Pri reševanju različnih problemov geometrije, mehanike, fizike in drugih vej znanja se je pojavila potreba po enakem analitičnem postopku iz te funkcije y \u003d f (x) dobite novo funkcijo, imenovano izpeljana funkcija (ali preprosto izpeljanka) te funkcije f (x) in so označeni s simbolom

Proces, s katerim iz dane funkcije f (x) dobite novo funkcijo f "(x)se imenujejo diferenciacija in je sestavljen iz naslednjih treh korakov: 1) podajamo argument x prirastek  x in določite ustrezen prirastek funkcije  y \u003d f (x + x) -f (x); 2) sestavi odnos

3) razmislek x konstanten in  x 0, najdemo
, ki ga označujemo z f "(x), kot da poudarja, da je dobljena funkcija odvisna samo od vrednosti xpri katerem gremo do meje. Definicija: Izpeljanka y "\u003d f" (x) ta funkcija y \u003d f (x) za dani x se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, pod pogojem, da prirastek argumenta teži na nič, če ta omejitev seveda obstaja, t.j. je končna. Tako
, ali

Upoštevajte, da če je za neko vrednost x, na primer na x \u003d a, odnos
ob  x0 ne teži do končne meje, potem je v tem primeru rečeno, da je funkcija f (x) ob x \u003d a (ali na točki x \u003d a) nima izpeljanke ali je na tej točki ni mogoče razlikovati x \u003d a.

2. Geometrijski pomen izpeljanke.

Upoštevajmo graf funkcije y \u003d f (x), ki se razlikuje v bližini točke x 0

f (x)

Razmislite o poljubni ravni črti, ki gre skozi točko na grafu funkcije - točko A (x 0, f (x 0)) in preseka graf v neki točki B (x; f (x)). Takšni premici (AB) pravimo sekanta. Od ∆АВС: АС \u003d ∆x; ВС \u003d ∆у; tgβ \u003d ∆y / ∆x.

Ker je AC || Ox, nato ALO \u003d BAC \u003d β (kot ustreza vzporednici). Toda ALO je kot nagiba sekante AB v pozitivno smer osi Ox. Torej je tgβ \u003d k naklon ravne črte AB.

Zdaj bomo zmanjšali ∆х, tj. →х → 0. V tem primeru se bo točka B glede na graf približala točki A, sekanta AB pa se bo zasukala. Omejitveni položaj sekante AB pri ∆x → 0 bo ravna črta (a), imenovana tangenta na graf funkcije y \u003d f (x) v točki A.

Če preidemo do meje kot ∆х → 0 v enačbi tanβ \u003d ∆y / ∆x, potem dobimo
ali tg \u003d f "(x 0), saj
Angle-kot naklona tangente v pozitivno smer osi Ox
, po definiciji izpeljanke. Toda tg \u003d k je naklon tangente, kar pomeni, da je k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Torej, geometrijski pomen izpeljanke je naslednji:

Izpeljanka funkcije v točki x 0 enako naklon tangenta na graf funkcije, narisane v točki z absciso x 0 .

3. Fizični pomen izpeljanke.

Razmislite o gibanju točke vzdolž ravne črte. Naj bo koordinata točke podana kadar koli x (t). Znano je (iz tečaja fizike), da je povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju enaka razmerju prevožene poti v tem časovnem obdobju do časa, tj.

Vav \u003d ∆x / ∆t. V zadnji enakosti preidimo na mejo kot ∆t → 0.

lim Vav (t) \u003d  (t 0) - trenutna hitrost v času t 0, ∆t → 0.

in lim \u003d ∆x / ∆t \u003d x "(t 0) (po definiciji izpeljanke).

Torej,  (t) \u003d x "(t).

Fizični pomen izpeljanke je naslednji: izpeljanka funkcijey = f(x) na točkix 0 je hitrost spremembe funkcijef (x) v točkix 0

Izpeljanka se v fiziki uporablja za iskanje hitrosti po znani funkciji koordinate od časa, pospešek po znani funkciji hitrosti od časa.

 (t) \u003d x "(t) - hitrost,

a (f) \u003d  "(t) - pospešek ali

Če je zakon gibanja materialne točke v krogu znan, lahko med vrtilnim gibanjem najdete kotno hitrost in kotni pospešek:

φ \u003d φ (t) - sprememba kota s časom,

ω \u003d φ "(t) - kotna hitrost,

ε \u003d φ "(t) - kotni pospešek ali ε \u003d φ" (t).

Če je zakon porazdelitve mase nehomogene palice znan, potem lahko najdemo linearno gostoto nehomogene palice:

m \u003d m (x) - masa,

x , l - dolžina palice,

p \u003d m "(x) - linearna gostota.

Izpeljanka se uporablja za reševanje problemov iz teorije elastičnosti in harmonskih vibracij. Torej, po Hookejevem zakonu

F \u003d -kx, x - spremenljiva koordinata, k - koeficient elastičnosti vzmeti. Če postavimo ω 2 \u003d k / m, dobimo diferencialno enačbo vzmetnega nihala x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

kjer je ω \u003d √k / √m frekvenca vibracij (l / c), k je togost vzmeti (H / m).

Enačbo oblike у "+ ω 2 y \u003d 0 imenujemo enačba harmoničnih vibracij (mehanskih, električnih, elektromagnetnih). Rešitev takih enačb je funkcija

у \u003d Asin (ωt + φ 0) ali у \u003d Acos (ωt + φ 0), kjer

А - amplituda vibracij, ω - ciklična frekvenca,

φ 0 - začetna faza.

Kaj je izpeljanka?
Opredelitev in pomen izpeljave funkcije

Mnogi bodo presenečeni nad nepričakovano lokacijo tega članka v avtorskem tečaju o izpeljavi funkcije ene spremenljivke in njenih aplikacijah. Konec koncev, tako kot od šole: standardni učbenik najprej daje definicijo izpeljanke, njen geometrijski, mehanski pomen. Nato študenti najdejo izvode funkcij po definiciji in v resnici šele nato tehniko diferenciacije izpopolnijo s pomočjo izpeljane tabele.

Toda z mojega vidika je bolj pragmatičen naslednji pristop: najprej je priporočljivo DOBRO RAZUMEVANJE meja funkcije, in še posebej neskončno majhne količine... Dejstvo je, da opredelitev izvedenega finančnega instrumenta temelji na pojmu meje, ki je na šolskem tečaju slabo zajeto. Zato se pomemben del mladih porabnikov granitnega znanja ne poglablja globoko v bistvo derivata. Torej, če ste slabo vodeni v diferencialnem računanju ali pametni možgani za dolga leta uspešno se znebili te prtljage, začnite s meje funkcij... Hkrati obvladajte / si zapomnite njihovo rešitev.

Isti praktični občutek kaže, da je najprej koristno naučiti se najti izpeljanke, vključno z izpeljanke kompleksnih funkcij... Teorija je teorija in diferenciacija, kot pravijo, je vedno zaželena. V zvezi s tem je bolje pripraviti našteto osnovne lekcijein morda postane mojster diferenciacijene da bi se sploh zavedali bistva svojih dejanj.

Priporočam, da gradivo na tej strani začnete po branju članka. Najenostavnejši izpeljani problemi, kjer je zlasti obravnavan problem tangente na graf funkcije. Lahko pa počakate malo. Dejstvo je, da veliko aplikacij izpeljanke ne zahteva njegovega razumevanja in ni presenetljivo, da se je teoretična lekcija pojavila precej pozno - ko sem moral razložiti iskanje intervalov povečanja / zmanjšanja in ekstremovfunkcije. Poleg tega je bil dolgo v temi " Funkcije in grafi”Dokler se nisem odločil, da ga oblečem prej.

Zato, dragi čajniki, ne hitite vsrkati bistva derivata, kot lačne živali, saj bo sitost neokusna in nepopolna.

Koncept povečanja, zmanjšanja, maksimuma, minimuma funkcije

Veliko vaje vodi do koncepta izpeljanke s pomočjo nekaterih praktičnih problemov, prav tako pa sem prišel do zanimivega primera. Predstavljajte si, da bomo odpotovali v mesto, ki ga lahko dosežemo na različne načine. Takoj zavreči ukrivljene vijugaste poti in upoštevali bomo le ravne avtoceste. Vendar pa so tudi direktne smeri različne: do mesta lahko pridete z ravnim avtobusom. Ali na gričevnati avtocesti - gor in dol, gor in dol. Druga cesta gre samo navkreber, druga pa ves čas navzdol. Ekstremisti bodo izbrali pot skozi sotesko s strmo pečino in strmim vzponom.

Ne glede na vaše želje je priporočljivo poznati območje ali ga vsaj poiskati. topografska karta... In če takšne informacije manjkajo? Konec koncev lahko izberete na primer ravno pot in posledično naletite na smučišče z veselimi Finci. Ni dejstvo, da bodo navigator in celo satelitska slika zagotovili zanesljive podatke. Zato bi bilo lepo formalizirati relief poti s pomočjo matematike.

Razmislite o cesti (bočni pogled):

Za vsak slučaj vas spomnim na osnovno dejstvo: potovanje poteka od leve proti desni... Zaradi enostavnosti predpostavljamo, da je funkcija neprekinjeno na obravnavanem območju.

Katere so značilnosti ta vozni red?

V presledkih funkcijo povečuje, to je vsako naslednjo vrednost več prejšnji. Grobo rečeno, urnik je na sporedu navzgor (vzpnemo se na hrib). In na intervalu funkcija zmanjšuje - vsaka naslednja vrednost manj prejšnji in naš urnik gre od zgoraj navzdol (gremo po klancu navzdol).

Bodimo pozorni tudi na posamezne točke. Na točki, ki jo dosežemo največ, tj obstaja tak odsek poti, na katerem bo vrednost največja (najvišja). Na isti točki najmanjin obstaja takšna soseska, v kateri je vrednost najmanjša (najnižja).

V lekciji bomo upoštevali strožjo terminologijo in definicije na skrajnosti funkcije, za zdaj pa preučimo še eno pomembna lastnost: vmes funkcija se poveča, vendar se poveča pri različnih hitrostih... In prva stvar, ki vam pade v oči, je, da se grafikon v intervalu dvigne. veliko hladnejšikot na intervalu. Bi lahko strmino ceste izmerili z matematičnimi orodji?

Stopnja spremembe funkcije

Ideja je naslednja: vzemite nekaj pomena (preberite "delta x")ki jih bomo poklicali prirastek argumenta, in začnimo ga "preizkušati" različne točke na naš način:

1) Poglejmo skrajno levo točko: mimo razdalje se po klancu povzpnemo na višino (zelena črta). Kliče se količina prirastek funkcijein v v tem primeru ta prirastek je pozitiven (razlika v vrednostih vzdolž osi je večja od nič). Sestavimo razmerje, ki bo merilo strmine naše ceste. Očitno je, da gre za zelo natančno število in ker sta oba prirastka pozitivna, potem.

Pozor! Oznaka sta ENO simbol, to pomeni, da ne morete "odtrgati" "delte" od "x" in te črke upoštevati ločeno. Seveda komentar velja tudi za simbol prirastka funkcije.

Raziščimo naravo dobljene frakcije bolj smiselno. Najprej smo na višini 20 metrov (na levi črni točki). Ko bomo premagali razdaljo v metrih (leva rdeča črta), se bomo znašli na nadmorski višini 60 metrov. Potem bo prirastek funkcije metrov (zelena črta) in :. Tako na vsak meterta odsek ceste višina se poveča povprečno 4 metre ... ste pozabili svojo plezalno opremo? \u003d) Z drugimi besedami, zgrajena relacija označuje POVPREČNO HITROST SPREMEMB (v tem primeru rast) funkcije.

Opomba : numerične vrednosti zadevnega primera ustrezajo razmerjem risbe le približno.

2) Zdaj gremo enako oddaljeni od skrajne desne črne točke. Tu je naraščanje plitvejše, zato je prirastek (rdeča črta) razmeroma majhen, razmerje v primerjavi s prejšnjim primerom pa bo zelo skromno. Relativno gledano, metrov in stopnja rasti funkcije sestavlja. Se pravi tukaj za vsak meter poti povprečno pol metra dviga.

3) Majhna pustolovščina na strani gore. Poglejmo si vrh črna pikaki se nahaja na ordinatni osi. Recimo, da je 50 metrov. Ponovno prehodimo razdaljo, zaradi česar se znajdemo nižje - na ravni 30 metrov. Ker se gibanje izvaja od zgoraj navzdol (v "nasprotni smeri" od smeri osi), nato končna prirastek funkcije (višina) bo negativen: metrov (rjava črta na risbi). In v tem primeru že govorimo stopnja razpada funkcije: , to pomeni, da se za vsak meter poti tega odseka višina zmanjša povprečno 2 metra. Zaščitite svoja oblačila na peti točki.

Zdaj pa si zastavimo vprašanje: katera je najboljša vrednost "merilnega standarda"? Povsem razumljivo je 10 metrov zelo grobo. Na njih se zlahka prilega ducat izboklin. Zakaj so neravnine, spodaj je lahko globoka soteska, čez nekaj metrov pa še druga stran z nadaljnjim strmim vzponom. Tako na desetih metrih ne bomo dobili razumljive značilnosti takšnih odsekov poti skozi razmerje.

Iz zgornjih razlogov sledi zaključek - kot manjša vrednost , natančneje opišemo relief ceste. Poleg tega so resnična naslednja dejstva:

– Za vsakega dvižne točke lahko izberete vrednost (čeprav zelo majhno), ki ustreza mejam enega ali drugega dviga. To pomeni, da bo ustrezni prirastek v višini zagotovljen kot pozitiven, neenakost pa bo pravilno pokazala rast funkcije v vsaki točki teh intervalov.

- Podobno, za katero koli točka naklona obstaja vrednost, ki bo v celoti ustrezala temu pobočju. Posledično je ustrezni prirastek v višini enoznačno negativen in neenakost bo pravilno pokazala zmanjšanje funkcije na vsaki točki danega intervala.

- Posebej zanimiv je primer, ko je hitrost spremembe funkcije enaka nič :. Najprej je prirastek ničelne višine () znak ravne poti. In drugič, obstajajo še druge radovedne situacije, ki jih vidite na sliki. Predstavljajte si, da nas je usoda pripeljala na sam vrh hriba z vzpenjajočimi se orli ali na dno grape z krakajočimi žabami. Če naredite majhen korak v katero koli smer, bo sprememba višine zanemarljiva in lahko rečemo, da je stopnja spremembe funkcije dejansko nič. Tak vzorec opazimo na točkah.

Tako smo prišli do neverjetne priložnosti, da popolnoma natančno označimo hitrost spremembe funkcije. Navsezadnje vam matematična analiza omogoča, da prirastek argumenta usmerite na nič :, to je, da ga naredite neskončno majhna.

Posledično se pojavi še eno logično vprašanje: ali je mogoče najti cesto in njen urnik drugo funkcijoki bi nam povedal o vseh ravninskih predelih, vzponih, spustih, vrhovih, nižinah, pa tudi stopnji povečanja / zmanjšanja na vsaki točki poti?

Kaj je izpeljanka? Opredelitev izpeljanke.
Geometrijski pomen izpeljanke in diferenciala

Prosimo, preberite natančno in ne prehitro - gradivo je preprosto in dostopno vsem! V redu je, če se ponekod nekaj ne zdi zelo jasno, se lahko na članek vrnete pozneje. Rekel bom več, koristno je večkrat preučiti teorijo, da bi kakovostno razumeli vse točke (nasvet je še posebej pomemben za študente - "tehnike", za katere ima višja matematika pomembno vlogo v izobraževalnem procesu).

Seveda jo v sami definiciji izpeljanke nadomestimo z:

Kje smo prišli? In prišli smo do zaključka, da za funkcijo po zakonu se ujema drugo funkcijo , ki se imenuje izpeljana funkcija (ali preprosto izpeljanka).

Izpeljanka je značilna hitrost sprememb funkcije. Kako? Ideja teče kot rdeča nit od samega začetka članka. Razmislite o neki točki področja opredelitve funkcije. Naj bo funkcija v dani točki diferenciabilna. Nato:

1) Če, potem se funkcija na točki poveča. In očitno je interval (tudi če je zelo majhna), ki vsebuje točko, v kateri funkcija raste, njen graf pa gre "od spodaj navzgor".

2) Če, potem se funkcija v točki zmanjša. In obstaja interval, ki vsebuje točko, na kateri se funkcija zmanjšuje (graf gre "od zgoraj navzdol").

3) Če, potem neskončno blizu v bližini točke funkcija ohranja svojo hitrost konstantno. Kot se že zgodi, se to zgodi s stalno funkcijo in na kritičnih točkah funkcije, še posebej na točkah minimuma in maksimuma.

Malo semantike. Kaj pomeni glagol "razlikovati" v širšem pomenu besede? Razlikovati pomeni poudariti značilnost. Z razlikovanjem funkcije »izoliramo« hitrost njene spremembe v obliki izpeljave funkcije. Mimogrede, kaj pomeni beseda "izpeljanka"? Funkcija zgodilo iz funkcije.

Izrazi zelo dobro razlagajo mehanski pomen izpeljanke :
Upoštevajte zakon spremembe koordinat telesa, odvisno od časa in funkcije hitrosti gibanja to telo ... Funkcija označuje hitrost spremembe koordinat telesa, zato je prvič izpeljanka funkcije :. Če koncept "gibanja telesa" v naravi ne bi obstajal, potem ga ne bi bilo izpeljanka koncept "telesne hitrosti".

Pospešek telesa je hitrost spremembe hitrosti, zato: ... Če začetna pojma "gibanje telesa" in "hitrost gibanja telesa" v naravi ne bi obstajala, potem jih ne bi bilo izpeljanka koncept "pospeševanja telesa".

Datum: 20.11.2014

Kaj je izpeljanka?

Tabela izvedenih finančnih instrumentov.

Izvedeni finančni instrumenti so eden glavnih konceptov višja matematika... V tej vadnici vam bomo predstavili ta koncept. Spoznajmo se, brez strogih matematičnih formulacij in dokazov.

To poznanstvo bo omogočilo:

Razumeti bistvo preprostih nalog z izpeljanko;

Uspešno jih rešite ne težke naloge;

Pripravite se na resnejše izpeljane lekcije.

Najprej prijetno presenečenje.)

Stroga opredelitev izpeljanke temelji na teoriji meja in stvar je precej zapletena. To vznemirja. Toda praktična uporaba izpeljanke praviloma ne zahteva tako obsežnega in globokega znanja!

Za uspešno izvedbo večine nalog v šoli in na univerzi je dovolj vedeti le nekaj izrazov - razumeti nalogo in le nekaj pravil - rešiti. In to je vse. To me osrečuje.

Začnimo?)

Izrazi in poimenovanja.

V osnovni matematiki je veliko matematičnih operacij. Seštevanje, odštevanje, množenje, stopnjevanje, logaritem itd. Če tem operacijam dodate še eno, postane osnovna matematika boljša. To novo operacijo poklical diferenciacija. O definiciji in pomenu te operacije bomo govorili v ločenih lekcijah.

Tu je pomembno razumeti, da je diferenciacija preprosto matematična operacija funkcije. Zavzamemo katero koli funkcijo in v skladu z določena pravila, preoblikujte. Rezultat bo nova funkcija... Ta nova funkcija se imenuje: izpeljanka.

Diferenciacija - delovanje na funkcijo.

Izvedeni finančni instrumenti - rezultat tega ukrepa.

Tako kot na primer vsota - rezultat dodajanja. Ali zasebno - rezultat delitve.

Če poznate izraze, lahko vsaj razumete naloge.) Formulacije so naslednje: poiščite izpeljanko funkcije; vzemite izpeljanko; razlikovati funkcijo; izračunaj izpeljanko itd. Vse je enako. Seveda obstajajo tudi bolj zapletene naloge, kjer bo iskanje izpeljanke (diferenciacija) le eden od korakov pri reševanju naloge.

Izpeljanka je označena s pomišljajem zgoraj desno nad funkcijo. Všečkaj to: y " ali f "(x) ali S "(t) itd.

Preberite igrak stroke, eff stroke from x, es stroke from te, dobiš idejo ...)

Črtica lahko označuje tudi izpeljanko določene funkcije, na primer: (2x + 3) ", (x 3 )" , (sinx) " itd. Izpeljanko pogosto označujejo z diferenciali, vendar v tej lekciji takega zapisa ne bomo upoštevali.

Recimo, da smo se naučili razumeti naloge. Nič drugega ni ostalo - naučiti se, kako jih rešiti.) Naj vas še enkrat spomnim: iskanje izpeljanke je transformacija funkcije po določenih pravilih. Teh pravil je presenetljivo zelo malo.

Če želite najti izpeljanko funkcije, morate vedeti le tri stvari. Trije stebri, na katerih temelji vsaka diferenciacija. To so trije kiti:

1. Tabela izpeljank (diferencialne formule).

3. Izpeljanka kompleksne funkcije.

Začnimo po vrsti. V tej lekciji si bomo ogledali tabelo izpeljank.

Tabela izvedenih finančnih instrumentov.

Na svetu obstaja nešteto funkcij. Med tem naborom so funkcije, ki so najpomembnejše za praktična uporaba... Te funkcije so v vseh naravnih zakonih. Iz teh funkcij, tako kot iz opeke, lahko sestavite vse ostalo. Ta razred funkcij se imenuje osnovne funkcije. V šoli preučujejo te funkcije - linearne, kvadratne, hiperbole itd.

Diferenciacija funkcij "iz nič", tj. na podlagi definicije izpeljanke in teorije meja - precej zamudna stvar. In tudi matematiki smo ljudje, da, da!) Tako so si poenostavili življenje (in nas). Pred nami so izračunali odvode osnovnih funkcij. Rezultat je tabela izvedenih finančnih instrumentov, kjer je vse že pripravljeno.)

Tukaj je, ta plošča za najbolj priljubljene funkcije. Na levi je osnovna funkcija, na desni je njena izpeljava.

	Funkcija y	Izpeljanka funkcije y y "
1	C (konstantno)	C "\u003d 0
2	x	x "\u003d 1
3	x n (n - poljubno število)	(x n) "\u003d nx n-1
	x 2 (n \u003d 2)	(x 2) "\u003d 2x
4	greh x	(sin x) "\u003d cosx
	cos x	(cos x) "\u003d - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log ax
	ln x ( a \u003d e)

Priporočam, da ste pozorni na tretjo skupino funkcij v tej tabeli izpeljank. Izvedeni finančni instrumenti funkcija moči - ena najpogostejših formul, če ne celo najpogostejša! Je namig jasen?) Da, zaželeno je, da tabelo izpeljank poznamo na pamet. Mimogrede, to ni tako težko, kot se morda zdi. Poskusite rešiti več primerov, tabela bo zapomnjena!)

Najti vrednost tabele izpeljanke, kot razumete, ni najtežja naloga. Zato so pri takšnih nalogah zelo pogosto dodatni čipi. Bodisi v formulaciji naloge bodisi v prvotni funkciji, ki je, kot kaže, ni v tabeli ...

Oglejmo si nekaj primerov:

1. Poiščite izpeljanko funkcije y \u003d x 3

V tabeli ni take funkcije. Toda v. Obstaja izpeljava močne funkcije splošni pogled (tretja skupina). V našem primeru je n \u003d 3. Torej namesto n nadomestimo trojko in rezultat previdno zapišemo:

(x 3) "\u003d 3 x 3-1 = 3x 2

To je vse.

Odgovor: y "\u003d 3x 2

2. Poiščite vrednost izpeljanke funkcije y \u003d sinx v točki x \u003d 0.

Ta naloga pomeni, da morate najprej najti izpeljanko sinusa in nato nadomestiti vrednost x \u003d 0 v to zelo izpeljanko. V tem vrstnem redu! In potem se zgodi, da v prvotno funkcijo takoj nadomestijo ničlo ... Prosimo, da najdemo ne vrednost prvotne funkcije, temveč vrednost njegov derivat. Izpeljanka, naj vas spomnim, je že nova funkcija.

S plošče najdemo sinus in ustrezen derivat:

y "\u003d (sin x)" \u003d cosx

V izpeljanki nadomestite ničlo:

y "(0) \u003d cos 0 \u003d 1

To bo odgovor.

3. Za razlikovanje med funkcijami:

Kaj, navdihuje?) V tabeli izpeljank ni take funkcije.

Naj vas spomnim, da je razlikovanje funkcije samo iskanje izpeljanke te funkcije. Če pozabite osnovno trigonometrijo, je iskanje izpeljanke naše funkcije precej težavno. Tabela ne pomaga ...

Če pa vidite, da je naša funkcija kosinus dvojnega kota, potem je vse naenkrat na bolje!

Da, da! Ne pozabite, da je preoblikovanje prvotne funkcije pred diferenciacijo je povsem dovoljeno! In zgodi se, da je življenje veliko lažje. Dvokotna kosinusna formula:

Tisti. naša pametna funkcija ni nič drugega kot y \u003d cosx... In to je funkcija tabele. Takoj dobimo:

Odgovor: y "\u003d - sin x.

Primer za napredne diplomante in študente:

4. Poiščite izpeljanko funkcije:

Takšne funkcije v tabeli izpeljanih finančnih instrumentov seveda ni. Če pa se spomnite osnovne matematike, dejanj z stopnjami ... potem je to funkcijo povsem mogoče poenostaviti. Všečkaj to:

In x na potenco ene desetine je že funkcija tabele! Tretja skupina, n \u003d 1/10. Neposredno po formuli in napišite:

To je vse. To bo odgovor.

Upam, da je s prvim kitom diferenciacije - tabelo derivatov - vse jasno. Še vedno se moramo spoprijeti z dvema ostalima kitoma. V naslednji lekciji bomo obvladali pravila razlikovanja.

Fizičnih problemov ali primerov iz matematike je popolnoma nemogoče rešiti brez poznavanja izpeljanke in metod za njeno izračunavanje. Izvedeni finančni instrumenti so eden najpomembnejših konceptov matematična analiza... Odločili smo se, da bomo današnji članek posvetili tej temeljni temi. Kaj je izpeljanka, kakšen je njen fizični in geometrijski pomen, kako izračunati izpeljanko funkcije? Vsa ta vprašanja lahko združimo v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizični pomen izpeljanke

Naj bo funkcija f (x) podana v nekem intervalu (a, b) ... Točki intervala pripadata točki х in х0. Ko se x spremeni, se spremeni tudi funkcija sama. Spreminjanje argumenta - razlika med njegovimi vrednostmi x-x0 ... Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirastek argumenta. Sprememba ali prirastek funkcije je razlika v vrednosti funkcije na dveh točkah. Izvedena definicija:

Izpeljanka funkcije v točki je meja razmerja prirastka funkcije v dani točki do prirastka argumenta, ko slednji teži nič.

V nasprotnem primeru lahko to zapišemo takole:

Kakšen smisel ima najti takšno mejo? In tukaj je še kaj:

izpeljanka funkcije v točki je enaka tangenti kota med osjo OX in tangenti na graf funkcije v tej točki.

Fizični občutek izpeljanka: izpeljanka poti glede na čas je enaka hitrosti pravokotnega gibanja.

Že od šolskih časov vsi vedo, da je hitrost zasebna pot. x \u003d f (t) in čas t ... Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:

Če želite ugotoviti hitrost gibanja naenkrat t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: vzemite konstanto

Konstanto lahko premaknemo izven znaka izpeljanke. Poleg tega je treba to storiti. Pri reševanju primerov iz matematike praviloma vzemite - če lahko poenostavite izraz, bodite prepričani, da poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: izpeljanka vsote funkcij

Izpeljanka vsote dveh funkcij je enaka vsoti izpeljank teh funkcij. Enako velja za izpeljavo razlike funkcij.

Dokaza tega izreka ne bomo podali, temveč bomo upoštevali praktični primer.

Poiščite izpeljanko funkcije:

Pravilo tri: izpeljanka zmnožka funkcij

Izpeljanko zmnožka dveh diferenciabilnih funkcij izračunamo po formuli:

Primer: poiščite izpeljanko funkcije:

Sklep:

Tu je pomembno povedati o izračunu izpeljank kompleksnih funkcij. Izpeljanka kompleksne funkcije je enaka zmnožku izpeljanke te funkcije glede na vmesni argument z izpeljavo vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru srečamo izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x do pete stopnje. Da bi izračunali izpeljanko takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z izpeljavo takojšnjega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Pravilo štiri: količnik izpeljanka dveh funkcij

Formula za določitev izpeljanke količnika dveh funkcij:

Poskušali smo vam povedati o izvedenih finančnih instrumentih za lutke iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se zdi, zato bodite opozorjeni: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Z vsemi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete študentski servis ... V kratkem času vam bomo pomagali rešiti najtežji test in se spoprijeti z nalogami, četudi še nikoli niste delali izračuna izpeljank.