največji skupni delilnik in najmanjši skupni večkratnik sta ključna aritmetična koncepta, ki vam omogočata enostavno delovanje navadni ulomki. LCM in se najpogosteje uporabljata za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov.
Osnovni pojmi
Delitelj celega števila X je drugo celo število Y, s katerim je X deljiv brez ostanka. Na primer, delitelj 4 je 2, 36 pa 4, 6, 9. Večkratnik celega števila X je število Y, ki je deljivo z X brez ostanka. Na primer, 3 je večkratnik 15 in 6 je večkratnik 12.
Za vsak par števil lahko najdemo njihove skupne delitelje in večkratnike. Na primer, za 6 in 9 je skupni večkratnik 18, skupni delitelj pa 3. Očitno imajo lahko pari več deliteljev in večkratnikov, zato se pri izračunih uporabljata največji delitelj GCD in najmanjši večkratnik LCM. .
Najmanjši delitelj ni smiseln, saj je za vsako število vedno ena. Največji mnogokratnik je tudi nesmiseln, saj zaporedje večkratnikov teži v neskončnost.
Iskanje GCD
Obstaja veliko metod za iskanje največjega skupnega delitelja, med katerimi so najbolj znane:
- zaporedno naštevanje deliteljev, izbiranje skupnih za par in iskanje največjega med njimi;
- razstavljanje števil na nedeljive faktorje;
- Evklidov algoritem;
- binarni algoritem.
Danes ob izobraževalne ustanove najbolj priljubljeni sta metodi prafaktorizacije in Evklidov algoritem. Slednje se uporablja pri reševanju Diofantovih enačb: iskanje GCD je potrebno za preverjanje enačbe glede možnosti njene razrešitve v celih številih.
Iskanje NOC
Najmanjši skupni večkratnik je tudi natančno določen z iterativnim štetjem ali faktorizacijo na nedeljive faktorje. Poleg tega je enostavno najti LCM, če je največji delitelj že določen. Za števili X in Y sta LCM in GCD povezana z naslednjim razmerjem:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Na primer, če je gcd(15,18) = 3, potem je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbolj očitna uporaba LCM je iskanje skupnega imenovalca, ki je najmanjši skupni večkratnik dani ulomki.
Kopraštevila
Če par števil nima skupnih deliteljev, se tak par imenuje soprost. GCM za take pare je vedno enak ena, na podlagi povezave deliteljev in večkratnikov pa je GCM za sopraštevila enak njihovemu produktu. Na primer, števili 25 in 28 sta soprosti, ker nimata skupnih deliteljev, in LCM(25, 28) = 700, kar ustreza njunemu produktu. Kateri koli dve nedeljivi števili bosta vedno enako praštevili.
Skupni delitelj in večkratni kalkulator
Z našim kalkulatorjem lahko izračunate GCD in LCM za poljubno število števil, med katerimi lahko izbirate. Naloge za izračun skupnih deliteljev in večkratnikov najdemo v aritmetiki 5., 6. razreda, GCD in LCM pa - ključni pojmi matematiki in se uporabljajo v teoriji števil, planimetriji in komunikativni algebri.
Primeri iz resničnega življenja
Skupni imenovalec ulomkov
Najmanjši skupni večkratnik se uporablja pri iskanju skupnega imenovalca več ulomkov. Spustiti noter aritmetični problem Sešteti je treba 5 ulomkov:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Če želite dodati ulomke, je treba izraz reducirati na skupni imenovalec, kar se zmanjša na problem iskanja LCM. Če želite to narediti, izberite 5 številk v kalkulatorju in vnesite vrednosti imenovalca v ustrezne celice. Program bo izračunal LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Zdaj morate za vsak ulomek izračunati dodatne faktorje, ki so definirani kot razmerje med LCM in imenovalcem. Torej bi dodatni množitelji izgledali takole:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Nato vse ulomke pomnožimo z ustreznim dodatnim faktorjem in dobimo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Takšne ulomke zlahka seštejemo in dobimo rezultat v obliki 159/360. Ulomek zmanjšamo za 3 in vidimo končni odgovor - 53/120.
Rešitev linearnih Diofantovih enačb
Linearne Diofantove enačbe so izrazi oblike ax + by = d. Če je razmerje d / gcd(a, b) celo število, potem je enačba rešljiva v celih številih. Preverimo nekaj enačb za možnost celoštevilske rešitve. Najprej preverite enačbo 150x + 8y = 37. S kalkulatorjem poiščemo gcd (150,8) = 2. Razdelite 37/2 = 18,5. Število ni celo število, zato enačba nima celih korenin.
Preverimo enačbo 1320x + 1760y = 10120. S kalkulatorjem poiščite gcd(1320, 1760) = 440. Delite 10120/440 = 23. Kot rezultat dobimo celo število, zato je Diofantova enačba rešljiva v celih koeficientih .
Zaključek
GCD in LCM igrata pomembno vlogo v teoriji števil, koncepta sama pa se pogosto uporabljata na različnih področjih matematike. Uporabite naš kalkulator za izračun največjih deliteljev in najmanjših večkratnikov poljubnega števila števil.
Matematični izrazi in naloge zahtevajo veliko dodatnega znanja. NOC je eden glavnih, ki se še posebej pogosto uporablja v temi. Tema se preučuje v srednji šoli, medtem ko gradivo ni posebej težko razumeti, osebi, ki pozna potence in tabelo množenja, ne bo težko izbrati potrebna števila in poiščite rezultat.
Opredelitev
Skupni večkratnik je število, ki ga lahko v celoti razdelimo na dve števili hkrati (a in b). Najpogosteje se to število dobi z množenjem prvotnih števil a in b. Število mora biti deljivo z obema številoma hkrati, brez odstopanj.
NOC je sprejet izraz za kratek naslov, sestavljen iz prvih črk.
Načini za pridobitev številke
Za iskanje LCM metoda množenja števil ni vedno primerna, veliko bolj primerna je za preprosta enomestna ali dvomestna števila. Običajno je razdelitev na faktorje, večje kot je število, več faktorjev bo.
Primer #1
Za najpreprostejši primer šole običajno vzamejo preprosta, enomestna ali dvomestna števila. Na primer, rešiti morate naslednjo nalogo, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 7 in 3, rešitev je precej preprosta, samo ju pomnožite. Kot rezultat, obstaja številka 21, manjše številke preprosto ni.
Primer #2
Druga možnost je veliko težja. Podani sta števili 300 in 1260, iskanje LCM je obvezno. Za rešitev naloge se predvidevajo naslednja dejanja:
Razstavljanje prvega in drugega števila na najenostavnejše faktorje. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je zaključena.
Druga stopnja vključuje delo z že pridobljenimi podatki. Vsaka od prejetih številk mora sodelovati pri izračunu končnega rezultata. Za vsak množitelj največ velika številka dogodki. LCM je običajno število, zato se morajo faktorji iz števil v njem ponavljati do zadnjega, tudi tisti, ki so prisotni v enem primeru. Obe začetni številki imata v svoji sestavi številke 2, 3 in 5, v različne stopnje, 7 je prisoten le v enem primeru.
Za izračun končnega rezultata morate v enačbo vzeti vsako število v največji od njihovih predstavljenih potenc. Ostaja samo pomnožiti in dobiti odgovor, s pravilnim izpolnjevanjem se naloga brez razlage prilega v dva koraka:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
To je celotna naloga, če poskušate izračunati želeno število z množenjem, potem odgovor zagotovo ne bo pravilen, saj je 300 * 1260 = 378.000.
Pregled:
6300 / 300 = 21 - drži;
6300 / 1260 = 5 je pravilno.
Pravilnost rezultata ugotovimo s preverjanjem - deljenjem LCM z obema izvirnima številoma, če je število v obeh primerih celo število, potem je odgovor pravilen.
Kaj pomeni NOC v matematiki
Kot veste, v matematiki ni niti ene neuporabne funkcije, ta ni izjema. Najpogostejši namen tega števila je spraviti ulomke na skupni imenovalec. Kaj se običajno preučuje v razredih 5-6 Srednja šola. Poleg tega je tudi skupni delitelj za vse večkratnike, če so taki pogoji v problemu. Tak izraz lahko najde večkratnik ne samo dveh števil, ampak tudi veliko večjega števila - tri, pet itd. kako več številk- več dejanj v nalogi, vendar se kompleksnost tega ne poveča.
Na primer, glede na številke 250, 600 in 1500 morate najti njihov skupni LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ta primer podrobno opisuje faktorizacijo brez redukcije.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Za sestavo izraza je treba navesti vse faktorje, v tem primeru so podani 2, 5, 3 - za vsa ta števila je treba določiti največjo stopnjo.
Pozor: vse množitelje je treba pripeljati do popolne poenostavitve, če je mogoče, razstaviti na raven enomestnih številk.
Pregled:
1) 3000 / 250 = 12 - drži;
2) 3000 / 600 = 5 - drži;
3) 3000/1500 = 2 je pravilno.
Ta metoda ne zahteva nobenih trikov ali sposobnosti na genialni ravni, vse je preprosto in jasno.
Še en način
V matematiki je veliko povezano, veliko se da rešiti na dva ali več načinov, enako velja za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, LCM. Naslednjo metodo lahko uporabimo v primeru preprostih dvomestnih in enomestnih števil. Sestavi se tabela, v katero se množitelj vnese navpično, množitelj vodoravno, zmnožek pa navede v sekajočih se celicah stolpca. Tabelo lahko odražate s črto, vzamete številko in rezultate množenja tega števila s celimi števili zapišete v vrstico, od 1 do neskončnosti, včasih je dovolj 3-5 točk, druga in naslednja števila so podvržena na isti računski proces. Vse se dogaja, dokler se ne najde skupni večkratnik.
Glede na številke 30, 35, 42 morate najti LCM, ki povezuje vse številke:
1) Večkratniki števila 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Večkratniki števila 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.
3) Večkratniki 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.
Opaziti je, da so vsa števila precej različna, edino skupno število med njimi je 210, torej bo LCM. Med procesi, povezanimi s tem izračunom, je tudi največji skupni delitelj, ki se izračuna po podobnih principih in se pogosto pojavlja pri sosednjih problemih. Razlika je majhna, a dovolj pomembna, LCM vključuje izračun števila, ki je deljivo z vsemi danimi začetnimi vrednostmi, GCM pa izračun največja vrednost s katerimi so prvotna števila deljiva.
Nadaljujmo razpravo o najmanjšem skupnem večkratniku, ki smo jo začeli v razdelku LCM – Najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri. V tej temi si bomo ogledali načine, kako najti LCM za tri števila ali več, analizirali bomo vprašanje, kako najti LCM negativnega števila.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek gcd
Razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem smo že ugotovili. Zdaj pa se naučimo, kako definirati LCM prek GCD. Najprej ugotovimo, kako to narediti za pozitivna števila.
Definicija 1
Najmanjši skupni večkratnik lahko poiščete prek največjega skupnega delitelja s formulo LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Primer 1
Najti je treba LCM števil 126 in 70.
rešitev
Vzemimo a = 126 , b = 70 . Zamenjajte vrednosti v formuli za izračun najmanjšega skupnega večkratnika skozi največji skupni delitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Poišče GCD števil 70 in 126. Za to potrebujemo Evklidov algoritem: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , torej gcd (126 , 70) = 14 .
Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
odgovor: LCM (126, 70) = 630.
Primer 2
Poišči nok števil 68 in 34.
rešitev
GCD v ta primer Najti ga je enostavno, saj je 68 deljivo s 34. Izračunajte najmanjši skupni večkratnik z uporabo formule: LCM (68, 34) = 68 34 : GCD (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.
odgovor: LCM(68, 34) = 68.
V tem primeru smo uporabili pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika pozitivnih celih števil a in b: če je prvo število deljivo z drugim, bo LCM teh števil enak prvemu številu.
Iskanje LCM z faktorizacijo števil na prafaktorje
Zdaj pa poglejmo način iskanja LCM, ki temelji na razgradnji števil na prafaktorje.
Definicija 2
Da bi našli najmanjši skupni večkratnik, moramo opraviti nekaj preprostih korakov:
- sestavite produkt vseh glavni dejavnikištevila, za katera moramo najti LCM;
- iz njihovih dobljenih produktov izločimo vse prafaktorje;
- zmnožek, dobljen po izločitvi skupnih prafaktorjev, bo enak LCM danih števil.
Ta način iskanja najmanjšega skupnega večkratnika temelji na enakosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Če pogledate formulo, bo postalo jasno: zmnožek števil a in b je enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi teh dveh števil. V tem primeru je GCD dveh števil enak produktu vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v faktorizacijah teh dveh števil.
Primer 3
Imamo dve številki 75 in 210. Lahko jih faktoriziramo takole: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Če zmnožite vse faktorje obeh izvirnih števil, dobite: 2 3 3 5 5 5 7.
Če izločimo faktorje, ki so skupni številkama 3 in 5, dobimo produkt naslednje oblike: 2 3 5 5 7 = 1050. Ta izdelek bo naš LCM za številki 75 in 210.
Primer 4
Poiščite LCM števil 441 in 700 , pri čemer obe števili razgradimo na prafaktorje.
rešitev
Poiščimo vse prafaktorje števil, navedenih v pogoju:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dobimo dve verigi števil: 441 = 3 3 7 7 in 700 = 2 2 5 5 7 .
Zmnožek vseh dejavnikov, ki so sodelovali pri razširitvi teh števil, bo videti takole: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poiščimo skupne dejavnike. Ta številka je 7. Izključujemo ga iz splošnega izdelka: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izkazalo se je, da NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
odgovor: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Dajmo še eno formulacijo metode za iskanje LCM z razgradnjo števil na prafaktorje.
Definicija 3
Prej smo iz skupnega števila faktorjev izključili skupne obema številkama. Zdaj bomo to storili drugače:
- Razstavimo obe števili na prafaktorje:
- zmnožku prafaktorjev prvega števila prišteti manjkajoče faktorje drugega števila;
- dobimo produkt, ki bo želeni LCM dveh števil.
Primer 5
Vrnimo se k številkama 75 in 210 , za katera smo LCM iskali že v enem od prejšnjih primerov. Razčlenimo jih na preproste dejavnike: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Zmnožku faktorjev 3, 5 in 5 številki 75 dodajte manjkajoče faktorje 2 in 7 številke 210. Dobimo: 2 3 5 5 7 . To je LCM števil 75 in 210.
Primer 6
Izračunati je treba LCM števil 84 in 648.
rešitev
Razčlenimo števila iz pogoja na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7 in 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Zmnožku faktorjev 2, 2, 3 in prištejte 7
števila 84 manjkajoči faktorji 2 , 3 , 3 in
3
številke 648 . Dobimo izdelek 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . To je najmanjši skupni večkratnik 84 in 648.
odgovor: LCM (84, 648) = 4536.
Iskanje LCM treh ali več števil
Ne glede na to, s koliko številkami imamo opravka, bo algoritem naših dejanj vedno enak: dosledno bomo našli LCM dveh števil. Za ta primer obstaja izrek.
1. izrek
Recimo, da imamo cela števila a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k teh števil najdemo v zaporednem izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Zdaj pa poglejmo, kako lahko izrek uporabimo za specifične probleme.
Primer 7
Izračunati morate najmanjši skupni večkratnik štirih števil 140 , 9 , 54 in 250 .
rešitev
Uvedimo zapis: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Začnimo z izračunom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Za izračun GCD števil 140 in 9 uporabimo evklidski algoritem: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobimo: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Zato je m 2 = 1 260 .
Zdaj pa izračunajmo po istem algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Med izračuni dobimo m 3 = 3 780.
Ostaja nam, da izračunamo m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Delujemo po istem algoritmu. Dobimo m 4 \u003d 94 500.
LCM štirih števil iz vzorčnega pogoja je 94500.
odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Kot lahko vidite, so izračuni preprosti, a precej naporni. Če želite prihraniti čas, lahko greste v drugo smer.
Definicija 4
Ponujamo vam naslednji algoritem dejanj:
- razstaviti vsa števila na prafaktorje;
- zmnožku faktorjev prvega števila prištej manjkajoče faktorje iz zmnožka drugega števila;
- zmnožku, dobljenemu na prejšnji stopnji, dodajte manjkajoče faktorje tretje številke itd.;
- dobljeni produkt bo najmanjši skupni večkratnik vseh števil iz pogoja.
Primer 8
Najti je treba LCM petih števil 84, 6, 48, 7, 143.
rešitev
Razstavimo vseh pet števil na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Praštevil, ki je število 7, ni mogoče razložiti na praštevila. Takšna števila sovpadajo z njihovo razgradnjo na prafaktorje.
Zdaj pa vzemimo produkt prafaktorjev 2, 2, 3 in 7 števila 84 in jim prištejmo manjkajoče faktorje drugega števila. Število 6 smo razstavili na 2 in 3. Ti faktorji so že v produktu prve številke. Zato jih izpuščamo.
Nadaljujemo z dodajanjem manjkajočih množiteljev. Obrnimo se na število 48, iz produkta prafaktorjev, od katerih vzamemo 2 in 2. Nato seštejemo preprost faktor 7 iz četrtega števila in faktorja 11 in 13 iz petega. Dobimo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. To je najmanjši skupni večkratnik petih prvotnih števil.
odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil
Da bi našli najmanjši skupni večkratnik negativnih števil, je treba ta števila najprej nadomestiti s števili z nasprotnim predznakom, nato pa izvesti izračune po zgornjih algoritmih.
Primer 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) in LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Takšna dejanja dopustna, ker če se sprejme, da a in − a- nasprotna števila
nato množica večkratnikov a sovpada z množico večkratnikov števila − a.
Primer 10
Izračunati je treba LCM negativnih števil − 145 in − 45 .
rešitev
Spremenimo številke − 145 in − 45 nasprotnim številkam 145 in 45 . Sedaj z uporabo algoritma izračunamo NKT (145 , 45) = 145 45: NKT (145 , 45) = 145 45 : 5 = 1 305 , pri čemer smo predhodno določili NKT z Evklidovim algoritmom.
Dobimo, da je LCM števil − 145 in − 45 enako 1 305 .
odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
