Funkcija porazdelitve vsebuje popolne informacije o naključni spremenljivki. V praksi distribucijske funkcije ni mogoče vedno vzpostaviti; Včasih tako izčrpno znanje ni potrebno. Delno informacijo o naključni spremenljivki podajajo numerične značilnosti, ki jih glede na vrsto informacije delimo na naslednje skupine.
1. Značilnosti položaja naključne spremenljivke na numerični osi (način Mo, mediana jaz, pričakovana vrednost M(X)).
2. Značilnosti razpršenosti slučajne spremenljivke okoli srednje vrednosti (variance D(X), povprečje standardni odklon σ( X)).
3. Značilnosti oblike krivulje l = φ( x) (asimetrija Kot, kurtoza npr).
Oglejmo si podrobneje vsako od teh značilnosti.
Pričakovana vrednost
naključna spremenljivka X označuje neko povprečno vrednost, okoli katere so vsi združeni možne vrednosti X. Za diskretno naključno spremenljivko, ki lahko sprejme samo končno število možnih vrednosti, je matematično pričakovanje vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti:
. (2.4)
Za zvezno naključno spremenljivko X, ki ima dano gostoto porazdelitve φ( x) je matematično pričakovanje naslednji integral: 
. (2.5)
Tu se predpostavlja, da nepravi integral konvergira absolutno, tj. obstaja.
Lastnosti matematično pričakovanje:
1. GOSPA) = C, Kje Z = konst;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y), Kje X in Y– vse naključne spremenljivke;
4. M(X∙Y)=M(X)∙M(Y), Kje X in Y so neodvisne naključne spremenljivke.
Kličemo dve naključni spremenljivki neodvisen
, če zakon distribucije ene od njih ni odvisen od možnih vrednosti, ki jih je sprejela druga količina.
Moda
diskretna naključna spremenljivka, označ Mo, se imenuje njena najverjetnejša vrednost (slika 2.3), način zvezne naključne spremenljivke pa vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja (slika 2.4). 
riž. 2.3 Sl. 2.4
Mediana
zvezna naključna spremenljivka X imenuje se njegova vrednost Me, za katero je enako verjetno, da se bo izkazala naključna vrednost manj ali več Mah, tj.
P(X < Jaz) = P(X > Mah)
Iz definicije mediane sledi, da P(X<Mah) = 0,5, tj. F (Mah) = 0,5. Geometrično si lahko mediano razlagamo kot absciso, na kateri je ordinata φ( x) razdeli na polovico območje, omejeno s porazdelitveno krivuljo (slika 2.5). V primeru simetrične porazdelitve mediana sovpada z modo in matematičnim pričakovanjem (slika 2.6). 
riž. 2.5 Sl. 2.6
Razpršenost.
Varianca naključne spremenljivke- merilo širjenja dane naključne spremenljivke, to je njenega odstopanja od matematičnega pričakovanja. Določeno D[X] v ruski literaturi in (angleščina) varianca) v tujini. V statistiki se pogosto uporablja oznaka ali . Kvadratni koren variance, enak , se imenuje standardni odklon, standardni odklon ali standardni razpon. Standardni odklon se meri v istih enotah kot sama naključna spremenljivka, varianca pa se meri v kvadratih te enote.
Iz Čebiševljeve neenakosti sledi, da se naključna spremenljivka odmakne od svojega matematičnega pričakovanja za več kot k standardni odkloni z verjetnostjo, manjšo od 1/ k². Na primer, v vsaj 75 % primerov naključna spremenljivka ni več kot dve standardni deviaciji oddaljena od svojega povprečja, v približno 89 % pa ne več kot tri standardne deviacije.
Varianca
naključne spremenljivke je matematično pričakovanje kvadrata njenega odstopanja od matematičnega pričakovanja
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Varianca naključne spremenljivke X Primerno je izračunati po formuli:
a) za diskretno količino
; (2.6)
b) za zvezno naključno spremenljivko
j( X)d x – 2 . (2.7)
Disperzija ima naslednje lastnosti:
1. D(C) = 0, kjer je Z = konst;
2. D(C× X) = C 2 ∙ D(X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), če X in Y neodvisne naključne spremenljivke.
Standardni odklon
naključna spremenljivka X se imenuje aritmetični koren variance, tj.
σ( X) = .
Upoštevajte, da je dimenzija σ( X) sovpada z dimenzijo same naključne spremenljivke X, zato je standardna deviacija primernejša za karakterizacijo sipanja.
Posplošitev osnovnih numeričnih značilnosti naključnih spremenljivk je koncept momentov naključne spremenljivke.
Začetni trenutek k-tega reda
α k naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje količine X k, tj. α k = M(X k).
Začetni trenutek prvega reda je matematično pričakovanje naključne spremenljivke.
Centralni moment k-te vrste
μ k naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje vrednosti ( X–M(X))k, tj. μ k = M(X–M(X))k.
Osrednji moment drugega reda je varianca naključne spremenljivke.
Za diskretno naključno spremenljivko je začetni moment izražen z vsoto α k= , središčno pa z vsoto μ k = 
Kje p i = p(X=x i). Za začetni in osrednji trenutek zvezne naključne spremenljivke lahko dobimo naslednje enačbe:
α k = , μ k = 
,
kjer je φ( x) – gostota porazdelitve naključne spremenljivke X.
Magnituda Kot= μ 3 / σ 3 se imenuje koeficient asimetrije
.
Če je koeficient asimetrije negativen, potem to kaže na velik vpliv na vrednost m 3 negativnih odstopanj. V tem primeru je porazdelitvena krivulja (slika 2.7) bolj položna na levi strani M(X). Če je koeficient As pozitiven, kar pomeni, da prevladuje vpliv pozitivnih odklonov, je porazdelitvena krivulja (slika 2.7) bolj položna na desni. V praksi je predznak asimetrije določen z lokacijo porazdelitvene krivulje glede na način (najvišja točka diferencialne funkcije). 
riž. 2.7
Presežek
Ek se imenuje količina
Ek= μ 4 / σ 4 – 3.
24. vprašanje: Korelacija
Korelacija (korelacijsko odvisnost) - statistično razmerje med dvema ali več naključnimi spremenljivkami (ali spremenljivkami, ki jih je mogoče obravnavati kot take z določeno sprejemljivo stopnjo natančnosti). V tem primeru spremembe vrednosti ene ali več teh količin spremljajo sistematične spremembe vrednosti druge ali drugih količin. Matematična mera korelacije med dvema naključnima spremenljivkama je korelacijsko razmerje, ali korelacijski koeficient (ali ) . Če sprememba ene naključne spremenljivke ne povzroči naravne spremembe druge naključne spremenljivke, ampak povzroči spremembo druge statistične značilnosti dane naključne spremenljivke, potem se takšno razmerje ne šteje za korelacijsko, čeprav je statistično.
Izraz »korelacija« je v znanstveno uporabo prvi uvedel francoski paleontolog Georges Cuvier v 18. stoletju. Razvil je "zakon korelacije" delov in organov živih bitij, s pomočjo katerega je mogoče obnoviti videz fosilne živali, ki ima na razpolago le del njenih ostankov. Besedo »korelacija« je v statistiki prvi uporabil angleški biolog in statistik Francis Galton konec 19. stoletja.
Nekatere vrste korelacijskih koeficientov so lahko pozitivne ali negativne (možno je tudi, da ni statistične povezave – na primer za neodvisne naključne spremenljivke). Če se predpostavi, da je na vrednosti spremenljivk podana stroga relacija reda, potem negativna korelacija- korelacija, pri kateri je povečanje ene spremenljivke povezano z zmanjšanjem druge spremenljivke, korelacijski koeficient pa je lahko negativen; pozitivna korelacija v takšnih pogojih je lahko korelacija, pri kateri je povečanje ene spremenljivke povezano s povečanjem druge spremenljivke, korelacijski koeficient pa je lahko pozitiven.
Povprečne vrednosti naključnih spremenljivk
Pretvarjajmo se, da X– diskretna naključna spremenljivka, ki je zaradi eksperimenta prevzela vrednosti x 1 , x 2 ,…, x n z verjetnostmi str 1 , str 2 ,…, p n, . Nato povprečna vrednost ali matematično pričakovanje vrednosti X imenovani znesek 
, tj. utežena povprečna vrednost X, kjer so uteži verjetnosti p i.
Primer. Določite povprečno vrednost napake regulacije e, če na podlagi velikega števila poskusov ugotovite, da je verjetnost napake p i je enako:
| e, % | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 |
| p i | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,15 | 0,15 |
1. M[e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =
V primeru, da g( X) je funkcija X(in verjetnost, da X = x i enako p i), potem je povprečna vrednost funkcije definirana kot
Pretvarjajmo se, da X je naključna spremenljivka z zvezno porazdelitvijo in je označena z gostoto verjetnosti j( x). Potem je verjetnost, da je X med x in x+D X:
Vrednost X v tem primeru približno zavzame vrednost x. V meji pri D x® 0, lahko predpostavimo, da je prirastek D xštevilčno enaka diferencialu d x.
Z zamenjavo D x= d X, dobimo natančno formulo za izračun povprečne vrednosti X : 
Podobno za g( X): 
Praviloma ni dovolj poznati samo povprečno vrednost (matematično pričakovanje) naključne spremenljivke. Za oceno mere naključnosti količine (za oceno širjenja določenih vrednosti X glede na matematično pričakovanje M[X]) uveden je koncept disperzije naključne spremenljivke. Disperzija je povprečna vrednost kvadrata odstopanja vsake specifične vrednosti X od matematičnega pričakovanja. Večja kot je disperzija, večja je naključnost širjenja vrednosti iz matematičnega pričakovanja. Če je naključna spremenljivka diskretna, potem
Za zvezno naključno spremenljivko lahko varianco zapišemo podobno:
Razpršenost dobro opiše širjenje vrednosti, vendar obstaja ena pomanjkljivost: dimenzija ne ustreza dimenziji X. Da bi se znebili te pomanjkljivosti, pogosto v posebnih aplikacijah upoštevajo ne samo pozitivno vrednost, ki se imenuje standardni odklon.
1.3.2.1. Lastnosti matematičnega pričakovanja
1. Matematično pričakovanje nenaključne vrednosti je enako tej vrednosti sami M[C] = C.
2. Nenaključni množitelj Z lahko vzamemo kot znak matematičnega pričakovanja M[CX] = C.M.[X].
3. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj teh naključnih spremenljivk.
4. Matematično pričakovanje zmnožka neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku matematičnih pričakovanj teh spremenljivk (pogoj neodvisnosti naključnih spremenljivk).
1.3.2.2. Disperzijske lastnosti
1. Disperzija nenaključne količine Z enako nič: D[C]=0.
2. Varianca zmnožka nenaključnega množitelja Z po naključni spremenljivki je enak zmnožku Z 2 za varianco naključne spremenljivke.
3. Varianca vsote neodvisnih slučajnih spremenljivk X 1 in X 2 je enak vsoti varianc členov
1.3.3. Trenutki naključne spremenljivke
Pustiti X– zvezna naključna spremenljivka. Če je n pozitivno celo število in funkcija x n je integrabilen na intervalu (–¥; +¥), nato povprečna vrednost
n = 0, 1,…, n
klical začetni trenutek red n naključna spremenljivka X.
Očitno je, da je trenutek ničelnega reda
,
Matematično pričakovanje (povprečna vrednost) naključne spremenljivke X, podane na diskretnem verjetnostnem prostoru, je število m =M[X]=∑x i p i, če niz absolutno konvergira.
Namen storitve. Uporaba spletne storitve izračuna se matematično pričakovanje, varianca in standardni odklon(glej primer). Poleg tega se izriše graf porazdelitvene funkcije F(X).
Lastnosti matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke
- Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako samemu sebi: M[C]=C, C – konstanta;
- M=C M[X]
- Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj: M=M[X]+M[Y]
- Matematično pričakovanje produkta neodvisnih naključnih spremenljivk je enako produktu njihovih matematičnih pričakovanj: M=M[X] M[Y] , če sta X in Y neodvisna.
Disperzijske lastnosti
- Varianca konstantne vrednosti je nič: D(c)=0.
- Konstantni faktor lahko vzamemo izpod disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo: D(k*X)= k 2 D(X).
- Če sta naključni spremenljivki X in Y neodvisni, potem je varianca vsote enaka vsoti varianc: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Če sta naključni spremenljivki X in Y odvisni: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Za disperzijo velja naslednja računska formula:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Primer. Znani so matematična pričakovanja in variance dveh neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke Z=9X-8Y+7.
rešitev. Na podlagi lastnosti matematičnega pričakovanja: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na podlagi lastnosti disperzije: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritem za izračun matematičnega pričakovanja
Lastnosti diskretnih naključnih spremenljivk: vse njihove vrednosti je mogoče preštevilčiti z naravnimi številkami; Vsaki vrednosti dodelite neničelno verjetnost.- Pare pomnožimo enega za drugim: x i s p i .
- Dodajte zmnožek vsakega para x i p i .
Na primer, za n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Primer št. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematično pričakovanje poiščemo s formulo m = ∑x i p i .
Pričakovanje M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varianco poiščemo s formulo d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianca D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardni odklon σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Primer št. 2. Diskretna naključna spremenljivka ima naslednjo porazdelitveno serijo:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
rešitev. Vrednost a dobimo iz relacije: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ali 0,24=3 a , od koder je a = 0,08
Primer št. 3. Določite porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke, če je njena varianca znana, in x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
rešitev.
Tukaj morate ustvariti formulo za iskanje variance d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kjer je pričakovanje m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Za naše podatke
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ali -9/100 (x 2 -20x+96)=0
V skladu s tem moramo najti korenine enačbe in obstajala bosta dva.
x 3 =8, x 3 =12
Izberite tisto, ki izpolnjuje pogoj x 1
Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3 =0,1; p 4 =0,3
Pričakovanje je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke
Matematično pričakovanje, definicija, matematično pričakovanje diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk, vzorec, pogojno pričakovanje, izračun, lastnosti, problemi, ocena pričakovanja, disperzija, porazdelitvena funkcija, formule, primeri izračuna
Razširi vsebino
Strni vsebino
Definicija je matematično pričakovanje
Eden najpomembnejših konceptov v matematični statistiki in teoriji verjetnosti, ki opisuje porazdelitev vrednosti ali verjetnosti naključne spremenljivke. Običajno izraženo kot tehtano povprečje vseh možnih parametrov naključne spremenljivke. Pogosto se uporablja v tehnični analizi, preučevanju številskih nizov in preučevanju neprekinjenih in dolgotrajnih procesov. Pomemben je pri ocenjevanju tveganj, napovedovanju kazalnikov cen pri trgovanju na finančnih trgih in se uporablja pri razvoju strategij in metod igralne taktike v teoriji iger na srečo.
Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke se v teoriji verjetnosti obravnava verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke.
Matematično pričakovanje je merilo povprečne vrednosti naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Pričakovanje naključne spremenljivke x označen z M(x).
Matematično pričakovanje je
Matematično pričakovanje je v teoriji verjetnosti tehtano povprečje vseh možnih vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka.
Matematično pričakovanje je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.
Matematično pričakovanje je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je takšno odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikega števila in velike razdalje.
Matematično pričakovanje je v teoriji iger na srečo znesek dobitkov, ki jih lahko igralec v povprečju zasluži ali izgubi za vsako stavo. V igralniškem jeziku se to včasih imenuje "igralčeva prednost" (če je pozitivna za igralca) ali "hišna prednost" (če je negativna za igralca).
Matematično pričakovanje je odstotek dobička na zmago, pomnožen s povprečnim dobičkom, minus verjetnost izgube, pomnožena s povprečno izgubo.
Matematično pričakovanje naključne spremenljivke v matematični teoriji
Ena od pomembnih numeričnih značilnosti naključne spremenljivke je njeno matematično pričakovanje. Uvedimo koncept sistema naključnih spremenljivk. Oglejmo si nabor naključnih spremenljivk, ki so rezultati istega naključnega poskusa. Če je ena od možnih vrednosti sistema, potem dogodek ustreza določeni verjetnosti, ki zadovoljuje Kolmogorove aksiome. Funkcija, definirana za vse možne vrednosti naključnih spremenljivk, se imenuje zakon skupne porazdelitve. Ta funkcija vam omogoča izračun verjetnosti vseh dogodkov iz. Zlasti zakon skupne porazdelitve naključnih spremenljivk in , ki vzamejo vrednosti iz množice in , je podan z verjetnostmi.
Izraz »matematično pričakovanje« je uvedel Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) in izhaja iz koncepta »pričakovane vrednosti dobitkov«, ki se je prvič pojavil v 17. stoletju v teoriji iger na srečo v delih Blaisa Pascala in Christiana. Huygens. Vendar pa je prvo celovito teoretično razumevanje in oceno tega koncepta podal Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredi 19. stoletja).
Porazdelitveni zakon naključnih številskih spremenljivk (porazdelitvena funkcija in porazdelitveni niz ali gostota verjetnosti) popolnoma opiše obnašanje naključne spremenljivke. Toda v številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane količine (na primer njeno povprečno vrednost in morebitno odstopanje od nje), da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje. Glavne numerične značilnosti naključnih spremenljivk so matematično pričakovanje, varianca, način in mediana.
Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti. Včasih se matematično pričakovanje imenuje tehtano povprečje, saj je približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke v velikem številu poskusov. Iz definicije matematičnega pričakovanja izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je nenaključna (konstantna) spremenljivka.
Matematično pričakovanje ima preprost fizikalni pomen: če enoto mase postavite na ravno črto, postavite določeno maso na nekaj točk (za diskretno porazdelitev) ali jo "razmažete" z določeno gostoto (za absolutno zvezno porazdelitev), , potem bo točka, ki ustreza matematičnim pričakovanjem, koordinata "težišče" ravna.
Povprečna vrednost naključne spremenljivke je določeno število, ki je tako rekoč njen »predstavnik« in jo nadomešča v približno približnih izračunih. Ko rečemo: »povprečni čas delovanja svetilke je 100 ur« ali »povprečna točka udarca je premaknjena glede na tarčo za 2 m v desno«, nakazujemo določeno numerično karakteristiko naključne spremenljivke, ki opisuje njeno lokacijo. na numerični osi, tj. "pozicijske značilnosti".
Od značilnosti položaja v teoriji verjetnosti ima najpomembnejšo vlogo matematično pričakovanje naključne spremenljivke, ki se včasih imenuje preprosto povprečna vrednost naključne spremenljivke.
Upoštevajte naključno spremenljivko X, ki ima možne vrednosti x1, x2, …, xn z verjetnostmi p1, p2, …, pn. Z določeno številko moramo označiti položaj vrednosti naključne spremenljivke na osi x, pri čemer upoštevamo dejstvo, da imajo te vrednosti različne verjetnosti. V ta namen je naravno uporabiti tako imenovano "uteženo povprečje" vrednosti xi, in vsako vrednost xi med povprečenjem je treba upoštevati z "utežjo", sorazmerno z verjetnostjo te vrednosti. Tako bomo izračunali povprečje naključne spremenljivke X, ki ga označujemo M |X|:
To tehtano povprečje se imenuje matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Tako smo v obravnavo uvedli enega najpomembnejših konceptov teorije verjetnosti - koncept matematičnega pričakovanja. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.
X je povezana s posebno odvisnostjo od aritmetične sredine opazovanih vrednosti naključne spremenljivke v velikem številu poskusov. Ta odvisnost je iste vrste kot odvisnost med frekvenco in verjetnostjo, in sicer: z velikim številom poskusov se aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke približa (konvergira v verjetnosti) svojemu matematičnemu pričakovanju. Iz obstoja povezave med frekvenco in verjetnostjo lahko posledično sklepamo o obstoju podobne povezave med aritmetično sredino in matematičnim pričakovanjem. Dejansko upoštevajte naključno spremenljivko X, za katero je značilna distribucijska serija:
Naj se proizvaja N neodvisni poskusi, v vsakem od katerih vrednost X prevzame določeno vrednost. Predpostavimo, da vrednost x1 pojavil m1 krat, vrednost x2 pojavil m2 enkrat, v splošnem pomenu xi se je pojavilo mikrat. Izračunajmo aritmetično sredino opazovanih vrednosti vrednosti X, ki v nasprotju z matematičnim pričakovanjem M|X| označujemo M*|X|:
Z naraščajočim številom poskusov N frekvence pi se bo približala (konvergirala v verjetnosti) ustreznim verjetnostim. Posledično je aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke M|X| s povečanjem števila poskusov se bo približala (konvergirala v verjetnosti) svojemu matematičnemu pričakovanju. Zgoraj oblikovana povezava med aritmetično sredino in matematičnim pričakovanjem je vsebina ene od oblik zakona velikih števil.
Vemo že, da vse oblike zakona velikih števil navajajo dejstvo, da so nekatera povprečja stabilna v velikem številu poskusov. Tu govorimo o stabilnosti aritmetične sredine iz niza opazovanj iste količine. Pri majhnem številu poskusov je aritmetična sredina njihovih rezultatov naključna; z zadostnim povečanjem števila poskusov postane "skoraj nenaključno" in se s stabilizacijo približa konstantni vrednosti - matematičnemu pričakovanju.
Stabilnost povprečij v velikem številu poskusov je mogoče enostavno eksperimentalno preveriti. Na primer, pri tehtanju telesa v laboratoriju na natančnih tehtnicah dobimo kot rezultat tehtanja vsakič novo vrednost; Da zmanjšamo napako opazovanja, telo večkrat stehtamo in uporabimo aritmetično sredino dobljenih vrednosti. Lahko vidimo, da se z nadaljnjim povečevanjem števila poskusov (tehtanj) aritmetična sredina vedno manj odziva na to povečanje in se pri dovolj velikem številu poskusov praktično ne spreminja več.
Opozoriti je treba, da najpomembnejša značilnost položaja naključne spremenljivke - matematično pričakovanje - ne obstaja za vse naključne spremenljivke. Možno je sestaviti primere takih naključnih spremenljivk, za katere matematično pričakovanje ne obstaja, saj ustrezna vsota ali integral divergira. Vendar takšni primeri za prakso niso pomembnejši. Običajno imajo naključne spremenljivke, s katerimi imamo opravka, omejen obseg možnih vrednosti in imajo seveda matematično pričakovanje.
Poleg najpomembnejših značilnosti položaja naključne spremenljivke - matematičnega pričakovanja - se v praksi včasih uporabljajo tudi druge značilnosti položaja, zlasti način in mediana naključne spremenljivke.
Modus naključne spremenljivke je njena najverjetnejša vrednost. Izraz "najverjetnejša vrednost" strogo gledano velja samo za diskontinuirane količine; za zvezno količino je način vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja. Slike prikazujejo način za diskontinuirane oziroma zvezne naključne spremenljivke.
Če ima poligon porazdelitve (krivulja porazdelitve) več kot en maksimum, se porazdelitev imenuje "multimodalna".
Včasih obstajajo distribucije, ki imajo minimum na sredini in ne maksimum. Takšne porazdelitve imenujemo "antimodalne".
V splošnem primeru način in matematično pričakovanje naključne spremenljivke ne sovpadata. V posebnem primeru, ko je porazdelitev simetrična in modalna (tj. ima način) in obstaja matematično pričakovanje, potem sovpada z načinom in središčem simetrije porazdelitve.
Pogosto se uporablja še ena karakteristika položaja - tako imenovana mediana naključne spremenljivke. Ta lastnost se običajno uporablja samo za zvezne naključne spremenljivke, čeprav jo je mogoče formalno definirati za diskontinuirano spremenljivko. Geometrično je mediana abscisa točke, v kateri je območje, ki ga oklepa porazdelitvena krivulja, razdeljeno na pol.
V primeru simetrične modalne porazdelitve mediana sovpada z matematičnim pričakovanjem in modusom.
Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke - numerična značilnost verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke. Na najbolj splošen način, matematično pričakovanje naključne spremenljivke X(w) definiran kot Lebesgueov integral glede na verjetnostno mero R v prvotnem verjetnostnem prostoru:
Matematično pričakovanje je mogoče izračunati tudi kot Lebesgueov integral X z verjetnostno porazdelitvijo px količine X:
Koncept naključne spremenljivke z neskončnim matematičnim pričakovanjem je mogoče definirati na naraven način. Tipičen primer so povratni časi nekaterih naključnih sprehodov.
Z uporabo matematičnega pričakovanja se določijo številne numerične in funkcionalne značilnosti porazdelitve (kot matematično pričakovanje ustreznih funkcij naključne spremenljivke), na primer tvorna funkcija, značilna funkcija, trenutki katerega koli reda, zlasti disperzija, kovarianca. .
Matematično pričakovanje je značilnost lokacije vrednosti naključne spremenljivke (povprečna vrednost njene porazdelitve). V tej vlogi služi matematično pričakovanje kot nek "tipični" porazdelitveni parameter in njegova vloga je podobna vlogi statičnega momenta - koordinate težišča porazdelitve mase - v mehaniki. Od drugih značilnosti lokacije, s pomočjo katerih je porazdelitev opisana na splošno - mediane, modusi, se matematično pričakovanje razlikuje po večji vrednosti, ki jo imata in pripadajoča karakteristika sipanja - disperzija - v mejnih izrekih teorije verjetnosti. Pomen matematičnega pričakovanja najpopolneje razkrivata zakon velikih števil (neenakost Čebiševa) in okrepljeni zakon velikih števil.
Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke
Naj obstaja neka naključna spremenljivka, ki lahko sprejme eno od več številskih vrednosti (na primer, število točk pri metanju kocke je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6). Pogosto se v praksi za tako vrednost pojavi vprašanje: kakšno vrednost ima "v povprečju" z velikim številom testov? Kakšen bo naš povprečni dohodek (ali izguba) iz vsake od tveganih transakcij?
Recimo, da obstaja nekakšna loterija. Želimo razumeti, ali je donosno ali ne sodelovati pri tem (ali celo sodelovati večkrat, redno). Recimo, da je zmagovalna vsaka četrta vstopnica, nagrada bo 300 rubljev, cena katere koli vstopnice pa 100 rubljev. Pri neskončno velikem številu udeležb se to zgodi. V treh četrtinah primerov bomo izgubili, vsake tri izgube bodo stale 300 rubljev. V vsakem četrtem primeru bomo dobili 200 rubljev. (nagrada minus stroški), to pomeni, da za štiri udeležbe izgubimo v povprečju 100 rubljev, za eno - v povprečju 25 rubljev. Skupaj bo povprečna stopnja naše ruševine 25 rubljev na vozovnico.
Vržemo kocke. Če ne gre za goljufanje (brez premikanja težišča ipd.), koliko točk bomo imeli v povprečju naenkrat? Ker je vsaka možnost enako verjetna, preprosto vzamemo aritmetično sredino in dobimo 3,5. Ker je to POVPREČJE, ni treba biti ogorčen, da noben določen met ne bo dal 3,5 točke - no, ta kocka nima obraza s tako številko!
Zdaj pa povzemimo naše primere:
Poglejmo pravkar prikazano sliko. Na levi je tabela porazdelitve naključne spremenljivke. Vrednost X lahko sprejme eno od n možnih vrednosti (prikazano v zgornji vrstici). Drugih pomenov ne more biti. Pod vsako možno vrednostjo je spodaj zapisana njena verjetnost. Na desni je formula, kjer se M(X) imenuje matematično pričakovanje. Pomen te vrednosti je, da se bo pri velikem številu testov (z velikim vzorcem) povprečna vrednost nagibala k temu istemu matematičnemu pričakovanju.
Vrnimo se spet k isti igralni kocki. Matematično pričakovanje števila točk pri metu je 3,5 (če ne verjamete, izračunajte sami po formuli). Recimo, da si ga nekajkrat vrgel. Rezultata sta bila 4 in 6. Povprečje je bilo 5, kar je daleč od 3,5. Vrgli so ga še enkrat, dobili so 3, torej v povprečju (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333 ... Nekako daleč od matematičnega pričakovanja. Sedaj pa naredite nor eksperiment - kocko zavrtite 1000-krat! In tudi če povprečje ne bo ravno 3,5, bo blizu tega.
Izračunajmo matematično pričakovanje za zgoraj opisano loterijo. Plošča bo izgledala takole:
Potem bo matematično pričakovanje, kot smo ugotovili zgoraj:
Druga stvar je, da bi bilo to narediti "na prste", brez formule, težko, če bi bilo več možnosti. No, recimo, da bi bilo 75 % izgubljenih listkov, 20 % zmagovalnih listkov in 5 % posebej zmagovalnih.
Zdaj pa nekaj lastnosti matematičnega pričakovanja.
To je enostavno dokazati:
Konstantni faktor lahko vzamemo kot znak matematičnega pričakovanja, to je:
To je poseben primer lastnosti linearnosti matematičnega pričakovanja.
Druga posledica linearnosti matematičnega pričakovanja:
to pomeni, da je matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk enako vsoti matematičnih pričakovanj naključnih spremenljivk.
Naj sta X, Y neodvisni naključni spremenljivki, potem:
To je tudi enostavno dokazati) Delo XY sama je naključna spremenljivka in če bi začetne vrednosti lahko sprejele n in m vrednosti v skladu s tem XY lahko sprejme vrednosti nm. Verjetnost posamezne vrednosti se izračuna na podlagi dejstva, da se verjetnosti neodvisnih dogodkov pomnožijo. Kot rezultat dobimo tole:
Pričakovanje zvezne naključne spremenljivke
Neprekinjene naključne spremenljivke imajo tako značilnost, kot je gostota porazdelitve (gostota verjetnosti). V bistvu označuje situacijo, da naključna spremenljivka vzame nekatere vrednosti iz niza realnih števil pogosteje, nekatere pa redkeje. Na primer, razmislite o tem grafu:
Tukaj X- dejanska naključna spremenljivka, f(x)- gostota porazdelitve. Sodeč po tem grafu je med poskusi vrednost X bo pogosto številka blizu ničle. Možnosti so presežene 3 ali biti manjši -3 bolj čisto teoretično.
Naj obstaja na primer enotna porazdelitev:
To je povsem skladno z intuitivnim razumevanjem. Recimo, če prejmemo veliko naključnih realnih števil z enakomerno porazdelitvijo, vsak segment |0; 1| , potem bi morala biti aritmetična sredina približno 0,5.
Lastnosti matematičnega pričakovanja - linearnost itd., ki veljajo za diskretne naključne spremenljivke, veljajo tudi tukaj.
Povezava med matematičnim pričakovanjem in drugimi statističnimi indikatorji
V statistični analizi poleg matematičnega pričakovanja obstaja sistem medsebojno odvisnih kazalnikov, ki odražajo homogenost pojavov in stabilnost procesov. Indikatorji variacije pogosto nimajo samostojnega pomena in se uporabljajo za nadaljnjo analizo podatkov. Izjema je koeficient variacije, ki označuje homogenost podatkov, kar je dragocena statistična značilnost.
Stopnjo variabilnosti oziroma stabilnosti procesov v statistični znanosti lahko merimo z več indikatorji.
Najpomembnejši indikator, ki označuje variabilnost naključne spremenljivke, je Razpršenost, ki je najtesneje in neposredno povezana z matematičnim pričakovanjem. Ta parameter se aktivno uporablja v drugih vrstah statistične analize (testiranje hipotez, analiza vzročno-posledičnih razmerij itd.). Tako kot povprečno linearno odstopanje tudi varianca odraža obseg širjenja podatkov okoli srednje vrednosti.
Jezik znakov je koristno prevesti v jezik besed. Izkazalo se je, da je disperzija povprečni kvadrat odstopanj. To pomeni, da se najprej izračuna povprečna vrednost, nato se razlika med vsako prvotno in povprečno vrednostjo vzame, kvadrira, doda in nato deli s številom vrednosti v populaciji. Razlika med posamezno vrednostjo in povprečjem odraža mero odstopanja. Kvadrira se tako, da postanejo vsa odstopanja izključno pozitivna števila in da se izognemo medsebojnemu uničenju pozitivnih in negativnih odstopanj pri njihovem seštevanju. Nato glede na kvadrat odstopanja preprosto izračunamo aritmetično sredino. Povprečje - kvadrat - odstopanja. Odstopanja se kvadrirajo in izračuna se povprečje. Odgovor na čarobno besedo »razpršenost« se skriva v samo treh besedah.
Vendar pa se disperzija v svoji čisti obliki, kot je aritmetična sredina ali indeks, ne uporablja. Je bolj pomožni in vmesni indikator, ki se uporablja za druge vrste statističnih analiz. Niti običajne merske enote nima. Sodeč po formuli je to kvadrat merske enote izvirnih podatkov.
Izmerimo naključno spremenljivko N krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je povprečna vrednost povezana s porazdelitveno funkcijo?
Ali pa bomo kocko metali velikokrat. Število točk, ki se bo pojavilo na kocki ob vsakem metu, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubno naravno vrednost od 1 do 6. Aritmetična sredina izpadlih točk, izračunana za vse mete kocke, je prav tako naključna spremenljivka, vendar za velike N nagiba se k zelo specifičnemu številu – matematičnim pričakovanjem Mx. V tem primeru je Mx = 3,5.
Kako ste dobili to vrednost? Spustiti noter N testi n1 ko dobiš 1 točko, n2 enkrat - 2 točki in tako naprej. Nato število izidov, pri katerih je padla ena točka:
Podobno velja za rezultate, ko se vržejo 2, 3, 4, 5 in 6 točk.
Predpostavimo zdaj, da poznamo zakon porazdelitve naključne spremenljivke x, to pomeni, da vemo, da lahko naključna spremenljivka x zavzame vrednosti x1, x2, ..., xk z verjetnostmi p1, p2, ..., pak.
Matematično pričakovanje Mx naključne spremenljivke x je enako:
Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Zato je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da število ljudi, ki prejemajo plačo, nižjo od mediane, in večjo sovpada.
Verjetnost p1, da bo naključna spremenljivka x manjša od x1/2, in verjetnost p2, da bo naključna spremenljivka x večja od x1/2, sta enaki in enaki 1/2. Mediana ni določena enolično za vse porazdelitve.
Standardno ali standardno odstopanje v statistiki se imenuje stopnja odstopanja opazovalnih podatkov ali nizov od POVPREČNE vrednosti. Označeno s črkama s ali s. Majhna standardna deviacija kaže, da se podatki združujejo okoli povprečja, medtem ko velika standardna deviacija kaže, da so začetni podatki daleč od nje. Standardni odklon je enak kvadratnemu korenu količine, imenovane varianca. Je povprečje vsote kvadratov razlik začetnih podatkov, ki odstopajo od povprečne vrednosti. Standardni odklon naključne spremenljivke je kvadratni koren variance:
Primer. V preskusnih pogojih pri streljanju na tarčo izračunajte disperzijo in standardni odklon naključne spremenljivke:
Različica- nihanje, spremenljivost vrednosti lastnosti med enotami populacije. Posamezne številčne vrednosti značilnosti, ki jih najdemo v proučevani populaciji, se imenujejo različice vrednosti. Nezadostnost povprečne vrednosti za popolno karakterizacijo populacije nas prisili, da povprečne vrednosti dopolnimo s kazalniki, ki nam omogočajo, da ocenimo tipičnost teh povprečij z merjenjem variabilnosti (variabilnosti) značilnosti, ki se preučuje. Koeficient variacije se izračuna po formuli:
Razpon variacije(R) predstavlja razliko med najvišjo in najmanjšo vrednostjo atributa v proučevani populaciji. Ta indikator daje najbolj splošno predstavo o spremenljivosti lastnosti, ki se preučuje, saj prikazuje razliko le med največjimi vrednostmi možnosti. Odvisnost od skrajnih vrednosti značilnosti daje obsegu variacije nestabilen, naključen značaj.
Povprečno linearno odstopanje predstavlja aritmetično sredino absolutnih (modulo) odstopanj vseh vrednosti analizirane populacije od njihove povprečne vrednosti:
Matematično pričakovanje v teoriji iger na srečo
Matematično pričakovanje je Povprečni znesek denarja, ki ga igralec lahko dobi ali izgubi pri dani stavi. To je zelo pomemben koncept za igralca, ker je temeljnega pomena za oceno večine igralnih situacij. Matematično pričakovanje je tudi optimalno orodje za analizo osnovnih postavitev kart in igralnih situacij.
Recimo, da s prijateljem igrate igro na kovance in vsakič stavite enako 1 $, ne glede na to, kaj se pojavi. Repi pomenijo zmago, glave pomenijo poraze. Kvote so ena proti ena, da bo prišlo do dvoboja, zato stavite 1 dolar proti 1 dolarju. Tako je vaše matematično pričakovanje nič, ker Z matematičnega vidika ne morete vedeti, ali boste vodili ali izgubili po dveh metih ali po 200.
Vaš urni dobiček je enak nič. Urni dobitek je znesek denarja, za katerega pričakujete, da ga boste osvojili v eni uri. V eni uri lahko vržete kovanec 500-krat, vendar ne boste zmagali ali izgubili, ker... vaše možnosti niso niti pozitivne niti negativne. Če pogledate, z vidika resnega igralca ta sistem stav ni slab. Ampak to je preprosto izguba časa.
Toda recimo, da želi nekdo staviti 2 USD proti vašim 1 USD na isto igro. Potem imate takoj pozitivno pričakovanje 50 centov od vsake stave. Zakaj 50 centov? V povprečju eno stavo dobite in drugo izgubite. Stavite prvi dolar in izgubili boste 1 $, stavite drugega in dobili boste 2 $. Dvakrat stavite 1 $ in vodite za 1 $. Torej vam je vsaka vaša stava za en dolar prinesla 50 centov.
Če se kovanec pojavi 500-krat v eni uri, bo vaš urni dobitek že 250 $, ker... V povprečju ste 250-krat izgubili en dolar in 250-krat dobili dva dolarja. 500 $ minus 250 $ je enako 250 $, kar je skupni dobitek. Upoštevajte, da je pričakovana vrednost, ki je povprečni znesek, ki ga dobite na stavo, 50 centov. Z 500-kratno stavo enega dolarja ste osvojili 250 $, kar je enako 50 centom na stavo.
Matematično pričakovanje nima nobene zveze s kratkoročnimi rezultati. Vaš nasprotnik, ki se je odločil staviti 2 $ proti vam, bi vas lahko premagal pri prvih desetih metih zapored, vendar boste vi, če imate stavno prednost 2 proti 1, ob drugih enakih pogojih, zaslužili 50 centov za vsako stavo 1 $ v katerem koli okoliščine. Ni pomembno, ali dobite ali izgubite eno stavo ali več stav, če imate dovolj denarja za udobno pokritje stroškov. Če nadaljujete s stavami na enak način, se bodo vaši dobitki v daljšem časovnem obdobju približali vsoti pričakovanj v posameznih metih.
Vsakič, ko sklenete najboljšo stavo (stavo, ki se lahko dolgoročno izkaže za donosno), ko so kvote v vašo korist, boste zagotovo nekaj dobili, ne glede na to, ali ste izgubili ali ne v dana roka. Nasprotno, če sklenete stavo underdog (stavo, ki je dolgoročno nedonosna), ko so kvote proti vam, nekaj izgubite ne glede na to, ali zmagate ali izgubite kombinacijo.
Stavo z najboljšim izidom položite, če je vaše pričakovanje pozitivno, in je pozitivno, če so kvote na vaši strani. Ko stavite na najslabši izid, imate negativno pričakovanje, kar se zgodi, ko so kvote proti vam. Resni igralci stavijo le na najboljši izid; če se zgodi najslabši, odstopijo. Kaj pomenijo kvote v vašo korist? Morda boste na koncu zmagali več, kot prinašajo realne kvote. Dejanske možnosti za pristanek na glave so 1 proti 1, vendar dobite 2 proti 1 zaradi razmerja verjetnosti. V tem primeru so možnosti v vašo korist. Zagotovo dobite najboljši izid s pozitivnim pričakovanjem 50 centov na stavo.
Tukaj je bolj zapleten primer matematičnega pričakovanja. Prijatelj si zapiše številke od ena do pet in stavi 5 $ proti tvojemu 1 $, da ne boš uganil številke. Bi se morali strinjati s tako stavo? Kakšno je pričakovanje tukaj?
V povprečju se boste zmotili štirikrat. Na podlagi tega je verjetnost, da boste uganili številko, 4 proti 1. Verjetnost, da boste izgubili dolar v enem poskusu. Vendar zmagate 5 proti 1, z možnostjo izgube 4 proti 1. Kvote so vam torej naklonjene, lahko sprejmete stavo in upate na najboljši izid. Če to stavo sklenete petkrat, boste v povprečju štirikrat izgubili 1 $ in enkrat dobili 5 $. Na podlagi tega boste za vseh pet poskusov zaslužili 1 $ s pozitivnim matematičnim pričakovanjem 20 centov na stavo.
Igralec, ki bo dobil več, kot je stavil, kot v zgornjem primeru, tvega. Nasprotno, uniči svoje možnosti, ko pričakuje, da bo dobil manj, kot je stavil. Stavnik ima lahko pozitivno ali negativno pričakovanje, odvisno od tega, ali zmaga ali uniči kvote.
Če stavite 50 $, da dobite 10 $ z možnostjo zmage 4 proti 1, boste prejeli negativno pričakovanje 2 $, ker V povprečju boste štirikrat zadeli 10 $ in enkrat izgubili 50 $, kar kaže, da bo izguba na stavo 10 $. Toda če stavite 30 $, da dobite 10 $, z enakimi kvotami za zmago 4 proti 1, potem imate v tem primeru pozitivno pričakovanje 2 $, ker spet štirikrat osvojite 10 $ in enkrat izgubite 30 $, za dobiček 10 $. Ti primeri kažejo, da je prva stava slaba, druga pa dobra.
Matematično pričakovanje je središče vsake igralne situacije. Ko stavnica spodbuja ljubitelje nogometa, naj stavijo 11 $ za dobitek 10 $, ima pozitivno pričakovanje 50 centov na vsakih 10 $. Če igralnica izplača enakomeren denar iz kartice za craps, bo pozitivno pričakovanje igralnice približno 1,40 USD na vsakih 100 USD, ker Ta igra je strukturirana tako, da vsak, ki stavi na to linijo, v povprečju izgubi 50,7 % in dobi 49,3 % skupnega časa. Nedvomno prav to na videz minimalno pozitivno pričakovanje lastnikom igralnic po vsem svetu prinaša enormne dobičke. Kot je zapisal lastnik igralnice Vegas World Bob Stupak, bo "ena tisočinka enega odstotka negativne verjetnosti na dovolj veliki razdalji uničila najbogatejšega človeka na svetu."
Pričakovanja pri igranju pokra
Igra Poker je najbolj ilustrativen in nazoren primer z vidika uporabe teorije in lastnosti matematičnega pričakovanja.
Pričakovana vrednost v pokru je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je takšno odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikih številk in velike razdalje. Uspešna igra pokra je vedno sprejeti poteze s pozitivno pričakovano vrednostjo.
Matematični pomen matematičnega pričakovanja pri igranju pokra je v tem, da se pri odločanju pogosto srečujemo z naključnimi spremenljivkami (ne vemo, katere karte ima nasprotnik v rokah, katere karte bodo prišle v naslednjih krogih stav). Vsako od rešitev moramo obravnavati z vidika teorije velikih števil, ki trdi, da bo pri dovolj velikem vzorcu povprečna vrednost naključne spremenljivke težila k svojemu matematičnemu pričakovanju.
Med posebnimi formulami za izračun matematičnega pričakovanja je v pokru najbolj uporabna naslednja:
Pri igranju pokra je mogoče izračunati pričakovano vrednost tako za stave kot za klice. V prvem primeru je treba upoštevati lastniški kapital, v drugem pa kvote banke. Ko ocenjujete matematično pričakovanje določene poteze, se morate spomniti, da ima odstop vedno ničelno pričakovanje. Tako bo odlaganje kart vedno bolj donosna odločitev kot katera koli negativna poteza.
Pričakovanje vam pove, kaj lahko pričakujete (dobiček ali izgubo) za vsak dolar, ki ga tvegate. Igralnice služijo denar, ker je matematično pričakovanje vseh iger, ki se igrajo v njih, v korist igralnice. Pri dovolj dolgem nizu iger lahko pričakujete, da bo stranka izgubila svoj denar, saj so "kvote" v prid igralnici. Vendar profesionalni igralci v igralnicah omejujejo svoje igre na kratka časovna obdobja, s čimer povečajo kvote v svojo korist. Enako velja za naložbe. Če so vaša pričakovanja pozitivna, lahko zaslužite več denarja s sklenitvijo številnih poslov v kratkem času. Pričakovanje je vaš odstotek dobička na zmago, pomnožen z vašim povprečnim dobičkom, minus vaša verjetnost izgube, pomnožena z vašo povprečno izgubo.
Poker lahko obravnavamo tudi s stališča matematičnega pričakovanja. Lahko domnevate, da je določena poteza donosna, vendar v nekaterih primerih morda ni najboljša, ker je druga poteza bolj donosna. Recimo, da ste dosegli full house v pokru s petimi kartami. Vaš nasprotnik sklene stavo. Veste, da če zvišate stavo, se bo odzval. Zato se zdi povišanje najboljša taktika. Toda če zvišate stavo, bosta preostala dva igralca zagotovo odstopila. Toda če izenačite, ste popolnoma prepričani, da bosta druga dva igralca za vami storila enako. Ko zvišate stavo, prejmete eno enoto, ko samo izenačite, pa dve. Tako vam klicanje daje višjo pozitivno pričakovano vrednost in bo najboljša taktika.
Matematično pričakovanje lahko tudi poda idejo o tem, katere taktike pokra so manj donosne in katere bolj donosne. Na primer, če igrate določeno kombinacijo in mislite, da bo vaša izguba v povprečju znašala 75 centov, vključno z antejem, potem morate igrati to kombinacijo, ker to je bolje kot odstop, ko je ante $1.
Drug pomemben razlog za razumevanje koncepta pričakovane vrednosti je ta, da vam daje občutek brezskrbnosti, ne glede na to, ali ste stavo dobili ali ne: če ste dobro stavili ali odstopili ob pravem času, boste vedeli, da ste zaslužili oz. prihranil določeno vsoto denarja, ki je šibkejši igralec ni mogel prihraniti. Veliko težje je odstopiti, če ste razburjeni, ker je vaš nasprotnik potegnil močnejšo kombinacijo. Z vsem tem se denar, ki ga prihranite, če ne igrate namesto s stavami, doda vašim dobitkom za noč ali mesec.
Ne pozabite le, da bi vas nasprotnik izenačil, če bi zamenjali igralca, in kot boste videli v članku Fundamental Theorem of Poker, je to le ena od vaših prednosti. Moral bi biti vesel, ko se to zgodi. Lahko se celo naučiš uživati ob izgubi kombinacije, ker veš, da bi drugi igralci na tvojem mestu izgubili veliko več.
Kot je bilo omenjeno v primeru igre s kovanci na začetku, je urna postavka dobička medsebojno povezana z matematičnim pričakovanjem in ta koncept je še posebej pomemben za profesionalne igralce. Ko greste igrati poker, morate v mislih oceniti, koliko lahko dobite v eni uri igre. V večini primerov se boste morali zanesti na svojo intuicijo in izkušnje, lahko pa uporabite tudi nekaj matematike. Na primer, igrate draw lowball in vidite tri igralce, ki stavijo 10 $ in nato zamenjajo dve karti, kar je zelo slaba taktika, lahko ugotovite, da vsakič, ko stavijo 10 $, izgubijo približno 2 $. Vsak od njih to počne osemkrat na uro, kar pomeni, da vsi trije izgubijo približno 48 dolarjev na uro. Ste eden od preostalih štirih igralcev, ki so približno enaki, zato si morajo ti štirje igralci (in vi med njimi) razdeliti 48 $, pri čemer vsak zasluži 12 $ na uro. Vaše urne kvote so v tem primeru preprosto enake vašemu deležu zneska denarja, ki so ga v eni uri izgubili trije slabi igralci.
V daljšem časovnem obdobju so igralčevi skupni dobitki vsota njegovih matematičnih pričakovanj v posameznih kombinacijah. Več rok kot igrate s pozitivnim pričakovanjem, več zmagate, in obratno, več rok igrate z negativnim pričakovanjem, več izgubite. Zato bi morali izbrati igro, ki lahko poveča vaše pozitivno predvidevanje ali izniči vaša negativna predvidevanja, tako da lahko povečate svoje urne dobitke.
Pozitivno matematično pričakovanje v strategiji iger
Če znaš šteti karte, si lahko v prednosti pred igralnico, če le te ne opazijo in vržejo ven. Igralnice imajo rade pijane igralce in ne tolerirajo igralcev, ki štejejo karte. Prednost vam bo omogočila, da večkrat zmagate kot izgubite skozi čas. Dobro upravljanje denarja z uporabo izračunov pričakovane vrednosti vam lahko pomaga pridobiti več dobička iz vaše prednosti in zmanjšati izgube. Brez prednosti je bolje, da daste denar v dobrodelne namene. V igri na borzi daje prednost sistem igre, ki ustvarja večje dobičke kot izgube, razlike v ceni in provizije. Nobeno upravljanje denarja ne more rešiti slabega igralnega sistema.
Pozitivno pričakovanje je opredeljeno kot vrednost, večja od nič. Večje kot je to število, močnejše je statistično pričakovanje. Če je vrednost manjša od nič, bo tudi matematično pričakovanje negativno. Večji kot je modul negativne vrednosti, slabše je stanje. Če je rezultat nič, potem je čakanje prelomno. Zmagate lahko le, če imate pozitivno matematično pričakovanje in razumen sistem igranja. Igranje po intuiciji vodi v katastrofo.
Matematično pričakovanje in borzno trgovanje
Matematično pričakovanje je dokaj pogosto uporabljen in priljubljen statistični indikator pri izvajanju borznega trgovanja na finančnih trgih. Prvič, ta parameter se uporablja za analizo uspešnosti trgovanja. Ni težko uganiti, da višja kot je ta vrednost, več je razlogov, da menimo, da je preučevana trgovina uspešna. Seveda analize dela trgovca ni mogoče izvesti samo s tem parametrom. Vendar lahko izračunana vrednost v kombinaciji z drugimi metodami ocenjevanja kakovosti dela bistveno poveča natančnost analize.
Matematično pričakovanje se pogosto izračuna v storitvah za spremljanje trgovalnih računov, kar vam omogoča hitro oceno dela, opravljenega na depozitu. Izjeme vključujejo strategije, ki uporabljajo "sedenje" nedonosnih poslov. Trgovec ima lahko nekaj časa srečo in zato pri njegovem delu morda sploh ne bo nobenih izgub. V tem primeru se ne bo mogoče osredotočiti le na matematično pričakovanje, ker tveganja, uporabljena pri delu, ne bodo upoštevana.
Pri tržnem trgovanju se matematično pričakovanje najpogosteje uporablja pri napovedovanju donosnosti katere koli trgovalne strategije ali pri napovedovanju dohodka trgovca na podlagi statističnih podatkov iz njegovega prejšnjega trgovanja.
V zvezi z upravljanjem denarja je zelo pomembno razumeti, da pri sklepanju poslov z negativnimi pričakovanji ni sheme upravljanja denarja, ki bi lahko zagotovo prinesla visoke dobičke. Če boste še naprej igrali na borzi pod temi pogoji, boste ne glede na to, kako upravljate s svojim denarjem, izgubili celoten račun, ne glede na to, kako velik je bil na začetku.
Ta aksiom ne velja le za igre ali posle z negativnim pričakovanjem, velja tudi za igre z enakimi možnostmi. Zato imate dolgoročno priložnost za dobiček le, če sklepate posle s pozitivno pričakovano vrednostjo.
Razlika med negativnim in pozitivnim pričakovanjem je razlika med življenjem in smrtjo. Ni pomembno, kako pozitivno ali kako negativno je pričakovanje; Pomembno je le, ali je pozitiven ali negativen. Zato morate pred razmišljanjem o upravljanju denarja najti igro s pozitivnimi pričakovanji.
Če te igre nimate, vas vse upravljanje denarja na svetu ne bo rešilo. Po drugi strani, če imate pozitivna pričakovanja, jih lahko s pravilnim upravljanjem denarja spremenite v funkcijo eksponentne rasti. Ni pomembno, kako majhna so pozitivna pričakovanja! Z drugimi besedami, ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem trgovanja, ki temelji na eni pogodbi. Če imate sistem, ki dobi 10 USD na pogodbo na trgovanje (po provizijah in zdrsu), lahko uporabite tehnike upravljanja denarja, da bo bolj donosen kot sistem, ki v povprečju znaša 1000 USD na posel (po odbitku provizij in zdrsa).
Ni pomembno, kako dobičkonosen je bil sistem, ampak kako zanesljivo lahko rečemo, da bo sistem v prihodnosti pokazal vsaj minimalen dobiček. Zato je najpomembnejša priprava, ki jo lahko opravi trgovec, zagotoviti, da bo sistem v prihodnosti pokazal pozitivno pričakovano vrednost.
Da bi imeli v prihodnosti pozitivno pričakovano vrednost, je zelo pomembno, da ne omejite stopenj svobode svojega sistema. To se doseže ne le z odpravo ali zmanjšanjem števila parametrov, ki jih je treba optimizirati, ampak tudi z zmanjšanjem čim več sistemskih pravil. Vsak parameter, ki ga dodate, vsako pravilo, ki ga naredite, vsaka majhna sprememba, ki jo naredite v sistemu, zmanjša število stopenj svobode. V idealnem primeru morate zgraditi dokaj primitiven in preprost sistem, ki bo dosledno ustvarjal majhne dobičke na skoraj vseh trgih. Spet je pomembno, da razumete, da ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem, dokler je dobičkonosen. Denar, ki ga zaslužite pri trgovanju, bo zaslužen z učinkovitim upravljanjem denarja.
Trgovalni sistem je preprosto orodje, ki vam daje pozitivno pričakovano vrednost, tako da lahko uporabljate upravljanje denarja. Sistemi, ki delujejo (izkazujejo vsaj minimalne dobičke) samo na enem ali nekaj trgih ali imajo različna pravila ali parametre za različne trge, najverjetneje ne bodo delovali v realnem času dovolj dolgo. Težava večine tehnično usmerjenih trgovcev je, da porabijo preveč časa in truda za optimizacijo različnih pravil in vrednosti parametrov trgovalnega sistema. To daje popolnoma nasprotne rezultate. Namesto da zapravljate energijo in računalniški čas za povečanje dobička trgovalnega sistema, svojo energijo usmerite v povečanje stopnje zanesljivosti doseganja minimalnega dobička.
Ker ve, da je upravljanje denarja le igra številk, ki zahteva uporabo pozitivnih pričakovanj, lahko trgovec preneha iskati »sveti gral« borznega trgovanja. Namesto tega lahko začne testirati svojo metodo trgovanja, ugotovi, kako logična je ta metoda in ali daje pozitivna pričakovanja. Ustrezne metode upravljanja denarja, uporabljene pri vseh, tudi zelo povprečnih metodah trgovanja, bodo ostalo delo opravile same.
Da bi vsak trgovec pri svojem delu uspel, mora rešiti tri najpomembnejše naloge: . Zagotoviti, da število uspešnih transakcij presega neizogibne napake in napačne izračune; Nastavite svoj trgovalni sistem tako, da boste čim pogosteje lahko zaslužili denar; Dosezite stabilne pozitivne rezultate svojega delovanja.
In tukaj je za nas zaposlene trgovce lahko matematično pričakovanje v veliko pomoč. Ta izraz je eden ključnih v teoriji verjetnosti. Z njegovo pomočjo lahko podate povprečno oceno neke naključne vrednosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je podobno težišču, če si vse možne verjetnosti predstavljamo kot točke z različnimi masami.
V zvezi s strategijo trgovanja se za oceno njene učinkovitosti najpogosteje uporablja matematično pričakovanje dobička (ali izgube). Ta parameter je opredeljen kot vsota zmnožkov danih ravni dobička in izgube ter verjetnosti njihovega pojava. Na primer, razvita strategija trgovanja predvideva, da bo 37% vseh transakcij prineslo dobiček, preostali del - 63% - pa bo nedonosnih. Hkrati bo povprečni dohodek od uspešne transakcije 7 $, povprečna izguba pa 1,4 $. Izračunajmo matematično pričakovanje trgovanja s tem sistemom:
Kaj pomeni ta številka? Pravi, da bomo po pravilih tega sistema v povprečju prejeli 1.708 $ od vsake zaključene transakcije. Ker je dobljena ocena učinkovitosti večja od nič, se tak sistem lahko uporablja za resnično delo. Če se kot rezultat izračuna izkaže, da je matematično pričakovanje negativno, potem to že pomeni povprečno izgubo in takšno trgovanje vodi v propad.
Znesek dobička na transakcijo je lahko izražen tudi kot relativna vrednost v obliki %. Na primer:
– odstotek dohodka na 1 transakcijo - 5%;
– odstotek uspešnih trgovalnih operacij - 62%;
– odstotek izgube na 1 transakcijo - 3%;
– odstotek neuspešnih transakcij - 38%;
To pomeni, da bo povprečna trgovina prinesla 1,96%.
Možno je razviti sistem, ki bo kljub prevladi nedonosnih poslov dal pozitiven rezultat, saj je njegov MO>0.
Vendar samo čakanje ni dovolj. Težko je zaslužiti, če sistem daje zelo malo trgovalnih signalov. V tem primeru bo njegova donosnost primerljiva z bančnimi obrestmi. Naj vsaka operacija proizvede v povprečju le 0,5 dolarja, a kaj, če sistem vključuje 1000 operacij na leto? To bo zelo pomemben znesek v razmeroma kratkem času. Iz tega logično izhaja, da je še ena značilnost dobrega trgovalnega sistema kratko obdobje zadrževanja pozicij.
Viri in povezave
dic.academic.ru – akademski spletni slovar
mathematics.ru – izobraževalna spletna stran za matematiko
nsu.ru – izobraževalna spletna stran Novosibirske državne univerze
webmath.ru je izobraževalni portal za študente, kandidate in šolarje.
exponenta.ru izobraževalna matematična spletna stran
ru.tradimo.com – brezplačna spletna šola trgovanja
crypto.hut2.ru – multidisciplinarni informacijski vir
poker-wiki.ru – brezplačna enciklopedija pokra
sernam.ru – Znanstvena knjižnica izbranih naravoslovnih publikacij
reshim.su – spletna stran REŠOVALI BOMO testne naloge
unfx.ru – Forex na UNFX: usposabljanje, trgovalni signali, upravljanje zaupanja
slovopedia.com – Veliki enciklopedični slovar Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Vaš vodnik v svetu pokra
statanaliz.info – informativni blog “Statistična analiza podatkov”
forex-trader.rf – portal Forex-Trader
megafx.ru – trenutna analitika Forex
fx-by.com – vse za trgovca
– število dečkov med 10 novorojenčki.
Popolnoma jasno je, da ta številka ni vnaprej znana in naslednjih deset rojenih otrok lahko vključuje:
Ali fantje - ena in edina izmed naštetih možnosti.
In, da ostanete v formi, malo telesne vzgoje:
– skok v daljino (v nekaterih enotah).
Tudi mojster športa tega ne more predvideti :)
Vendarle, vaše hipoteze?
2) Zvezna naključna spremenljivka – sprejema Vseštevilske vrednosti iz nekega končnega ali neskončnega intervala.
Opomba : v izobraževalni literaturi sta priljubljeni okrajšavi DSV in NSV
Najprej analizirajmo diskretno naključno spremenljivko, nato pa - neprekinjeno.
Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke
- To dopisovanje med možnimi vrednostmi te količine in njihovimi verjetnostmi. Najpogosteje je zakon zapisan v tabeli: 
Izraz se pojavlja precej pogosto vrstica
distribucija, vendar v nekaterih situacijah zveni dvoumno, zato se bom držal "zakona".
In zdaj zelo pomembna točka: od naključne spremenljivke Nujno bo sprejel ena od vrednot, potem se oblikujejo ustrezni dogodki polna skupina in vsota verjetnosti njihovega pojava je enaka ena:
ali če je napisano strnjeno:
Tako ima na primer zakon verjetnostne porazdelitve točk, vrženih na kocko, naslednjo obliko: 
Brez komentarja.
Morda ste pod vtisom, da lahko diskretna naključna spremenljivka prevzame samo "dobre" celoštevilske vrednosti. Razblinimo iluzijo – lahko so karkoli:
Primer 1
Nekatera igra ima naslednji zmagovalni zakon porazdelitve: 
...verjetno ste že dolgo sanjali o takih nalogah :) Povem vam skrivnost - tudi jaz. Še posebej po končanem delu na teorija polja.
rešitev: ker lahko naključna spremenljivka sprejme samo eno od treh vrednosti, nastanejo ustrezni dogodki polna skupina, kar pomeni, da je vsota njihovih verjetnosti enaka ena: 
Razkrinkavanje “partizana”: 
– torej je verjetnost dobitka konvencionalnih enot 0,4.
Nadzor: to je tisto, kar smo morali zagotoviti.
Odgovori:
Ni neobičajno, da morate sami sestaviti zakon o razdelitvi. Za to uporabljajo klasična definicija verjetnosti, izreki množenja/seštevanja za verjetnosti dogodkov in drugi čipi tervera:
Primer 2
Škatla vsebuje 50 loterijskih vstopnic, med katerimi je 12 dobitnih, od katerih 2 dobita po 1000 rubljev, ostale pa po 100 rubljev. Sestavite zakon za porazdelitev naključne spremenljivke - velikosti dobitka, če je iz škatle naključno izžreban en listek.
rešitev: kot ste opazili, so vrednosti naključne spremenljivke običajno postavljene v naraščajočem vrstnem redu. Zato začnemo z najmanjšimi dobitki, in sicer z rublji.
Skupaj je takih vstopnic 50 - 12 = 38, in glede na klasična definicija:
– verjetnost, da bo naključno izžreban listek izgubljen.
V drugih primerih je vse preprosto. Verjetnost zmage v rubljih je:
Preverite: – in to je še posebej prijeten trenutek takih nalog!
Odgovori: želeni zakon porazdelitve dobitkov: 
Naslednjo nalogo rešite sami:
Primer 3
Verjetnost, da bo strelec zadel tarčo, je . Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko - število zadetkov po 2 strelih.
...sem vedela, da ga pogrešaš :) Spomnimo se izreki o množenju in seštevanju. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.
Distribucijski zakon v celoti opisuje naključno spremenljivko, vendar je v praksi lahko koristno (in včasih bolj uporabno), če poznamo le del numerične značilnosti .
Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke
Preprosto povedano, to je povprečna pričakovana vrednost ko se testiranje večkrat ponovi. Naj naključna spremenljivka zavzame vrednosti z verjetnostjo 
oz. Potem je matematično pričakovanje te naključne spremenljivke enako vsota produktov vse njegove vrednosti na ustrezne verjetnosti:
ali strnjeno: 
Izračunajmo na primer matematično pričakovanje naključne spremenljivke - število vrženih točk na kocki:
Zdaj pa se spomnimo naše hipotetične igre: 
Postavlja se vprašanje: ali je sploh donosno igrati to igro? ...kdo ima kakšne vtise? Torej ne morete reči "na pamet"! Toda na to vprašanje je mogoče enostavno odgovoriti z izračunom matematičnega pričakovanja, v bistvu - Povprečna teža po verjetnosti zmage:
Tako je matematično pričakovanje te igre izguba.
Ne zaupajte svojim vtisom – zaupajte številkam!
Ja, tukaj lahko zmagaš 10 ali celo 20-30-krat zapored, a na dolgi rok nas čaka neizogiben propad. In takšnih igric vam ne bi svetoval :) No, mogoče le za zabavo.
Iz vsega navedenega sledi, da matematično pričakovanje ni več NAKLJUČNA vrednost.
Ustvarjalna naloga za samostojno raziskovanje:
Primer 4
Gospod X igra evropsko ruleto po naslednjem sistemu: nenehno stavi 100 rubljev na "rdečo". Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke - njenega dobitka. Izračunajte matematično pričakovanje dobitkov in ga zaokrožite na najbližjo kopejko. Koliko povprečje Ali igralec izgubi za vsakih sto, ki jih stavi?
Referenca : Evropska ruleta vsebuje 18 rdečih, 18 črnih in 1 zeleni sektor (»ničlo«). Če se pojavi "rdeča", igralec prejme dvojno stavo, sicer gre v prihodek igralnice
Obstaja veliko drugih sistemov rulete, za katere lahko ustvarite lastne verjetnostne tabele. Toda to je v primeru, ko ne potrebujemo nobenih distribucijskih zakonov ali tabel, ker je zagotovo ugotovljeno, da bo igralčevo matematično pričakovanje popolnoma enako. Edina stvar, ki se spreminja od sistema do sistema, je
