırılır ve parçalar, çoklu çizginin bağlantıları olarak adlandırılır. (şekil 1)
Kesikli çizgi, kendi kendine kesişimleri yoksa basit olarak adlandırılır (Şekil 2, 3).
Kesikli bir çizgi, uçları çakışırsa kapalı olarak adlandırılır. Kesikli bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4).
Bitişik bağları tek bir düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, basit bir kapalı çoklu çizgiye çokgen denir (Şekil 5).
"Çokgen" kelimesinde "çok" yerine belirli bir sayıyı değiştirin, örneğin 3. Bir üçgen elde edeceksiniz. Veya 5. Sonra - bir beşgen. Açıların olduğu kadar çok kenarın da olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu rakamlar çok taraflı olarak adlandırılabilir.
Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri denir ve çoklu çizginin bağlantılarına çokgenin kenarları denir.
Çokgen, düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış (Şekil 6).
Düz bir çokgen veya çokgen bölge, bir çokgenle sınırlanmış bir düzlemin uç kısmıdır.
Bir çokgenin bir tarafının uçları olan iki köşesine bitişik denir. Bir tarafın uçları olmayan tepe noktaları bitişik değildir.
N köşeli ve dolayısıyla n kenarlı bir çokgene n-gon denir.
Bir çokgenin en az kenar sayısı 3 olmasına rağmen, üçgenler birbirleriyle birleşerek başka şekiller oluşturabilir ve bunlar da çokgen olur.
Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birbirine bağlayan çizgi parçalarına köşegenler denir.
Çokgen, kenarını içeren herhangi bir çizgiye göre bir yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Bu durumda, çizginin kendisinin yarım düzleme ait olduğu kabul edilir.
Dışbükey bir çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının bu tepe noktasında birleştiği açıdır.
Teoremi ispatlayalım (bir konveks n - gon'un açılarının toplamı üzerine): Bir konveks n - gon'un açılarının toplamı 180 0 * (n - 2) 'dir.
Kanıt. N \u003d 3 durumunda teorem geçerlidir. А 1 А 2 ... А n verilen bir dışbükey çokgen ve n\u003e 3 olsun. İçine köşegenler çizelim (bir köşeden). Çokgen dışbükey olduğundan, bu köşegenler onu n - 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı, tüm bu üçgenlerin açılarının toplamı ile aynıdır. Her üçgenin açılarının toplamı 180 0'dır ve bu üçgenlerin sayısı n - 2'dir. Bu nedenle, bir dışbükey n - gon A 1 - 2 ... - n açılarının toplamı 180 0 * (n - 2) 'ye eşittir. Teorem kanıtlandı.
Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç köşesine bitişik olan açıdır.
Dışbükey çokgen, tüm tarafları eşitse ve tüm açıları eşitse, düzgün denir.
Yani kare başka bir şekilde çağrılabilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzenlidir. Bu tür rakamlar, binaları dekore eden ustaların uzun zamandır ilgisini çekiyor. Örneğin parke üzerinde güzel desenler yaptılar. Ancak tüm normal çokgenler parkeye katlanamaz. Parke normal sekizgenlerden katlanamaz. Gerçek şu ki, bunların her açısı 135 0'a eşittir. Ve eğer herhangi bir nokta böyle iki sekizgenin tepe noktasıysa, o zaman payları 270 0 olacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği hiçbir yer yoktur: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ama bu bir kare için yeterli. Bu nedenle parkeyi normal sekizgen ve karelerden katlamak mümkündür.
Yıldızlar da doğru. Beş köşeli yıldızımız, normal bir beşgen yıldızdır. Ve kareyi merkezin etrafında 45 0 döndürürseniz, normal bir sekizgen yıldız elde edersiniz.
1. grup
Kesikli çizgi ne denir? Bir çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.
Hangi çoklu çizgiye basit denir?
Hangi çoklu çizgiye kapalı denir?
Çokgen ne denir? Bir çokgenin köşeleri nelerdir? Bir çokgenin kenarları nelerdir?
2. grup
Düz çokgen nedir? Çokgen örnekleri verin.
N - gon nedir?
Poligonun hangi köşelerinin bitişik olduğunu ve hangilerinin olmadığını açıklayın.
Bir çokgenin köşegeni nedir?
3. Grup
Hangi çokgene dışbükey denir?
Poligonun hangi köşelerinin harici ve hangilerinin dahili olduğunu açıklayın.
Hangi çokgene normal denir? Normal çokgen örnekleri verin.
4 grup
Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? Kanıtlamak.
Öğrenciler metinle çalışırlar, sorulan soruların cevaplarını ararlar, ardından uzman grupları oluşturulur, çalışma aynı konular üzerine yapılır: öğrenciler ana konuyu vurgular, destekleyici bir özet oluşturur, bilgileri grafik formlardan birinde sunar. Çalışmanın sonunda öğrenciler çalışma gruplarına dönerler.
3. Düşünme aşaması -
a) bilgilerinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki aşamasına meydan okuma;
b) alınan bilgilerin anlaşılması ve sahiplenilmesi.
Kabul: araştırma çalışması.
Çalışma biçimleri: bireysel-\u003e çift-\u003e grup.
Çalışma gruplarında, önerilen soruların her bir bölümünü yanıtlayan uzmanlar vardır.
Uzman çalışma grubuna geri döndüğünde, grubun diğer üyelerini sorularının cevaplarıyla tanıştırır. Grup, çalışma grubunun tüm üyeleri arasında bilgi alışverişinde bulunur. Böylelikle her çalışma grubunda uzmanların çalışmaları sayesinde, incelenen konuya ilişkin genel bir fikir oluşur.
Öğrencilerin araştırma çalışmaları - tabloyu doldurmak.
| Normal çokgenler | Çizim | Taraf sayısı | Köşe sayısı | Tüm iç köşelerin toplamı | Derece ölçü int. köşe | Dış açı ölçüsü | Köşegen sayısı |
| Bir üçgen | |||||||
| B) dörtgen | |||||||
| C) fivewolnik | |||||||
| D) altıgen | |||||||
| E) n-gon |
Ders konusuyla ilgili ilginç problemleri çözmek.
- Dörtgende, onu üç üçgene bölen bir çizgi çizin.
- Normal bir çokgenin kaç kenarı vardır, her biri iç köşesi 135 0'dır?
- Bazı çokgende, tüm iç açılar birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açılarının toplamı: 360 0, 380 0 olabilir mi?
Dersi özetlemek. Ödev kaydı.
§ 1 Üçgen kavramı
Bu derste üçgen ve çokgen gibi şekillere aşina olacaksınız.
Düz bir çizgi üzerinde bulunmayan üç nokta parçalara bağlıysa, o zaman bir üçgen elde edersiniz. Üçgenin üç noktası ve üç kenarı vardır.
ABC'yi üçgenlemeden önce, üç köşesi (A noktası, B noktası ve C noktası) ve üç kenarı (AB, AC ve CB) vardır.
Bu arada, bu aynı taraflara farklı adlar verilebilir:
AB \u003d BA, AC \u003d CA, CB \u003d BC.
Üçgenin kenarları, üçgenin köşelerinde üç açı oluşturur. Resimde A açısını, B açısını, C açısını görebilirsiniz.
Dolayısıyla, üçgen, tek bir doğru üzerinde bulunmayan üç noktayı birbirine bağlayan üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir.
§ 2 Çokgen kavramı ve türleri
Üçgenlerin yanı sıra dörtgenler, beşgenler, altıgenler vb. Vardır. Tek kelimeyle poligon olarak adlandırılabilirler.
Resimde DMKE dörtgenini görebilirsiniz.
D, M, K ve E noktaları, dörtgenin köşeleridir.
DM, MK, KE, ED segmentleri bu dörtgenin kenarlarıdır. Üçgen durumunda olduğu gibi, dörtgenin kenarları, tahmin ettiğiniz gibi, köşelerde dört köşe oluşturur, dolayısıyla adı - dörtgen. Bu dörtgen için, D açısını, M açısını, K açısını ve E açısını görebilirsiniz.
Hangi dörtgenleri zaten biliyorsunuz?
Kare ve dikdörtgen! Her birinin dört köşesi ve dört kenarı vardır.
Başka bir çokgen türü beşgendir.
O, P, X, Y, T noktaları beşgenin köşeleridir ve TO, OP, PX, XY, YT bölümleri bu beşgenin kenarlarıdır. Beşgenin sırasıyla beş köşesi ve beş kenarı vardır.
Bir altıgenin kaç açısı ve kenarı olduğunu düşünüyorsunuz? Doğru, altı! Benzer şekilde düşünürsek, belirli bir çokgenin kaç kenarı, köşesi veya köşesi olduğunu söyleyebilirsiniz. Ve bir üçgenin aynı zamanda tam olarak üç köşesi, üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgen olduğu sonucuna varabiliriz.
Böylece, bu derste üçgen ve çokgen gibi kavramlarla tanıştınız. Bir üçgenin 3 köşesi, 3 kenarı ve 3 köşesi, bir dörtgenin 4 köşesi, 4 kenarı ve 4 köşesi, bir beşgenin 5 kenarı, 5 köşesi, 5 köşesi olduğunu öğrendik.
Kullanılan literatür listesi:
- Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ve diğerleri 31. baskı, silindi. - M: 2013.
- 5. matematik sınıfındaki didaktik materyaller. Yazar - Popov M.A. - 2013 yılı
- Hatasız hesaplıyoruz. Matematik 5-6 sınıflarda kendi kendine test ile çalışır. Yazar - Minaeva S.S. - yıl 2014
- 5. matematik sınıfındaki didaktik materyaller. Yazarlar: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
- Matematikte kontrol ve bağımsız çalışma, 5. sınıf. Yazarlar - Popov M.A. - yıl2012
- Matematik. 5. Sınıf: ders kitabı. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. baskı, Silindi. - M: Mnemosina, 2009
