Proizvodna funkcija – odvisnost obsega proizvodnje od količine in kakovosti razpoložljivih proizvodnih dejavnikov, izražena z matematičnim modelom. Proizvodna funkcija omogoča določitev optimalne višine stroškov, potrebnih za proizvodnjo določenega dela blaga. Hkrati je funkcija vedno namenjena določeni tehnologiji - integracija novosti pomeni potrebo po pregledu odvisnosti.
Proizvodna funkcija: splošna oblika in lastnosti
Za proizvodne funkcije so značilne naslednje lastnosti:
- Povečanje obsega proizvodnje zaradi enega proizvodnega faktorja je vedno največje (na primer, omejeno število strokovnjakov lahko dela v eni sobi).
- Proizvodni dejavniki so lahko nadomestljivi (človeške vire nadomestijo roboti) in komplementarni (delavci potrebujejo orodja in stroje).
IN splošni pogled Proizvodna funkcija izgleda takole:
Q = f (K, M, L, T, n),
Proizvodnja ne more ustvariti izdelkov iz nič. Proizvodni proces vključuje porabo različnih virov. Viri vključujejo vse, kar je potrebno za proizvodno dejavnost - surovine, energijo, delovno silo, opremo in prostor.
Da bi opisali obnašanje podjetja, je treba vedeti, koliko izdelka lahko proizvede z uporabo virov v določenih količinah. Izhajali bomo iz predpostavke, da podjetje proizvaja homogen proizvod, katerega količina se meri v naravnih enotah - tonah, kosih, metrih itd. Odvisnost količine proizvoda, ki ga lahko proizvede podjetje, od količine vložkov virov se imenuje proizvodna funkcija.
Toda podjetje ga lahko izvaja na različne načine proizvodni proces, z uporabo različnih tehnoloških metod, različnih možnosti za organizacijo proizvodnje, tako da je količina izdelka, pridobljenega z enako porabo sredstev, lahko različna. Vodstvo podjetij bi moralo zavrniti proizvodne možnosti, ki dajejo nižjo proizvodnjo, če je mogoče doseči višjo proizvodnjo z enakimi stroški vsake vrste vira. Prav tako bi morali zavrniti možnosti, ki zahtevajo več vložka vsaj enega vložka, ne da bi povečali donos ali zmanjšali vložek drugih vložkov. Možnosti, zavrnjene zaradi teh razlogov, se imenujejo tehnično neučinkovite.
Recimo, da vaše podjetje proizvaja hladilnike. Za izdelavo telesa morate rezati železno pločevino. Glede na to, kako je standardna pločevina železa označena in izrezana, je mogoče iz nje izrezati več ali manj delov; V skladu s tem bo za izdelavo določenega števila hladilnikov potrebno manj ali več standardnih listov železa.
Poraba vseh drugih materialov, dela, opreme in električne energije pa bo ostala nespremenjena. To možnost proizvodnje, ki bi jo lahko izboljšali z racionalnejšim rezanjem železa, je treba obravnavati kot tehnično neučinkovito in jo zavrniti.
Tehnično učinkovite so proizvodne možnosti, ki jih ni mogoče izboljšati niti s povečanjem proizvodnje izdelka brez povečanja porabe virov, niti z zmanjšanjem stroškov katerega koli vira brez zmanjšanja proizvodnje in brez povečanja stroškov drugih virov.
Proizvodna funkcija upošteva samo tehnično učinkovite možnosti. Njegov pomen je največje število izdelek, ki ga podjetje lahko proizvede glede na obseg porabe virov.
Najprej razmislimo o najpreprostejšem primeru: podjetje proizvaja eno vrsto izdelka in porablja eno samo vrsto virov.
Primer takšne proizvodnje je v resnici precej težko najti. Tudi če obravnavamo podjetje, ki opravlja storitve na domu strank brez uporabe kakršne koli opreme in materialov (masaže, inštrukcije) in uporablja samo delovno silo delavcev, bi morali domnevati, da delavci hodijo okoli strank peš (brez uporabe prevoza). storitve) in se pogajati s strankami brez pomoči pošte in telefona. Torej lahko podjetje, ki porabi vir v količini x, proizvede izdelek v količini q.
Proizvodna funkcija:
vzpostavi povezavo med temi količinami. Upoštevajte, da so tukaj, tako kot pri drugih predavanjih, vse volumetrične količine količine pretočnega tipa: obseg vnosa vira se meri s številom enot vira na časovno enoto, obseg izhoda pa se meri s številom enot izdelka na časovno enoto.
Na sl. 1 prikazuje graf proizvodne funkcije za obravnavani primer. Vse točke na grafu ustrezajo tehnično učinkovitim opcijam, zlasti točki A in B. Točka C ustreza neučinkoviti možnosti, točka D pa nedosegljivi možnosti.
riž. 1.
Proizvodno funkcijo tipa (1), ki ugotavlja odvisnost obsega proizvodnje od obsega stroškov posameznega vira, lahko uporabimo ne le v ilustrativne namene. Uporaben je tudi, kadar se lahko spremeni poraba samo enega vira, stroške vseh ostalih virov pa je treba iz takšnih ali drugačnih razlogov šteti za fiksne. V teh primerih je zanimiva odvisnost obsega proizvodnje od stroškov posameznega spremenljivega dejavnika.
Veliko večja raznolikost se pojavi, če upoštevamo proizvodno funkcijo, ki je odvisna od količine dveh porabljenih virov:
q = f(x 1 , x 2) (2)
Analiza takšnih funkcij olajša prehod na splošni primer, ko je število virov lahko poljubno.
Poleg tega se proizvodne funkcije dveh argumentov pogosto uporabljajo v praksi, ko raziskovalca zanima odvisnost obsega proizvodnje izdelka od najpomembnejši dejavniki- stroški dela (L) in kapitala (K):
q = f(L, K). (3)
Grafa funkcije dveh spremenljivk ni mogoče prikazati na ravnini.
Proizvodno funkcijo tipa (2) lahko predstavimo v tridimenzionalnem kartezičnem prostoru, pri čemer sta dve koordinati (x 1 in x 2) narisani na vodoravnih oseh in ustrezata stroškom virov, tretja (q) pa je narisana na navpični osi in ustreza izhodu izdelka (slika 2). Graf proizvodne funkcije je površina "hribčka", ki narašča z vsako od koordinat x 1 in x 2. Konstrukcija na sl. 1 lahko obravnavamo kot navpični odsek "hriba" z ravnino, ki je vzporedna z osjo x 1 in ustreza fiksni vrednosti druge koordinate x 2 = x * 2.
riž. 2.
Horizontalni del "hriba" združuje proizvodne možnosti, za katere je značilna fiksna proizvodnja proizvoda q = q* pri razne kombinacije stroški prvega in drugega vira. Če je vodoravni odsek površine "hribovja" upodobljen ločeno na ravnini s koordinatama x 1 in x 2, bo pridobljena krivulja, ki združuje takšne kombinacije vložkov virov, ki omogočajo pridobitev določenega fiksnega obsega proizvodnje izdelka ( Slika 3). Takšna krivulja se imenuje izokvant proizvodne funkcije (iz grškega isoz - enako in latinskega quantum - koliko).
riž. 3.
Predpostavimo, da proizvodna funkcija opisuje output v odvisnosti od inputov dela in kapitala. Enako količino proizvodnje je mogoče dobiti z različnimi kombinacijami vložkov teh virov.
Uporabite lahko majhno število strojev (tj. preživite z majhnim vložkom kapitala), vendar boste morali porabiti veliko dela; Nasprotno je mogoče nekatere operacije mehanizirati, povečati število strojev in s tem zmanjšati stroške dela. Če za vse takšne kombinacije največji možni izhod ostane konstanten, potem so te kombinacije predstavljene s točkami, ki ležijo na isti izokvanti.
S fiksiranjem obsega proizvodnje proizvoda na drugi ravni dobimo drugo izokvanto iste proizvodne funkcije.
Z izvedbo serije vodoravnih prerezov na različnih višinah dobimo tako imenovano izokvantno karto (slika 4) - najpogostejša grafični prikaz proizvodno funkcijo iz dveh argumentov. Izgleda kot geografski zemljevid, na katerem je teren upodobljen z vodoravnimi črtami (sicer znanimi kot izohipse) - črtami, ki povezujejo točke, ki ležijo na isti višini.
riž. 4.
Zlahka je videti, da je proizvodna funkcija v mnogih pogledih podobna funkciji koristnosti v teoriji potrošnje, izokvanti indiferenčni krivulji in izokvantni karti indiferenčni karti. Kasneje bomo videli, da imajo lastnosti in značilnosti proizvodne funkcije številne analogije v teoriji potrošnje. In ne gre za preprosto podobnost. V odnosu do virov se podjetje obnaša kot potrošnik, proizvodna funkcija pa označuje ravno to plat produkcije - proizvodnjo kot potrošnjo. Ta ali oni niz virov je uporaben za proizvodnjo, če omogoča pridobitev ustreznega obsega proizvodnje izdelka. Lahko rečemo, da vrednosti proizvodne funkcije izražajo uporabnost za proizvodnjo ustreznega niza virov. Za razliko od potrošniške uporabnosti ima ta "uporabnost" povsem določeno količinsko merilo - določa jo količina proizvedenih izdelkov.
Dejstvo, da se vrednosti proizvodne funkcije nanašajo na tehnično učinkovite možnosti in označujejo najvišjo proizvodnjo pri porabi določenega niza virov, ima tudi analogijo v teoriji potrošnje.
Potrošnik lahko kupljeno blago uporablja na različne načine. Uporabnost kupljenega kompleta blaga določa način uporabe, pri katerem je potrošnik največ zadovoljen.
Kljub vsem opaženim podobnostim med potrošniško koristjo in »koristnostjo«, izraženo z vrednostmi proizvodne funkcije, gre za popolnoma različna koncepta. Potrošnik sam, le na podlagi lastnih preferenc, določi, kako koristen je ta ali oni izdelek zanj - tako, da ga kupi ali zavrne.
Niz proizvodnih virov bo na koncu uporaben do te mere, da bo potrošnik sprejel izdelek, ki je proizveden z uporabo teh virov.
Ker ima produkcijska funkcija najbolj splošne lastnosti funkcije koristnosti, lahko nadalje obravnavamo njene glavne lastnosti, ne da bi ponavljali podrobne argumente, podane v II. delu.
Predpostavili bomo, da povečanje stroškov enega od virov ob ohranjanju konstantnih stroškov drugega omogoča povečanje proizvodnje. To pomeni, da je proizvodna funkcija naraščajoča funkcija vsakega od svojih argumentov. Skozi vsako točko ravnine virov s koordinatama x 1, x 2 poteka ena izokvanta. Vse izokvante imajo negativen naklon. Izokvanta, ki ustreza večjemu izkoristku produkta, se nahaja desno in nad izokvanto za nižji izkoristek. Končno bomo vse izokvante obravnavali kot konveksne v smeri izhodišča.
Na sl. 5 prikazuje nekaj kart izokvant, ki označujejo različne situacije, ki izhaja iz proizvodne porabe dveh virov. 5a ustreza absolutni medsebojni zamenjavi virov. V primeru, predstavljenem na sl. Kot je prikazano na sliki 5b, je mogoče prvi vir v celoti nadomestiti z drugim: izokvantne točke, ki se nahajajo na osi x2, prikazujejo količino drugega vira, ki omogoča pridobitev določenega učinka izdelka brez uporabe prvega vira. Uporaba prvega vira vam omogoča zmanjšanje stroškov drugega, vendar je nemogoče popolnoma nadomestiti drugega vira s prvim.
riž. 5 ,in prikazuje situacijo, v kateri sta potrebna oba vira in nobenega od njiju ni mogoče popolnoma nadomestiti z drugim. Končno, primer, predstavljen na sl. 5d, je značilna absolutna komplementarnost virov.
riž. 5.
Produkcijska funkcija, ki je odvisna od dveh argumentov, ima dokaj jasno predstavitev in jo je relativno enostavno izračunati. Treba je opozoriti, da ekonomija uporablja proizvodne funkcije različnih predmetov - podjetij, industrij, nacionalnih in svetovnih gospodarstev. Največkrat so to funkcije oblike (3); včasih je dodan še tretji argument - stroški naravnih virov (N):
q = f(L, K, N). (3)
To je smiselno, če je količina naravnih virov, vključenih v proizvodne dejavnosti, spremenljiva.
V uporabnih ekonomskih raziskavah in ekonomska teorija se uporabljajo proizvodne funkcije različni tipi. Njihove značilnosti in razlike bodo obravnavane v razdelku 3. V uporabnih izračunih nas zahteve praktične izračunljivosti prisilijo, da se omejimo na majhno število dejavnikov, ti dejavniki pa se štejejo za razširjene - "delo" brez delitve na poklice in kvalifikacije, " kapital«, ne da bi upoštevali njegovo specifično sestavo itd. d. Pri teoretični analizi produkcije lahko zanemarimo težave praktične izračunljivosti. Teoretični pristop zahteva, da se vsaka vrsta vira obravnava kot absolutno homogena. Surovine različnih razredov je treba obravnavati kot različne vrste virov, tako kot stroje različnih znamk ali delovno silo, ki se razlikuje po poklicnih in kvalifikacijskih značilnostih.
Tako je proizvodna funkcija, ki se uporablja v teoriji, funkcija veliko število argumenti:
q = f(x 1, x 2, ..., x n). (4)
Enak pristop je bil uporabljen v teoriji potrošnje, kjer število vrst porabljenih dobrin ni bilo na noben način omejeno.
Vse, kar je bilo prej povedano o produkcijski funkciji dveh argumentov, lahko prenesemo na funkcijo oblike (4), seveda z zadržki glede dimenzionalnosti.
Izokvante funkcije (4) niso ravninske krivulje, temveč n-dimenzionalne ploskve. Kljub temu bomo še naprej uporabljali "ravne izokvante" - tako za ilustrativne namene kot kot priročno sredstvo za analizo v primerih, ko so stroški dveh virov spremenljivi, ostali pa veljajo za fiksne.
Druga vrsta proizvodne funkcije je linearna proizvodna funkcija, ki ima naslednjo obliko:
Q(L,K) = aL + bK
Ta proizvodna funkcija je homogena prve stopnje, zato ima stalne donose na obseg proizvodnje. Grafično to funkcijo prikazano na sliki 1.2, a.
Ekonomski pomen linearne produkcijske funkcije je v tem, da opisuje produkcijo, v kateri so dejavniki zamenljivi, to pomeni, da ni pomembno, ali uporabljate samo delo ali samo kapital. Ampak v resnično življenje takšna situacija je praktično nemogoča, saj vsak stroj še vedno servisira oseba.
Koeficienta a in b funkcije, ki ju najdemo pod spremenljivkama L in K, kažeta razmerja, v katerih je en faktor mogoče nadomestiti z drugim. Na primer, če je a=b=1, potem to pomeni, da je mogoče 1 uro dela nadomestiti z 1 uro strojnega časa, da se proizvede enak obseg proizvodnje.
Treba je opozoriti, da se v nekaterih vrstah gospodarske dejavnosti delo in kapital sploh ne moreta nadomestiti in ju je treba uporabiti v fiksnem razmerju: 1 delavec - 2 stroja, 1 avtobus - 1 voznik. V tem primeru je elastičnost faktorske substitucije enaka nič, proizvodna tehnologija pa se odraža s proizvodno funkcijo Leontief:
Q(L,K) = min(;),
Če mora imeti na primer vsak avtobus na dolge razdalje dva voznika, potem, če je v voznem parku 50 avtobusov in 90 voznikov, lahko hkrati služi le 45 progam:
min(90/2;50/1) = 45.
Aplikacija
Primeri reševanja problemov z uporabo produkcijskih funkcij
Problem 1
Podjetje, ki se ukvarja z rečnim prevozom, uporablja delovno silo prevoznika (L) in trajekte (K). Produkcijska funkcija ima obliko . Cena na enoto kapitala je 20, cena na enoto dela je 20. Kakšen bo naklon izokošta? Koliko dela in kapitala mora podjetje privabiti za izvedbo 100 pošiljk?
rešitev
Izostroški so podani z enačbo:
kjer je C vrednost skupnih stroškov (nekatera konstanta). Od tod:
,
tiste. naklon te črte je -1.
Optimalna količina dela in kapitala za 100 prevozov je določena kot tangentna točka izokvante. 
in izokoste pri nekaterih C. Z rešitvijo izokvantne enačbe dobimo:
√(L×K) = 100/10 = 10, potem .
Potem 
. Ker bi morali biti skupni stroški minimalni, potem z minimiziranjem C na L dobimo količino dela L: 
in . Znesek kapitala bomo ugotovili po formuli.
Odgovor: Za izvedbo 100 pošiljk mora podjetje privabiti 10 enot dela in 10 enot kapitala.
Problem 2
Produkcijska funkcija ima obliko , kjer je Y- količina izdelkov na dan, L- ure dela, K- obratovalne ure stroja. Predpostavimo, da se na dan porabi 9 ur dela in 9 ur strojev.
kako je največji znesek proizvedenih izdelkov na dan? Recimo, da podjetje podvoji stroške obeh dejavnikov. Določite ekonomijo obsega v proizvodnji.
rešitev
V pogojih naloge na dan se proizvaja 
proizvodne enote. Če se vložki obeh faktorjev podvojijo, postane proizvodnja enaka 
, tj. tudi dvojne. Takrat je učinek sprememb v obsegu proizvodnje, določen iz pogoja , enak ena.
Problem 3
IN kratkoročno Proizvodna funkcija podjetja ima obliko: , kjer je L število delavcev. Pri kateri stopnji zaposlenosti bo skupna proizvodnja največja?
rešitev
Če želite odgovoriti na vprašanje problema, morate najti največjo točko funkcije Y(L) . Diferencirajmo ga glede na L in izenačimo odvod na nič: . Dobimo kvadratna enačba, katerega diskriminanta je , in korenine so . Ker je eden od korenov negativen, vzamemo 
. Število delavcev je celo število, zato z zaokroževanjem dobimo .
Zaključek
Viri v gospodarstvu delujejo kot dejavniki proizvodnje, ki vključujejo:
2. zemlja ( Naravni viri);
3. kapital;
4. podjetniška sposobnost;
5. znanstveni in tehnološki napredek.
Vsi ti dejavniki so med seboj tesno povezani.
Proizvodna funkcija je matematično razmerje med največjim obsegom proizvodnje na časovno enoto in kombinacijo dejavnikov, ki jo ustvarjajo, glede na obstoječo raven znanja in tehnologije. pri čemer glavna naloga matematična ekonomija s praktičnega vidika je sestavljena iz prepoznavanja te odvisnosti, to je izdelave proizvodne funkcije za določeno industrijo ali določeno podjetje.
V proizvodni teoriji uporabljajo predvsem dvofaktorsko proizvodno funkcijo, ki na splošno izgleda takole:
Q = f(K, L), kjer je Q obseg proizvodnje; K - kapital; L – delo.
Vprašanje razmerja med stroški nadomeščanja proizvodnih dejavnikov se rešuje s konceptom, kot je elastičnost substitucije proizvodnih dejavnikov.
Elastičnost zamenjave je razmerje med stroški proizvodnih dejavnikov, ki se med seboj nadomeščajo s konstantnim obsegom proizvodnje. To je nekakšen koeficient, ki kaže stopnjo učinkovitosti zamenjave enega proizvodnega faktorja z drugim.
Merilo medsebojne zamenljivosti proizvodnih faktorjev je mejna stopnja tehnične zamenjave MRTS, ki kaže, za koliko enot je mogoče enega od faktorjev zmanjšati s povečanjem drugega faktorja za eno, pri čemer proizvodnja ostane nespremenjena.
Izokvanta je krivulja, ki predstavlja vse možne kombinacije dveh stroškov, ki zagotavljajo določen stalen obseg proizvodnje.
Sredstva so običajno omejena. Črta, ki jo tvori veliko točk, ki prikazuje, koliko kombiniranih proizvodnih dejavnikov ali virov je mogoče kupiti z razpoložljivimi sredstvi, se imenuje izostrošek. Tako je optimalna kombinacija dejavnikov za posamezno podjetje splošna rešitev enačb izostroška in izokvant. Grafično je to točka dotika med črto izokošte in izokvante.
Produkcijsko funkcijo lahko zapišemo v različnih algebraičnih oblikah. Običajno ekonomisti delajo z linearno homogenimi proizvodnimi funkcijami.
Upoštevano je tudi delo konkretni primeri reševanje problemov z uporabo proizvodnih funkcij, kar nam je omogočilo sklep, da so velikega praktičnega pomena v gospodarski dejavnosti katerega koli podjetja.
Bibliografija
1. Dougherty K. Uvod v ekonometrijo. – M.: Finance in statistika, 2001.
2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. Matematične metode v ekonomiji: Učbenik. – M.: Založba. "DIS", 1997.
3. Tečaj ekonomske teorije: učbenik. – Kirov: “ASA”, 1999.
4. Mikroekonomija. Ed. prof. Yakovleva E.B. – M.: Sankt Peterburg. Iskanje, 2002.
5. Salmanov O. Matematična ekonomija. – M.: BHV, 2003.
6. Churakov E.P. Matematične metode za obdelavo eksperimentalnih podatkov v ekonomiji. – M.: Finance in statistika, 2004.
7. Shelobaev S.I. Matematične metode in modeli v ekonomiji, financah, poslovanju. – M.: Unity-Dana, 2000.
1 Veliki komercialni slovar./Uredila Ryabova T.F. – M.: Vojna in mir, 1996. Str. 241.
Proizvodnja se nanaša na vsako človeško dejavnost za preoblikovanje omejenih virov - materialnih, delovnih, naravnih - v končnih izdelkov. Proizvodna funkcija označuje razmerje med količino uporabljenih virov (proizvodnih dejavnikov) in največjim možnim obsegom proizvodnje, ki ga je mogoče doseči, če se vsi razpoložljivi viri uporabljajo na najbolj racionalen način.
Proizvodna funkcija ima naslednje lastnosti:
1 Obstaja omejitev povečanja proizvodnje, ki jo je mogoče doseči s povečanjem enega vira in ohranjanjem drugih virov nespremenjenimi. Če na primer v kmetijstvo povečati količino dela s stalnimi količinami kapitala in zemlje, prej ali slej pride trenutek, ko proizvodnja preneha rasti.
2 Viri se dopolnjujejo, vendar je v določenih mejah možna njihova medsebojna zamenljivost brez zmanjšanja proizvodnje. Ročno delo je na primer mogoče nadomestiti z uporabo več strojev in obratno.
Proizvodnja ne more ustvariti izdelkov iz nič. Proizvodni proces vključuje porabo različnih virov. Viri vključujejo vse, kar je potrebno za proizvodno dejavnost - surovine, energijo, delovno silo, opremo in prostor.
Da bi opisali obnašanje podjetja, je treba vedeti, koliko izdelka lahko proizvede z uporabo virov v določenih količinah. Izhajali bomo iz predpostavke, da podjetje proizvaja homogen proizvod, katerega količina se meri v naravnih enotah - tonah, kosih, metrih itd. Odvisnost količine proizvoda, ki ga lahko proizvede podjetje, od količine vložkov virov je poklican proizvodna funkcija.
Toda podjetje lahko izvaja proizvodni proces na različne načine, z uporabo različnih tehnoloških metod, različnih možnosti za organizacijo proizvodnje, zato je lahko količina izdelka, pridobljenega z enako porabo sredstev, drugačna. Vodstvo podjetij bi moralo zavrniti proizvodne možnosti, ki dajejo nižjo proizvodnjo, če je mogoče doseči višjo proizvodnjo z enakimi stroški vsake vrste vira. Prav tako bi morali zavrniti možnosti, ki zahtevajo več vložka vsaj enega vložka, ne da bi povečali donos ali zmanjšali vložek drugih vložkov. Možnosti, zavrnjene iz teh razlogov, so priklicane tehnično neučinkovito.
Recimo, da vaše podjetje proizvaja hladilnike. Za izdelavo telesa morate rezati železno pločevino. Glede na to, kako je standardna pločevina železa označena in izrezana, je mogoče iz nje izrezati več ali manj delov; V skladu s tem bo za izdelavo določenega števila hladilnikov potrebno manj ali več standardnih listov železa. Poraba vseh drugih materialov, dela, opreme in električne energije pa bo ostala nespremenjena. To možnost proizvodnje, ki bi jo lahko izboljšali z racionalnejšim rezanjem železa, je treba obravnavati kot tehnično neučinkovito in jo zavrniti.
Tehnično učinkovito so proizvodne možnosti, ki jih ni mogoče izboljšati niti s povečanjem proizvodnje izdelka brez povečanja porabe virov, niti z zmanjšanjem stroškov katerega koli vira brez zmanjšanja proizvodnje in brez povečanja stroškov drugih virov. Proizvodna funkcija upošteva samo tehnično učinkovite možnosti. Njegov pomen je največji količina proizvoda, ki jo lahko podjetje proizvede glede na obseg porabe virov.
Najprej razmislimo o najpreprostejšem primeru: podjetje proizvaja eno vrsto izdelka in porablja eno samo vrsto virov. Primer takšne proizvodnje je v resnici precej težko najti. Tudi če obravnavamo podjetje, ki opravlja storitve na domu strank brez uporabe kakršne koli opreme in materialov (masaže, inštrukcije) in uporablja samo delovno silo delavcev, bi morali domnevati, da delavci hodijo okoli strank peš (brez uporabe prevoza). storitve) in se pogajati s strankami brez pomoči pošte in telefona.
Proizvodna funkcija– prikazuje odvisnost količine proizvoda, ki ga lahko proizvede podjetje, od obsega stroškov uporabljenih dejavnikov
Q = f(x1, x2…xn)
Q = f(K, L),
Kje Q- obseg proizvodnje
x1, x2…xn– količine uporabljenih dejavnikov
K- faktor obsega kapitala
L- faktor obsega dela
Torej, podjetje, ki porabi vir v znesku X, lahko proizvede izdelek v količini q. Proizvodna funkcija
Proizvodnja ne more ustvariti izdelkov iz nič. Proizvodni proces vključuje porabo različnih virov. Viri vključujejo vse, kar je potrebno za proizvodno dejavnost - surovine, energijo, delovno silo, opremo in prostor. Da bi opisali obnašanje podjetja, je treba vedeti, koliko izdelka lahko proizvede z uporabo virov v določenih količinah. Izhajali bomo iz predpostavke, da podjetje proizvaja homogen proizvod, katerega količina se meri v naravnih enotah - tonah, kosih, metrih itd. Odvisnost količine proizvoda, ki ga lahko proizvede podjetje, od količine vložkov virov je poklican proizvodna funkcija.
Začeli bomo obravnavati koncept "proizvodne funkcije" z najpreprostejšim primerom, ko proizvodnjo določa samo en dejavnik. V tem primeru proizvodna funkcija - To je funkcija, katere neodvisna spremenljivka zavzema vrednosti uporabljenega vira (faktorja proizvodnje), odvisna spremenljivka pa zavzema vrednosti obsega proizvodnje y=f(x).
V tej formuli je y funkcija ene spremenljivke x. V zvezi s tem se proizvodna funkcija (PF) imenuje enovirna ali enofaktorska. Njegova definicijska domena je množica nenegativnih realnih števil. Simbol f je značilnost proizvodni sistem, pretvorbo vira v izhod.
Primer 1. Vzemite proizvodno funkcijo f v obliki f(x)=ax b, kjer je x količina porabljenega vira (na primer delovni čas), f(x) je količina proizvedenih izdelkov (na primer število hladilnikov, pripravljenih za odpremo). Vrednosti a in b sta parametra proizvodne funkcije f. Tu sta a in b pozitivni števili, število b1 pa je vektor parametra dvodimenzionalni vektor (a,b). Produkcijska funkcija y=ax b je tipičen predstavnik širokega razreda enofaktorskih PF.
riž. 1.
Graf kaže, da se z večanjem količine porabljenega vira y povečuje. Vendar pa vsaka dodatna enota vira povzroči vse manjše povečanje obsega proizvodnje y. Omenjena okoliščina (povečanje obsega y in zmanjšanje povečanja obsega y s povečanjem x) odraža temeljno stališče ekonomske teorije (dobro potrjeno s prakso), imenovano zakon padajoče učinkovitosti (padajoče produktivnosti ali padajočih donosov). ).
PF imajo lahko različna področja uporabe. Načelo input-output se lahko izvaja tako na mikro kot na makroekonomski ravni. Poglejmo najprej mikroekonomsko raven. PF y=ax b , obravnavan zgoraj, se lahko uporabi za opis razmerja med količino vira x, porabljenega ali uporabljenega med letom v ločenem podjetju (podjetju) in letno proizvodnjo tega podjetja (podjetja). Vlogo proizvodnega sistema tukaj igra ločeno podjetje (podjetje) - imamo mikroekonomski PF (MIPF). Na mikroekonomski ravni lahko kot proizvodni sistem deluje tudi industrija ali medsektorski proizvodni kompleks. MIPF so zgrajeni in se uporabljajo predvsem za reševanje problemov analize in načrtovanja ter problemov napovedovanja.
PF se lahko uporablja za opis razmerja med letnim vložkom dela regije ali države kot celote in letno končno proizvodnjo (ali dohodkom) te regije ali države kot celote. Tu igra regija oziroma država kot celota vlogo proizvodnega sistema – imamo makroekonomski nivo in makroekonomski PF (MAPF). MAPF so zgrajeni in se aktivno uporabljajo za reševanje vseh treh vrst problemov (analiza, načrtovanje in napovedovanje).
Nadaljujmo z obravnavo proizvodnih funkcij več spremenljivk.
Produkcijska funkcija več spremenljivk je funkcija, katere neodvisne spremenljivke prevzamejo vrednosti količin porabljenih ali uporabljenih virov (število spremenljivk n je enako številu virov), vrednost funkcije pa ima pomen vrednosti izhodne količine:
y=f(x)=f(x 1 ,…,x n).
V formuli je y (y0) skalarna količina, x pa vektorska količina, x 1 ,…,x n so koordinate vektorja x, kar pomeni, da je f(x 1 ,…,x n) numerična funkcija več spremenljivk x 1 ,…,x n. V zvezi s tem se PF f(x 1,...,x n) imenuje večvirni ali večfaktorski. Pravilnejša je naslednja simbolika: f(x 1,...,x n,a), kjer je a vektor parametrov PF.
Ekonomsko gledano so vse spremenljivke te funkcije nenegativne, zato je domena definicije večfaktorskega PF nabor n-dimenzionalnih vektorjev x, od katerih so vse koordinate x 1,..., x n nenegativne številke.
Grafa funkcije dveh spremenljivk ni mogoče prikazati na ravnini. Proizvodno funkcijo več spremenljivk lahko predstavimo v tridimenzionalnem kartezičnem prostoru, pri čemer sta dve koordinati (x1 in x2) narisani na vodoravnih oseh in ustrezata stroškom virov, tretja (q) pa je narisana na navpični osi in ustreza izhodu izdelka (slika 2). Graf proizvodne funkcije je površina "hribčka", ki narašča z vsako od koordinat x1 in x2.
Za posamezno podjetje (podjetje), ki proizvaja homogen proizvod, lahko PF f(x 1,..., x n) poveže obseg proizvodnje s stroški delovnega časa za različne vrste delovne dejavnosti, različne vrste surovine, komponente, energija, stalni kapital. PF te vrste označujejo trenutno tehnologijo podjetja (podjetja).
Pri konstruiranju PF za regijo ali državo kot celoto se skupni proizvod (dohodek) regije ali države, običajno izračunan v stalnih in ne tekočih cenah, pogosto vzame kot vrednost letne proizvodnje Y; stalni kapital (x 1 (= K) se obravnava kot sredstva - obseg stalnega kapitala, porabljenega med letom) in živo delo (x 2 (=L) - število enot živega dela, porabljenega med letom), običajno izračunano v vrednosti. Tako je konstruiran dvofaktorski PF Y=f(K,L). Iz dvofaktorskih PF prehajajo na trifaktorske. Poleg tega, če je PF konstruiran z uporabo podatkov časovnih vrst, potem lahko tehnični napredek vključimo kot poseben dejavnik rasti proizvodnje.
Imenuje se PF y=f(x 1 ,x 2). statična, če njegovi parametri in njegova značilnost f niso odvisni od časa t, čeprav sta lahko obseg virov in obseg proizvodnje odvisna od časa t, kar pomeni, da ju je mogoče predstaviti v obliki časovne vrste: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Tukaj je t številka leta, t=0,1,…,T; t= 0 - bazno leto časovnega obdobja, ki zajema leta 1,2,…,T.
Primer 2. Za modeliranje ločene regije ali države kot celote (torej za reševanje problemov na makroekonomski in mikroekonomski ravni) se pogosto uporablja PF oblike y=, kjer so 0, 1 in 2 so parametri PF. To so pozitivne konstante (pogosto sta a 1 in a 2 takšna, da je a 1 + a 2 = 1). PF pravkar navedene vrste se imenuje Cobb-Douglas PF (Cobb-Douglas PF) po dveh ameriških ekonomistih, ki sta leta 1929 predlagala njegovo uporabo.
PFKD se zaradi svoje strukturne preprostosti aktivno uporablja za reševanje različnih teoretičnih in uporabnih problemov. PFKD spada v razred tako imenovanih multiplikativnih PF (MPF). V aplikacijah je PFCD x 1 =K enak obsegu uporabljenega stalnega kapitala (obseg uporabljenih osnovnih sredstev - v domači terminologiji), - stroškom živega dela, potem ima PFCD obliko, ki se pogosto uporablja v literaturi:
Primer 3. Linearni PF (LPF) ima obliko: (dvofaktorski) in (večfaktorski). LPF spada v razred tako imenovanih aditivnih PF (APF). Prehod iz multiplikativnega PF v aditivni se izvede z operacijo logaritma. Za dvofaktorski multiplikativni PF
ta prehod ima obliko: . Z uvedbo ustrezne substitucije dobimo aditivni PF.
Za izdelavo določenega izdelka je potrebna kombinacija različnih dejavnikov. Kljub temu imajo različne proizvodne funkcije številne skupne lastnosti.
Zaradi določnosti se omejimo na produkcijske funkcije dveh spremenljivk. Najprej je treba opozoriti, da je taka proizvodna funkcija definirana v nenegativnem ortantu dvodimenzionalne ravnine, to je pri. PF izpolnjuje naslednje lastnosti:
- 1) brez virov ni sprostitve, tj. f(0,0,a)=0;
- 2) če ni vsaj enega od virov, ni sprostitve, tj. ;
- 3) s povečanjem stroškov vsaj enega vira se poveča obseg proizvodnje;
4) s povečanjem stroškov enega vira, medtem ko količina drugega vira ostane nespremenjena, se poveča obseg proizvodnje, tj. če x>0, potem;
5) s povečanjem stroškov enega vira, medtem ko količina drugega vira ostane nespremenjena, se količina rasti proizvodnje za vsako dodatno enoto i-tega vira ne poveča (zakon padajočega donosa), tj. če, potem;
- 6) z rastjo enega vira se poveča mejna učinkovitost drugega vira, tj. če x>0, potem;
- 7) PF je homogena funkcija, tj. ; pri p>1 imamo povečanje proizvodne učinkovitosti zaradi povečanja obsega proizvodnje; na str
Proizvodne funkcije nam omogočajo kvantitativno analizo najpomembnejših ekonomskih odvisnosti v sferi proizvodnje. Omogočajo ovrednotenje povprečne in mejne učinkovitosti različnih proizvodnih virov, elastičnosti proizvodnje za različne vire, mejne stopnje nadomestitve virov, ekonomije obsega v proizvodnji in še veliko več.
Naloga 1. Naj bo podana proizvodna funkcija, ki povezuje obseg proizvodnje podjetja s številom delavcev, proizvodnimi sredstvi in količino porabljenih strojnih ur.
Treba je določiti največjo moč pod omejitvami
rešitev. Za rešitev problema sestavimo Lagrangeovo funkcijo
diferenciramo ga glede na spremenljivke in dobljene izraze enačimo z nič:
Iz prve in tretje enačbe sledi, da torej
od koder dobimo rešitev, v kateri je y = 2. Ker npr. točka (0,2,0) pripada dopustnemu območju in je v njem y = 0, sklepamo, da je točka (1,1,1) globalna maksimalna točka. Ekonomski zaključki nastale rešitve so očitni.
Prav tako je treba opozoriti, da proizvodna funkcija opisuje nabor tehničnih učinkovite načine proizvodnja (tehnologija). Za vsako tehnologijo je značilna določena kombinacija virov, potrebnih za pridobitev enote proizvodnje. Čeprav so proizvodne funkcije različne za različni tipi proizvodnje imajo vse skupne lastnosti:
- 1. Obstaja meja povečanja obsega proizvodnje, ki jo je mogoče doseči s povečanjem stroškov enega vira, če so vse ostale enake. To pomeni, da v podjetju z določenim številom strojev in proizvodni prostori obstaja omejitev za povečanje proizvodnje z zaposlovanjem več delavcev. Povečanje proizvodnje s povečanjem števila zaposlenih se bo približalo ničli.
- 2. Obstaja določeno dopolnjevanje proizvodnih dejavnikov, vendar brez zmanjšanja obsega proizvodnje je možno določeno razmerje med temi dejavniki. Na primer, delo delavcev je učinkovito, če so opremljeni z vsemi potrebnimi orodji. Če takšnih orodij ni, se obseg lahko zmanjša ali poveča s povečanjem števila zaposlenih. IN v tem primeru se en vir nadomesti z drugim.
- 3. Način izdelave A velja za tehnično bolj učinkovito v primerjavi z metodo B, če vključuje uporabo vsaj enega vira v manjših količinah, vse druge pa v ne večjih količinah od metode B. Tehnično neučinkovitih metod racionalni proizvajalci ne uporabljajo.
- 4. Če metoda A vključuje uporabo nekaterih virov v večjih količinah in drugih v manjših količinah kot metoda B, so te metode neprimerljive glede tehnične učinkovitosti. V tem primeru se obe metodi štejeta za tehnično učinkoviti in sta vključeni v proizvodno funkcijo. Katerega izbrati, je odvisno od cenovnega razmerja uporabljenih virov. Ta izbira temelji na merilih stroškovne učinkovitosti. Zato tehnična učinkovitost ni enaka ekonomski učinkovitosti.
Tehnična učinkovitost je največji možni rezultat, dosežen z uporabo razpoložljivih virov. Ekonomska učinkovitost- je proizvodnja določene količine izdelkov z minimalnimi stroški. V proizvodni teoriji se tradicionalno uporablja dvofaktorska proizvodna funkcija, v kateri je obseg proizvodnje funkcija uporabe delovne sile in kapitalskih virov:
Grafično lahko vsako proizvodno metodo (tehnologijo) predstavimo s točko, ki označuje najmanjši zahtevani nabor dveh dejavnikov, potrebnih za proizvodnjo danega obsega proizvodnje (slika 3).
Slika prikazuje različne načine proizvodnja (tehnologija): T 1, T 2, T 3, za katero so značilna različna razmerja v uporabi dela in kapitala: T 1 = L 1 K 1; T2 = L2K2; T 3 = L 3 K 3 . naklon žarka kaže obseg uporabe različnih virov. Večji kot je žarek, višji so stroški kapitala in nižji stroški dela. Tehnologija T1 je kapitalsko bolj intenzivna kot tehnologija T2.
riž. 3.
Če s črto povežemo različne tehnologije, dobimo sliko proizvodne funkcije (črta enakega izhoda), ki se imenuje izokvante. Iz slike je razvidno, da je obseg proizvodnje Q mogoče doseči z različnimi kombinacijami proizvodnih faktorjev (T 1, T 2, T 3 itd.). Zgornji del Izokvante odražajo kapitalsko intenzivne tehnologije, nižje pa delovno intenzivne tehnologije.
Zemljevid izokvante je niz izokvant, ki odraža najvišjo dosegljivo raven proizvodnje za kateri koli niz proizvodnih dejavnikov. Bolj kot je izokvanta od izvora, večji je obseg proizvodnje. Izokvante lahko gredo skozi katero koli točko v prostoru, kjer se nahajata dva faktorja proizvodnje. Pomen izokvantne karte je podoben pomenu karte indiferenčne krivulje za potrošnike.
Slika 4.
Izokvante imajo naslednje lastnosti:
- 1. Izokvante se ne sekajo.
- 2. Večja kot je oddaljenost izokvante od izhodišča koordinat, ustreza višji ravni izhoda.
- 3. Izokvante so padajoče krivulje, ki imajo negativen naklon.
Izokvante so podobne indiferenčnim krivuljam z edino razliko, da odražajo stanje ne na področju potrošnje, temveč na področju proizvodnje.
Negativni naklon izokvantov je razložen z dejstvom, da bo povečanje uporabe enega faktorja za določen obseg proizvodnje proizvoda vedno spremljalo zmanjšanje količine drugega faktorja.
Razmislimo možni zemljevidi izokvanta
Na sl. Slika 5 prikazuje nekaj izokvantnih zemljevidov, ki označujejo različne situacije, ki nastanejo med proizvodno porabo dveh virov. riž. 5a ustreza absolutni medsebojni zamenjavi virov. V primeru, predstavljenem na sl. Kot je prikazano na sliki 5b, je mogoče prvi vir v celoti nadomestiti z drugim: izokvantne točke, ki se nahajajo na osi x2, prikazujejo količino drugega vira, ki omogoča pridobitev določenega učinka izdelka brez uporabe prvega vira. Uporaba prvega vira vam omogoča zmanjšanje stroškov drugega, vendar je nemogoče popolnoma nadomestiti drugega vira s prvim. riž. 5,c prikazuje situacijo, v kateri sta potrebna oba vira in nobenega od njiju ni mogoče popolnoma nadomestiti z drugim. Končno, primer, predstavljen na sl. 5d, je značilna absolutna komplementarnost virov.
riž. 5. Primeri izokvantnih kart
Za razlago proizvodne funkcije je uveden pojem stroškov.
V najsplošnejši obliki lahko stroške opredelimo kot celoto stroškov, ki jih ima proizvajalec pri proizvodnji določenega obsega izdelkov.
Obstaja njihova klasifikacija glede na časovna obdobja, v katerih podjetje sprejme to ali ono proizvodna rešitev. Za spremembo obsega proizvodnje mora podjetje prilagoditi višino in sestavo svojih stroškov. Nekatere stroške je mogoče spremeniti dokaj hitro, drugi pa zahtevajo nekaj časa.
Kratkoročno obdobje je časovni interval, ki ni dovolj za posodobitev ali zagon novega proizvodne zmogljivosti podjetja. Vendar pa lahko podjetje v tem obdobju poveča obseg proizvodnje s povečanjem intenzivnosti uporabe obstoječih proizvodnih zmogljivosti (na primer zaposli dodatne delavce, nabavi več surovin, poveča izmensko razmerje za vzdrževanje opreme itd.). Iz tega sledi, da so kratkoročno lahko stroški fiksni ali variabilni.
Fiksni stroški (TFC) so vsota stroškov, na katere spremembe v obsegu proizvodnje ne vplivajo. Fiksni stroški so povezani s samim obstojem podjetja in jih je treba plačati, tudi če podjetje ne proizvaja ničesar. Vključujejo stroške amortizacije zgradb in opreme; davek na nepremičnine; zavarovalna plačila; popravila in obratovalni stroški; plačila obveznic; plače višjega vodstvenega osebja itd.
Spremenljivi stroški (TVC) so stroški virov, ki se neposredno uporabljajo za proizvodnjo določene količine proizvodnje. Elementi variabilnih stroškov so stroški surovin, goriva, energije; plačilo prevoznih storitev; plačilo večinoma delovna sredstva (plača). Za razliko od stalnih so variabilni stroški odvisni od obsega proizvodnje. Vendar je treba opozoriti, da povečanje zneska variabilnih stroškov, povezanih s povečanjem obsega proizvodnje za 1 enoto, ni konstantno.
Na začetku procesa povečevanja proizvodnje se bodo variabilni stroški nekaj časa povečevali po padajoči stopnji; in to se bo nadaljevalo, dokler ne bo proizveden določen obseg proizvodnje. Nato bodo variabilni stroški začeli naraščati z naraščajočo stopnjo na vsako naslednjo enoto proizvodnje. To obnašanje variabilnih stroškov določa zakon padajočih donosov. Povečanje mejnega proizvoda skozi čas bo povzročilo vedno manjše povečanje spremenljivih vložkov za proizvodnjo vsake dodatne enote proizvodnje.
In ker so vse enote variabilnih virov kupljene po enaki ceni, to pomeni, da se bo vsota variabilnih stroškov povečevala po padajoči stopnji. Toda ko začne mejna produktivnost padati v skladu z zakonom o padajočih donosih, bo treba za proizvodnjo vsake zaporedne enote proizvodnje uporabiti vedno več dodatnih spremenljivih vložkov. Višina variabilnih stroškov bo tako naraščala vse hitreje
Vsoto stalnih in variabilnih stroškov, povezanih s proizvodnjo določene količine proizvoda, imenujemo celotni stroški (TC). Tako dobimo naslednjo enakost:
TS - TFC + TVC.
Na koncu ugotavljamo, da lahko proizvodne funkcije uporabimo za ekstrapolacijo ekonomskega učinka proizvodnje na dano obdobje v prihodnosti. Tako kot v primeru običajnih ekonometričnih modelov se ekonomsko napovedovanje začne z oceno napovedanih vrednosti proizvodnih dejavnikov. V tem primeru lahko uporabite najprimernejšega v vsakem poseben primer metoda ekonomske napovedi.
