V tomto článku stanovíme vzťah medzi základnými jednotkami merania uhlov - stupňami a radiánmi. Toto spojenie nám nakoniec umožní uskutočniť prevod stupňov na radiány a späť. Aby tieto procesy nespôsobovali ťažkosti, získame vzorec na prevod stupňov na radiány a vzorec na prevod z radiánov na stupne, po ktorých podrobne analyzujeme riešenia príkladov.

Navigácia na stránke.

Vzťah medzi stupňami a radiánmi

Spojenie medzi stupňami a radiánmi sa vytvorí, ak sú známe miery a radiány uhla (miery stupňov a radiánov uhla nájdete v sekcii).

Vezmime stredový uhol založený na priemere kružnice s polomerom r. Môžeme vypočítať mieru tohto uhla v radiánoch: na to musíme vydeliť dĺžku oblúka dĺžkou polomeru kruhu. Tento uhol zodpovedá dĺžke oblúka rovnajúcej sa polovici obvod, teda . Vydelením tejto dĺžky dĺžkou polomeru r dostaneme radiánovú mieru uhla, ktorý sme nabrali. Takže náš uhol je rad. Na druhej strane je tento uhol rozšírený, rovná sa 180 stupňom. Pi radiány sú preto 180 stupňov.

Vyjadruje sa teda vzorcom π radiány = 180 stupňov, teda .

Vzorce na prevod stupňov na radiány a radiány na stupne

Z rovnosti tvaru , ktorú sme získali v predchádzajúcom odseku, môžeme ľahko odvodiť vzorce na prevod radiánov na stupne a stupňov na radiány.

Vydelením oboch strán rovnosti pí dostaneme vzorec vyjadrujúci jeden radián v stupňoch: . Tento vzorec znamená, že miera uhla jedného radiánu sa rovná 180/π. Ak zameníme ľavú a pravú stranu rovnosti a potom obe strany vydelíme 180, dostaneme vzorec v tvare . Vyjadruje jeden stupeň v radiánoch.

Aby sme uspokojili našu zvedavosť, vypočítajme si približnú hodnotu uhla jeden radián v stupňoch a hodnotu uhla jeden stupeň v radiánoch. Ak to chcete urobiť, vezmite hodnotu pí s presnosťou na desaťtisíciny a dosaďte ju do vzorcov A a vykonajte výpočty. Máme A . Takže jeden radián je približne rovný 57 stupňom a jeden stupeň je 0,0175 radiánov.

Napokon zo získaných vzťahov A Prejdime k vzorcom na prevod radiánov na stupne a naopak a tiež zvážme príklady použitia týchto vzorcov.

Vzorec na prevod radiánov na stupne má tvar: . Ak teda poznáme hodnotu uhla v radiánoch, vynásobíme ju číslom 180 a vydelíme pí, dostaneme hodnotu tohto uhla v stupňoch.

Príklad.

Udáva sa uhol 3,2 radiánu. Aká je miera tohto uhla v stupňoch?

Riešenie.

Použime vzorec na prevod z radiánov na stupne, máme

odpoveď:

.

Vzorec na prevod stupňov na radiány vyzerá ako . To znamená, že ak je známa hodnota uhla v stupňoch, vynásobením pi a vydelením 180 dostaneme hodnotu tohto uhla v radiánoch. Pozrime sa na príklad riešenia.

Potreba merať uhly sa medzi ľuďmi objavila odkedy civilizácia dosiahla minimálnu technickú úroveň. Každý pozná fenomenálnu presnosť dodržiavania sklonu a orientácie podľa svetových strán poskytnutých staviteľmi egyptské pyramídy. Predpokladá sa, že modernú mieru uhlov vynašli starí Akkaďania.

Čo sú tituly?

Stupeň je všeobecne akceptovaná jednotka merania uhlov. V úplnom kruhu 360 stupňov. Dôvod výberu tohto konkrétneho čísla nie je známy. Akkadi pravdepodobne rozdelili kruh na sektory pomocou uhla rovnostranného trojuholníka a výsledné segmenty potom opäť rozdelili na 60 častí podľa ich číselnej sústavy. Stupeň je tiež rozdelený na 60 minút a minúty na 60 sekúnd. Bežne akceptované označenia sú:

° - uhlové stupne

“ – minúty,

'' - sekundy.

V priebehu tisícročí sa miera uhlov pevne usadila v mnohých oblastiach ľudskej činnosti. Stále je nepostrádateľný vo všetkých oblastiach vedy a techniky – od kartografie až po výpočet dráh umelých družíc Zeme.

Čo sú to radiány?

Archimedesovi sa pripisuje objav konštantného pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru. Hovoríme tomu číslo pí. Je iracionálny, to znamená, že ho nemožno vyjadriť ako obyčajný alebo periodický zlomok. Najčastejšie používaná hodnota pre číslo π je 3,14 s presnosťou na dve desatinné miesta. Dĺžka kružnice L s polomerom R sa ľahko vypočíta pomocou vzorca: L=2πR.

Kruh s polomerom R=1 má dĺžku 2π. Tento vzťah sa používa v geometrii ako formulácia radiánovej miery uhla.

Podľa definície je radián uhol s jeho vrcholom v strede kruhu, ktorý je ohraničený oblúkom s dĺžkou rovnajúcou sa polomeru kruhu. Medzinárodné označenie pre radián je rad, domáce označenie je rad. Nemá rozmer.

Oblúk kružnice s polomerom R a uhlovou hodnotou α radiánov má dĺžku α * R.

Prečo bolo potrebné zaviesť novú jednotku merania uhla?

Rozvoj vedy a techniky viedol k vzniku trigonometrie a matematickej analýzy potrebnej na presné výpočty mechanických a optických zariadení. Jednou z jeho úloh je merať dĺžku zakrivenej čiary. Najčastejším prípadom je určenie dĺžky kruhového oblúka. Použitie mierky uhlov na tento účel je mimoriadne nepohodlné. Myšlienka porovnania dĺžky oblúka s polomerom kruhu vznikla medzi mnohými matematikmi, ale samotný pojem „radián“ bol zavedený do vedeckého používania až v druhej polovici 19. Teraz sú tam všetky goniometrické funkcie matematická analýzaŠtandardne sa používa miera radiánového uhla.

Ako previesť stupne na radiány

Zo vzorca pre obvod kruhu vyplýva, že sa doň zmestia 2π polomery. Z toho vyplýva, že: 1⁰=2π/360= π/180 rad.

A jednoduchý vzorec na prevod z radiánov na stupne: 1 rad = 180/π.

Majme uhol N stupňov. Potom vzorec na prevod zo stupňov na radiány bude: α(radiány) = N/(180/π) = N*π/180.

Stále máte otázky?

Odpovede na ne možno nájsť, kde sú pojmy obvod, radiánová miera uhlov a konkrétne príklady ukazuje prevod stupňov na radiány. Znalosť vyššie uvedeného je mimoriadne dôležitá pre pochopenie matematiky, bez ktorej je existencia modernej civilizácie nemožná.

Ľudia v matematickej vede sa pomerne často stretávajú s takým problémom, ako je prevod stupňov na radiány alebo naopak. Splnenie tejto úlohy je celkom jednoduché a nemusíte mať hlboké znalosti z rôznych aplikovaných vied alebo matematiky. Takže najprv musíte pochopiť tieto merané veličiny. Stupeň a radián sú základné jednotky používané na meranie rovinných uhlov v matematike a fyzike. Tieto jednotky sa používajú aj v kartografii na určenie súradníc kdekoľvek na zemeguli.

Tieto merané veličiny sú označené nasledovne:

• rad – radián
• stupeň - º

Ako previesť stupne na radiány

Na začiatok, aby ste pochopili vzorec na prevod stupňov na radiány, musíte sa naučiť, ako previesť uhol na radiány a radiány na uhol:

• 1 rad = (180/π)ºπ 57,295779513, kde je známe, že π = 3,14
• 1° = (π/180) rad π 0,017453293 rad

Na základe vyššie uvedených vzorcov je okamžite jasné, že π rad = 180 °, a práve z nich pochádzajú jednoduché a zrozumiteľné vzorce na prevod hodnôt merania. Teraz sa pozrime na základné vzorce, ktoré sa používajú pri preklade:

1. Stupne k radiánom

Zº=Z rad × (180/π), kde Zº je uhol v stupňoch a Z rad je uhol v radiánoch, π = 3,14

2. Radiány na stupne

Z rad = Z° × (π/180)

Teraz sa pozrime na príklad, aby bolo jasnejšie, ako použiť vyššie uvedené vzorce v praxi. Za týmto účelom zoberte dva uhly 20º a 100º:

1. Preveďte stupne na radiány

• 20º = 20 rad × (π/180) π 0,35 rad
• 100º = 100 rad × (180/π) π 1,7453 rad

2. Preveďte radiány na stupne

• 20 rad = 20º × (180/π) π 1146,15, kde π = 3,14
• 100 rad = 100° × (180/π) π 5729,577, kde π = 3,14

Po preskúmaní vzorcov na prevod nameraných hodnôt je zrejmé, že zvládnutie úlohy je pomerne jednoduché. Pre tých ľudí, ktorí nechcú vykonávať výpočty sami, existuje na internete veľa stránok, kde pomocou online kalkulačiek môžete previesť stupne na radiány alebo naopak; ich použitie vám výrazne uľahčí vykonávanie rôznych úlohy trigonometrie.

Funguje online kalkulačka previesť stupne na radiány, Preveďte radiány na stupne, konverzia zlomkových stupňov (reprezentované stupne desiatkový) vo forme stupňov, minút a sekúnd a zobrazuje vzorce s podrobnými riešeniami.

Previesť stupne na radiány: stupne sa musia vynásobiť π/180. Ak sú stupne špecifikované vo forme „stupňov, minút a sekúnd“, potom sa musia najskôr previesť na desatinnú formu pomocou vzorca: stupne + minúty/60 + sekundy/3600;

Vzorec na prevod radiánov na stupne: ak sa uhol rovná α rad radiánom, potom sa rovná vzorec na prevod radiánov na stupne stupňa, kde π ≈ 3,1415.

Preveďte radiány na stupne: radiány treba vynásobiť 180/π. Celočíselná časť výsledného produktu je počet stupňov. Ak chcete previesť zlomkovú časť na minúty, musíte ju vynásobiť číslom 60. Celá časť výsledného produktu je počet minút. Ak chcete vypočítať sekundy, musíte opäť vynásobiť zlomkovú časť z predchádzajúcej operácie číslom 60, zaokrúhliť výsledný produkt na najbližšie celé číslo - to je počet sekúnd.

Vzorec na prevod stupňov na radiány: ak sa uhol rovná α stupňom radiánov, potom sa rovná vzorec na prevod stupňov na radiány radiány, kde π ≈ 3,1415.

Pomoc pri vývoji webovej stránky projektu

Vážený návštevník stránky.
Ak sa vám nepodarilo nájsť to, čo ste hľadali, určite o tom napíšte do komentárov, čo momentálne na stránke chýba. Pomôže nám to pochopiť, ktorým smerom sa musíme posunúť ďalej a ďalší návštevníci budú môcť čoskoro dostať potrebný materiál.
Ak sa vám stránka ukázala ako užitočná, darujte ju projektu len 2 ₽ a budeme vedieť, že ideme správnym smerom.

Ďakujeme, že ste sa zastavili!

I. Poznámka:

1. Zaokrúhľovanie výsledkov výpočtu sa vykonáva na zadaný počet desatinných miest (štandardne - zaokrúhľovanie na desaťtisíciny).

II. Pre informáciu:

1. Miera stupňa uhla- uhlová miera, v ktorej sa uhol 1 stupeň berie ako jednotka a ukazuje, koľkokrát sa stupeň a jeho časti (minúta a sekunda) zmestia do daného uhla.
2. Radiánová miera uhla- uhlová miera, pri ktorej sa uhol 1 radián berie ako jednotka a ukazuje, koľkokrát sa radián hodí do daného uhla.
3. Stupne a radiány- jednotky merania rovinných uhlov v geometrii.
4. Jeden stupeň rovná 1/180 natočeného uhla.
5. Radian- uhol zodpovedajúci oblúku, ktorého dĺžka sa rovná jeho polomeru.

Nomogram na prevod radiánov na stupne a stupňov na radiány.

Tabuľka hodnôt goniometrické funkcie

Poznámka. Táto tabuľka hodnôt goniometrických funkcií používa na označenie znak √ odmocnina. Na označenie zlomku použite symbol "/".

pozri tiež užitočné materiály:

Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku priamky označujúcej goniometrickú funkciu. Napríklad sínus 30 stupňov - hľadáme stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdeme priesečník tohto stĺpca tabuľky s riadkom „30 stupňov“, na ich priesečníku čítame výsledok - jednu polovicu. Podobne nájdeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz, na priesečníku stĺpca sin a 60 stupňovej čiary nájdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atď. Hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných „populárnych“ uhlov sa nachádzajú rovnakým spôsobom.

Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch

Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na nájdenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument je udáva sa v radiánoch. Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu môžete previesť hodnotu obľúbených uhlov zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime v prvom riadku uhol 60 stupňov a pod ním odčítajme jeho hodnotu v radiánoch. 60 stupňov sa rovná π/3 radiánov.

Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu od stupňovitej miery uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.

Akékoľvek číslo vyjadrené v pi (radiánoch) možno ľahko previesť na stupne nahradením pi (π) 180.

Príklady:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pi je rovnaký ako sínus 180 stupňov a rovná sa nule.

2. Kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jedna.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a rovná sa nule.

Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (bežné hodnoty)

Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto funkčnej hodnoty uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom pre danú hodnotu miery uhla je funkcia nemá konkrétnu hodnotu. Ak tam nie je pomlčka, bunka je prázdna, čo znamená, že sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, na aké dotazy k nám používatelia chodia a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a dotyčníc najbežnejších hodnôt uhlov úplne postačujú na vyriešenie väčšiny problémy.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(numerické hodnoty „podľa tabuliek Bradis“)