– určite budú úlohy z trigonometrie. Trigonometria sa často nepáči kvôli potrebe napchať obrovské množstvo zložitých vzorcov, ktoré sa hemžia sínusmi, kosínusmi, tangentami a kotangens. Stránka už raz poskytovala rady, ako si zapamätať zabudnutý vzorec, na príklade vzorca Euler a Peel.
A v tomto článku sa pokúsime ukázať, že stačí pevne poznať iba päť jednoduchých trigonometrických vzorcov a vedieť o zvyšku Všeobecná myšlienka a vyneste ich von za pochodu. Je to ako s DNA: nie je uložená v molekule. kompletné výkresy hotová živá bytosť. Obsahuje skôr návod na jeho zostavenie z dostupných aminokyselín. Takže v trigonometrii vedieť nejaké všeobecné zásady, získame všetky potrebné vzorce z malej množiny tých, ktoré treba mať na pamäti.
Budeme sa spoliehať na nasledujúce vzorce:
Zo vzorcov pre sínusové a kosínusové súčty, keď vieme o parite kosínusovej funkcie a nepárnosti sínusovej funkcie, dosadením -b namiesto b, získame vzorce pre rozdiely:
- Sínus rozdielu: hriech(a-b) = hriechacos(-b)+cosahriech(-b) = hriechacosb-cosahriechb
- Kosínus rozdielu: cos(a-b) = cosacos(-b)-hriechahriech(-b) = cosacosb+hriechahriechb
Vložením a = b do rovnakých vzorcov dostaneme vzorce pre sínus a kosínus dvojitých uhlov:
- Sínus dvojitého uhla: hriech2a = hriech(a+a) = hriechacosa+cosahriecha = 2hriechacosa
- Kosínus dvojitého uhla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-hriechahriecha = cos2a-hriech2a
Vzorce pre ďalšie viacnásobné uhly sa získajú podobne:
- Sínus trojitého uhla: hriech3a = hriech(2a+a) = hriech2acosa+cos2ahriecha = (2hriechacosa)cosa+(cos2a-hriech2a)hriecha = 2hriechacos2a+hriechacos2a-hriech 3a = 3 hriechacos2a-hriech 3a = 3 hriecha(1-hriech2a)-hriech 3a = 3 hriecha-4hriech 3a
- Kosínus trojitého uhla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-hriech2ahriecha = (cos2a-hriech2a)cosa-(2hriechacosa)hriecha = cos 3 a- hriech2acosa-2hriech2acosa = cos 3 a-3 hriech2acosa = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Skôr než prejdeme ďalej, pozrime sa na jeden problém.
Dané: uhol je ostrý.
Nájdite jeho kosínus, ak
Riešenie od jedného študenta:
Pretože , To hriecha= 3,a cosa = 4.
(z matematického humoru)
Takže definícia dotyčnice spája túto funkciu so sínusom aj kosínusom. Ale môžete získať vzorec, ktorý spája dotyčnicu iba s kosínusom. Aby sme to odvodili, zoberme si to hlavné trigonometrická identita: hriech 2 a+cos 2 a= 1 a vydeľte ho cos 2 a. Dostaneme:
Takže riešenie tohto problému by bolo:
(Pretože uhol je ostrý, pri extrakcii koreňa sa berie znamienko +)
Vzorec pre tangens súčtu je ďalší, ktorý je ťažko zapamätateľný. Vypíšme to takto:
Okamžite zobrazené a
Z kosínusového vzorca pre dvojitý uhol môžete získať sínusový a kosínusový vzorec pre polovičné uhly. Ak to chcete urobiť, na ľavej strane kosínusového vzorca s dvojitým uhlom:
cos2
a = cos 2
a-hriech 2
a
pridáme jednu a doprava - trigonometrickú jednotku, t.j. súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu.
cos2a+1 = cos2a-hriech2a+cos2a+hriech2a
2cos 2
a = cos2
a+1
Vyjadrovanie cosa cez cos2
a a vykonaním zmeny premenných dostaneme:
Znak sa berie v závislosti od kvadrantu.
Podobne, odpočítaním jednej od ľavej strany rovnosti a súčtu druhých mocnín sínusu a kosínusu od pravej, dostaneme:
cos2a-1 = cos2a-hriech2a-cos2a-hriech2a
2hriech 2
a = 1-cos2
a
Nakoniec, aby sme previedli súčet goniometrických funkcií na súčin, použijeme ďalšie stretnutie. Povedzme, že potrebujeme reprezentovať súčet sínusov ako súčin hriecha+hriechb. Zaveďme premenné x a y také, že a = x+y, b+x-y. Potom
hriecha+hriechb = hriech(x+y)+ hriech(x-y) = hriech X cos y+ cos X hriech y+ hriech X cos y- cos X hriech y=2 hriech X cos r. Vyjadrime teraz x a y pomocou a a b.
Pretože a = x+y, b = x-y, potom . Preto
Môžete okamžite odstúpiť
- Vzorec na rozdelenie súčin sínusu a kosínusu V čiastka: hriechacosb = 0.5(hriech(a+b)+hriech(a-b))
Vzorce na prepočet rozdielu sínusov a súčtu a rozdielu kosínusov na súčin, ako aj na delenie súčinov sínusov a kosínusov na súčet odporúčame precvičiť a odvodiť samostatne. Po absolvovaní týchto cvičení si dôkladne osvojíte zručnosť odvodzovania goniometrických vzorcov a nestratíte sa ani v tom najťažšom teste, olympiáde či testovaní.
Najčastejšie otázky
Je možné vyrobiť pečiatku na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Pošlite naskenovanú kópiu alebo fotografiu na našu e-mailovú adresu dobrá kvalita, a vyrobíme potrebný duplikát.
Aké typy platieb akceptujete?
Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality vyhotovenia diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby za dokumenty sú popísané v časti „Platba a doručenie“. Sme pripravení vypočuť si aj vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.
Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko webových stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôznych častiach krajiny a vyrobia viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platené miesta. Medzi klientmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné fyzicky: za objednávku zaplatíte, keď ju dostanete do rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.
Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými univerzitami v krajine a pre rôzne roky vydania. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.
Čo robiť, ak v dokumente nájdete preklepy a chyby?
Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať, zistené nedostatky však musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne zaslaním listu na adresu email.
Dokument čo najskôr opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením pôvodného formulára pošleme zákazníkovi e-mailom maketu budúceho dokumentu na kontrolu a schválenie konečnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj ďalšie fotografie a videá (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali jasnú predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.
Čo mám urobiť, aby som si objednal diplom od vašej spoločnosti?
Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej stránke alebo poskytnúť svoj email, aby sme Vám mohli poslať prihlášku, ktorú je potrebné vyplniť a poslať späť nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.
Najnovšie recenzie
Valentina:
Zachránili ste nášho syna pred vyhodením! Faktom je, že po ukončení vysokej školy vstúpil môj syn do armády. A keď sa vrátil, nechcel sa zotaviť. Pracoval bez diplomu. Nedávno však začali prepúšťať každého, kto nemá „kôru“. Preto sme sa rozhodli kontaktovať vás a neoľutovali sme! Teraz pokojne pracuje a ničoho sa nebojí! Ďakujem!
Najčastejšie otázky
Je možné vyrobiť pečiatku na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Pošlite naskenovanú kópiu alebo kvalitnú fotografiu na našu e-mailovú adresu a my vyhotovíme potrebný duplikát.
Aké typy platieb akceptujete?
Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality vyhotovenia diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby za dokumenty sú popísané v časti „Platba a doručenie“. Sme pripravení vypočuť si aj vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.
Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko webových stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôznych častiach krajiny a vyrobia viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platené miesta. Medzi klientmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné fyzicky: za objednávku zaplatíte, keď ju dostanete do rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.
Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými univerzitami v krajine a pre rôzne roky vydania. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.
Čo robiť, ak v dokumente nájdete preklepy a chyby?
Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať, zistené nedostatky však musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne zaslaním emailu.
Dokument čo najskôr opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením pôvodného formulára pošleme zákazníkovi e-mailom maketu budúceho dokumentu na kontrolu a schválenie konečnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj ďalšie fotografie a videá (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali jasnú predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.
Čo mám urobiť, aby som si objednal diplom od vašej spoločnosti?
Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej stránke alebo poskytnúť svoj email, aby sme Vám mohli poslať prihlášku, ktorú je potrebné vyplniť a poslať späť nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.
Najnovšie recenzie
Valentina:
Zachránili ste nášho syna pred vyhodením! Faktom je, že po ukončení vysokej školy vstúpil môj syn do armády. A keď sa vrátil, nechcel sa zotaviť. Pracoval bez diplomu. Nedávno však začali prepúšťať každého, kto nemá „kôru“. Preto sme sa rozhodli kontaktovať vás a neoľutovali sme! Teraz pokojne pracuje a ničoho sa nebojí! Ďakujem!
Vycentrované v bode A.
α
- uhol vyjadrený v radiánoch.
Definícia
sínus (sin α)- Toto goniometrická funkcia v závislosti od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.
Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.
Akceptované notácie
;
;
.
;
;
.
Graf funkcie sínus, y = sin x
Graf funkcie kosínus, y = cos x
Vlastnosti sínusu a kosínusu
Periodicita
Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2π.
Parita
Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.
Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles
Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, to znamená pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).
| y = hriech x | y = cos x | |
| Rozsah a kontinuita | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rozsah hodnôt | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Zvyšovanie | ||
| Zostupne | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nuly, y = 0 | ||
| Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Základné vzorce
Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu
Vzorce pre sínus a kosínus zo súčtu a rozdielu
;
;
Vzorce na súčin sínusov a kosínusov
Vzorce súčtu a rozdielu
Vyjadrenie sínusu cez kosínus
;
;
;
.
Vyjadrenie kosínusu cez sínus
;
;
;
.
Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice
; .
Kedy máme:
;
.
na :
;
.
Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens
Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu. 
Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných
;
Eulerov vzorec
Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; . Odvodenie vzorcov >> >
Deriváty n-tého rádu:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, kosekant
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie sínus a kosínus sú arczín a arkkozín.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
Najčastejšie otázky
Je možné vyrobiť pečiatku na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Pošlite naskenovanú kópiu alebo kvalitnú fotografiu na našu e-mailovú adresu a my vyhotovíme potrebný duplikát.
Aké typy platieb akceptujete?
Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality vyhotovenia diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby za dokumenty sú popísané v časti „Platba a doručenie“. Sme pripravení vypočuť si aj vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.
Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko webových stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôznych častiach krajiny a vyrobia viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platené miesta. Medzi klientmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné fyzicky: za objednávku zaplatíte, keď ju dostanete do rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.
Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými univerzitami v krajine a pre rôzne roky vydania. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.
Čo robiť, ak v dokumente nájdete preklepy a chyby?
Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať, zistené nedostatky však musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne zaslaním emailu.
Dokument čo najskôr opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením pôvodného formulára pošleme zákazníkovi e-mailom maketu budúceho dokumentu na kontrolu a schválenie konečnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj ďalšie fotografie a videá (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali jasnú predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.
Čo mám urobiť, aby som si objednal diplom od vašej spoločnosti?
Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej stránke alebo poskytnúť svoj email, aby sme Vám mohli poslať prihlášku, ktorú je potrebné vyplniť a poslať späť nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.
Najnovšie recenzie
Valentina:
Zachránili ste nášho syna pred vyhodením! Faktom je, že po ukončení vysokej školy vstúpil môj syn do armády. A keď sa vrátil, nechcel sa zotaviť. Pracoval bez diplomu. Nedávno však začali prepúšťať každého, kto nemá „kôru“. Preto sme sa rozhodli kontaktovať vás a neoľutovali sme! Teraz pokojne pracuje a ničoho sa nebojí! Ďakujem!
