Mechanický systém, ktorý pozostáva z hmotného bodu (telesa) visiaceho na neroztiahnuteľnom beztiažovom vlákne (jeho hmotnosť je zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou telesa) v rovnomernom gravitačnom poli sa nazýva matematické kyvadlo (iný názov je oscilátor). Existujú aj iné typy tohto zariadenia. Namiesto závitu možno použiť beztiažovú tyč. Matematické kyvadlo dokáže jasne odhaliť podstatu mnohých zaujímavé javy. Keď je amplitúda vibrácií malá, jeho pohyb sa nazýva harmonický.
Prehľad mechanického systému
Vzorec pre periódu kmitania tohto kyvadla odvodil holandský vedec Huygens (1629-1695). Tento súčasník I. Newtona sa o tento mechanický systém veľmi zaujímal. V roku 1656 vytvoril prvé hodiny s kyvadlovým mechanizmom. Na tie časy merali čas s výnimočnou presnosťou. Tento vynález sa stal hlavnou etapou vo vývoji fyzikálnych experimentov a praktických činností.
Ak je kyvadlo v rovnovážnej polohe (visí vertikálne), bude vyvážené napínacou silou nite. Ploché kyvadlo na neroztiahnuteľnom závite je systém s dvoma stupňami voľnosti so spojkou. Keď zmeníte iba jeden komponent, zmenia sa vlastnosti všetkých jeho častí. Ak je teda závit nahradený tyčou, potom bude mať tento mechanický systém iba 1 stupeň voľnosti. Aké vlastnosti má matematické kyvadlo? V tomto najjednoduchší systém Chaos vzniká pod vplyvom periodických porúch. V prípade, že sa bod zavesenia nepohybuje, ale kmitá, má kyvadlo novú rovnovážnu polohu. Rýchlymi osciláciami nahor a nadol získava tento mechanický systém stabilnú polohu „hore nohami“. Má aj svoje meno. Nazýva sa Kapitzova kyvadla.
Vlastnosti kyvadla
Matematické kyvadlo má veľmi zaujímavé vlastnosti. Všetky sú potvrdené známymi fyzikálnymi zákonmi. Doba kmitania akéhokoľvek iného kyvadla závisí od rôznych okolností, ako je veľkosť a tvar tela, vzdialenosť medzi bodom zavesenia a ťažiskom a rozloženie hmotnosti vzhľadom na tento bod. Preto je určenie doby zavesenia tela pomerne náročná úloha. Je oveľa jednoduchšie vypočítať obdobie matematického kyvadla, ktorého vzorec bude uvedený nižšie. Ako výsledok pozorovaní podobných mechanických systémov je možné stanoviť nasledujúce vzorce:
Ak pri zachovaní rovnakej dĺžky kyvadla zavesíme rôzne závažia, potom bude perióda ich kmitov rovnaká, hoci ich hmotnosti sa budú značne líšiť. V dôsledku toho perióda takéhoto kyvadla nezávisí od hmotnosti bremena.
Ak sa pri spustení systému kyvadlo vychýli nie príliš veľkými, ale rôznymi uhlami, potom začne oscilovať s rovnakou periódou, ale s rôznymi amplitúdami. Pokiaľ odchýlky od stredu rovnováhy nebudú príliš veľké, budú vibrácie v ich forme dosť blízke harmonickým. Perióda takéhoto kyvadla nijako nezávisí od oscilačnej amplitúdy. Táto vlastnosť daného mechanického systému sa nazýva izochronizmus (v preklade z gréckeho „chronos“ - čas, „isos“ - rovný).
Obdobie matematického kyvadla
Tento ukazovateľ predstavuje obdobie prirodzených oscilácií. Napriek zložitej formulácii je samotný proces veľmi jednoduchý. Ak je dĺžka závitu matematického kyvadla L, a zrýchlenie voľný pád g, potom sa táto hodnota rovná:
Perióda malých nijako nezávisí od hmotnosti kyvadla a amplitúdy kmitov. V tomto prípade sa kyvadlo pohybuje ako matematické s danou dĺžkou.
Kmity matematického kyvadla
Matematické kyvadlo kmitá, čo možno opísať jednoduchou diferenciálnou rovnicou:
x + ω2 sin x = 0,
kde x (t) je neznáma funkcia (ide o uhol odchýlky od dolnej rovnovážnej polohy v momente t, vyjadrený v radiánoch); ω je kladná konštanta, ktorá je určená z parametrov kyvadla (ω = √g/L, kde g je gravitačné zrýchlenie a L je dĺžka matematického kyvadla (závesu).
Rovnica pre malé vibrácie v blízkosti rovnovážnej polohy (harmonická rovnica) vyzerá takto:
x + ω2 sin x = 0
Oscilačné pohyby kyvadla
Po sínusoide sa pohybuje matematické kyvadlo, ktoré robí malé oscilácie. Diferenciálnej rovnice druhého rádu spĺňa všetky požiadavky a parametre takéhoto strojčeka. Na určenie trajektórie je potrebné nastaviť rýchlosť a súradnicu, z ktorej sa potom určujú nezávislé konštanty:
x = A sin (θ 0 + ωt),
kde θ 0 je počiatočná fáza, A je amplitúda kmitania, ω je cyklická frekvencia určená z pohybovej rovnice.
Matematické kyvadlo (vzorce pre veľké amplitúdy)
Tento mechanický systém, ktorý kmitá s výraznou amplitúdou, podlieha zložitejším pohybovým zákonom. Pre takéto kyvadlo sa vypočítajú podľa vzorca:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
kde sn je Jacobiho sínus, ktorý pre u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
kde ε = E/mL2 (mL2 je energia kyvadla).
Doba kmitania nelineárneho kyvadla sa určuje podľa vzorca:
kde Ω = π/2 * ω/2K(u), K je eliptický integrál, π - 3,14.
Pohyb kyvadla pozdĺž separatrix
Separatrix je trajektória dynamický systém, ktorý má dvojrozmerný fázový priestor. Neperiodicky sa po nej pohybuje matematické kyvadlo. V nekonečne vzdialenom časovom okamihu padá z najvyššej polohy na stranu s nulovou rýchlosťou, potom ju postupne získava. Nakoniec sa zastaví a vráti sa do pôvodnej polohy.
Ak sa amplitúda kmitov kyvadla blíži k číslu π , to znamená, že pohyb vo fázovej rovine sa približuje k separatrixe. V tomto prípade pod vplyvom malej hnacej periodickej sily mechanický systém vykazuje chaotické správanie.
Keď sa matematické kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, vzniká tangenciálna sila gravitácie Fτ = -mg sin φ. Znamienko mínus znamená, že táto tangenciálna zložka smeruje v smere opačnom k výchylke kyvadla. Keď označíme x posunutie kyvadla po kruhovom oblúku s polomerom L, jeho uhlové posunutie sa rovná φ = x/L. Druhý zákon, určený pre projekcie a silu, poskytne požadovanú hodnotu:
mg τ = Fτ = -mg sin x/l
Na základe tohto vzťahu je zrejmé, že toto kyvadlo je nelineárny systém, keďže sila, ktorá ho má tendenciu vrátiť do rovnovážnej polohy, je vždy úmerná nie posunutiu x, ale sin x/L.
Len keď matematické kyvadlo vykonáva malé kmity, je to harmonický oscilátor. Inými slovami, stáva sa mechanickým systémom schopným vykonávať harmonické kmity. Táto aproximácia je prakticky platná pre uhly 15-20°. Kmity kyvadla s veľkými amplitúdami nie sú harmonické.
Newtonov zákon pre malé kmity kyvadla
Ak daný mechanický systém vykonáva malé oscilácie, Newtonov 2. zákon bude vyzerať takto:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Na základe toho môžeme konštatovať, že matematické kyvadlo je úmerné jeho posunutiu so znamienkom mínus. Toto je stav, vďaka ktorému sa systém stáva harmonickým oscilátorom. Modul koeficientu úmernosti medzi posunom a zrýchlením sa rovná druhej mocnine kruhovej frekvencie:
co02 = g/l; ω0 = √ g/l.
Tento vzorec odráža prirodzenú frekvenciu malých kmitov tohto typu kyvadla. Na základe toho
T = 2π/ω0 = 2π√ g/l.
Výpočty založené na zákone zachovania energie
Vlastnosti kyvadla možno opísať aj pomocou zákona zachovania energie. Malo by sa vziať do úvahy, že kyvadlo v gravitačnom poli sa rovná:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Súčet sa rovná kinetickému alebo maximálnemu potenciálu: Epmax = Ekmsx = E
Po napísaní zákona zachovania energie zoberte deriváciu pravej a ľavej strany rovnice:
Pretože derivácia konštantných veličín sa rovná 0, potom (Ep + Ek)" = 0. Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
teda:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.
Na základe posledného vzorca zistíme: α = - g/L*x.
Praktická aplikácia matematického kyvadla
Zrýchlenie sa mení so zemepisnou šírkou kvôli hustote zemská kôra nie je rovnaká na celej planéte. Tam, kde sa vyskytujú horniny s vyššou hustotou, bude o niečo vyššia. Zrýchlenie matematického kyvadla sa často používa na geologický prieskum. Používa sa na vyhľadávanie rôznych minerálov. Jednoduchým spočítaním počtu kmitov kyvadla môžete odhaliť uhlie alebo rudu v útrobách Zeme. Je to spôsobené tým, že takéto fosílie majú hustotu a hmotnosť väčšiu ako voľné horniny pod nimi.
Matematické kyvadlo používali takí vynikajúci vedci ako Sokrates, Aristoteles, Platón, Plutarchos, Archimedes. Mnohí z nich verili, že tento mechanický systém môže ovplyvniť osud a život človeka. Archimedes použil pri svojich výpočtoch matematické kyvadlo. V súčasnosti mnohí okultisti a jasnovidci používajú tento mechanický systém na splnenie svojich proroctiev alebo na hľadanie nezvestných ľudí.
Slávny francúzsky astronóm a prírodovedec K. Flammarion používal pri výskume aj matematické kyvadlo. Tvrdil, že s jej pomocou dokázal predpovedať objavenie novej planéty, vzhľad Tunguzský meteorit a ďalšie dôležité udalosti. Počas druhej svetovej vojny fungoval v Nemecku (Berlín) špecializovaný Kyvadlový inštitút. V súčasnosti sa podobným výskumom zaoberá Mníchovský inštitút parapsychológie. Zamestnanci tohto zariadenia nazývajú svoju prácu s kyvadlom „radiestézia“.
Doba kmitania fyzického kyvadla závisí od mnohých okolností: od veľkosti a tvaru tela, od vzdialenosti medzi ťažiskom a bodom zavesenia a od rozloženia hmotnosti tela vzhľadom na tento bod; preto je výpočet doby zaveseného telesa dosť náročná úloha. U matematického kyvadla je situácia jednoduchšia. Z pozorovaní takýchto kyvadiel možno stanoviť nasledujúce jednoduché zákony.
1. Ak pri zachovaní rovnakej dĺžky kyvadla (vzdialenosť od bodu zavesenia k ťažisku bremena) zavesíte rôzne bremená, potom bude perióda kmitania rovnaká, hoci hmotnosti zaťaženia sú veľmi rozdielne. Perióda matematického kyvadla nezávisí od hmotnosti bremena.
2. Ak pri štartovaní kyvadla vychýlime pod rôznymi (ale nie príliš veľkými) uhlami, potom bude kmitať s rovnakou periódou, aj keď s rôznymi amplitúdami. Pokiaľ nie sú amplitúdy príliš veľké, kmity sú svojou formou veľmi blízke harmonickým (§ 5) a perióda matematického kyvadla nezávisí od amplitúdy kmitov. Táto vlastnosť sa nazýva izochronizmus (z gréckych slov „isos“ - rovný, „chronos“ - čas).
Túto skutočnosť prvýkrát zistil v roku 1655 Galileo, údajne za nasledujúcich okolností. Galileo pozoroval v katedrále v Pise hojdanie lustra na dlhej reťazi, ktorá sa pri zapálení tlačila. Počas služby sa výkyvy postupne vytrácali (§ 11), to znamená, že amplitúda vibrácií sa znižovala, ale perióda zostala rovnaká. Galileo použil svoj vlastný pulz ako ukazovateľ času.
Odvoďme teraz vzorec pre periódu kmitania matematického kyvadla.
Ryža. 16. Kmity kyvadla v rovine (a) a pohyb pozdĺž kužeľa (b)
Keď sa kyvadlo kýva, bremeno sa pohybuje zrýchlene po oblúku (obr. 16, a) pod vplyvom vratnej sily, ktorá sa počas pohybu mení. Výpočet pohybu telesa pod vplyvom premenlivej sily je pomerne komplikovaný. Preto pre jednoduchosť budeme postupovať nasledovne.
Urobme, aby kyvadlo nekmitalo v jednej rovine, ale opísalo kužeľ tak, aby sa bremeno pohybovalo po kružnici (obr. 16, b). Tento pohyb možno dosiahnuť pridaním dvoch nezávislých vibrácií: jedna - stále v rovine výkresu a druhá - v kolmej rovine. Je zrejmé, že periódy oboch týchto rovinných kmitov sú rovnaké, pretože žiadna rovina kmitania sa nelíši od žiadnej inej. V dôsledku toho bude perióda komplexného pohybu - rotácia kyvadla pozdĺž kužeľa - rovnaká ako perióda výkyvu vodnej roviny. Tento záver možno ľahko ilustrovať priamou skúsenosťou, keď vezmeme dve identické kyvadla a jedno z nich otočíme v rovine a druhé pootočíme pozdĺž kužeľa.
Obdobie otáčania „kužeľového“ kyvadla sa však rovná dĺžke kruhu opísanej záťažou, vydelenej rýchlosťou:
Ak je uhol odchýlky od vertikály malý (malé amplitúdy), potom môžeme predpokladať, že vratná sila smeruje pozdĺž polomeru kruhu, t.j. rovná sa dostredivej sile:
Na druhej strane z podobnosti trojuholníkov vyplýva, že . Odvtedy odtiaľto
Prirovnaním oboch výrazov k sebe dostaneme rýchlosť obehu
Nakoniec, dosadením tohto do dobového výrazu, zistíme
Perióda matematického kyvadla teda závisí len od tiažového zrýchlenia a od dĺžky kyvadla, t.j. vzdialenosti od bodu zavesenia k ťažisku bremena. Z výsledného vzorca vyplýva, že perióda kyvadla nezávisí od jeho hmotnosti a amplitúdy (za predpokladu, že je dostatočne malá). Inými slovami, výpočtom sme získali tie základné zákony, ktoré boli predtým stanovené z pozorovaní.
Ale náš teoretický záver nám dáva viac: umožňuje nám stanoviť kvantitatívny vzťah medzi periódou kyvadla, jeho dĺžkou a gravitačným zrýchlením. Perióda matematického kyvadla je úmerná druhej odmocnine pomeru dĺžky kyvadla k gravitačnému zrýchleniu. Koeficient proporcionality je .
Veľmi presná metóda na určenie tohto zrýchlenia je založená na závislosti periódy kyvadla od gravitačného zrýchlenia. Meraním dĺžky kyvadla a určením z veľké číslo periódu oscilácie môžeme vypočítať pomocou výsledného vzorca. Táto metóda je v praxi široko používaná.
Je známe (pozri zväzok I, §53), že zrýchlenie voľného pádu závisí od zemepisnej šírky miesta (na póle a na rovníku). Pozorovania periódy výkyvu určitého štandardného kyvadla umožňujú študovať rozloženie gravitačného zrýchlenia v zemepisnej šírke. Táto metóda je taká presná, že ju možno použiť na odhalenie jemnejších rozdielov vo význame zemského povrchu. Ukazuje sa, že aj na tej istej rovnobežke sú hodnoty v rôznych bodoch zemského povrchu odlišné. Tieto anomálie v rozložení gravitačného zrýchlenia sú spojené s nerovnomernou hustotou zemskej kôry. Používajú sa na štúdium rozloženia hustoty, najmä na zistenie výskytu akýchkoľvek minerálov v zemskej kôre. Rozsiahle gravimetrické zmeny, ktoré umožnili posúdiť výskyt hustých hmôt, sa uskutočnili v ZSSR v oblasti takzvanej kurskej magnetickej anomálie (pozri zväzok II, § 130) pod vedením sovietskeho fyzika Piotra Petroviča. Lazarev. V spojení s údajmi o anomálii zem magnetické pole Tieto gravimetrické údaje umožnili stanoviť rozdelenie výskytu železných hmôt, ktoré určujú kurské magnetické a gravitačné anomálie.
Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovom a neroztiahnutom vlákne umiestnenom v gravitačnom poli Zeme. Matematické kyvadlo je idealizovaný model, ktorý správne popisuje skutočné kyvadlo len za určitých podmienok. Skutočné kyvadlo možno považovať za matematické, ak je dĺžka závitu oveľa väčšia ako veľkosť telesa na ňom zaveseného, hmotnosť závitu je zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou tela a deformácie závitu sú také malé že ich možno úplne zanedbať.
Oscilačný systém v v tomto prípade tvoria závit, k nemu pripojené teleso a Zem, bez ktorých by tento systém nemohol slúžiť ako kyvadlo.
Kde A X – zrýchlenie, g - gravitačné zrýchlenie, X- posunutie, l– dĺžka kyvadlového závitu.
Táto rovnica sa nazýva rovnica voľných kmitov matematického kyvadla. Správne opisuje príslušné vibrácie iba vtedy, ak sú splnené tieto predpoklady:
2) uvažujú sa len malé kmity kyvadla s malým uhlom výkyvu.
Voľné vibrácie akýchkoľvek systémov sú vo všetkých prípadoch opísané podobnými rovnicami.
Príčiny voľných oscilácií matematického kyvadla sú:
1. Pôsobenie napätia a gravitácie na kyvadlo, ktoré mu bráni v pohybe z rovnovážnej polohy a núti ho opäť padať.
2. Zotrvačnosť kyvadla, vďaka ktorej sa pri udržiavaní rýchlosti nezastaví v rovnovážnej polohe, ale prechádza ňou ďalej.
Obdobie voľných kmitov matematického kyvadla
Doba voľného kmitania matematického kyvadla nezávisí od jeho hmotnosti, ale je určená len dĺžkou závitu a gravitačným zrýchlením v mieste, kde sa kyvadlo nachádza.
Premena energie pri harmonických kmitoch
Pri harmonických kmitoch pružinového kyvadla sa potenciálna energia elasticky deformovaného telesa premieňa na svoju Kinetická energia, Kde k – koeficient pružnosti, X - modul posunutia kyvadla z rovnovážnej polohy, m- hmotnosť kyvadla, v- jeho rýchlosť. Podľa harmonickej vibračnej rovnice:
,
.
Celková energia pružinového kyvadla:
.
Celková energia pre matematické kyvadlo:
V prípade matematického kyvadla
K premenám energie pri kmitoch pružinového kyvadla dochádza v súlade so zákonom zachovania mechanickej energie ( 
). Keď sa kyvadlo pohybuje dole alebo hore zo svojej rovnovážnej polohy, jeho potenciálna energia sa zvyšuje a jeho kinetická energia klesá. Keď kyvadlo prejde rovnovážnou polohou ( X= 0), jeho potenciálna energia je nulová a kinetická energia kyvadla má najväčšiu hodnotu, ktorá sa rovná jeho celkovej energii.
V procese voľných kmitov kyvadla sa teda jeho potenciálna energia mení na kinetickú, kinetická na potenciálnu, potenciálna potom späť na kinetickú atď. Celková mechanická energia však zostáva nezmenená.
Nútené vibrácie. Rezonancia.
Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajšej periodickej sily sa nazývajú vynútené oscilácie. Vonkajšia periodická sila, nazývaná hnacia sila, dodáva oscilačnému systému dodatočnú energiu, ktorá slúži na doplnenie energetických strát vznikajúcich v dôsledku trenia. Ak sa hnacia sila v priebehu času mení podľa zákona sínusu alebo kosínusu, potom budú vynútené oscilácie harmonické a netlmené.
Na rozdiel od voľných kmitov, kedy systém dostane energiu len raz (keď sa systém dostane z rovnováhy), v prípade vynútených kmitov systém túto energiu odoberá zo zdroja vonkajšej periodickej sily nepretržite. Táto energia kompenzuje straty vynaložené na prekonanie trenia, a preto celková energia oscilačného systému zostáva stále nezmenená.
Frekvencia vynútených kmitov sa rovná frekvencii hnacej sily. V prípade, že hnacia sila frekvencia υ sa zhoduje s vlastnou frekvenciou oscilačného systému υ 0 , dochádza k prudkému zvýšeniu amplitúdy vynútených oscilácií - rezonancia. Rezonancia nastáva vďaka tomu, že keď υ = υ 0 vonkajšia sila, pôsobiaca v čase voľnými vibráciami, je vždy v súlade s rýchlosťou kmitajúceho telesa a koná pozitívnu prácu: energia kmitajúceho telesa sa zvyšuje a amplitúda jeho kmitov sa zväčšuje. Graf amplitúdy vynútených kmitov A T na frekvencii hnacej sily υ znázornený na obrázku, tento graf sa nazýva rezonančná krivka:
Fenomén rezonancie hrá dôležitú úlohu v mnohých prírodných, vedeckých a priemyselných procesoch. Napríklad je potrebné vziať do úvahy jav rezonancie pri navrhovaní mostov, budov a iných konštrukcií, ktoré sú vystavené vibráciám pri zaťažení, inak za určitých podmienok môžu byť tieto konštrukcie zničené.
(lat. amplitúda- veľkosť) je najväčšia odchýlka kmitajúceho telesa od jeho rovnovážnej polohy.
Pre kyvadlo je to maximálna vzdialenosť, o ktorú sa guľa vzdiali od svojej rovnovážnej polohy (obrázok nižšie). Pre kmity s malými amplitúdami môže byť takáto vzdialenosť braná ako dĺžka oblúka 01 alebo 02 a dĺžky týchto segmentov.
Amplitúda kmitov sa meria v jednotkách dĺžky - metre, centimetre atď. Na grafe kmitov je amplitúda definovaná ako maximálna (modulo) ordináta sínusovej krivky (pozri obrázok nižšie).
Doba oscilácie.
Doba oscilácie- je to najkratšia doba, počas ktorej sa oscilujúci systém vráti do stavu, v ktorom sa nachádzal v počiatočnom časovom okamihu, ktorý je ľubovoľne zvolený.
Inými slovami, perióda oscilácie ( T) je čas, počas ktorého dôjde k jednej úplnej oscilácii. Napríklad na obrázku nižšie je to čas, ktorý trvá, kým sa kyvadlo posunie z extrému správny bod cez rovnovážny bod O do krajného ľavého bodu a späť cez bod O opäť úplne vpravo.
Počas celej periódy oscilácie tak telo prejde dráhu rovnajúcu sa štyrom amplitúdam. Perióda kmitania sa meria v časových jednotkách - sekundách, minútach atď. Periódu kmitov je možné určiť zo známeho grafu kmitov (pozri obrázok nižšie).
Pojem „obdobie oscilácií“ v prísnom zmysle platí iba vtedy, keď sa hodnoty oscilačnej veličiny presne opakujú po určitom časovom období, t.j. pre harmonické oscilácie. Tento pojem však platí aj pre prípady približne opakujúcich sa veličín, napríklad pre tlmené oscilácie.
Oscilačná frekvencia.
Oscilačná frekvencia- to je počet kmitov vykonaných za jednotku času, napríklad za 1 s.
Jednotka frekvencie SI je pomenovaná hertz(Hz) na počesť nemeckého fyzika G. Hertza (1857-1894). Ak frekvencia oscilácií ( v) rovná sa 1 Hz, to znamená, že každú sekundu dôjde k jednému kmitu. Frekvencia a perióda oscilácií súvisia so vzťahmi:
V teórii kmitov tiež používajú pojem cyklický, alebo kruhová frekvencia ω . Súvisí to s normálnou frekvenciou v a perióda oscilácie T pomery:
.
Cyklická frekvencia je počet vykonaných kmitov za 2π sekúnd
Matematické kyvadlo nazývame hmotný bod zavesený na beztiažovej a neroztiahnuteľnej nite pripevnenej k závesu a nachádzajúcej sa v poli gravitácie (alebo inej sily).
Pozrime sa na kmitanie matematického kyvadla v inerciálnej vzťažnej sústave, voči ktorej je bod jeho zavesenia v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne po priamke. Silu odporu vzduchu (ideálne matematické kyvadlo) zanedbáme. Spočiatku je kyvadlo v pokoji v rovnovážnej polohe C. V tomto prípade sú sila gravitácie \(\vec F\) pôsobiaca naň a elastická sila \(\vec F_(ynp)\) závitu vzájomne kompenzované.
Vyberme kyvadlo z rovnovážnej polohy (vychýlením napr. do polohy A) a uvoľníme ho bez počiatočnej rýchlosti (obr. 13.11). V tomto prípade sa sily \(\vec F\) a \(\vec F_(ynp)\) navzájom nevyvažujú. Tangenciálna zložka gravitácie \(\vec F_\tau\), pôsobiaca na kyvadlo, hovorí tangenciálne zrýchlenie\(\vec a_\tau\) (zložka celkového zrýchlenia smerujúceho po dotyčnici k trajektórii matematického kyvadla) a kyvadlo sa začne pohybovať smerom k rovnovážnej polohe s rýchlosťou narastajúcou v absolútnej hodnote. Tangenciálna zložka gravitácie \(\vec F_\tau\) je teda vratná sila. Normálna zložka \(\vec F_n\) gravitačnej sily smeruje pozdĺž závitu proti elastickej sile \(\vec F_(ynp)\). Výslednica síl \(\vec F_n\) a \(\vec F_(ynp)\) udeľuje kyvadlu normálové zrýchlenie \(~a_n\), čím sa mení smer vektora rýchlosti a kyvadlo sa pohybuje po oblúku A B C D.
Čím viac sa kyvadlo blíži k rovnovážnej polohe C, tým menšia je hodnota tangenciálnej zložky \(~F_\tau = F \sin \alpha\). V rovnovážnej polohe je nula a rýchlosť dosahuje maximálna hodnota a kyvadlo sa zotrvačnosťou pohybuje ďalej a stúpa oblúkom nahor. V tomto prípade je komponent \(\vec F_\tau\) nasmerovaný proti rýchlosti. So zväčšovaním uhla vychýlenia a sa zvyšuje modul sily \(\vec F_\tau\) a modul rýchlosti klesá a v bode D sa rýchlosť kyvadla rovná nule. Kyvadlo sa na chvíľu zastaví a potom sa začne pohybovať opačným smerom do rovnovážnej polohy. Po opätovnom prejdení zotrvačnosťou sa kyvadlo, spomaľujúc svoj pohyb, dostane do bodu A (nedochádza k treniu), t.j. dokončí úplný švih. Potom sa pohyb kyvadla zopakuje v už opísanom poradí.
Získame rovnicu opisujúcu voľné kmitanie matematického kyvadla.
Pustite kyvadlo dovnútra tento momentčas je v bode B. Jeho posunutie S z rovnovážnej polohy sa v tomto momente rovná dĺžke oblúka SV (t.j. S = |SV|). Označme dĺžku závesného vlákna l a hmotnosť kyvadla je m.
Z obrázku 13.11 je zrejmé, že \(~F_\tau = F \sin \alpha\), kde \(\alpha =\frac(S)(l).\) V malých uhloch \(~(\alpha)<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Znamienko mínus je v tomto vzorci umiestnené, pretože tangenciálna zložka gravitácie smeruje k rovnovážnej polohe a posunutie sa počíta od rovnovážnej polohy.
Podľa druhého Newtonovho zákona \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Premietnime vektorové veličiny tejto rovnice na smer dotyčnice k trajektórii matematického kyvadla.
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Z týchto rovníc dostaneme
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - dynamická pohybová rovnica matematického kyvadla. Tangenciálne zrýchlenie matematického kyvadla je úmerné jeho posunutiu a smeruje do rovnovážnej polohy. Táto rovnica môže byť napísaná ako \. Porovnaním s rovnicou harmonických kmitov \(~a_x + \omega^2x = 0\) (pozri § 13.3) môžeme konštatovať, že matematické kyvadlo vykonáva harmonické kmity. A keďže uvažované kmity kyvadla vznikali pod vplyvom iba vnútorných síl, išlo o voľné kmity kyvadla. teda voľné kmity matematického kyvadla s malými odchýlkami sú harmonické.
Označme \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Odkiaľ \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) je cyklická frekvencia kyvadla.
Perióda oscilácie kyvadla je \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Preto
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Tento výraz sa nazýva Huygensov vzorec. Určuje periódu voľných kmitov matematického kyvadla. Zo vzorca vyplýva, že pri malých uhloch odchýlky od rovnovážnej polohy doba kmitania matematického kyvadla: 1) nezávisí od jeho hmotnosti a amplitúdy kmitov; 2) úmerné druhej odmocnine dĺžky kyvadla a nepriamo úmerné druhej odmocnine gravitačného zrýchlenia. To je v súlade s experimentálnymi zákonmi malých kmitov matematického kyvadla, ktoré objavil G. Galileo.
Zdôrazňujeme, že tento vzorec možno použiť na výpočet periódy, ak sú súčasne splnené dve podmienky: 1) kmity kyvadla musia byť malé; 2) Závesný bod kyvadla musí byť v pokoji alebo sa musí pohybovať rovnomerne v priamke vzhľadom na inerciálnu referenčnú sústavu, v ktorej sa nachádza.
Ak sa závesný bod matematického kyvadla pohybuje so zrýchlením \(\vec a\), zmení sa napínacia sila nite, čo vedie k zmene vratnej sily a následne aj frekvencie a periódy kmitov. Ako ukazujú výpočty, periódu oscilácie kyvadla v tomto prípade možno vypočítať pomocou vzorca
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
kde \(~g"\) je "efektívne" zrýchlenie kyvadla v neinerciálnej vzťažnej sústave. Rovná sa geometrickému súčtu gravitačného zrýchlenia \(\vec g\) a vektora opačného k vektor \(\vec a\), t.j. možno ho vypočítať pomocou vzorca
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Literatúra
Aksenovič L. A. Fyzika na strednej škole: teória. Úlohy. Testy: Učebnica. príspevok pre inštitúcie poskytujúce všeobecné vzdelávanie. prostredie, výchova / L. A. Aksenovič, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - S. 374-376.
