Aritmetični in geometrijski napredovanje
Teoretične informacije
Teoretične informacije
Aritmetični napredovanje |
Geometrijsko napredovanje |
|
Opredelitev |
Aritmetični napredovanje n. Zaporedje se imenuje vsaka članica, ki se začne od drugega, enaka prejšnji član, zložena z isto številko d. (d. - Razlika napredovanja) |
Geometrijsko napredovanje b N. Zaporedje številk, ki niso nič, se imenuje vsaka članica, ki je začela od drugega, je prejšnji član, pomnožen z isto številko q. (q. - imenovalec napredovanja) |
Ponavljajoča se formula |
Za vsako naravno n. |
Za vsako naravno n. |
Brez formule |
a \u003d a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Značilno lastnino |  |
|
| N-prvi člani |  |
 |
Primeri nalog s pripombami
Vaja 1.
V aritmetičnem napredovanju ( n.) a 1. = -6, a 2.
V skladu s formulo št. Članice:
22. = a 1. + D (22 - 1) \u003d a 1. + 21 D.
S pogojem:
a 1. \u003d -6, potem 22. \u003d -6 + 21 D.
Potrebno je najti razliko v napredovanju:
d \u003d a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
22. = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odgovor: 22. = -48.
Naloga 2.
Najti petega člana geometrijskega napredovanja: -3; 6; .....
1. način (z uporabo n formule)
V skladu s formulo nima člana geometrijskega napredovanja:
b 5 \u003d B 1 ∙ Q 5 - 1 = b 1 ∙ Q 4.
Sodišče b 1. = -3,
2. metoda (z uporabo ponavljajoče se formule)
Ker je progresijski imenovalec -2 (Q \u003d -2), potem:
b 3. = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4. = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5. = 24 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: b 5. = -48.
Naloga 3.
V aritmetičnem napredovanju ( a n) 74 = 34; 76. \u003d 156. Poiščite sedemdesetim članom tega napredovanja.
Za aritmetičnega napredovanja ima lastnost lastnosti obliko 
.
Zato:
.
Nadomestne podatke v formuli:
Odgovor: 95.
Naloga 4.
V aritmetičnem napredovanju ( a n) n \u003d 3N - 4. Poiščite vsoto sedemnajstih prvih članov.
Da bi našli vsoto Nprvih članov aritmetičnega napredovanja, se uporabljata dve formulama:
.
Kaj od njih so bolj primerne za prijavo?
Pod pogojem je znano po formuli N-WHO član začetnega napredovanja ( n.) n. \u003d 3N - 4 lahko najdete takoj in a 1., JAZ. a 16. brez ugotovitve d. Zato uporabljamo prvo formulo.
Odgovor: 368.
Naloga 5.
V aritmetičnem napredovanju ( n.) a 1. = -6; a 2. \u003d -8. Poiščite dvajset drugega člana napredovanja.
V skladu s formulo št. Članice:
22 \u003d A 1 + D (22 – 1) = a 1. + 21D.
Pod pogojem, če a 1. \u003d -6 22. \u003d -6 + 21D. Potrebno je najti razliko v napredovanju:
d \u003d a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2
22. = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: 22. = -48.
Naloga 6.
Zabeleženih je več zaporednih članov geometrijskega napredovanja:
Poiščite člana napredovanja, označenega s črko X.
Pri reševanju uporabljamo formulo N-SA b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Za geometrijske napredovanje. Prvi član napredovanja. Če želite najti imenovalca napredovanja Q, morate vzeti vse podatke o napredovanju napredovanja in razdeliti v prejšnji. V našem primeru lahko vzamete in razdelite. Dobimo to q \u003d 3. namesto n v formuli, smo nadomestili 3, saj je treba najti tretji izraz, ki ga daje geometrijski napredovanje.
Namestitev najdenih vrednosti v formuli, dobimo:
.
Odgovor :.
Naloga 7.
Iz aritmetičnega napredka, ki je bil podan s formulo N-TH člana, izberite tistega, za katerega se pogoj izvede a 27. > 9:
Ker je treba določiti pogoj izvesti za 27. člana napredovanja, bomo nadomestili 27 namesto n v vsako od štirih napredovanja. V 4. napredovanju dobimo:
.
Odgovor: 4.
Naloga 8.
V aritmetičnem napredovanju a 1. \u003d 3, D \u003d -1.5. Določite najvišjo vrednost n, za katero se izvede neenakost n. > -6.
Ali aritmetika je oblika naročenega numeričnega sekvenca, katerih lastnosti so preučevane v šolskem letu algebre. Ta članek podrobno opisuje vprašanje, kako najti količino aritmetičnega napredovanja.
Kaj je to napredovanje?
Preden se premaknete na obravnavo vprašanja (kako najti količino aritmetičnega napredovanja), je vredno razumeti, o čem govorimo.
Vsako zaporedje veljavnih številk, ki se pridobimo z dodajanjem (odštevanje) določene vrednosti iz vsake prejšnje številke, se imenuje algebrski (aritmetični) napredek. Ta opredelitev v jeziku matematike ima obliko:
Tukaj sem zaporedna številka elementa serije A i. Torej, vedeti samo eno začetno številko, lahko preprosto obnovite celotno območje. Parameter D v formuli se imenuje razlika v napredovanju.
Z lahkoto je mogoče pokazati, da se za število obravnavanih številk izvede naslednja enakost:
n \u003d a 1 + d * (n - 1).
To je, da bi našli vrednost N-TH v vrstnem redu elementa, čas n-1 mora dodati razliko D prvemu elementu A 1.
Kakšna je količina aritmetičnega napredovanja: formula
Pred vložitvijo formule za določen znesek je vredno razmisliti o preprostem zasebnem primeru. Podana je napredovanje naravnih števil od 1 do 10, potrebno je najti njihovo vsoto. Ker so člani v napredovanju nekoliko (10), lahko nalogo rešujete v čelu, to je, da povzamemo vse elemente v redu.
S10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
To je vredno razmisliti o eni zanimivi stvari: Ker se vsak član razlikuje od naknadne in enake vrednosti D \u003d 1, nato pa paro povzetek prvega z desetino, drugi z deveti in tako naprej bo dal enak rezultat. Resnično:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Kot je razvidno, so ti zneski le 5, to je natanko dvakrat manj kot število elementov serije. Nato pomnožimo število zneskov (5) na rezultat vsakega zneska (11), boste prišli do rezultata, dobljene v prvem primeru.
Če posplošite te argumente, lahko posnamete naslednji izraz:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Ta izraz kaže, da sploh ni treba povzeti vseh elementov, saj je dovolj, da poznamo vrednost prvega A 1 in slednjega, kot tudi skupno število izrazov N.
Menijo, da prvič pred to enakostjo, je Gauss razmišljal, ko je iskal odločitev o svoji nalogi njegovega šolskega učitelja: da povzamem 100 prvih celih števil.
Količina elementov M do N: Formula
Formula, podana v prejšnjem odstavku, daje odgovor na vprašanje, kako najti količino aritmetičnega napredovanja (prvi elementi), vendar pogosto v nalogah, ki jih je treba povzeti številne številke na sredini napredovanja. Kako narediti?
Odgovor na to vprašanje je najlažji način, ob upoštevanju naslednjega primera: Naj bo treba najti znesek članov od g. Do n-th. Da bi rešili problem, mora biti prisoten določen segment od M do N napredovanja v obliki nove številske serije. V takem zastopanju bo M-TH element A M prvi, in n bo pod številko N- (M-1). V tem primeru, ki uporablja standardno formulo za znesek, bo dobil naslednji izraz:
S M N \u003d (N - M + 1) * (A M + A) / 2.
Primer uporabe formul
Poznavanje, kako najti količino aritmetičnega napredovanja, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.
V nadaljevanju je numerično zaporedje, morate najti znesek svojih članov, ki se začnejo od 5. in konca 12.:
Te številke kažejo, da je razlika D enaka 3. Uporaba izraza za N-TH elementa, lahko najdete vrednosti 5. in 12. članov napredovanja. Izkazalo se je:
a 5 \u003d A 1 + D * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d A 1 + D * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Poznavanje vrednosti številk, ki stojijo na koncu algebrskega napredovanja, kot tudi vedo, katere številke v vrstici jih lahko uporabijo s formulo za znesek, ki je bil dosežen v prejšnjem odstavku. Izkazalo se je:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Treba je omeniti, da je ta vrednost mogoče dobiti drugače: Najprej poiščite znesek prvih 12 elementov v skladu s standardno formulo, nato izračunamo količino prvih 4 elementov z isto formulo, nato pa odštejemo drugi znesek.
Vsota aritmetičnega napredovanja.
Količina aritmetičnega napredovanja je preprosta. In v smislu in po formuli. Toda naloge na to temo so vse vrste. Iz osnovnega do precej trdnega.
Najprej se bomo ukvarjali s pomenom in zbirno formulo. In potem se britajo. V mojem zadovoljstvu.) Pomen zneska je preprosta kot mila. Če želite najti količino aritmetičnega napredovanja, morate vse svoje člane nežno zložiti. Če so ti člani majhni, lahko brez formul. Ampak, če je veliko, ali zelo veliko ... adicijski sevi.) V tem primeru se formula shrani.
Vsota zneska izgleda preprosto:
Razvijamo, da so kljuns vključeni v formulo. To bo veliko pojasnilo.
S N. - količina aritmetičnega napredovanja. Rezultat dodatka vse Člani, S. najprej jo zadnje. Je pomembno. To je natanko vse Člani zapored, brez preskoka in skokov. In, to je, začenši prvič. Na podlagi nalog, kot je iskanje višine tretjega in osmega člana, ali znesek članov iz petega na dvajsetih - neposredna uporaba formule bo razočarala.)
a 1. - prvič Član napredovanja. Tukaj je vse jasno, to je samo prvič Število vrstic.
n. - Zadnja Član napredovanja. Zadnje število vrstic. Ni zelo znano ime, ampak, v uporabi za znesek, je zelo dobro. Nadalje boste videli.
n. - število zadnjega člana. Pomembno je, da to razumemo v formuli to številko sovpada s številom zloženih članov.
Braniti s konceptom zadnja Član n.. Vprašanje za varnostno kopiranje: Kaj bo član zadnja Če Dana. infinite. Aritmetični napredek?)
Za zanesljiv odgovor morate razumeti osnovni pomen aritmetičnega napredovanja in ... previdno preberite nalogo!)
Pri iskanju vsote aritmetičnega napredovanja se vedno pojavi (neposredno ali posredno) zadnji član kdo bi moral biti omejen na. V nasprotnem primeru končni, konkretni znesek preprosto ne obstaja. Za reševanje je pomembno, da je napredek nastavljen: končni ali neskončni. Pomembno je, da se vpraša: v bližini številk ali formule N-SO.
Najpomembnejša stvar je razumeti, da formula s prvim članom napredovanja do člana s številko n. Pravzaprav, polno ime formule izgleda takole: vsota prvih članov aritmetičnega napredovanja. Število teh prvih članov, i.e. n.določena izključno z nalogo. V nalogi je vse to dragocene informacije pogosto šifrirane, da ... toda nič, v spodnjih primerih, s tem strinjamo te skrivnosti.)
Primeri nalog za količino aritmetičnega napredovanja.
Najprej, koristne informacije:
Glavna kompleksnost na nalogah na količini aritmetičnega napredovanja je pravilno opredeliti elemente formule.
Ti zelo elementi prevajalcev nalog so šifrirani z neskončno fantazijo.) Glavna stvar se ne bojim. Razumevanje bistva elementov, dovolj je, da jih dešifriramo. Podrobno analiziramo več primerov. Začnimo z nalogo, ki temelji na resničnem GIA.
1. Aritmetični napredek je podan s pogojem: a \u003d 2N-3.5. Poiščite znesek prvih 10 svojih članov.
Dobra naloga. Svetlobo.) Za nas, da določimo znesek s formulo, kaj morate vedeti? Prvi član. a 1., zadnji Dick. n.da število zadnjega člana n.
Kje dobiti številko zadnjega člana n.? Da, tam, v stanju! Piše: Poiščite znesek prvih 10 članov. No, s katero število bo zadnji, Deseti član?) Ne boste verjeli, da je njegovo številko - deseta!) Postala je namesto n. V formuli bomo nadomestili 10.in namesto tega n. - Dozen. Ponavljam, število zadnjega člana sovpada s številom članov.
Ostajamo a 1. in 10.. To se enostavno obravnava s formulo N-TH člana, ki je podana v stanju problema. Ne vem, kako to storiti? Obiščite prejšnjo lekcijo, brez tega - nikakor.
a 1.\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5
10.\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16,5
S N. = 10..
Ugotovili smo vrednost vseh elementov s formulo vsote aritmetičnega napredovanja. Še vedno jih je nadomestiti, vendar štetje:
To je vse. Odgovor: 75.
Druga naloga, ki temelji na GIA. Malo bolj zapleteno:
2. Aritmetični napredek (N) je podana, katerih razlika je 3,7; A 1 \u003d 2.3. Najti znesek prvih 15 svojih članov.
Takoj napišite formulo za povzetek:
Ta formula nam omogoča, da poiščemo vrednost katerega koli člana po njeni številki. Iščemo preprosto zamenjavo:
15 \u003d 2,3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54,1
Še vedno je nadomestiti vse elemente v smislu aritmetičnega napredovanja in izračunati odgovor:
Odgovor: 423.
Mimogrede, če je v vsoti zneska namesto tega n. Samo nadomestite formulo N-TH člana, dobimo:
Dajemo podobno, dobimo novo formulo vsote članov aritmetičnega napredovanja:
 |
Kot lahko vidite, ne zahteva n-ti član n.. V nekaterih nalogah ta formula pomaga odličnemu, da ... se spomnite te formule. In lahko preprosto dobite v pravem trenutku, kot tukaj. Navsezadnje je treba spomniti na formulo vsote in formule N-KM.)
Zdaj naloge v obliki kratkega šifriranja):
3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih dvomestnih števil, več tri.
Kako! Niti vaš prvi član niti zadnji niti napredovanje na splošno ... kako živeti!?
Morate razmišljati svojo glavo in izvleči vse elemente vsote aritmetičnega napredovanja iz stanja. Kaj je dvomestna številka - vemo. Obeh TSIFEROK.) Katera dvomestna številka bo prvič? 10, je treba verjeti.) A zadnja stvar Dvomestno številko? 99, seveda! Za njim že trimestno ...
Tiskanje treh ... Um ... To so številke, ki so razdeljene na tri usmerjene, tukaj! Ducat ni razdeljen na tri, 11 ni razdeljen ... 12 ... razdeljen! Torej, nekaj uparimo. Lahko že posnamete več pogojev nalog:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ali bo ta razpon aritmetičnega napredka? Seveda! Vsak član se razlikuje od prejšnjega stroga na prvih treh. Če dodate 2, ali 4 članom, recimo, rezultat, t.j. Novo število, ki ni več delnic, namenjenih 3. Pred kupom, lahko takoj in razlika v aritmetičnem napredovanju, da določimo: d \u003d 3. Uresničiti se!)
Torej, lahko varno napišete nekaj napredovanja parametrov:
In kaj bo številka n. zadnji član? Tisti, ki misli, je, da 99 - smrtno napačno ... sobe - vedno gredo v vrsti, in imamo člane - skok čez prvih treh. Ne sovpadajo.
Rešiti dva načina za reševanje. Eden od načinov - za remonge. Lahko pobarvate napredovanje, celotno paleto številk in izračunate število članov s prstom.) Drugi način je za premišljen. Treba je spomniti s formulo N-TH člana. Če formula velja za našo nalogo, dobimo, da je 99 trideseti član napredovanja. Ti. n \u003d 30.
Pogledamo s formulo vsoto aritmetičnega napredovanja:
Izgledamo, in se veselimo.) Izravnali smo nalogo iz pogojev opravila vse, kar potrebujete za izračun zneska:
a 1.= 12.
30.= 99.
S N. = S 30..
Osnovni aritmetični ostanki. Namestimo številko v formuli in verjamemo:
Odgovor: 1665.
Druga vrsta priljubljene naloge:
4. Dana aritmetični napredovanje:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Poiščite znesek članov od dvajsetega do trideset četrtega.
Pogledamo vsoto vsote in ... so razburjene.) Formula, opomni, upošteva znesek od prvega Član. In nalogo je treba upoštevati z dvajsetim ... Formula ne deluje.
Seveda lahko pobarvate celotno napredovanje zapored, vendar objavite člane od 20 do 34. Ampak ... nekako neumno in dolgo se izkaže, kajne?)
Obstaja bolj elegantna rešitev. Vrstico smo prekinili na dva dela. Prvi del bo od prvega člana devetnajstega. Drugi del - od dvajsetega do trideset uporabljenega. Jasno je, da, če najprej upoštevamo znesek članov S 1-19., da, seštejte z vsoto članov drugega dela S 20-34., Prejel bom količino napredovanja od prvega člana tridesetih četrtega S 1-34.. Všečkaj to:
S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.
Od tu je mogoče videti, da najdemo znesek S 20-34. Z lahkoto se lahko odštejete
S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.
Upoštevajo se oba zneska v desnem delu od prvega Član, t.e. To je povsem velja za standardno povzetek formule. Začeti?
Izvlecite problem problema napredovanja problema:
d \u003d 1.5.
a 1.= -21,5.
Za izračun vsote prvih 19 in prvih 34 članov bomo potrebovali 19. in 34. člane. Menimo, da so po formuli N-TH člana, kot v opravilu 2:
19.\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5.5
a 34.\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28
Nič ni ostalo. Od zneska 34 članov, da sprejmejo znesek 19 članov: \\ t
S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262.5
Odgovor: 262.5.
Pomembna pripomba! Pri reševanju te naloge je zelo uporabni čip. Namesto neposrednega izračuna kar je potrebno (S 20-34), Šteli smo kaj se zdi potrebno - S 1-19. In nato določi in S 20-34., ki preprečuje polni rezultat nepotrebnega. Takšna "Fint ušesa" pogosto prihrani z zlobnimi nalogami.)
V tej lekciji smo pregledali nalog, za katere je zadostovanja za razumevanje pomena vsote aritmetičnega napredovanja. No, nekaj formul mora vedeti.)
Praktični nasvet:
Pri reševanju kakršne koli naloge na količino aritmetičnega napredovanja priporočam takoj izpraznite obe glavni formuli iz te teme.
Formula n-ti:
Te formule bodo takoj pozvale, da morate iskati, v kateri smeri razmišljati, da bi rešili nalogo. Pomaga.
In zdaj naloge za samozadost.
5. Poiščite vsoto vseh dvomestnih števil, ki jih ne delijo s tremi.
Cool?) Nasvet je skrit v komentarju na nalogo 4. No, naloga 3 bo pomagala.
6. Aritmetični napredek je določen s pogojem: a 1 \u003d -5,5; n + 1 \u003d n +0.5. Poiščite znesek prvih 24 svojih članov.
To je ponavljajoča se formula. O tem se lahko prebere v prejšnji lekciji. Ne prezrite povezave, takšne naloge v GIA se pogosto najdejo.
7. Vasya se je nabrala za počitnice denarja. Celotno 4550 rubljev! In sem se odločil, da bom svojo najljubšo osebo sam (jaz) več dni sreče). Lepo živeti, ne da bi zavrnil. Preživite 500 rubljev na prvi dan in v vsakem naslednjem dnevu porabite 50 rubljev več kot v prejšnjem! Dokler se ne bo končalo zaloga denarja. Koliko dni sreče je prišel vasi?
Težko?) Dodatna formula bo pomagala od naloge 2.
Odgovori (motnje): 7, 3240, 6.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Dostopajte se lahko pri reševanju primerov in izvedite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Naučite se - z obrestmi!)
Seznanite se lahko z značilnostmi in derivati.
