Ułamki są zwykłe liczby, można je także dodawać i odejmować. Ale ze względu na to, że zawierają mianownik, więcej skomplikowane zasady niż dla liczb całkowitych.
Rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwie frakcje same mianowniki. Następnie:
Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i ponownie pozostawić mianownik bez zmian.
W każdym wyrażeniu mianowniki ułamków są równe. Z definicji dodawania i odejmowania ułamków otrzymujemy:
Jak widać, nie jest to nic skomplikowanego: po prostu dodajemy lub odejmujemy liczniki i gotowe.
Ale nawet w tak prostych działaniach ludziom udaje się popełniać błędy. Najczęściej zapomina się, że mianownik się nie zmienia. Na przykład, dodając je, zaczynają się one również sumować, co jest zasadniczo błędne.
Pozbyć się zły nawyk Dodawanie mianowników jest dość proste. Spróbuj tego samego podczas odejmowania. W efekcie mianownik wyniesie zero, a ułamek (nagle!) straci swoje znaczenie.
Dlatego pamiętajcie raz na zawsze: podczas dodawania i odejmowania mianownik się nie zmienia!
Wiele osób popełnia również błędy przy dodawaniu kilku ułamków ujemnych. Istnieje zamieszanie ze znakami: gdzie umieścić minus i gdzie umieścić plus.
Ten problem jest również bardzo łatwy do rozwiązania. Wystarczy pamiętać, że minus przed znakiem ułamka zawsze można przenieść na licznik - i odwrotnie. I oczywiście nie zapomnij o dwóch prostych zasadach:
- Plus przez minus daje minus;
- Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.
Spójrzmy na to wszystko na konkretnych przykładach:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
W pierwszym przypadku wszystko jest proste, ale w drugim dodajmy minusy do liczników ułamków:
Co zrobić, jeśli mianowniki są różne
Bezpośrednie dodawanie ułamków za pomocą różne mianowniki to jest zabronione. Przynajmniej mi ta metoda nie jest znana. Jednak oryginalne ułamki zawsze można przepisać tak, aby mianowniki stały się takie same.
Istnieje wiele sposobów konwertowania ułamków zwykłych. Trzy z nich omówiono na lekcji „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”, więc nie będziemy się nad nimi tutaj rozwodzić. Spójrzmy na kilka przykładów:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
W pierwszym przypadku ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika metodą „na krzyż”. W drugim będziemy szukać NOC. Zauważ, że 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ostatnie czynniki w tych rozwinięciach są równe, a pierwsze są względnie pierwsze. Zatem LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Co zrobić, jeśli ułamek ma część całkowitą
Mogę cię zadowolić: różne mianowniki ułamków nie są największym złem. Znacznie więcej błędów pojawia się, gdy w dodanych ułamkach zaznaczona jest cała część.
Oczywiście istnieją własne algorytmy dodawania i odejmowania takich ułamków, ale są one dość złożone i wymagają długich badań. Lepiej używać prosty schemat, podane poniżej:
- Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nawet o różnych mianownikach), które obliczamy według zasad omówionych powyżej;
- Właściwie oblicz sumę lub różnicę powstałych ułamków. W rezultacie praktycznie znajdziemy odpowiedź;
- Jeśli to wszystko, co było wymagane w zadaniu, wykonujemy transformację odwrotną, tj. pozbywając się ułamek niewłaściwy, podkreślając całą jego część.
Zasady przechodzenia do ułamków niewłaściwych i wyróżniania całej części opisano szczegółowo w lekcji „Co to jest ułamek liczbowy”. Jeśli nie pamiętasz, koniecznie powtórz. Przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Tutaj wszystko jest proste. Mianowniki w każdym wyrażeniu są równe, więc pozostaje tylko zamienić wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe i policzyć. Mamy:
Aby uprościć obliczenia, w ostatnich przykładach pominąłem kilka oczywistych kroków.
Mała uwaga odnośnie dwóch ostatnich przykładów, gdzie odejmowane są ułamki z zaznaczoną częścią całkowitą. Minus przed drugim ułamkiem oznacza, że odejmowany jest cały ułamek, a nie tylko jego część.
Przeczytaj jeszcze raz to zdanie, spójrz na przykłady i pomyśl o tym. Tutaj początkujący popełniają ogromną liczbę błędów. Uwielbiają zlecać takie zadania testy. Spotkasz je także kilka razy w testach do tej lekcji, które zostaną wkrótce opublikowane.
Podsumowanie: ogólny schemat obliczeń
Podsumowując, podam ogólny algorytm, który pomoże ci znaleźć sumę lub różnicę dwóch lub więcej ułamków:
- Jeśli jeden lub więcej ułamków ma część całkowitą, zamień te ułamki na niewłaściwe;
- Doprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika w dowolny dogodny dla ciebie sposób (chyba że oczywiście zrobili to autorzy problemów);
- Dodaj lub odejmij powstałe liczby zgodnie z zasadami dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach;
- Jeśli to możliwe, skróć wynik. Jeśli ułamek jest nieprawidłowy, wybierz całą część.
Pamiętaj, że lepiej zaznaczyć całą część na samym końcu zadania, bezpośrednio przed zapisaniem odpowiedzi.
W tym artykule zajmiemy się dodawanie liczb za pomocą różne znaki . Tutaj podamy zasadę dodawania liczb dodatnich i ujemnych oraz rozważymy przykłady zastosowania tej zasady podczas dodawania liczb o różnych znakach.
Nawigacja strony.
Zasada dodawania liczb o różnych znakach
Przykłady dodawania liczb z różnymi znakami
Rozważmy przykłady dodawania liczb z różnymi znakami zgodnie z zasadą omówioną w poprzednim akapicie. Zacznijmy od prostego przykładu.
Przykład.
Dodaj liczby -5 i 2.
Rozwiązanie.
Musimy dodać liczby z różnymi znakami. Postępujmy zgodnie ze wszystkimi krokami przewidzianymi w zasadzie dodawania liczb dodatnich i ujemnych.
Najpierw znajdujemy moduły terminów; są one równe odpowiednio 5 i 2.
Moduł liczby −5 jest większy niż moduł liczby 2, więc pamiętaj o znaku minus.
Pozostaje umieścić zapamiętany znak minus przed wynikową liczbą, otrzymamy -3. Na tym kończy się dodawanie liczb z różnymi znakami.
Odpowiedź:
(−5)+2=−3 .
Aby dodać liczby wymierne o różnych znakach, które nie są liczbami całkowitymi, należy je przedstawić jako ułamki zwykłe (można także pracować z ułamkami dziesiętnymi, jeśli jest to wygodne). Przyjrzyjmy się temu punktowi przy rozwiązywaniu następnego przykładu.
Przykład.
Dodaj liczbę dodatnią i liczbę ujemną -1,25.
Rozwiązanie.
Przedstawmy liczby w formularzu zwykłe ułamki, w tym celu dokonamy przejścia z liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy: , oraz zamienimy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły: 
.
Teraz możesz skorzystać z reguły dodawania liczb o różnych znakach.
Moduły dodawanych liczb to 17/8 i 5/4. Dla wygody dalszych działań sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, w wyniku czego mamy 17/8 i 10/8.
Teraz musimy porównać zwykłe ułamki 17/8 i 10/8. Zatem od 17>10 . Zatem termin ze znakiem plus ma większy moduł, dlatego pamiętaj o znaku plus.
Teraz od większego modułu odejmujemy mniejszy, czyli odejmujemy ułamki o tych samych mianownikach: 
.
Pozostaje tylko umieścić zapamiętany znak plus przed wynikową liczbą, otrzymujemy , ale - to jest liczba 7/8.
Na tej lekcji dowiemy się, czym jest liczba ujemna i jakie liczby nazywane są przeciwieństwami. Dowiemy się również, jak dodawać liczby ujemne i dodatnie (liczby z różnymi znakami) i przyjrzymy się kilku przykładom dodawania liczb z różnymi znakami.
Spójrz na to koło zębate (patrz ryc. 1).
Ryż. 1. Mechanizm zegarowy
To nie jest wskazówka, która bezpośrednio pokazuje godzinę, a nie tarcza (patrz ryc. 2). Ale bez tej części zegar nie działa.
Ryż. 2. Sprzęt wewnątrz zegara
Co oznacza litera Y? Nic poza dźwiękiem Y. Ale bez tego wiele słów nie będzie „działać”. Na przykład słowo „mysz”. Podobnie liczby ujemne: nie pokazują żadnej wielkości, ale bez nich mechanizm obliczeniowy byłby znacznie trudniejszy.
Wiemy, że dodawanie i odejmowanie są operacjami równoważnymi i można je wykonywać w dowolnej kolejności. W bezpośredniej kolejności możemy obliczyć: , ale nie możemy zacząć od odejmowania, ponieważ nie ustaliliśmy jeszcze, co.
Oczywiste jest, że zwiększenie liczby, a następnie zmniejszenie, oznacza ostatecznie zmniejszenie o trzy. Dlaczego nie wyznaczyć tego obiektu i nie liczyć w ten sposób: dodawanie oznacza odejmowanie. Następnie .
Liczba może oznaczać na przykład jabłko. Nowa liczba nie reprezentuje żadnej rzeczywistej wielkości. Samo w sobie nie oznacza niczego takiego jak litera Y. To po prostu nowe narzędzie ułatwiające obliczenia.
Nazwijmy nowe liczby negatywny. Teraz możemy odjąć większą liczbę od mniejszej. Technicznie rzecz biorąc, nadal musisz odjąć więcej mniej, ale wstaw znak minus w odpowiedzi: .
Spójrzmy na inny przykład: 
. Możesz wykonać wszystkie czynności z rzędu: .
Jednak łatwiej jest odjąć trzecią liczbę od pierwszej liczby, a następnie dodać drugą liczbę:
Liczby ujemne można zdefiniować w inny sposób.
Dla każdej liczby naturalnej np. wprowadzamy nową liczbę, którą oznaczamy i stwierdzamy, że ma ona następującą własność: suma liczby i jest równa : .
Nazwiemy liczbę ujemną, a liczby i - przeciwnie. W ten sposób otrzymaliśmy nieskończoną liczbę nowych liczb, na przykład:
Przeciwieństwo liczby;
Przeciwieństwo liczby;
Przeciwieństwo liczby; 
Przeciwieństwo liczby;
Odejmij większą liczbę od mniejszej: . Dodajmy do tego wyrażenia: . Mamy zero. Jednak zgodnie z własnością: liczbę, która dodaje zero do pięciu, oznaczamy minus pięć: . Dlatego wyrażenie można oznaczyć jako .
Każda liczba dodatnia ma liczbę bliźniaczą, która różni się tylko tym, że jest poprzedzona znakiem minus. Takie liczby nazywane są naprzeciwko(patrz ryc. 3).
Ryż. 3. Przykłady liczb przeciwnych
Właściwości liczb przeciwnych
1. Suma liczb przeciwnych wynosi zero: .
2. Jeśli odejmiesz liczbę dodatnią od zera, wynikiem będzie przeciwna liczba ujemna: .
1. Obie liczby mogą być dodatnie i już wiemy jak je dodać: .
2. Obie liczby mogą być ujemne.
Omówiliśmy już dodawanie takich liczb w poprzedniej lekcji, ale upewnijmy się, że wiemy, co z nimi zrobić. Na przykład: .
Aby znaleźć tę sumę, dodaj przeciwne liczby dodatnie i postaw znak minus.
3. Jedna liczba może być dodatnia, a druga ujemna.
Jeśli jest to dla nas wygodne, możemy zastąpić dodawanie liczby ujemnej odejmowaniem liczby dodatniej: .
Jeszcze jeden przykład: . Ponownie zapisujemy kwotę jako różnicę. Większą liczbę można odjąć od mniejszej, odejmując mniejszą liczbę od większej, ale używając znaku minus.
Możemy zamienić terminy: .
Inny podobny przykład: .
We wszystkich przypadkach wynikiem jest odejmowanie.
Aby pokrótce sformułować te zasady, przypomnijmy sobie jeszcze jedno określenie. Liczby przeciwne nie są oczywiście sobie równe. Ale byłoby dziwnie nie zauważyć tego, co ich łączy. Nazwaliśmy to powszechnym liczba modulo. Moduł liczb przeciwnych jest taki sam: dla liczby dodatniej jest równy samej liczbie, a dla liczby ujemnej jest równy wartości przeciwnej, dodatniej. Na przykład: , .
Aby dodać dwie liczby ujemne, należy dodać ich moduły i postawić znak minus:
Aby dodać liczbę ujemną i dodatnią, należy odjąć mniejszy moduł od większego i postawić znak liczby przy większym module:
Obie liczby są ujemne, dlatego dodajemy ich moduły i stawiamy znak minus:
Dwie liczby o różnych znakach zatem od modułu liczby (większego modułu) odejmujemy moduł liczby i stawiamy znak minus (znak liczby o większym module):
Dwie liczby o różnych znakach zatem od modułu liczby (większego modułu) odejmujemy moduł liczby i stawiamy znak minus (znak liczby o większym module): .
Dwie liczby o różnych znakach zatem od modułu liczby (większego modułu) odejmujemy moduł liczby i stawiamy znak plus (znak liczby o większym module): .
Liczby dodatnie i ujemne w przeszłości pełniły różne role.
Najpierw weszliśmy liczby całkowite do liczenia przedmiotów:
Następnie wprowadziliśmy inne liczby dodatnie - ułamki, do zliczania wielkości niecałkowitych, części: .
Liczby ujemne pojawiły się jako narzędzie ułatwiające obliczenia. To nie było tak, że w życiu istniały ilości, których nie mogliśmy policzyć, i wymyśliliśmy liczby ujemne.
Oznacza to, że liczby ujemne nie powstały w świecie rzeczywistym. Po prostu okazały się na tyle wygodne, że w niektórych miejscach znalazły zastosowanie w życiu. Często słyszymy na przykład o ujemnych temperaturach. Jednak nigdy nie spotykamy się z ujemną liczbą jabłek. Co za różnica?
Różnica polega na tym, że w życiu ilości ujemne służą tylko do porównania, a nie do ilości. Jeśli hotel ma piwnicę i jest tam zainstalowana winda, to w celu zachowania zwykłej numeracji zwykłych pięter może pojawić się minus pierwsze piętro. Ten pierwszy minus oznacza tylko jedno piętro poniżej poziomu gruntu (patrz rys. 1).
Ryż. 4. Minus pierwsze i minus drugie piętro
Temperatura ujemna jest ujemna tylko w porównaniu do zera, który wybrał autor skali, Anders Celsjusza. Istnieją inne skale i ta sama temperatura nie może już być tam ujemna.
Jednocześnie rozumiemy, że nie można zmienić punktu początkowego tak, aby nie było pięciu jabłek, ale sześć. Tak więc w życiu liczby dodatnie służą do określania ilości (jabłka, ciasto).
Używamy ich również zamiast imion. Każdemu telefonowi można nadać własną nazwę, ale liczba nazw jest ograniczona i nie ma numerów. Dlatego używamy numerów telefonów. Również do zamawiania (wiek następuje po stuleciu).
Liczby ujemne w życiu są używane w tym drugim znaczeniu (minus pierwsze piętro poniżej zera i pierwsze piętro)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. „Gimnazjum”, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. M.: Edukacja, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. M.: ZSz MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. M.: ZSz MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 Liceum. M.: Edukacja, Biblioteka Nauczyciela Matematyki, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube().
- School-asystent.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Praca domowa
W tej lekcji będziemy się uczyć dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, a także zasady ich dodawania i odejmowania.
Przypomnijmy, że liczby całkowite to liczby dodatnie i ujemne, a także liczba 0. Na przykład następujące liczby są liczbami całkowitymi:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Liczby dodatnie są łatwe i. Niestety tego samego nie można powiedzieć o liczbach ujemnych, które wielu początkujących mylą z minusami przed każdą liczbą. Jak pokazuje praktyka, błędy popełniane z powodu liczb ujemnych najbardziej frustrują uczniów.
Treść lekcjiPrzykłady dodawania i odejmowania liczb całkowitych
Pierwszą rzeczą, której powinieneś się nauczyć, jest dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych za pomocą linii współrzędnych. Nie jest wcale konieczne rysowanie linii współrzędnych. Wystarczy wyobrazić sobie to w myślach i zobaczyć, gdzie znajdują się liczby ujemne, a gdzie dodatnie.
Rozważmy najprostsze wyrażenie: 1 + 3. Wartość tego wyrażenia wynosi 4:
Ten przykład można zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść trzy kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się cyfra 4. Na rysunku widać, jak to się dzieje:
Znak plus w wyrażeniu 1 + 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.
Przykład 2. Znajdźmy wartość wyrażenia 1 - 3.
Wartość tego wyrażenia wynosi −2
Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść w lewo o trzy kroki. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna −2. Na zdjęciu widać jak to się dzieje:
Znak minus w wyrażeniu 1 - 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.
Ogólnie rzecz biorąc, należy pamiętać, że jeśli zostanie przeprowadzone dodawanie, należy przesunąć się w prawo w kierunku zwiększania. Jeśli przeprowadzane jest odejmowanie, należy przesunąć się w lewo w kierunku zmniejszania.
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 4
Wartość tego wyrażenia wynosi 2
Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna -2, musisz przejść cztery kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.
Można zauważyć, że przeszliśmy od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna -2 prawa strona cztery stopnie i skończyło się na punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.
Znak plus w wyrażeniu −2 + 4 mówi nam, że powinniśmy przesuwać się w prawo w kierunku rosnących liczb.
Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia -1 - 3
Wartość tego wyrażenia wynosi -4
Ten przykład można ponownie rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna −1, należy przejść o trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna -4
Można zauważyć, że przeszliśmy od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna -1 lewa strona trzy kroki i zakończyło się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna -4.
Znak minus w wyrażeniu −1 − 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.
Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 2
Wartość tego wyrażenia wynosi 0
Ten przykład można rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna -2, musisz przejść dwa kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się cyfra 0
Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna −2, przesunęliśmy się o dwa kroki w prawo i znaleźliśmy się w punkcie, w którym znajduje się liczba 0.
Znak plus w wyrażeniu −2 + 2 mówi nam, że powinniśmy przesuwać się w prawo w kierunku rosnących liczb.
Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych
Aby dodać lub odjąć liczby całkowite, nie trzeba za każdym razem wyobrażać sobie linii współrzędnych, a tym bardziej jej rysować. Wygodniej jest korzystać z gotowych reguł.
Stosując reguły, należy zwrócić uwagę na znak operacji i znaki liczb, które należy dodać lub odjąć. To określi, którą zasadę zastosować.
Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 5
Tutaj liczba dodatnia jest dodawana do liczby ujemnej. Innymi słowy, dodawane są liczby o różnych znakach. −2 jest liczbą ujemną, a 5 jest liczbą dodatnią. W takich przypadkach obowiązuje następująca zasada:
Aby dodać liczby o różnych znakach, należy odjąć mniejszy moduł od większego i przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak liczby, której moduł jest większy.
Zobaczmy więc, który moduł jest większy:
Moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby -2. Reguła wymaga odjęcia mniejszego modułu od większego. Dlatego musimy odjąć 2 od 5, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak liczby, której moduł jest większy.
Liczba 5 ma większy moduł, więc znak tej liczby będzie w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź będzie pozytywna:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Zwykle zapisywane krócej: −2 + 5 = 3
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 3 + (−2)
Tutaj, podobnie jak w poprzednim przykładzie, dodawane są liczby o różnych znakach. 3 jest liczbą dodatnią, a -2 jest liczbą ujemną. Zwróć uwagę, że −2 jest ujęte w nawiasy, aby wyrażenie było jaśniejsze. To wyrażenie jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia niż wyrażenie 3+−2.
Zastosujmy więc zasadę dodawania liczb o różnych znakach. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, od większego modułu odejmujemy mniejszy moduł i przed odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Moduł liczby 3 jest większy niż moduł liczby -2, więc od 3 odjęliśmy 2, a przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy. Liczba 3 ma większy moduł, dlatego w odpowiedzi uwzględniony jest znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.
Zwykle zapisywane krócej 3 + (-2) = 1
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia 3 - 7
W tym wyrażeniu większa liczba jest odejmowana od mniejszej liczby. W takim przypadku obowiązuje następująca zasada:
Aby odjąć większą liczbę od mniejszej, należy odjąć mniejszą liczbę od większej i umieścić minus przed wynikową odpowiedzią.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
W tym wyrażeniu jest niewielki haczyk. Pamiętajmy, że znak równości (=) stawia się pomiędzy wielkościami i wyrażeniami, gdy są one sobie równe.
Jak się dowiedzieliśmy, wartość wyrażenia 3 - 7 wynosi -4. Oznacza to, że wszelkie przekształcenia, które wykonamy w tym wyrażeniu, muszą być równe -4
Ale widzimy, że na drugim etapie istnieje wyrażenie 7 - 3, które nie jest równe -4.
Aby poprawić tę sytuację, należy umieścić wyrażenie 7 - 3 w nawiasie i postawić minus przed tym nawiasem:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
W takim przypadku równość będzie przestrzegana na każdym etapie:
Po obliczeniu wyrażenia nawiasy można usunąć, co też zrobiliśmy.
Aby być bardziej precyzyjnym, rozwiązanie powinno wyglądać następująco:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Regułę tę można zapisać za pomocą zmiennych. Będzie to wyglądać tak:
a - b = - (b - a)
Duża liczba nawiasów i znaków operacji może skomplikować rozwiązanie pozornie prostego problemu, dlatego lepiej jest nauczyć się pisać krótko takie przykłady, np. 3 - 7 = - 4.
W rzeczywistości dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych sprowadza się do niczego innego jak dodawania. Oznacza to, że jeśli chcesz odjąć liczby, operację tę można zastąpić dodawaniem.
Zapoznajmy się więc z nową zasadą:
Odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odejmowanej liczby przeciwnej do odejmowanej.
Rozważmy na przykład najprostsze wyrażenie 5 - 3. On początkowe etapy studiując matematykę, stawiamy znak równości i zapisujemy odpowiedź:
Ale teraz jesteśmy w trakcie studiów, więc musimy dostosować się do nowych zasad. Nowa zasada mówi, że odjęcie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odjemnej tej samej liczby, co odjęcie.
Spróbujmy zrozumieć tę regułę na przykładzie wyrażenia 5 - 3. Minuenda w tym wyrażeniu wynosi 5, a odejmowanie wynosi 3. Reguła mówi, że aby odjąć 3 od 5, należy dodać do 5 liczbę przeciwną 3. Przeciwieństwem liczby 3 jest −3 . Napiszmy nowe wyrażenie:
I już wiemy, jak znaleźć znaczenie takich wyrażeń. Jest to dodawanie liczb o różnych znakach, które sprawdziliśmy wcześniej. Aby dodać liczby o różnych znakach, odejmujemy mniejszy moduł od większego i przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby -3. Dlatego odjęliśmy 3 od 5 i otrzymaliśmy 2. Liczba 5 ma większy moduł, więc w odpowiedzi stawiamy znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.
Na początku nie każdy jest w stanie szybko zastąpić odejmowanie dodawaniem. Dzieje się tak, ponieważ liczby dodatnie są zapisywane bez znaku plus.
Na przykład w wyrażeniu 3 - 1 znak minus wskazujący na odejmowanie jest znakiem operacji i nie odnosi się do jednego. Jednostka w w tym przypadku jest liczbą dodatnią i ma swój własny znak plus, ale go nie widzimy, ponieważ plusa nie zapisuje się przed liczbami dodatnimi.
Dlatego dla jasności wyrażenie to można zapisać w następujący sposób:
(+3) − (+1)
Dla wygody liczby z własnymi znakami umieszczono w nawiasach. W tym przypadku zastąpienie odejmowania dodawaniem jest znacznie łatwiejsze.
W wyrażeniu (+3) − (+1) odejmowana liczba to (+1), a liczba przeciwna to (−1).
Zastąpmy odejmowanie dodawaniem i zamiast odejmowania (+1) napiszmy liczbę przeciwną (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Dalsze obliczenia nie będą trudne.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, jaki jest sens tych dodatkowych ruchów, jeśli możesz zastosować starą, dobrą metodę, postawić znak równości i od razu zapisać odpowiedź 2. Tak naprawdę ta zasada pomoże nam nie raz.
Rozwiążmy poprzedni przykład 3 - 7, korzystając z reguły odejmowania. Najpierw sprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy, przypisując każdej liczbie własne znaki.
Trzy ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią. Znak minus oznaczający odejmowanie nie dotyczy siódemki. Siedem ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią:
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Dalsze obliczenia nie są trudne:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia -4 - 5
Znów mamy operację odejmowania. Operację tę należy zastąpić dodawaniem. Do odejmowania (−4) dodajemy liczbę przeciwną do odejmowania (+5). Liczba przeciwna do odejmowania (+5) to liczba (-5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Doszliśmy do sytuacji, w której musimy dodać liczby ujemne. W takich przypadkach obowiązuje następująca zasada:
Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią.
Dodajmy więc moduły liczb, jak wymaga tego reguła, i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Wpis z modułami należy ująć w nawiasy, a przed tymi nawiasami należy umieścić znak minus. W ten sposób podamy minus, który powinien pojawić się przed odpowiedzią:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
lub jeszcze krócej:
−4 − 5 = −9
Przykład 8. Znajdź wartość wyrażenia -3 - 5 - 7 - 9
Doprowadźmy wyrażenie do jasnej formy. Tutaj wszystkie liczby z wyjątkiem -3 są dodatnie, więc będą miały znak plus:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Wszystkie minusy, z wyjątkiem minusa przed trójką, zmienią się na plusy, a wszystkie liczby dodatnie zmienią się na przeciwne:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Zastosujmy teraz zasadę dodawania liczb ujemnych. Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
lub jeszcze krócej:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Przykład 9. Znajdź wartość wyrażenia −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Doprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Są tu dwie operacje: dodawanie i odejmowanie. Dodawanie pozostawiamy bez zmian, a odejmowanie zastępujemy dodawaniem:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Obserwując, każdą akcję będziemy wykonywać po kolei, w oparciu o poznane wcześniej zasady. Wpisy z modułami można pominąć:
Pierwsza akcja:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Druga akcja:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Trzecia akcja:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Czwarta akcja:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Zatem wartość wyrażenia −10 + 6 − 15 + 11 − 7 wynosi −15
Notatka. Nie jest wcale konieczne doprowadzenie wyrażenia do zrozumiałej formy poprzez umieszczenie liczb w nawiasach. Kiedy nastąpi przyzwyczajenie do liczb ujemnych, ten krok można pominąć, ponieważ jest czasochłonny i może być mylący.
Aby więc dodawać i odejmować liczby całkowite, należy pamiętać o następujących zasadach:
Dołączć do naszego Nowa grupa VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
