Nazywa się następującą formułą całkowanie według wzoru na części w całce nieoznaczonej:

Aby zastosować wzór na całkowanie przez części, całkę należy podzielić na dwa czynniki. Jeden z nich jest oznaczony przez ty, a reszta odnosi się do drugiego czynnika i jest oznaczona przez dw. Następnie przez różniczkowanie znajdujemy du i integracja - funkcja w. Jednocześnie za ty dw- taka część całki, którą można łatwo zintegrować.

Kiedy warto zastosować metodę całkowania przez części? Wtedy, kiedy całka zawiera :

1) - funkcje logarytmiczne i odwrotne funkcje trygonometryczne(z przedrostkiem „arc”), wówczas bazując na wieloletnim doświadczeniu całkowania przez części, funkcje te oznaczamy przez ty;

2) , , - sinus, cosinus i wykładnik pomnożone przez P(X) jest dowolnym wielomianem w x, wówczas funkcje te są oznaczone przez dw, i wielomian jest skończony ty;

3) , , , , w tym przypadku całkowanie przez części stosuje się dwukrotnie.

Wyjaśnijmy wartość metody całkowania przez części na przykładzie pierwszego przypadku. Niech wyrażenie pod znakiem całki zawiera funkcję logarytmiczną (będzie to przykład 1). Stosując całkowanie przez części, całka taka sprowadza się do obliczenia całki tylko z funkcji algebraicznych (najczęściej wielomianu), czyli nie zawierających logarytmicznej lub odwrotnej funkcji trygonometrycznej. Korzystając ze wzoru całkowania przez części podanego na samym początku lekcji

w pierwszym członie (bez całki) otrzymujemy funkcję logarytmiczną, a w drugim członie (pod znakiem całki) funkcję nie zawierającą logarytmu. Całka funkcji algebraicznej jest znacznie prostsza niż całka pod znakiem, którą można znaleźć osobno lub razem czynnik algebraiczny logarytmiczna lub odwrotna funkcja trygonometryczna.

Zatem używając Całkowanie według wzorów na części całkowanie nie odbywa się od razu: znalezienie danej całki sprowadza się do znalezienia innej. Znaczenie wzoru na całkowanie przez części jest takie, że w wyniku jego zastosowania nowa całka okazuje się tabelaryczna lub przynajmniej staje się prostsza od pierwotnej.

Metoda całkowania przez części opiera się na zastosowaniu wzoru na różniczkowanie iloczynu dwóch funkcji:

wówczas można to zapisać w postaci

co było podane na samym początku lekcji.

Podczas znajdowania poprzez całkowanie funkcji w dla niego istnieje nieskończony zbiór funkcje pierwotne. Aby zastosować wzór na całkowanie przez części, możesz wziąć dowolny z nich, a zatem ten, który odpowiada dowolnej stałej Z, równy zeru. Dlatego przy znajdywaniu funkcji w dowolna stała Z nie należy wprowadzać.

Metoda całkowania przez części ma bardzo szczególne zastosowanie: można z niej wyprowadzać wzory rekurencyjne w celu znalezienia funkcji pierwotnych, gdy konieczne jest zmniejszenie stopnia funkcji pod znakiem całki. Zmniejszenie stopnia jest konieczne, gdy nie ma całek tabelarycznych dla np. funkcji takich jak sinus i cosinus do potęg większych niż druga i ich iloczyny. Formuła cykliczna to formuła umożliwiająca znalezienie kolejnego elementu ciągu poprzez element poprzedni. We wskazanych przypadkach cel osiąga się poprzez sukcesywne obniżanie stopnia. Jeśli więc całka jest sinusem do czwartej potęgi x, to całkując przez części, można znaleźć wzór na całkę sinusa do trzeciej potęgi i tak dalej. Ostatni akapit tej lekcji poświęcony jest opisanemu zadaniu.

Stosowanie całkowania przez części razem

Przykład 1. Znajdź całkę nieoznaczoną metodą całkowania przez części:

Rozwiązanie. W wyrażeniu całkowym - logarytm, który, jak już wiemy, można rozsądnie oznaczyć przez ty. Wierzymy, że , .

Znajdujemy (jak już wspomniano w objaśnieniu odniesienia teoretycznego, od razu otrzymujemy funkcję logarytmiczną w pierwszym członie (bez całki), a funkcję niezawierającą logarytmu w drugim członie (pod znakiem całki):

I znowu logarytm...

Przykład 2. Znajdź całkę nieoznaczoną:

Rozwiązanie. Pozwalać , .

Logarytm jest obecny w kwadracie. Oznacza to, że należy ją różniczkować jako funkcję złożoną. Znaleźliśmy
,
.

Ponownie znajdujemy drugą całkę przez części i uzyskujemy wspomnianą już zaletę (w pierwszym członie (bez całki) jest funkcja logarytmiczna, a w drugim członie (pod znakiem całki) jest funkcja, która nie zawiera logarytm).

Znajdujemy całkę pierwotną:

Przykład 3.

Rozwiązanie. Arcustangens, podobnie jak logarytm, jest lepiej oznaczony przez ty. Więc pozwól , .

Następnie ,
.

Stosując wzór na całkowanie przez części, otrzymujemy:

Drugą całkę znajdujemy zmieniając zmienną.

Wracając do zmiennej X, otrzymujemy

.

Znajdujemy całkę pierwotną:

.

Przykład 4. Znajdź całkę nieoznaczoną metodą całkowania przez części:

Rozwiązanie. Lepiej jest oznaczyć wykładnik przez dw. Całkę podzieliliśmy na dwa czynniki. Wierząc w to

Przykład 5. Znajdź całkę nieoznaczoną metodą całkowania przez części:

.

Rozwiązanie. Pozwalać , . Następnie , .

Korzystając ze wzoru całkowania przez części (1), znajdujemy:

Przykład 6. Znajdź całkę nieoznaczoną poprzez całkowanie przez części:

Rozwiązanie. Sinus, podobnie jak wykładniczy, można wygodnie oznaczyć przez dw. Pozwalać , .

Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części znajdujemy:

Ponownie stosujemy całkowanie przez części

Przykład 10. Znajdź całkę nieoznaczoną poprzez całkowanie przez części:

.

Rozwiązanie. Jak we wszystkich podobnych przypadkach, wygodnie jest oznaczyć cosinus przez dw. Oznaczamy , .

Następnie , .

Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części, otrzymujemy:

Całkowanie przez części stosujemy także do drugiego członu. Oznaczamy , .

Korzystając z tych oznaczeń, całkujemy wspomniany termin:

Teraz znajdujemy wymaganą całkę:

Wśród całek, które można rozwiązać metodą całkowania przez części, znajdują się także takie, które nie mieszczą się w żadnej z trzech wymienionych w części teoretycznej grup, dla których, jak wiadomo z praktyki, lepiej jest oznaczać przez ty i przez co dw. Dlatego w takich przypadkach należy wziąć pod uwagę wygodę, podaną również w akapicie „Istota metody całkowania przez części”: dla ty należy wziąć część całki, która nie staje się znacznie bardziej skomplikowana podczas różniczkowania, ale dw- taka część całki, którą można łatwo zintegrować. Ostatnim przykładem tej lekcji jest rozwiązanie właśnie takiej całki.

Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań

Witam ponownie. Dzisiaj na lekcji nauczymy się całkować przez części. Metoda całkowania przez części jest jednym z kamieni węgielnych rachunku całkowego. Podczas testów lub egzaminów uczniowie prawie zawsze proszeni są o rozwiązanie następujących typów całek: całka najprostsza (zobacz artykuł) lub całkę poprzez zastąpienie zmiennej (zobacz artykuł) lub całka jest właśnie włączona całkowanie metodą części.

Jak zawsze warto mieć pod ręką: Tabela całek I Tabela instrumentów pochodnych. Jeśli nadal ich nie masz, odwiedź magazyn na mojej stronie internetowej: Wzory i tablice matematyczne. Nie będę się męczył z powtarzaniem – lepiej wszystko wydrukować. Postaram się przedstawić cały materiał spójnie, prosto i przejrzyście, nie ma szczególnych trudności w łączeniu poszczególnych części.

Jaki problem rozwiązuje metoda całkowania przez części? Metoda całkowania przez części rozwiązuje bardzo ważny problem, pozwala na całkowanie niektórych funkcji, których nie ma w tabeli, praca funkcje, a w niektórych przypadkach nawet ilorazy. Jak pamiętamy, nie ma wygodnej formuły: . Ale jest taki: – wzór na całkowanie przez części osobiście. Wiem, wiem, jesteś tą jedyną - będziemy z nią pracować przez całą lekcję (teraz jest to łatwiejsze).

I od razu lista do studia. Całki następujących typów są brane przez części:

1) , , – logarytm, logarytm pomnożony przez jakiś wielomian.

2) ,jest funkcją wykładniczą pomnożoną przez jakiś wielomian. Obejmuje to również całki takie jak - funkcja wykładnicza, pomnożony przez wielomian, ale w praktyce procent wynosi 97, pod całką znajduje się ładna litera „e”. ... artykuł okazuje się nieco liryczny, o tak ... nadeszła wiosna.

3) , , są funkcjami trygonometrycznymi pomnożonymi przez jakiś wielomian.

4) , – odwrotne funkcje trygonometryczne („łuki”), „łuki” pomnożone przez jakiś wielomian.

Niektóre ułamki są również brane w części, szczegółowo rozważymy również odpowiednie przykłady.

Całki logarytmów

Przykład 1

Klasyczny. Od czasu do czasu tę całkę można znaleźć w tabelach, ale nie zaleca się korzystania z gotowej odpowiedzi, ponieważ nauczyciel ma wiosenny niedobór witamin i będzie mocno przeklinać. Ponieważ rozważana całka nie jest w żadnym wypadku tabelaryczna - jest rozpatrywana w częściach. My decydujemy:

Przerywamy rozwiązanie w celu uzyskania wyjaśnień pośrednich.

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

Formułę stosuje się od lewej do prawej

Patrzymy na lewą stronę: . Oczywiście w naszym przykładzie (i we wszystkich innych, które rozważymy) coś musi być oznaczone jako , a coś jako .

W całkach rozważanego typu zawsze oznacza się logarytm.

Technicznie projekt rozwiązania jest realizowany w następujący sposób; w kolumnie piszemy:

Oznacza to, że logarytm oznaczyliśmy przez i przez - pozostała część wyrażenie całkowe.

Następny etap: znajdź różnicę:

Różniczka to prawie to samo co pochodna; o tym, jak ją znaleźć, rozmawialiśmy już w poprzednich lekcjach.

Teraz znajdujemy funkcję. Aby znaleźć funkcję, musisz ją zintegrować prawa strona niższa równość:

Teraz otwieramy nasze rozwiązanie i konstruujemy prawą stronę wzoru: .
Nawiasem mówiąc, oto próbka ostatecznego rozwiązania z kilkoma uwagami:

Jedynym punktem w pracy jest to, że natychmiast zamieniłem i , ponieważ zwyczajowo zapisuje się współczynnik przed logarytmem.

Jak widać, zastosowanie wzoru na całkowanie przez części zasadniczo ograniczyło nasze rozwiązanie do dwóch prostych całek.

Należy o tym pamiętać w niektórych przypadkach zaraz po stosując wzór, koniecznie należy przeprowadzić uproszczenie pod pozostałą całką - w rozważanym przykładzie zredukowaliśmy całkę do „x”.

Sprawdźmy. Aby to zrobić, musisz wziąć pochodną odpowiedzi:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że ​​całka została rozwiązana poprawnie.

Podczas testu wykorzystaliśmy regułę różnicowania produktów: . I to nie jest przypadek.

Wzór na całkowanie przez części i formuła – to dwie wzajemnie odwrotne zasady.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całka jest iloczynem logarytmu i wielomianu.
Zdecydujmy.

Jeszcze raz szczegółowo opiszę procedurę stosowania reguły, w przyszłości przykłady zostaną przedstawione w skrócie, a jeśli będziesz miał trudności z samodzielnym rozwiązaniem, musisz wrócić do pierwszych dwóch przykładów z lekcji .

Jak już wspomniano, konieczne jest oznaczenie logarytmu (to, że jest to potęga, nie ma znaczenia). Oznaczamy przez pozostała część wyrażenie całkowe.

W kolumnie piszemy:

Najpierw znajdujemy różnicę:

Tutaj korzystamy z reguły różniczkowania złożona funkcja . To nie przypadek, że już na pierwszej lekcji tego tematu Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań Skupiłem się na tym, że aby opanować całki, trzeba „dotrzeć” do pochodnych. Będziesz musiał mieć do czynienia z instrumentami pochodnymi więcej niż raz.

Teraz znajdujemy funkcję, w tym celu całkujemy prawa strona niższa równość:

Do integracji wykorzystaliśmy najprostszą formułę tabelaryczną

Teraz wszystko jest gotowe do zastosowania formuły . Otwórz gwiazdką i „skonstruuj” rozwiązanie zgodnie z prawą stroną:

Pod całką znowu mamy wielomian logarytmu! Zatem rozwiązanie zostaje ponownie przerwane i zasada całkowania przez części stosowana jest po raz drugi. Nie zapominaj, że w podobnych sytuacjach zawsze oznacza się logarytm.

Byłoby dobrze, gdyby w tym momencie Potrafiłeś ustnie znaleźć najprostsze całki i pochodne.

(1) Nie daj się zwieść znakom! Bardzo często gubi się tutaj minus, należy również pamiętać, że minus odnosi się do do wszystkich nawias , a nawiasy te należy poprawnie rozwinąć.

(2) Otwórz wsporniki. Upraszczamy ostatnią całkę.

(3) Bierzemy ostatnią całkę.

(4) „Łączenie” odpowiedzi.

Konieczność zastosowania reguły całkowania przez części dwukrotnie (a nawet trzykrotnie) nie pojawia się rzadko.

A teraz kilka przykładów dla niezależna decyzja:

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ten przykład rozwiązuje się poprzez zmianę zmiennej (lub podstawienie jej pod znakiem różniczkowym)! Czemu nie – możesz spróbować rozłożyć to na części, wyjdzie zabawnie.

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ale ta całka jest całkowana przez części (obiecany ułamek).

Są to przykłady do samodzielnego rozwiązania, rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Wydaje się, że w przykładach 3 i 4 całki są podobne, ale metody rozwiązywania są różne! To jest główna trudność w opanowaniu całki - jeśli wybierzesz złą metodę rozwiązania całki, możesz majstrować przy niej godzinami, jak przy prawdziwej łamigłówce. Dlatego im więcej rozwiążesz różnych całek, tym lepiej, tym łatwiejszy będzie test i egzamin. Ponadto w drugim roku będzie równania różniczkowe, a bez doświadczenia w rozwiązywaniu całek i pochodnych nie ma tam nic do zrobienia.

Jeśli chodzi o logarytmy, to prawdopodobnie więcej niż wystarczy. Na początek pamiętam też, że studenci inżynierii nazywają logarytmy kobieca pierś=). Nawiasem mówiąc, warto znać na pamięć wykresy głównych funkcji elementarnych: sinus, cosinus, arcus tangens, wykładnik, wielomiany trzeciego, czwartego stopnia itp. Nie, oczywiście, prezerwatywa na świecie
Nie będę tego rozciągać, ale teraz wiele zapamiętasz z tej sekcji Wykresy i funkcje =).

Całki wykładnicze pomnożone przez wielomian

Główna zasada:

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Używając znanego algorytmu, całkujemy przez części:

Jeśli masz trudności z całką, powinieneś wrócić do artykułu Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Jedyne, co możesz zrobić, to poprawić odpowiedź:

Ale jeśli twoja technika obliczeń nie jest zbyt dobra, najbardziej opłacalną opcją jest pozostawienie jej jako odpowiedzi lub nawet

Oznacza to, że przykład uważa się za rozwiązany, gdy zostanie wzięta ostatnia całka. To nie będzie błąd, inną sprawą jest to, że nauczyciel może poprosić Cię o uproszczenie odpowiedzi.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Całka ta jest całkowana dwukrotnie przez części. Specjalna uwaga należy zwracać uwagę na znaki - łatwo się w nich pomylić, pamiętamy też, że jest to funkcja złożona.

O wystawcy nie ma nic więcej do powiedzenia. Dodam tylko, że wystawca i naturalny logarytm funkcje wzajemne, to ja w temacie zabawnych wykresów wyższa matematyka=) Przestań, przestań, nie martw się, wykładowca jest trzeźwy.

Całki funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: for zawsze oznacza wielomian

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Całkujmy przez części:

Hmmm... i nie ma co komentować.

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz sam rozwiązać

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

Inny przykład z ułamkiem. Podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach, for oznacza wielomian.

Całkujmy przez części:

W przypadku trudności lub nieporozumień ze znalezieniem całki, polecam przybycie na lekcję Całki funkcji trygonometrycznych.

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wskazówka: Przed skorzystaniem z metody całkowania przez części warto zastosować wzór trygonometryczny, który zamienia iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych w jedną funkcję. Ze wzoru można skorzystać także przy zastosowaniu metody całkowania przez części, w zależności od tego, co jest dla Państwa wygodniejsze.

To chyba wszystko w tym akapicie. Z jakiegoś powodu przypomniał mi się wers z hymnu o fizyce i matematyce: „A wykres sinusoidalny biegnie fala za falą wzdłuż osi odciętych”….

Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Całki odwrotnych funkcji trygonometrycznych pomnożone przez wielomian

Główna zasada: zawsze oznacza odwrotną funkcję trygonometryczną.

Przypomnę, że odwrotne funkcje trygonometryczne obejmują arcsinus, arcuscosinus, arcus tangens i arccotangens. Dla zwięzłości opisu będę je nazywać „łukami”

Szczegółowo rozważono przykłady rozwiązań całek przez części, których całka zawiera logarytm, arcsinus, arcus tangens, a także logarytm do potęgi całkowitej i logarytm wielomianu.

Wzór na całkowanie przez części

Poniżej przy rozwiązywaniu przykładów stosowana jest formuła całkowania przez części:
;
.

Przykłady całek zawierających logarytmy i odwrotne funkcje trygonometryczne

Oto przykłady całek całkowanych przez części:
, , , , , , .

Podczas całkowania ta część całki, która zawiera logarytm lub odwrotną funkcję trygonometryczną, jest oznaczona przez u, reszta przez dv.

Poniżej znajdują się przykłady ze szczegółowymi rozwiązaniami tych całek.

Prosty przykład z logarytmem

Obliczmy całkę zawierającą iloczyn wielomianu i logarytmu:

Rozwiązanie

Tutaj całka zawiera logarytm. Dokonywanie zastępstw
ty = w x, dv = x 2 dx . Następnie
,
.

Całkujmy przez części.
.

.
Następnie
.
Na koniec obliczeń dodaj stałą C.

Odpowiedź

Przykład logarytmu do potęgi 2

Rozważmy przykład, w którym podcałka uwzględnia logarytm do potęgi całkowitej. Takie całki można także całkować przez części.

Rozwiązanie

Dokonywanie zastępstw
ty = (lx) 2, dv = x dx . Następnie
,
.

Obliczamy również pozostałą całkę przez części:
.
Zastąpmy
.

Odpowiedź

Przykład, w którym argumentem logarytm jest wielomian

Całki można obliczać za pomocą części, których całka zawiera logarytm, którego argumentem jest funkcja wielomianowa, wymierna lub niewymierna. Jako przykład obliczmy całkę za pomocą logarytmu, którego argumentem jest wielomian.
.

Rozwiązanie

Dokonywanie zastępstw
ty = ln(x 2 - 1), dv = x dx .
Następnie
,
.

Obliczamy pozostałą całkę:
.
Nie zapisujemy tutaj znaku modułu ln | x 2 - 1|, ponieważ całka jest zdefiniowana w x 2 - 1 > 0 . Zastąpmy
.

Odpowiedź

Przykład Arcsine’a

Rozważmy przykład całki, której całka zawiera arcsinus.
.

Rozwiązanie

Dokonywanie zastępstw
ty = Arcsin x,
.
Następnie
,
.

Następnie zauważamy, że całka jest zdefiniowana dla |x|< 1 . Rozwińmy znak modułu pod logarytmem, biorąc to pod uwagę 1 - x > 0 I 1 + x > 0.

Odpowiedź

Przykład stycznej łuku

Rozwiążmy przykład za pomocą arcus tangens:
.

Rozwiązanie

Całkujmy przez części.
.
Wybierzmy całą część ułamka:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Zintegrujmy:
.
Wreszcie mamy:
.

Odpowiedź

Kolejny przykład z arcsine

Rozwiąż całkę:
.

Rozwiązanie

Całkujmy przez części.
.

Obliczamy pozostałą całkę. O godzinie x > 0 mamy:
.
.
.

O godzinie x < 0 dokonajmy podstawienia x = - t, t > 0 :
.

Wreszcie mamy.

Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań

Rozwiązanie.

Np.

Oblicz całkę:

Korzystając z właściwości całki (liniowości), ᴛ.ᴇ. , sprowadzamy to do całki tabelarycznej i otrzymujemy to

Witam ponownie. Dzisiaj na lekcji nauczymy się całkować przez części. Metoda całkowania przez części jest jednym z kamieni węgielnych obliczeń całkowych. Podczas testów lub egzaminów uczniowie prawie zawsze proszeni są o rozwiązanie następujących typów całek: całka najprostsza (zobacz artykułCałka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań ) lub całkę poprzez zastąpienie zmiennej (zobacz artykułMetoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej ) lub całka jest właśnie włączona całkowanie metodą części.

Jak zawsze warto mieć pod ręką: Tabela całek I Tabela instrumentów pochodnych. Jeśli jeszcze ich nie masz to zapraszam do magazynu na mojej stronie: Wzory i tablice matematyczne. Nie będę się męczył z powtarzaniem – lepiej wszystko wydrukować. Postaram się przedstawić cały materiał spójnie, prosto i przejrzyście, nie ma szczególnych trudności w łączeniu poszczególnych części.

Jaki problem rozwiązuje metoda całkowania przez części? Metoda całkowania przez części rozwiązuje bardzo ważny problem, pozwala na całkowanie niektórych funkcji, których nie ma w tabeli, praca funkcje, a w niektórych przypadkach nawet ilorazy. Jak pamiętamy, nie ma wygodnej formuły: . Ale jest coś takiego: - wzór na całkowanie przez części osobiście. Wiem, wiem, jesteś tą jedyną - będziemy z nią pracować przez całą lekcję (teraz jest to łatwiejsze).

I od razu lista do studia. Całki następujących typów są brane przez części:

1) , – logarytm, logarytm pomnożony przez jakiś wielomian.

2) , jest funkcją wykładniczą pomnożoną przez jakiś wielomian. Do tego zaliczają się także całki takie jak - funkcja wykładnicza pomnożona przez wielomian, ale w praktyce jest to 97 procent, pod całką jest ładna litera ʼʼеʼʼ. ... artykuł okazuje się nieco liryczny, o tak ... nadeszła wiosna.

3) , – funkcje trygonometryczne pomnożone przez jakiś wielomian.

4) - odwrotne funkcje trygonometryczne („łuki”), „łuki” pomnożone przez jakiś wielomian.

Niektóre ułamki są również brane w części, szczegółowo rozważymy również odpowiednie przykłady.

Przykład 1

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Klasyczny. Od czasu do czasu tę całkę można znaleźć w tabelach, ale nie zaleca się korzystania z gotowej odpowiedzi, ponieważ nauczyciel ma wiosenny niedobór witamin i będzie mocno przeklinać. Ponieważ rozważana całka nie jest w żadnym wypadku tabelaryczna - jest rozpatrywana w częściach. My decydujemy:

Przerywamy rozwiązanie w celu uzyskania wyjaśnień pośrednich.

Korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części:

Całki logarytmiczne - pojęcie i rodzaje. Klasyfikacja i cechy kategorii „Całki logarytmów” 2017, 2018.