Üçgenin dört harika noktası. Araştırma projesi dikkat çekici üçgen noktaları

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin ortaortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Bir üçgenin ortancası (BD), üçgenin tepe noktasını karşı kenarın orta noktasına birleştiren parçadır. A B C D Medyan

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada (üçgenin ağırlık merkezi) kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2: 1 oranında bu noktaya bölünür. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Bir üçgenin ortaortayı (A D), üçgenin iç açısının ortaorta kısmıdır.

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur. AM B C

Bir üçgenin tüm açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin içine yazılan dairenin merkezi. C B 1 M A V A 1 C 1 O Bir dairenin yarıçapı (OM), merkezden (TO) üçgenin kenarına bırakılan dik bir çizgidir.

YÜKSEKLİK Bir üçgenin yüksekliği (C D), üçgenin tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen dik parçadır. A B C D

Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada kesişir. Bir A 1 B B 1 C C 1

ORTA DİK Dik açıortay (DF), üçgenin kenarına dik olan ve onu ikiye bölen çizgidir. AD F B C

A M B m O Bir doğru parçasına dik açıortayın (m) her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik olan ortaorta üzerinde yer alır.

Üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin çevrelediği dairenin merkezi. A B C O Çevreleyen dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir (OA). m n p

Öğrenciler için görevler Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin içine çizilmiş bir daire oluşturun. Bunu yapmak için: Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin açıortaylarını oluşturun. Açıortayların kesişme noktası çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapını oluşturun: çemberin merkezinden üçgenin kenarına dik. Üçgenin içine yazılan bir daire oluşturun.

2. Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgeni çevreleyen bir daire çizin. Bunu yapmak için: Geniş üçgenin kenarlarına dik açıortaylar oluşturun. Bu dikmelerin kesişme noktası çevrel dairenin merkezidir. Bir dairenin yarıçapı, merkezden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir. Üçgenin etrafında bir daire oluşturun.

Sverdlovsk Bölgesi Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı.

Yekaterinburg Belediye Eğitim Kurumu.

Eğitim kurumu – MOUSOSH No. 212 “Ekaterinburg Kültür Lisesi”

Eğitim alanı – matematik.

Konu - geometri.

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Açıklaması: 8. sınıf öğrencisi

Selitsky Dmitry Konstantinovich.

Bilim danışmanı:

Rabkanov Sergey Petrovich.

Ekaterinburg, 2001

giriiş 3

Açıklayıcı kısım:

Ortomerkez 4

Merkez 5

Ağırlık merkezi 7

Çevre merkezi 8

Euler hattı 9

Pratik kısım:

Ortosentrik üçgen 10

Sonuç 11

Referanslar 11

Giriiş.

Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Sürekli yeni özellikleri keşfediliyor. Bir üçgenin bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek çok zaman alacaktır. Sözde " ilgimi çekti Harika noktalarüçgen." Bu tür noktalara örnek olarak açıortayların kesişme noktası verilebilir. Dikkat çekici olan şu ki, uzayda rastgele üç nokta alıp bunlardan bir üçgen oluşturursanız ve açıortaylar çizerseniz, bu açıortaylar bir noktada kesişecektir! Rastgele puanlar aldığımız için bu mümkün değil gibi görünüyor, ancak bu kural her zaman geçerlidir. Diğer “dikkate değer noktalar” da benzer özelliklere sahiptir.

Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra kendime beş harika noktanın ve bir üçgenin tanımlarını ve özelliklerini belirledim. Ancak işim burada bitmedi; bu noktaları kendim araştırmak istedim.

Bu yüzden hedef Bu çalışma, bir üçgenin dikkat çekici bazı özelliklerinin incelenmesi ve ortosentrik bir üçgenin incelenmesidir. Bu hedefe ulaşma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Bir öğretmenin yardımıyla edebiyat seçimi

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve çizgilerinin temel özelliklerinin incelenmesi

Bu özelliklerin genelleştirilmesi

Ortosentrik üçgen içeren bir problemin çizilmesi ve çözülmesi

Bu araştırmada elde edilen sonuçları sundum. Tüm çizimleri bilgisayar grafiklerini (vektör grafik editörü CorelDRAW) kullanarak yaptım.

Diklik merkezi. (Yüksekliklerin kesişme noktası)

Yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Hadi sizi zirvelerden geçirelim A, İÇİNDE Ve İLEüçgen ABC zıt kenarlara paralel düz çizgiler. Bu çizgiler bir üçgen oluşturur A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . üçgenin yüksekliği ABCüçgenin kenarlarına dik açıortaylardır A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . bu nedenle bir noktada kesişirler - üçgenin çevrel çemberinin merkezinde A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına diklik merkezi denir ( H).

Merkez, yazılı dairenin merkezidir.

(Ortaortayların kesişme noktası)

Bir üçgenin açılarının ortaortaylarının olduğunu kanıtlayalım. ABC bir noktada kesişir. Önemli noktayı düşünün HAKKINDA açıortay kesişimleri A Ve İÇİNDE. A açısının açıortayının herhangi bir noktası doğrulardan eşit uzaklıktadır AB Ve AC ve açıortayın herhangi bir noktası İÇİNDE düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve Güneş yani nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AC Ve Güneş, yani açının ortaortasında yer alır İLE. nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB, Güneş Ve SA yani merkezi olan bir daire var HAKKINDA, bu çizgilere teğettir ve teğet noktaları uzantılarında değil, yanlarda bulunur. Aslında köşelerdeki açılar A Ve İÇİNDEüçgen AOB keskin dolayısıyla projeksiyon noktası HAKKINDA direkt olarak AB segmentin içinde yer alıyor AB.

Partiler için Güneş Ve SA kanıt benzerdir.

Icenter'ın üç özelliği vardır:

Açıortayın devamı ise İLE bir üçgenin çevrel çemberi ile kesişir ABC noktada M, O yüksek lisans=OG=MO.

Eğer AB- ikizkenar üçgenin tabanı ABC, ardından açının kenarlarına teğet olan daire DIA noktalarda A Ve İÇİNDE, noktadan geçer HAKKINDA.

Bir noktadan geçen bir çizgi ise HAKKINDA kenara paralel AB, yanları geçer Güneş Ve SA noktalarda A 1 Ve İÇİNDE 1 , O A 1 İÇİNDE 1 =A 1 İÇİNDE+AB 1 .

Ağırlık merkezi. (Orta refüjlerin kesişme noktası)

Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Bunun için şu noktayı göz önünde bulundurun M medyanların kesiştiği yer AA 1 Ve BB 1 . hadi bir üçgen çizelim BB 1 İLE orta çizgi A 1 A 2 , paralel BB 1 . Daha sonra A 1 M:AM=İÇİNDE 1 A 2 :AB 1 =İÇİNDE 1 A 2 :İÇİNDE 1 İLE=VA 1 :GÜNEŞ=1:2, yani medyan kesişme noktası BB 1 Ve AA 1 ortancayı böler AA 1 1:2 oranında. Benzer şekilde medyanların kesişme noktası SS 1 Ve AA 1 ortancayı böler AA 1 1:2 oranında. Bu nedenle medyanların kesişme noktası AA 1 Ve BB 1 medyanların kesişme noktasıyla çakışıyor AA 1 Ve SS 1 .

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgenler eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Aslında bunu kanıtlamak yeterlidir R– medyanın herhangi bir noktası AA 1 bir üçgende ABC, sonra üçgenlerin alanları AVR Ve AKP eşittir. Sonuçta ortancalar AA 1 Ve RA 1 üçgenlerde ABC Ve RVS bunları eşit alanlı üçgenlere bölün.

Tersi ifade de doğrudur: eğer bir noktada R, üçgenin içinde yatıyor ABC, üçgenlerin alanı AVR, ÇARŞAMBA GÜNÜ Ve SAR o zaman eşittir R– medyanların kesişme noktası.

Kesişme noktasının bir özelliği daha vardır: Herhangi bir malzemeden bir üçgen keserseniz, üzerine medyanlar çizerseniz, medyanların kesişme noktasına bir çubuk bağlarsanız ve süspansiyonu bir tripod üzerine sabitlerseniz, model (üçgen) şu şekilde olacaktır: bir denge durumu, dolayısıyla kesişme noktası üçgenin ağırlık merkezinden başka bir şey değildir.

Çevrel dairenin merkezi.

Üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktanın olduğunu, yani üçgenin üç köşesinden geçen bir dairenin olduğunu ispatlayalım. Noktalardan eşit uzaklıktaki noktaların yeri A Ve İÇİNDE, segmente diktir AB, ortasından geçerek (segmente dik açıortay) AB). Önemli noktayı düşünün HAKKINDA segmentlere dik olanların açıortaylarının kesiştiği yer AB Ve Güneş. Nokta HAKKINDA noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İÇİNDE ve ayrıca noktalardan İÇİNDE Ve İLE. bu nedenle noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İLE, yani aynı zamanda segmente dik açıortay üzerinde de bulunur AC.

Merkez HAKKINDAçevrel daire yalnızca üçgen dar olduğunda üçgenin içinde yer alır. Eğer üçgen dik açılı ise nokta HAKKINDA hipotenüsün ortasıyla çakışıyorsa ve tepe noktasındaki açı ise İLEönce künt sonra düz AB noktaları ayırır HAKKINDA Ve İLE.

Matematikte, tamamen farklı şekillerde tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar. Bunu bir örnekle gösterelim.

İzin vermek A 1 , İÇİNDE 1 ,İLE 1 – kenarların orta noktaları Güneş,SA ve AB. Üçgenlerin sınırlı dairelerinin olduğu kanıtlanabilir AB 1 İLE, A 1 Güneş 1 Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin çevrel merkezidir ABC. Yani, görünüşte tamamen farklı iki noktamız var: dik açıortayların üçgenin kenarlarına kesişme noktası ABC ve üçgenlerin çevrel çemberlerinin kesişme noktası AB 1 İLE 1 , A 1 Güneş Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . ancak bu iki noktanın çakıştığı ortaya çıktı.

Euler'in düz çizgisi.

En çok muhteşem mülkÜçgenin dikkat çeken noktaları bazılarının birbirine belirli ilişkilerle bağlı olmasıdır. Örneğin ağırlık merkezi M, diklik merkezi N ve çevrel çemberin merkezi HAKKINDA Aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası OH parçasını böler, böylece ilişki geçerli olur OM:MN=1:2. Bu teorem 1765 yılında İsviçreli bilim adamı Leonardo Euler tarafından kanıtlandı.

Ortosentrik üçgen.

Ortosentrik üçgen(dik üçgen) bir üçgendir ( MNİLE), köşeleri bu üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan ( ABC). Bu üçgenin birçok ilginç özelliği var. Bir tanesini verelim.

Mülk.

Kanıtlamak:

üçgenler AKM, CMN Ve BKNüçgene benzer ABC;

Dik üçgenin açıları MNKşunlardır: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Kanıt:

Sahibiz ABçünkü A, AKçünkü A. Buradan, sabah/AB = AK/AC..

Çünkü üçgenlerde ABC Ve AKM köşe A– ortak iseler benzerdirler ve bundan şu sonuca varırız: L AKM = L C. Bu yüzden L BKM = L C. Sonraki elimizde L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, yani SK– açıortay MNK. Bu yüzden, L MNK= π – 2 L C. Geriye kalan eşitlikler de benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Çözüm.

Bu araştırma çalışmasının sonunda aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

Üçgenin dikkate değer noktaları ve çizgileri şunlardır:

diklik merkezi bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıdır;

vemerkezüçgen, açıortayların kesişme noktasıdır;

ağırlık merkezi bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasıdır;

çevre merkezi– ortaorta dikmelerinin kesişme noktasıdır;

Euler'in düz çizgisi- bu, ağırlık merkezinin, diklik merkezinin ve çevrelenen dairenin merkezinin bulunduğu düz çizgidir.

Ortosentrik bir üçgen böler verilen üçgen buna benzer üç tane.

Bu çalışmayı yaptıktan sonra üçgenin özellikleri hakkında çok şey öğrendim. Bu çalışma benim için matematik alanındaki bilgilerimi geliştirmem açısından önemliydi. Gelecekte bu ilginç konuyu geliştirmeyi planlıyorum.

Kaynakça.

Kiselyov A.P. Temel geometri. – M.: Eğitim, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.

Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. – M.: Nauka, 1986. – Bölüm 1.

Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.

Scanavi M.I. Çözümlerle ilgili sorunlar. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.

Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.

İçerik

Giriş…………………………………………………………………………………3

Bölüm 1.

1.1 Üçgen………………………………………………………………………………..4

1.2. Bir üçgenin medyanları

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

Kitapçık

giriiş

Geometri, çeşitli şekiller ve bunların özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur; ama bu sadece bir sembol değil, üçgen geometrinin bir atomudur.

Çalışmamda bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin kesişme noktalarının özelliklerini ele alıp, bunların dikkat çekici özelliklerinden ve üçgenin çizgilerinden bahsedeceğim.

Bir okul geometri dersinde incelenen bu tür noktalar şunları içerir:

a) açıortayların kesişme noktası (yazılı dairenin merkezi);

b) açıortay diklerinin kesişme noktası (sınırlandırılmış dairenin merkezi);

c) yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez);

d) medyanların kesişme noktası (merkez).

Uygunluk: üçgen hakkındaki bilginizi genişletin,onun özellikleriharika noktalar.

Hedef: üçgenin dikkat çekici noktalarına kadar araştırılması,onları incelemekSınıflandırmalar ve özellikler.

Görevler:

1. Keşfedin gerekli literatür

2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin

3. Dikkat çekici üçgen noktalar oluşturabilecektir.

4. Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetleyin.

Proje hipotezi:

Herhangi bir üçgende dikkat çekici noktalar bulma yeteneği, geometrik inşaat problemlerini çözmenize olanak sağlar.

Bölüm 1. Üçgenin dikkat çekici noktaları hakkında tarihi bilgiler

Elementler'in dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire çizmek." Çözümden, üçgenin iç açılarının üç açıortayının bir noktada - yazılı dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. Başka bir Öklid probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada, çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği sonucu çıkar. Elementler, üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez (Yunanca "orthos" kelimesi "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimed, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu.

Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı. Yukarıdaki dört noktaya değinildi Özel dikkat 18. yüzyıldan beri üçgenin “dikkat çekici” veya “özel” noktaları olarak adlandırılıyorlar.

Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. 1765 yılında Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevre merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını, daha sonra "Euler düz çizgisi" olarak adlandırıldığını kanıtladı.

Üçgen - geometrik şekil Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan. Puanlar -zirveler üçgen, bölümler -taraflar üçgen.

İÇİNDE A, B, C - köşeler

AB, BC, SA - taraflar

Her üçgenin kendisiyle ilişkili dört noktası vardır:

Medyanların kesişme noktası;

Açıortayların kesişme noktası;

Yüksekliklerin kesişme noktası.

Dik açıortayların kesişme noktası;

1.2. Bir üçgenin medyanları

Bir üçgenin Medine'si - , köşeyi bağlayan karşı tarafın ortasından (Şekil 1). Medyanın üçgenin kenarını kestiği noktaya medyanın tabanı denir.

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Üçgenin kenarlarının orta noktalarını oluşturalım ve her bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçaları çizelim. Bu tür bölümlere medyan denir.

Ve yine bu parçaların bir noktada kesiştiğini görüyoruz. Ortaya çıkan medyan bölümlerinin uzunluklarını ölçersek, bir özelliği daha kontrol edebiliriz: Medyanların kesişme noktası, köşe noktalarından itibaren sayılarak tüm medyanları 2:1 oranında böler. Ancak yine de kenarortayların kesiştiği noktada iğnenin ucunda duran üçgen dengededir! Bu özelliğe sahip bir noktaya ağırlık merkezi (barycenter) adı verilir. Eşit kütlenin merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu nedenle, bir üçgenin kenarortaylarının özellikleri şu şekilde formüle edilebilir: Bir üçgenin kenarortayları ağırlık merkezinde kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.

1.3. Bir üçgenin açıortayları

Açıortay isminde açının tepe noktasından karşı kenarla kesiştiği noktaya kadar çizilen açının açıortayı. Bir üçgenin üç köşesine karşılık gelen üç açıortayı vardır (Şekil 2).

Şekil 2. Üçgen ortay

Herhangi bir ABC üçgeninde açılarının ortaylarını çiziyoruz. Ve yine, tam bir yapıyla, üç açıortay da bir D noktasında kesişecektir. D noktası da alışılmadık bir durumdur: üçgenin üç kenarına da eşit mesafededir. Bu, DA 1, DB 1 ve DC1 dik açılarının üçgenin kenarlarına indirilmesiyle doğrulanabilir. Hepsi birbirine eşittir: DA1=DB1=DC1.

Merkezi D noktasında ve yarıçapı DA 1 olan bir daire çizerseniz, üçgenin üç kenarına da dokunacaktır (yani her biriyle yalnızca bir ortak noktaya sahip olacaktır). Böyle bir daireye üçgen içine yazılı denir. Yani bir üçgenin açılarının açıortayları yazılı dairenin merkezinde kesişir.

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Üçgenin yüksekliği - , üstten düştü karşı tarafa veya karşı tarafa denk gelen düz bir çizgiye. Üçgenin türüne bağlı olarak yükseklik üçgenin içinde kalabilir (örneğin üçgen), kendi tarafıyla çakışır (olur) üçgen) veya geniş bir üçgende üçgenin dışından geçin (Şekil 3).

Şekil 3. Üçgenlerde yükseklikler

Bir üçgende üç yükseklik oluşturursanız, bunların hepsi bir H noktasında kesişecektir. Bu noktaya diklik merkezi denir. (Şekil 4).

Yapıları kullanarak üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkezin farklı konumlandırıldığını kontrol edebilirsiniz:

dar bir üçgen için - içeride;

dikdörtgen olan için - hipotenüs üzerinde;

geniş bir açı için dışarıdadır.

Şekil 4. Üçgenin ortomerkezi

Böylece üçgenin dikkat çekici bir noktasıyla daha tanıştık ve şunu söyleyebiliriz: Üçgenin yükseklikleri diklik merkezinde kesişir.

1.5. Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar

Bir doğru parçasının dik açıortayı, verilen parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.

Rastgele bir ABC üçgeni çizelim ve kenarlarına dik açıortaylar çizelim. İnşaat doğru yapılırsa, tüm dikler bir noktada kesişecektir - O noktası. Bu nokta, üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır. Yani merkezi O noktasında olan ve üçgenin köşelerinden birinden geçen bir daire çizerseniz, bu daire diğer iki köşesinden de geçecektir.

Bir üçgenin tüm köşelerinden geçen daireye çevresi çevrelenmiş daire denir. Bu nedenle, bir üçgenin belirlenmiş özelliği şu şekilde formüle edilebilir: Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, çevrelenen dairenin merkezinde kesişir (Şekil 5).

Şekil 5. Bir daire içine yazılan üçgen

Bölüm 2. Üçgenin dikkat çekici noktalarının incelenmesi.

Üçgenlerde yükseklik çalışması

Bir üçgenin her üç yüksekliği de bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.

Dar bir üçgenin yükseklikleri kesinlikle üçgenin içinde bulunur.

Buna göre yüksekliklerin kesişme noktası da üçgenin içinde yer alır.

Bir dik üçgende iki yükseklik kenarlarla çakışır. (Bunlar dar açıların köşelerinden bacaklara çizilen yüksekliklerdir).

Hipotenüse çizilen yükseklik üçgenin içindedir.

AC, C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliktir.

AB, B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliktir.

AK - tepe noktasından çizilen yükseklik dik açı Ve BC hipotenüsüne.

Bir dik üçgenin yükseklikleri dik açının tepe noktasında kesişir (A diklik merkezidir).

Geniş bir üçgende, üçgenin içinde yalnızca bir yükseklik vardır; geniş açının tepe noktasından çizilen yükseklik.

Diğer iki yükseklik üçgenin dışında yer alır ve üçgenin kenarlarının devamına kadar alçalır.

AK, BC kenarına çizilen yüksekliktir.

BF - AC tarafının devamına kadar çizilen yükseklik.

CD, AB kenarının devamına çizilen yüksekliktir.

Geniş açılı bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası da üçgenin dışındadır:

H, ABC üçgeninin diklik merkezidir.

Bir üçgende açıortayların incelenmesi

Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açısının (ışın) açıortayının üçgenin içindeki kısmıdır.

Bir üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.

Dar, geniş ve dik üçgenlerde açıortayların kesişme noktası üçgendeki yazılı dairenin merkezidir ve iç kısımda yer alır.

Bir üçgende medyanların incelenmesi

Üçgenin üç köşesi ve üç kenarı olduğundan, köşeyi karşı kenarın ortasıyla birleştiren üç doğru parçası da vardır.

Bu üçgenleri inceledikten sonra herhangi bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini fark ettim. Bu noktaya denir üçgenin ağırlık merkezi.

Bir üçgenin bir kenarına dik açıortayların incelenmesi

Dik açıortay Üçgenin bir kenarının ortasına çizilen dikme üçgendir.

Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir ve çevrel çemberin merkezidir.

Dar bir üçgende dik açıortayların kesişme noktası üçgenin içinde yer alır; geniş bir açıyla - üçgenin dışında; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında.

Çözüm

Yapılan çalışma sırasında aşağıdaki sonuçlara varıyoruz:

Hedefe ulaşıldı:üçgeni araştırdı ve dikkat çekici noktalarını buldu.

Atanan görevler çözüldü:

1). Gerekli literatürü inceledik;

2). Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceledik;

3). Harika üçgen noktalarının nasıl oluşturulacağını öğrendik;

4). Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetledik.

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını bulma yeteneğinin inşaat problemlerinin çözümüne yardımcı olduğu hipotezi doğrulandı.

Çalışma, bir üçgenin dikkat çekici noktalarının oluşturulmasına yönelik tekniklerin ana hatlarını tutarlı bir şekilde özetlemektedir. tarihi bilgi Geometrik yapılar hakkında.

Bu çalışmadan elde edilen bilgiler 7. sınıf geometri derslerinde faydalı olabilir. Kitapçık, sunulan konuyla ilgili geometri konusunda bir referans kitabı haline gelebilir.

Kaynakça

Ders Kitabı. L.S. Atanasyan “Geometri 7-9. SınıflarMnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal Scarlet Yelkenleri

Lider eğitim portalı Rusya http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Bu dersimizde üçgenin dört harika noktasına bakacağız. Bunlardan ikisi üzerinde detaylı olarak duralım, önemli teoremlerin ispatlarını hatırlayalım ve problemi çözelim. Geriye kalan ikisini hatırlayalım ve karakterize edelim.

Ders:8.sınıf geometri dersinin tekrarı

Ders: Bir Üçgenin Dört Harika Noktası

Bir üçgen her şeyden önce üç parça ve üç açıdan oluşur, bu nedenle parçaların ve açıların özellikleri temeldir.

AB segmenti veriliyor. Her doğru parçasının bir orta noktası vardır ve bu noktadan geçen bir dikme çizilebilir; buna p diyelim. Dolayısıyla p dik açıortaydır.

Teorem (dik açıortayın ana özelliği)

Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Kanıtla

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve (bkz. Şekil 1). Dikdörtgen ve eşittirler çünkü. ortak bir OM bacağı var ve AO ve OB bacakları koşula göre eşit, dolayısıyla iki ayakta eşit olan iki dik üçgenimiz var. Buradan üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gereken şeyin eşit olduğu sonucu çıkıyor.

Pirinç. 1

Ters teorem doğrudur.

Teorem

Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.

Bir AB parçası verildiğinde, ona dik bir açıortay p, parçanın uçlarından eşit uzaklıkta bir M noktası var (bkz. Şekil 2).

M noktasının doğru parçasının dik açıortayı üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.

Pirinç. 2

Kanıt:

Bir üçgen düşünün. Koşullara göre ikizkenardır. Bir üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının ortasıdır, OM medyandır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre tabanına çizilen kenarortay hem yükseklik hem de açıortaydır. Bunu takip ediyor. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. O noktasında AB doğru parçasına tek bir dik çizgi çizmenin mümkün olduğunu biliyoruz; bu, OM ve p çizgilerinin çakıştığı anlamına gelir; bundan M noktasının p düz çizgisine ait olduğu sonucu çıkar ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Bir parçanın etrafındaki bir daireyi tanımlamak gerekiyorsa, bu yapılabilir ve bu tür sonsuz sayıda daire vardır, ancak bunların her birinin merkezi, parçaya dik açıortay üzerinde yer alacaktır.

Dik açıortayın, bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu söylüyorlar.

Bir üçgen üç parçadan oluşur. Bunlardan ikisine orta dikmeler çizelim ve kesişimlerinin O noktasını elde edelim (bkz. Şekil 3).

O noktası üçgenin BC kenarına dik açıortaya aittir, yani B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır, bu mesafeyi R olarak gösterelim: .

Ek olarak, O noktası AB segmentine dik açıortay üzerinde bulunur, yani. , aynı zamanda buradan.

Böylece iki orta noktanın kesişimindeki O noktası

Pirinç. 3

Üçgenin dik açıları köşelerinden eşit uzaklıktadır, bu da onun aynı zamanda üçüncü açıortay üzerinde de bulunduğu anlamına gelir.

Önemli bir teoremin ispatını tekrarladık.

Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir - çevrel çemberin merkezi.

Böylece üçgenin ilk dikkat çekici noktasına baktık - orta dikmelerin kesişme noktası.

İsteğe bağlı bir açının özelliğine geçelim (bkz. Şekil 4).

Açı veriliyor, ortayağı AL, M noktası açıortay üzerinde yer alıyor.

Pirinç. 4

M noktası bir açının açıortayında yer alıyorsa, açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani M noktasından AC'ye ve açının kenarlarının BC'ye olan mesafeleri eşittir.

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik üçgenler ve eşitler çünkü... Ortak bir AM hipotenüsü vardır ve AL, açının ortancası olduğundan açılar eşittir. Dolayısıyla dik üçgenlerin hipotenüsleri ve dar açıları eşittir ve bunun kanıtlanması gerekir. Bu nedenle, bir açının açıortayı üzerindeki bir nokta, o açının kenarlarına eşit uzaklıktadır.

Ters teorem doğrudur.

Teorem

Bir nokta, gelişmemiş bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, o zaman açıortayında bulunur (bkz. Şekil 5).

Gelişmemiş bir açı verilmiştir, M noktası, öyle ki, ondan açının kenarlarına olan mesafe aynı olsun.

M noktasının açınınortay üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.

Pirinç. 5

Kanıt:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe dikmenin uzunluğudur. M noktasından AB kenarına MK dikmelerini ve AC kenarına MR dikmelerini çiziyoruz.

Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik üçgenler ve eşitler çünkü... ortak bir hipotenüs AM'ye sahiptir, bacaklar MK ve MR koşula göre eşittir. Böylece dik üçgenlerin hipotenüsü ve kenarı eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden karşılık gelen eşit kenarların eşitliği gelir; eşit açılar, Böylece, Bu nedenle M noktası verilen açının açıortayında yer alır.

Bir açıyla bir daire çizmeniz gerekiyorsa, bu yapılabilir ve bu tür sonsuz sayıda daire vardır, ancak bunların merkezleri belirli bir açının açıortayında yer alır.

Açıortayın, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu söylüyorlar.

Bir üçgen üç açıdan oluşur. Bunlardan ikisinin orta açısını oluşturalım ve kesişimlerinin O noktasını alalım (bkz. Şekil 6).

O noktası açının açıortayında yer alır, yani AB ve BC kenarlarından eşit uzaklıktadır, mesafeyi r olarak gösterelim: . Ayrıca O noktası açının ortay üzerinde yer alır, yani buradan AC ve BC kenarlarına eşit uzaklıkta olur: , ,.

Açıortayların kesişme noktasının üçüncü açının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu fark etmek kolaydır, bu da onun üzerinde olduğu anlamına gelir.

Pirinç. 6

açıortay. Böylece üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.

Böylece bir başka önemli teoremin ispatını hatırladık.

Bir üçgenin açılarının açıortayları bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi.

Böylece üçgenin ikinci dikkat çekici noktasına baktık - açıortayların kesişme noktası.

Bir açının açıortayını inceledik ve önemli özelliklerine dikkat çektik: Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıkta, ayrıca bir noktadan daireye çizilen teğet bölümler eşittir.

Bazı gösterimleri tanıtalım (bkz. Şekil 7).

Eşit teğet parçaları x, y ve z ile gösterelim. A tepe noktasının karşısındaki BC kenarı a olarak gösterilir, benzer şekilde AC b olarak, AB ise c olarak gösterilir.

Pirinç. 7

Problem 1: Bir üçgende a kenarının yarı çevresi ve uzunluğu biliniyor. A - AK köşesinden çizilen ve x ile gösterilen teğetin uzunluğunu bulun.

Açıkçası, üçgen tam olarak tanımlanmamıştır ve bu tür birçok üçgen vardır, ancak bazı ortak unsurların olduğu ortaya çıkmıştır.

Yazılı daire içeren problemler için aşağıdaki çözüm yöntemi önerilebilir:

1. Açıortayları çizin ve yazılı dairenin merkezini alın.

2. O merkezinden kenarlara dik çizgiler çizin ve teğet noktaları elde edin.

3. Eşit teğetleri işaretleyin.

4. Üçgenin kenarları ile teğetler arasındaki ilişkiyi yazın.

DÖRT ÖNEMLİ NOKTA

ÜÇGEN

Geometri

8. sınıf

Sakharova Natalia Ivanovna

MBOU Simferopol 28 Nolu Ortaokulu

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası
Üçgen açıortayların kesişme noktası
Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası
Bir üçgenin dik kenarortaylarının kesişme noktası

Medyan

Medyan (BD)Üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına üçgen denir.

Medyanlarüçgenler kesişiyor bir noktada (ağırlık merkeziüçgen) ve tepe noktasından sayılarak 2: 1 oranında bu noktaya bölünür.

AÇIORTAY

Açıortay (AD) Bir üçgenin iç açısının açıortay kısmıdır. ∟ KÖTÜ = ∟CAD.

Her nokta bisektörler gelişmemiş bir açının kenarı kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Geri: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta onun üzerinde yer alır. açıortay.

Tüm açıortaylarüçgenler bir noktada kesişir - yazılı olanın merkezi bir üçgene daireler.

Çemberin yarıçapı (OM), merkezden (TO) üçgenin kenarına inen dik bir çizgidir.

YÜKSEKLİK

Yükseklik (CD) Bir üçgenin tepe noktasından karşı kenarı içeren bir çizgiye çizilen dik bir bölümdür.

Yüksekliklerüçgenler (veya uzantıları) kesişiyor bir nokta.

ORTA DİK

Dik açıortay (DF)Üçgenin bir kenarına dik olan ve onu ikiye bölen düz çizgiye denir.

Her nokta dik açıortay(m) bir parçaya bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta.

Geri: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta orta noktada yer alır dik ona.

Bir üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - anlatılanların merkezi üçgenin yakınında daire .

Çevrel dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine (OA) olan mesafedir.

Sayfa 177 Sayı 675 (çizim)

Ev ödevi

S. 173 § 3 tanımlar ve teoremler s. 177 No. 675 (son)