V prejšnjem razdelku o razčlenjevanju geometrijski pomen določenega integrala, smo prejeli številne formule za izračun površine krivolinijskega trapeza:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x za zvezno in nenegativno funkcijo y = f (x) na intervalu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x za zvezno in nepozitivno funkcijo y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .

Te formule so uporabne za reševanje relativno preprostih problemov. V resnici bomo pogosto morali delati s kompleksnejšimi figurami. V zvezi s tem bomo ta razdelek posvetili analizi algoritmov za izračun površine figur, ki so omejene s funkcijami v eksplicitni obliki, tj. na primer y = f(x) ali x = g(y).

Izrek

Naj sta funkciji y = f 1 (x) in y = f 2 (x) definirani in zvezni na intervalu [ a ; b ] in f 1 (x) ≤ f 2 (x) za katero koli vrednost x iz [ a ; b ] . Potem bo formula za izračun površine figure G, omejene s črtami x = a, x = b, y = f 1 (x) in y = f 2 (x), videti kot S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Podobna formula bo veljala za območje figure, omejeno s črtami y = c, y = d, x = g 1 (y) in x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dokaz

Poglejmo si tri primere, za katere bo formula veljavna.

V prvem primeru je ob upoštevanju lastnosti aditivnosti območja vsota območij prvotne figure G in krivolinijskega trapeza G 1 enaka površini slike G 2. To pomeni, da

Zato je S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Zadnji prehod lahko izvedemo z uporabo tretje lastnosti določenega integrala.

V drugem primeru velja enakost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafična ilustracija bo videti takole:

Če sta obe funkciji nepozitivni, dobimo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafična ilustracija bo videti takole:

Preidimo k obravnavanju splošnega primera, ko y = f 1 (x) in y = f 2 (x) sekata os O x.

Presečišča označimo kot x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Te točke delijo segment [a; b] na n delov x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, kjer je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

torej

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Zadnji prehod lahko naredimo z uporabo pete lastnosti določenega integrala.

Splošni primer ponazorimo na grafu.

Formulo S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lahko štejemo za dokazano.

Zdaj pa preidimo na analizo primerov izračuna območja figur, ki so omejene s črtami y = f (x) in x = g (y).

Obravnavo katerega koli od primerov bomo začeli z izdelavo grafa. Slika nam bo omogočila, da kompleksne oblike predstavimo kot zvezo enostavnejših oblik. Če vam je izdelava grafov in slik na njih težka, lahko preučite razdelek o osnovnih elementarnih funkcijah, geometrijski transformaciji grafov funkcij, pa tudi o izdelavi grafov med študijem funkcije.

Primer 1

Določiti je treba površino figure, ki je omejena s parabolo y = - x 2 + 6 x - 5 in ravnimi črtami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

rešitev

Narišimo črte na graf v kartezičnem koordinatnem sistemu.

Na segmentu [ 1 ; 4 ] se graf parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nahaja nad premico y = - 1 3 x - 1 2. V zvezi s tem za odgovor uporabimo formulo, pridobljeno prej, kot tudi metodo izračuna določenega integrala z uporabo Newton-Leibnizove formule:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odgovor: S(G) = 13

Poglejmo bolj zapleten primer.

Primer 2

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s črtami y = x + 2, y = x, x = 7.

rešitev

IN v tem primeru imamo samo eno premico, vzporedno z osjo x. To je x = 7. To od nas zahteva, da drugo mejo integracije poiščemo sami.

Zgradimo graf in nanj narišimo premice, podane v nalogi naloge.

Če imamo graf pred očmi, zlahka ugotovimo, da bo spodnja meja integracije abscisa točke presečišča grafa premice y = x in polparabole y = x + 2. Za iskanje abscise uporabimo enačbe:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Izkaže se, da je abscisa presečišča x = 2.

Opozarjamo vas na dejstvo, da se v splošnem primeru na risbi črte y = x + 2, y = x sekajo v točki (2; 2), zato se lahko takšni podrobni izračuni zdijo nepotrebni. Tako podrobno rešitev smo tukaj podali samo zato, ker v več težkih primerih rešitev morda ni tako očitna. To pomeni, da je vedno bolje izračunati koordinate presečišča premic analitično.

Na intervalu [ 2 ; 7] se graf funkcije y = x nahaja nad grafom funkcije y = x + 2. Za izračun površine uporabimo formulo:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odgovor: S (G) = 59 6

Primer 3

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena z grafi funkcij y = 1 x in y = - x 2 + 4 x - 2.

rešitev

Narišimo črte na graf.

Določimo meje integracije. Da bi to naredili, določimo koordinate presečišč premic z enačenjem izrazov 1 x in - x 2 + 4 x - 2. Pod pogojem, da x ni nič, postane enakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 enakovredna enačbi tretje stopnje - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celimi koeficienti. Za osvežitev spomina na algoritem za reševanje takih enačb se lahko obrnemo na poglavje "Reševanje kubičnih enačb."

Koren te enačbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Če izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 delimo z binomom x - 1, dobimo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Preostale korene lahko poiščemo iz enačbe x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v kateri je lik G vsebovan nad modro in pod rdečo črto. To nam pomaga določiti območje figure:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Primer 4

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s krivuljami y = x 3, y = - log 2 x + 1 in osjo abscise.

rešitev

Narišimo vse črte na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 dobimo iz grafa y = log 2 x, če ga postavimo simetrično glede na os x in premaknemo eno enoto navzgor. Enačba osi x je y = 0.

Označimo presečišča črt.

Kot je razvidno iz slike, se grafa funkcij y = x 3 in y = 0 sekata v točki (0; 0). To se zgodi, ker je x = 0 edini pravi koren enačbe x 3 = 0.

x = 2 je edini koren enačbe - log 2 x + 1 = 0, zato se grafa funkcij y = - log 2 x + 1 in y = 0 sekata v točki (2; 0).

x = 1 je edini koren enačbe x 3 = - log 2 x + 1 . Pri tem se grafa funkcij y = x 3 in y = - log 2 x + 1 sekata v točki (1; 1). Zadnja izjava morda ni očitna, vendar enačba x 3 = - log 2 x + 1 ne more imeti več kot enega korena, saj je funkcija y = x 3 strogo naraščajoča, funkcija y = - log 2 x + 1 pa je strogo padajoče.

Nadaljnja rešitev vključuje več možnosti.

Možnost #1

Slika G si lahko predstavljamo kot vsoto dveh krivoliničnih trapezov, ki se nahajata nad osjo x, od katerih se prvi nahaja pod srednjo črto na segmentu x ∈ 0; 1, drugi pa je pod rdečo črto na segmentu x ∈ 1; 2. To pomeni, da bo ploščina enaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost št. 2

Slika G je lahko predstavljena kot razlika dveh figur, od katerih se prva nahaja nad osjo x in pod modro črto na segmentu x ∈ 0; 2, drugi pa med rdečo in modro črto na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogoča, da poiščemo območje na naslednji način:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tem primeru boste morali za iskanje površine uporabiti formulo v obliki S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Pravzaprav lahko črte, ki omejujejo sliko, predstavimo kot funkcije argumenta y.

Rešimo enačbi y = x 3 in - log 2 x + 1 glede na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Dobimo zahtevano območje:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Primer 5

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s črtami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

rešitev

Z rdečo črto narišemo črto, ki jo določa funkcija y = x. Premico y = - 1 2 x + 4 narišemo modro, premico y = 2 3 x - 3 pa črno.

Označimo presečišča.

Poiščimo presečišča grafov funkcij y = x in y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Preverite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ni rešitev enačbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rešitev enačbe ⇒ (4; 2) presečišče i y = x in y = - 1 2 x + 4

Poiščimo presečišče grafov funkcij y = x in y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Preverite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rešitev enačbe ⇒ (9 ; 3) točka a s y = x in y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rešitve enačbe ni

Poiščimo presečišče premic y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) presečišče y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3

Metoda št. 1

Predstavljajmo si ploščino želenega lika kot vsoto ploščin posameznih figur.

Potem je območje figure:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda št. 2

Območje prvotne figure je mogoče predstaviti kot vsoto dveh drugih številk.

Nato rešimo enačbo črte glede na x in šele po tem uporabimo formulo za izračun površine figure.

y = x ⇒ x = y 2 rdeča črta y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 črna črta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Območje je torej:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kot lahko vidite, so vrednosti enake.

Odgovor: S (G) = 11 3

Rezultati

Da bi našli območje figure, ki je omejeno z danimi črtami, moramo zgraditi črte na ravnini, poiskati njihove presečišča in uporabiti formulo za iskanje območja. V tem razdelku smo preučili najpogostejše različice nalog.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Nadaljujmo z uporabo integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo nalogo izračun površine ravninske figure z uporabo določenega integrala. Končno vsi, ki iščejo smisel v višja matematika- naj ga najdejo. Nikoli ne veš. V življenju ga bomo morali približati območje podeželske koče elementarne funkcije in poiščite njeno ploščino z uporabo določenega integrala.

Za uspešno obvladovanje gradiva morate:

1) Razumeti nedoločen integral vsaj na povprečni ravni. Tako naj lutke najprej preberejo lekcijo ne.

2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Z nekaterimi integrali na strani lahko vzpostavite tople prijateljske odnose Določen integral. Primeri rešitev. Naloga "izračunaj površino z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbe, zato bo pomembno tudi vaše znanje in risarske sposobnosti. Najmanj morate biti sposobni sestaviti ravno črto, parabolo in hiperbolo.

Začnimo z ukrivljenim trapezom. Ukrivljeni trapez je ravna figura, omejen z grafom neke funkcije l = f(x), os OX in vrstice x = a; x = b.

Ploščina krivolinijskega trapeza je številčno enaka določenemu integralu

Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Pri lekciji Določen integral. Primeri rešitev rekli smo, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA. to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju določene figure. Razmislite o določenem integralu

Integrand

določa krivuljo na ravnini (po želji jo lahko narišemo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.

Primer 1

, , , .

To je tipična izjava o dodelitvi. Najpomembnejša točka pri odločitvi je konstrukcija risbe. Poleg tega je treba risbo sestaviti PRAV.

Pri izdelavi risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in samo Potem– parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Tam lahko najdete tudi zelo uporaben material za našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.

Naredimo risanje (upoštevajte, da enačba l= 0 določa os OX):

Ukrivljenega trapeza ne bomo senčili, tukaj je jasno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu [-2; 1] funkcijski graf l = x 2 + 2 nahaja nad osjoOX, Zato:

odgovor: .

Kdo ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule

sklicevati se na predavanje Določen integral. Primeri rešitev. Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru štejemo število celic na risbi "na oko" - no, približno 9 jih bo, zdi se res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Primer 2

Izračunajte površino figure, omejene s črtami xy = 4, x = 2, x= 4 in os OX.

To je primer za neodvisna odločitev. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjoOX?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami l = e-x, x= 1 in koordinatne osi.

Rešitev: Narišimo:

Če je ukrivljen trapez popolnoma nameščen pod osjo OX , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite območje ravninske figure, omejene s črtami l = 2x – x 2 , l = -x.

Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Pri konstruiranju risbe v problemih s ploščinami nas najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole l = 2x – x 2 in ravno l = -x. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije a= 0, zgornja meja integracije b= 3. Pogosto je bolj donosno in hitreje graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne "same od sebe". Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Naj ponovimo, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje določajo »samodejno«.

In zdaj delovna formula:

Če na segmentu [ a; b] neka zvezna funkcija f(x) večji ali enak nekaj neprekinjena funkcija g(x), potem je območje ustrezne figure mogoče najti s formulo:

Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, ampak pomembno je kateri graf je VIŠJE(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto in zato od 2 x – x 2 je treba odšteti – x.

Končana rešitev bi lahko izgledala takole:

Želeni lik je omejen s parabolo l = 2x – x 2 na vrhu in naravnost l = -x spodaj.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Po ustrezni formuli:

odgovor: .

Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej primer št. 3) poseben primer formule

Ker os OX podana z enačbo l= 0 in graf funkcije g(x), ki se nahaja pod osjo OX, To

In zdaj nekaj primerov za vašo rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite območje figure, omejene s črtami

Pri reševanju nalog, ki vključujejo izračun ploščine z določenim integralom, se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, a zaradi neprevidnosti ... Najdeno je bilo območje napačne figure.

Primer 7

Najprej naredimo risbo:

Figura, katere območje moramo najti, je osenčena modro(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto odločijo, da morajo najti območje figure, ki je zasenčeno zelena!

Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu [-1; 1] nad osjo OX graf se nahaja ravno l = x+1;

2) Na segmentu nad osjo OX se nahaja graf hiperbole l = (2/x).

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Primer 8

Izračunajte površino figure, omejene s črtami

Predstavimo enačbe v "šolski" obliki

in naredite risbo od točke do točke:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja »dobra«: b = 1.

Toda kaj je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj je?

morda, a=(-1/3)? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, se lahko izkaže a=(-1/4). Kaj pa, če smo graf sestavili narobe?

V takih primerih morate porabiti dodaten čas in analitično razjasniti meje integracije.

Poiščimo presečišča grafov

Da bi to naredili, rešimo enačbo:

torej a=(-1/3).

Nadaljnja rešitev je trivialna. Glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih. Izračuni tukaj niso najpreprostejši. Na segmentu

, ,

po ustrezni formuli:

odgovor:

Za zaključek lekcije si poglejmo še dve težji nalogi.

Primer 9

Izračunajte površino figure, omejene s črtami

Rešitev: Upodobimo to figuro na risbi.

Če želite narisati risbo od točke do točke, morate vedeti videz sinusoide. Na splošno je koristno poznati grafe vseh elementarnih funkcij, pa tudi nekaj sinusnih vrednosti. Najdete jih v tabeli vrednosti trigonometrične funkcije . V nekaterih primerih (na primer v tem primeru) je mogoče sestaviti shematsko risbo, na kateri bi morali biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.

Z mejami integracije tukaj ni težav, izhajajo neposredno iz pogoja:

– "x" se spremeni iz nič v "pi". Odločimo se še naprej:

Na segmentu graf funkcije l= greh 3 x ki se nahaja nad osjo OX, Zato:

(1) Vidite lahko, kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihih potencah v lekciji Integrali trigonometričnih funkcij. Odščipnemo en sinus.

(2) V obrazcu uporabimo glavno trigonometrično identiteto

(3) Spremenimo spremenljivko t=cos x, potem: se nahaja nad osjo, torej:

Opomba: upoštevajte, kako je vzet integral tangente v kocki; tukaj je uporabljena posledica glavnega trigonometrična identiteta

Določen integral. Kako izračunati površino figure

Nadaljujmo z uporabo integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo nalogo – kako z določenim integralom izračunati ploščino ravninske figure. Končno tisti, ki iščejo smisel v višji matematiki - naj ga najdejo. Nikoli ne veš. V resničnem življenju boste morali približati parcelo dače z uporabo elementarnih funkcij in poiskati njeno območje z uporabo določenega integrala.

Za uspešno obvladovanje gradiva morate:

1) Razumevanje nedoločenega integrala vsaj na srednji ravni. Tako naj lutke najprej preberejo lekcijo ne.

2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Z nekaterimi integrali na strani lahko vzpostavite tople prijateljske odnose Določen integral. Primeri rešitev.

Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujete toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga "izračunaj površino z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbe, zato bo vaše znanje in risarska sposobnost veliko bolj pereč problem. V zvezi s tem je koristno osvežiti spomin na grafe osnovnih elementarnih funkcij in vsaj znati sestaviti ravno črto, parabolo in hiperbolo. To je mogoče storiti (za mnoge je potrebno) z uporabo metodološko gradivo in članki o geometrijskih transformacijah grafov.

Pravzaprav je vsak že od šole seznanjen z nalogo iskanja ploščine z uporabo določenega integrala in ne bomo šli dlje od tega šolski kurikulum. Ta članek morda sploh ne bi obstajal, a dejstvo je, da se težava pojavi v 99 primerih od 100, ko študent trpi zaradi osovražene šole in navdušeno obvlada predmet višje matematike.

Gradivo te delavnice je predstavljeno preprosto, podrobno in z minimalno teorijo.

Začnimo z ukrivljenim trapezom.

Krivočrtni trapez je ploska figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom funkcije, zvezne na intervalu, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj se ta številka nahaja ne manj x-os:

Potem površina krivuljnega trapeza je številčno enaka določenemu integralu. Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Pri lekciji Določen integral. Primeri rešitev Rekel sem, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA.

to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju določene figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko naredijo risbo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o dodelitvi. Najprej in najpomembnejši trenutek rešitve - risanje. Poleg tega je treba risbo sestaviti PRAV.

Pri izdelavi risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in samo Potem– parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Bolj donosno je graditi grafe funkcij točka za točko, tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Tam lahko najdete tudi zelo uporaben material za našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):

Ukrivljenega trapeza ne bom senčil, tukaj je jasno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu se nahaja graf funkcije nad osjo, Zato:

odgovor:

Kdo ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule , sklicevati se na predavanje Določen integral. Primeri rešitev.

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru štejemo število celic na risbi "na oko" - no, približno 9 jih bo, zdi se res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Primer 2

Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami , , in osjo

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.

rešitev: Naredimo risbo:

Če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo(ali vsaj ne višje podana os), potem lahko njeno ploščino najdemo s formulo:
V tem primeru:

Pozor! Obe vrsti nalog ne smemo zamenjevati:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite ploščino ravninske figure, omejene s črtami , .

rešitev: Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo točke presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije , zgornja meja integracije pa .
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite..

Veliko bolj dobičkonosno in hitreje je graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne »same od sebe«. Tehnika gradnje od točke do točke za različne grafe je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.

Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.

In zdaj delujoča formula: Če je na segmentu neka zvezna funkcija večji ali enak neka zvezna funkcija , potem je območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in črtami , , mogoče najti s formulo:

Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je kateri graf je VIŠJE(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Končana rešitev bi lahko izgledala takole:

Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:

odgovor:

Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule . Ker je os določena z enačbo, se nahaja graf funkcije ne višje sekire, torej

In zdaj nekaj primerov za vašo rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite območje figure, omejeno s črtami , .

Primer 7

Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .

rešitev: Najprej naredimo risbo:

...Eh, risba je izpadla bedno, ampak se zdi, da je vse berljivo.

Figura, katere območje moramo najti, je osenčena modro(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi "napaka", da morate najti območje figure, ki je osenčeno zeleno!

Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu nad osjo je graf ravne črte;

2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Pojdimo k drugi smiselni nalogi.

Primer 8

Izračunaj površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in naredimo risbo po točkah:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja "dobra": .
Toda kaj je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj je? Morda? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, lahko se izkaže, da ... Ali pa korenina. Kaj pa, če smo graf sestavili narobe?

V takih primerih morate porabiti dodaten čas in analitično razjasniti meje integracije.

Poiščimo presečišča premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo:

,

Res,.

Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih, izračuni tukaj niso najpreprostejši.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor:

No, za zaključek lekcije si oglejmo še dve težji nalogi.

Primer 9

Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , ,

rešitev: Upodobimo to figuro na risbi.

Prekleto, pozabil sem podpisati urnik in, oprostite, nisem hotel ponoviti slike. Ni dan za žrebanje, skratka, danes je dan =)

Za gradnjo po točkah je potrebno poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno poznati grafi vseh elementarnih funkcij), kot tudi nekatere sinusne vrednosti, jih lahko najdete v trigonometrična tabela. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je mogoče sestaviti shematsko risbo, na kateri bi morali biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.

Z mejami integracije tukaj ni težav, izhajajo neposredno iz pogoja: "x" se spremeni iz nič v "pi". Odločimo se še naprej:

Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:

V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo takšnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poučevanjem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.

Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:

Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumete, kako bo bolj priročno izvesti integracijo v enem ali drugem primeru? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.

Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:

1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Nad vsakim grafom s svinčnikom podpišemo ime te funkcije. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.

2. Če meje integracije niso eksplicitno določene, potem poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali je naš grafična rešitev z analitično.

3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so razporejeni funkcijski grafi, obstajajo različni pristopi k iskanju območja figure. Razmislimo različni primeri o iskanju območja figure z uporabo integralov.

3.1. Najbolj klasična in najpreprostejša različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), naravnost x = a, x = b in katera koli krivulja, zvezna na intervalu od a prej b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:

Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 – 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OH, je nenegativno, ker imajo vse točke te parabole pozitivne vrednosti. Naprej, glede na ravne črte x = 1 in x = 3, ki potekajo vzporedno z osjo OU, sta mejni črti slike na levi in desni strani. No y = 0, je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili spodaj.

Primer 2 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izvira iz os OH, naravnost x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno sliko od zgoraj. Neposredno x = -4 in x = -1 to so meje, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dana funkcija ni pozitivna in je tudi zvezna na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-jev, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.

Članek ni dokončan.

Naloga št. 3. Naredite risbo in izračunajte površino figure, omejene s črtami

Uporaba integrala pri reševanju aplikativnih problemov

Izračun površine

Določen integral zvezne nenegativne funkcije f(x) je numerično enak območje krivuljnega trapeza, ki ga omejujejo krivulja y = f(x), os O x in ravni črti x = a in x = b. V skladu s tem je formula območja zapisana na naslednji način:

Oglejmo si nekaj primerov izračunavanja ploščin ravninskih likov.

Naloga št. 1. Izračunajte ploščino, ki jo omejujejo premice y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

rešitev. Sestavimo figuro, katere ploščino bomo morali izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola, katere veje so usmerjene navzgor, parabola pa je premaknjena navzgor za eno enoto glede na os O y (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1

Naloga št. 2. Izračunajte ploščino, ki jo omejujejo črte y = x 2 – 1, y = 0 v območju od 0 do 1.

rešitev. Graf te funkcije je parabola vej, ki so usmerjene navzgor, parabola pa je premaknjena glede na os O y navzdol za eno enoto (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije y = x 2 – 1

Naloga št. 3. Naredite risbo in izračunajte površino figure, omejene s črtami

y = 8 + 2x – x 2 in y = 2x – 4.

rešitev. Prva od teh dveh črt je parabola z vejami, usmerjenimi navzdol, ker je koeficient x 2 negativen, druga črta pa je premica, ki seka obe koordinatni osi.

Za konstrukcijo parabole najdemo koordinate njenega vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa oglišča; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njena ordinata, N(1;9) je oglišče.

Zdaj pa poiščimo presečišča parabole in premice z reševanjem sistema enačb:

Enačenje desnih strani enačbe, katere leve strani so enake.

Dobimo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ali x 2 – 12 = 0, od koder .

Točke so torej presečišča parabole in premice (slika 1).

Slika 3 Grafa funkcij y = 8 + 2x – x 2 in y = 2x – 4

Konstruirajmo premico y = 2x – 4. Gre skozi točke (0;-4), (2;0) na koordinatnih oseh.

Za sestavo parabole lahko uporabite tudi njene presečišča z osjo 0x, to je korenine enačbe 8 + 2x – x 2 = 0 ali x 2 – 2x – 8 = 0. Z uporabo Vietovega izreka je enostavno najti njegove korenine: x 1 = 2, x 2 = 4.

Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2), ki ga omejujejo te črte.

Drugi del težave je najti območje te figure. Njegovo ploščino je mogoče najti z uporabo določenega integrala po formuli .

Uporabljeno za ta pogoj, dobimo integral:

2 Izračun prostornine vrtilnega telesa

Prostornina telesa, dobljena z vrtenjem krivulje y = f(x) okoli osi O x, se izračuna po formuli:

Pri vrtenju okoli osi O y je formula videti takole:

Naloga št. 4. Določite prostornino telesa, dobljenega z vrtenjem ukrivljenega trapeza, omejenega z ravnimi črtami x = 0 x = 3 in krivuljo y = okoli osi O x.

rešitev. Narišimo sliko (slika 4).

Slika 4. Graf funkcije y =

Zahtevana prostornina je

Naloga št. 5. Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza, ki ga omejujejo krivulja y = x 2 in premice y = 0 in y = 4 okoli osi O y.

rešitev. Imamo:

Vprašanja za pregled