Wzór Newtona - Leibniza
Główne twierdzenie analizy lub Wzór Newtona-Leibniza podaje związek między dwiema operacjami: wzięciem całki oznaczonej i obliczeniem funkcji pierwotnej
Sformułowanie
Rozważ całkę funkcji tak = f(x) począwszy od stała liczba a do liczby x, którą rozważymy jako zmienną. Całkę zapisujemy w postaci:
Ten typ całki nazywa się całką ze zmienną górną granicą. Korzystając z twierdzenia całkowego średniej w określonym, łatwo wykazać, że podana funkcja ciągły i różniczkowalny. A także pochodna tej funkcji w punkcie x jest równa samej funkcji całkowalnej. Z tego wynika, że każdy funkcja ciągła ma funkcję pierwotną w postaci kwadratury: . A ponieważ klasa funkcji pierwotnych funkcji f różni się o stałą, łatwo wykazać, że: całka oznaczona funkcji f jest równa różnicy między wartościami funkcji pierwotnych w punktach b i a
Fundacja Wikimedia. 2010 .
- Wzór na całkowite prawdopodobieństwo
- Wzór Rayleigha-Jeans
Zobacz, czym jest „formuła Newtona-Leibniza” w innych słownikach:
Wzór Newtona-Leibniza- Główne twierdzenie analizy lub wzór Newtona Leibniza podaje związek między dwiema operacjami: wzięciem całki oznaczonej i obliczeniem pierwotnej formuły Rozważ całkę funkcji y \u003d f (x) w zakresie od stałej liczby a do ... . .. Wikipedia
Formuła skończonego przyrostu- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Twierdzenie Lagrange'a. Formuła skończonego przyrostu lub twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej stwierdza, że jeśli funkcja jest ciągła na segmencie i ... Wikipedia
Formuła Stokesa- Twierdzenie Stokesa jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii różniczkowej i Analiza matematyczna na integracji form różniczkowych, który uogólnia kilka twierdzeń analizy. Nazwany na cześć JG Stokesa. Spis treści 1 Ogólne sformułowanie 2 ... ... Wikipedia
NEWTON - FORMUŁA LEIBNIZA- formuła wyrażająca wartość całki oznaczonej danej funkcji f przez odcinek jako różnicę wartości na końcach odcinka dowolnej pochodnej F tej funkcji, nazwana na cześć I. Newtona i G. Leibniza, ponieważ zasada … … Encyklopedia matematyczna
FORMUŁA NEWTONA-LEIBNIZA- podstawowy wzór rachunku całkowego. Wyraża związek między całką oznaczoną funkcji f (x) a dowolną z jej funkcji pierwotnych F (x) ... Wielki słownik encyklopedyczny
Wzór Leibniza- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Lista obiektów nazwanych imieniem Leibniza. Termin ten ma inne znaczenia, patrz formuła Leibniza (znaczenia). Formuła Leibniza w rachunku całkowym jest regułą ... ... Wikipedia
Wzór Newtona-Leibniza- Wzór Newtona Leibniza, podstawowy wzór rachunku całkowego. Wyraża związek między całką oznaczoną funkcji f(x) a dowolną z jej funkcji pierwotnych F(x). . * * * FORMUŁA NEWTONA LEIBNIZA FORMUŁA NEWTONA LEIBNIZA, formuła podstawowa ... ... słownik encyklopedyczny
Formuła prostokąta
Formuła trapezowa - Określona całka jako obszar figury Całkowanie numeryczne ( historyczna nazwa: kwadratura) obliczenie wartości całki oznaczonej (zwykle przybliżonej), na podstawie faktu, że wartość całki jest liczbowo równa powierzchni ... ... Wikipedia
Twierdzenie Newtona- Wzór Newtona Leibniza, czyli główne twierdzenie analizy, podaje związek między dwiema operacjami: wzięciem całki oznaczonej i obliczeniem funkcji pierwotnej. Jeśli jest ciągła w segmencie i jego dowolna pierwotna w tym segmencie, to ma ... Wikipedia
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz dla siebie konto ( rachunek) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Całka. Wzór Newtona-Leibniza. kompilator: nauczyciel matematyki GOUNPO PU nr 27 p. Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna
Cel zajęć: Wprowadzenie pojęcia całki i jej obliczania za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, wykorzystując wiedzę o funkcji pierwotnej i zasadach jej obliczania; Zilustruj praktyczne zastosowanie całki przykładami znajdowania obszaru trapezu krzywoliniowego; Wzmocnij to, czego nauczyłeś się poprzez ćwiczenia.
Definicja: Niech będzie dana dodatnia funkcja f(x), zdefiniowana na skończonym odcinku [ a;b ] . Całką funkcji f(x) na [ a;b ] jest pole jej trapezu krzywoliniowego. y=f(x) b a 0 x y
Oznaczenie: „całka od a do b ef od x de x”
Odniesienie do historii: Leibniz wyprowadził notację całki z pierwszej litery słowa „Summa” (Summa). Newton w swoich pracach nie oferował alternatywnej symboliki całki, chociaż próbował różne opcje. Termin całka został ukuty przez Jacoba Bernoulliego. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli
Notację całki nieoznaczonej wprowadził Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier wynalazł sformułowanie całki oznaczonej w postaci, do której jesteśmy przyzwyczajeni.
Wzór Newtona - Leibniza
Przykład 1. Oblicz całkę oznaczoną: = Rozwiązanie:
Przykład 2. Oblicz całe całki oznaczone: 5 9 1
Przykład 3 . S y x Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osią x. Najpierw znajdźmy punkty przecięcia osi x z wykresem funkcji. Aby to zrobić, rozwiążemy równanie. = Rozwiązanie: S =
yx S A B D C Przykład 4 . Oblicz obszar figury ograniczony liniami i znajdź punkty przecięcia (odcięta) tych linii, rozwiązując równanie S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5
RULES OF SINQWINE 1 linia - temat syncwine 1 słowo 2 linia - 2 przymiotniki opisujące cechy i właściwości tematu 3 linia - 3 czasowniki opisujące charakter działania 4 linia - krótkie zdanie 4 słów pokazujące Twój osobisty stosunek do temat 5 wiersz - 1 słowo, synonim lub Twoje powiązanie z tematem tematu .
Całka 2. Określona, dodatnia Policz, dodaj, pomnóż 4. Oblicz ze wzoru Newtona-Leibniza 5. Pole
Lista wykorzystanej literatury: podręcznik Kolmagorov A.N. i inne Algebra i początek analizy 10 - 11 komórek.
Dziękuję za uwagę! „TALENT to 99% pracy i 1% zdolności” ludowa mądrość
Przykład 1. Oblicz całkę oznaczoną: = Rozwiązanie: przykład 4
Zapowiedź:
Temat: matematyka (algebra i początek analizy), ocena: klasa 11.
Temat lekcji: "Całka. Wzór Newtona-Leibniza.
Rodzaj lekcji: Nauka nowego materiału.
Czas trwania lekcji: 45 minut.
Cele Lekcji: wprowadzić pojęcie całki i jej obliczania za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, wykorzystując wiedzę o funkcji pierwotnej i zasadach jej obliczania; zilustrują praktyczne zastosowanie całki na przykładach znajdowania obszaru trapezu krzywoliniowego; wzmocnij to, czego nauczyłeś się podczas ćwiczeń.
Cele Lekcji:
Edukacyjny:
- tworzą pojęcie całki;
- kształtowanie umiejętności obliczania całki oznaczonej;
- kształtowanie umiejętności praktyczne zastosowanie integralna, aby znaleźć obszar trapezu krzywoliniowego.
Rozwijanie:
- rozwój zainteresowań poznawczych uczniów, rozwijanie mowy matematycznej, umiejętność obserwacji, porównywania, wyciągania wniosków;
- rozwijać zainteresowanie tematem za pomocą technologii informacyjno-komunikacyjnych.
Edukacyjny:
- zintensyfikować zainteresowanie zdobywaniem nowej wiedzy, kształtowaniem dokładności i dokładności w obliczaniu całki i wykonywaniu rysunków.
Ekwipunek: komputer, system operacyjny Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; projektor multimedialny, ekran.
Literatura: podręcznik Kolmagorova A.N. i inne Algebra i początek analizy 10-11 komórek.
Technologie: ICT, indywidualna nauka.
PODCZAS ZAJĘĆ
Etap lekcji | Aktywność nauczyciela | Zajęcia studenckie | Czas |
|
Wstęp | ||||
Organizowanie czasu | Pozdrawia, sprawdza gotowość uczniów do lekcji, porządkuje uwagę. Podaje podsumowanie. | Posłuchaj, zapisz datę. | 3 minuty |
|
Zgłaszanie tematu i celów lekcji | Aktualizacja podstawowej wiedzy i subiektywnego doświadczenia z dostępem do celów lekcji. | Posłuchaj, zapisz temat lekcji w zeszycie.Aktywnie zaangażowany w aktywność umysłową. Analizuj, porównuj, wyciągaj wnioski z dostępem do celów lekcji. | Prezentacja ICT 3 minuty |
|
Główna część lekcji Prezentacja nowego materiału z zaliczonym sprawdzianem znajomości tematów z przeszłości. | ||||
Definicja całki (slajd 3) | Podaje definicję. ICT Czym jest trapez krzywoliniowy? | Figura ograniczona wykresem funkcji, segmentem i liniami prostymi x=a i x=b. | 10 minut |
|
Notacja całkowa (slajd 4) | Wprowadza notację całki i sposób jej odczytywania. | Słuchaj pisz. | ||
Historia całki (slajdy 5 i 6) | Opowiada historię terminu „całka”. | Słuchaj, rób notatki. | ||
Wzór Newtona-Leibniza (slajd 7) | Daje wzór Newtona-Leibniza. Co oznacza F w formule? | Słuchaj, rób notatki, odpowiadaj na pytania nauczyciela. Prymitywny. | ||
Ostatnia część lekcji. | ||||
Mocowanie materiału. Rozwiązywanie przykładów z wykorzystaniem badanego materiału | ||||
Przykład 1 (slajd 8) | Analizuje rozwiązanie przykładu, zadając pytania dotyczące znajdowania funkcji pierwotnych dla całków. | Słuchaj, zapisuj, wykaż się znajomością tabeli składników pierwotnych. | 20 minut |
|
Przykład 2 (slajd 9). Przykłady dla niezależna decyzja studenci. | Kontroluje rozwiązanie przykładów. | Wykonaj zadanie po kolei, komentując (indywidualna technologia uczenia się), słuchajcie się nawzajem, spisujcie, wykażcie się znajomością tematów z przeszłości. | ||
Przykład 3 (slajd 10) | Analizuje rozwiązanie przykładu. Jak znaleźć punkty przecięcia osi odciętej z wykresem funkcji? | Słuchaj, odpowiadaj na pytania, wykaż się znajomością tematów z przeszłości, zapisuj. Zrównaj całkę do 0 i rozwiąż równanie. | ||
Przykład 4 (slajd 11) | Analizuje rozwiązanie przykładu. Jak znaleźć punkty przecięcia (odcięta) wykresów funkcji? Określ typ trójkąta ABC. Jaka jest powierzchnia trójkąta prostokątnego? | Słuchaj, odpowiadaj na pytania. Zrównaj ze sobą funkcje i rozwiąż otrzymane równanie. Prostokątny. gdzie aib to odnogi trójkąta prostokątnego. | ||
Podsumowanie lekcji (slajdy 12 i 13) | Organizuje prace nad kompilacją syncwine. | Weź udział w kompilacji syncwine. Analizuj, porównuj, wyciągaj wnioski na ten temat. | 5 minut. |
|
Praca domowa według poziomu trudności. | Daje pracę domową i wyjaśnia. | Słuchaj pisz. | 1 minuta. |
|
Ocena pracy uczniów na lekcji. | Ocenia pracę uczniów na lekcji, analizuje. | Słuchać. | 1 minuta |
Zapowiedź:
Streszczenie referencyjne na temat „Całka. Wzór Newtona-Leibniza.
Definicja: Niech zostanie podana funkcja dodatnia f(x) , zdefiniowany na skończonym segmencie .Całka funkcji f(x) onto obszar jego krzywoliniowego trapezu. | ||
Przeznaczenie: Czyta: „całka od a do b ef od x de x” | ||
Wzór Newtona - Leibniza | ||
Przykład 1 Oblicz całkę oznaczoną: Rozwiązanie: | ||
Przykład 3. i oś X. Rozwiązanie: | ||
Przykład 3 Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami oraz . |
określona całka z funkcji ciągłej f(x) na skończonym przedziale [ a, b] (gdzie ) to przyrost niektórych jego pochodnych w tym segmencie. (Ogólnie rzecz biorąc, zrozumienie będzie zauważalnie łatwiejsze, jeśli powtórzysz temat całki nieoznaczonej) W tym przypadku notacja
Jak widać na poniższych wykresach (przyrost funkcji pierwotnej jest oznaczony przez ), Całka oznaczona może być dodatnia lub ujemna.(Oblicza się ją jako różnicę między wartością składnika pierwotnego w górnej granicy a jej wartością w dolnej granicy, tj. jako F(b) - F(a)).
Liczby a oraz b nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą integracji, a przedział [ a, b] to segment integracji.
Tak więc, jeśli F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x), to zgodnie z definicją
(38)
Równość (38) nazywa się Wzór Newtona-Leibniza . Różnica F(b) – F(a) jest krótko napisane w ten sposób:
Dlatego wzór Newtona-Leibniza zostanie napisany w następujący sposób:
(39)
Udowodnijmy, że całka oznaczona nie zależy od tego, która pierwotna funkcji podcałkowej jest brana pod uwagę przy jej obliczaniu. Wynajmować F(x) i F( X) są arbitralnymi instrumentami pierwotnymi całki. Ponieważ są to pochodne tej samej funkcji, różnią się one wyrazem stałym: Ф( X) = F(x) + C. Dlatego
W ten sposób ustalono, że na segmencie [ a, b] przyrosty wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) mecz.
Tak więc, aby obliczyć całkę oznaczoną, konieczne jest znalezienie dowolnej pochodnej całki, tj. Najpierw musisz znaleźć całkę nieoznaczoną. Stały Z wyłączone z dalszych obliczeń. Następnie stosuje się wzór Newtona-Leibniza: wartość górnej granicy zastępuje się funkcją pierwotną b , dalej - wartość dolnego limitu a i obliczyć różnicę F(b) - F(a) . Wynikowa liczba będzie całką oznaczoną..
Na a = b akceptowane z definicji
Przykład 1
Rozwiązanie. Najpierw znajdźmy całkę nieoznaczoną:
Zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza do funkcji pierwotnej
(w Z= 0), otrzymujemy
Jednak przy obliczaniu całki oznaczonej lepiej nie szukać funkcji pierwotna osobno, tylko od razu zapisać całkę w postaci (39).
Przykład 2 Oblicz całkę oznaczoną
Rozwiązanie. Korzystanie ze wzoru
Własności całki oznaczonej
Twierdzenie 2.Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowej, tj.
(40)
Wynajmować F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x). Do f(t) funkcja pierwotna to ta sama funkcja F(t), w którym zmienna niezależna jest oznaczona inaczej. W konsekwencji,
Na podstawie wzoru (39) ostatnia równość oznacza równość całek
Twierdzenie 3.Stałą można wyprowadzić ze znaku całki oznaczonej, tj.
(41)
Twierdzenie 4.Całka oznaczona sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji jest równa sumie algebraicznej całek oznaczonych tych funkcji, tj.
(42)
Twierdzenie 5.Jeżeli odcinek całkowania dzieli się na części, to całka oznaczona po całym odcinku jest równa sumie całek oznaczonych po jego częściach, tj. jeśli
(43)
Twierdzenie 6.Podczas porządkowania granic całkowania wartość bezwzględna całki oznaczonej nie zmienia się, zmienia się tylko jej znak, tj.
(44)
Twierdzenie 7(twierdzenie o wartości średniej). Całka oznaczona jest równa iloczynowi długości odcinka całkowania i wartości całki w pewnym punkcie wewnątrz niego, tj.
(45)
Twierdzenie 8.Jeżeli górna granica całkowania jest większa niż dolna, a podcałka jest nieujemna (dodatnia), wtedy całka oznaczona jest również nieujemna (dodatnia), tj. jeśli
Twierdzenie 9.Jeżeli górna granica całkowania jest większa niż dolna granica i funkcje i są ciągłe, to nierówność
może być zintegrowany wyraz po wyrazie, tj.
(46)
Własności całki oznaczonej pozwalają na uproszczenie bezpośredniego obliczania całek.
Przykład 5 Oblicz całkę oznaczoną
Korzystając z Twierdzeń 4 i 3, a wyszukując funkcje pierwotne - całki tabelaryczne (7) i (6), otrzymujemy
Całka oznaczona ze zmienną górną granicą
Wynajmować f(x) jest ciągła na przedziale [ a, b] funkcja, i F(x) jest jego prototypem. Rozważ całkę oznaczoną
(47)
i przez t zmienna integracji jest wskazana, aby nie pomylić jej z Górna granica. Kiedy to się zmieni X całka oznaczona (47) również się zmienia, tj. jest funkcją górnej granicy całkowania X, co oznaczamy przez F(X), tj.
(48)
Udowodnijmy, że funkcja F(X) jest funkcją pierwotną dla f(x) = f(t). Rzeczywiście, różnicowanie F(X), otrzymujemy
dlatego F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x), a F(a) jest wartością stałą.
Funkcjonować F(X) jest jednym z nieskończonego zbioru funkcji pierwotnych dla f(x), czyli ten, który x = a idzie do zera. To stwierdzenie jest uzyskiwane, jeśli w równości (48) umieścimy x = a i użyj Twierdzenia 1 z poprzedniej sekcji.
Obliczanie całek oznaczonych metodą całkowania przez części i metodą zmiany zmiennej
gdzie z definicji F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x). Jeśli w całce dokonamy zmiany zmiennej
wtedy zgodnie ze wzorem (16) możemy pisać
W tym wyrażeniu
funkcja pierwotna dla
Rzeczywiście, jego pochodna, zgodnie z zasada różniczkowania funkcji zespolonej, jest równe
Niech α i β będą wartościami zmiennej t, dla których funkcja
przyjmuje odpowiednio wartości a oraz b, tj.
Ale według wzoru Newtona-Leibniza różnica F(b) – F(a) jest
Niech jakaś funkcja ciągła f będzie dana na jakimś odcinku osi Ox. Zakładamy, że funkcja ta nie zmienia swojego znaku na całym przedziale.
Jeżeli f jest funkcją ciągłą i nieujemną na pewnym segmencie, a F jest jedną z jego funkcji pierwotnych na tym segmencie, to powierzchnia trapezu krzywoliniowego S jest równa przyrostowi funkcji pierwotnej na tym segmencie.
Twierdzenie to można zapisać wzorem:
S = F(b) - F(a)
Całka funkcji f(x) od a do b będzie równa S. Tutaj i poniżej, aby oznaczyć całkę oznaczoną pewnej funkcji f(x), z granicami całkowania od a do b, użyjemy następującego zapisu (a;b)∫f(x). Poniżej przykład, jak by to wyglądało.
Wzór Newtona-Leibniza
Możemy więc zrównać te dwa wyniki. Otrzymujemy: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), pod warunkiem, że F jest funkcją pierwotną funkcji f on . Ta formuła nazywa się Wzory Newtona-Leibniza. Będzie to prawdziwe dla każdej funkcji ciągłej f na przedziale.
Do obliczania całek używa się wzoru Newtona-Leibniza. Spójrzmy na kilka przykładów:
Przykład 1: obliczyć całkę. Znajdź funkcję pierwotną dla całki x 2 . Jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja (x 3)/3.
Teraz używamy wzoru Newtona-Leibniza:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Odpowiedź: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Przykład 2: oblicz całkę (0;pi)∫sin(x)dx.
Znajdź funkcję pierwotną dla całki sin(x). Jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja -cos(x). Użyjmy wzoru Newtona-Leibniza:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Odpowiedź: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Czasami dla uproszczenia i wygody notacji przyrost funkcji F na odcinku (F(b)-F(a)) zapisuje się w następujący sposób:
Używając tej notacji dla przyrostu, wzór Newtona-Leibniza można przepisać w następujący sposób:
Jak wspomniano powyżej, jest to tylko skrót ułatwiający nagrywanie, nic innego nie ma wpływu na to nagranie. Ten zapis i wzór (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) będą równoważne.
Rozwiązanie zastosowanych problemów sprowadza się do obliczenia całki, ale nie zawsze jest to możliwe dokładnie. Czasami konieczne jest poznanie wartości całki oznaczonej z pewnym stopniem dokładności, na przykład z dokładnością do tysięcznej.
Są zadania, w których należałoby znaleźć przybliżoną wartość pewnej całki z wymaganą dokładnością, wtedy stosuje się całkowanie numeryczne np. metodę Simposna, trapezy, prostokąty. Nie wszystkie przypadki pozwalają nam to obliczyć z pewną dokładnością.
W tym artykule rozważamy zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza. Jest to konieczne do dokładnego obliczenia całki oznaczonej. Otrzyma szczegółowe przykłady, rozważamy zmianę zmiennej w całce oznaczonej i znajdujemy wartości całki oznaczonej podczas całkowania przez części.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Wzór Newtona-Leibniza
Definicja 1Gdy funkcja y = y (x) jest ciągła od odcinka [ a ; b ], a F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji tego odcinka, to Wzór Newtona-Leibniza uważane za sprawiedliwe. Napiszmy to tak ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Ta formuła jest brana pod uwagę podstawowa formuła rachunku całkowego.
Aby udowodnić tę formułę, należy posłużyć się pojęciem całki z dostępną zmienną górną granicą.
Gdy funkcja y = f (x) jest ciągła od odcinka [ a ; b ] , to wartość argumentu x ∈ a ; b , a całka ma postać ∫ a x f (t) d t i jest uważana za funkcję górnej granicy. Należy przyjąć zapis, że funkcja przyjmie postać ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , jest ciągła, a nierówność postaci ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) jest dla niego ważny.
Ustalamy, że przyrost funkcji Φ (x) odpowiada przyrostowi argumentu ∆ x , konieczne jest użycie piątej własności głównej całki oznaczonej i uzyskanie
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
gdzie wartość c ∈ x ; x + ∆x .
Równość ustalamy w postaci Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Z definicji pochodnej funkcji należy przejść do granicy jako ∆ x → 0, to otrzymujemy wzór postaci znajdującej się na [ a ; b ] W przeciwnym razie wyrażenie można zapisać
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , gdzie wartość C jest stała.
Obliczmy F (a) używając pierwszej własności całki oznaczonej. Wtedy to rozumiemy
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , stąd C = F (a) . Wynik ma zastosowanie przy obliczaniu F (b) i otrzymujemy:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , innymi słowy, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Równość dowodzi wzoru Newtona-Leibniza ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Przyrost funkcji jest przyjmowany jako F x a b = F (b) - F (a) . Za pomocą notacji formuła Newtona-Leibniza staje się ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Aby zastosować wzór, trzeba znać jedną z funkcji pierwotnych y = F (x) całki y = f (x) z odcinka [ a ; b ] , oblicz przyrost funkcji pierwotnej z tego segmentu. Rozważ kilka przykładów obliczeń przy użyciu wzoru Newtona-Leibniza.
Przykład 1
Oblicz całkę oznaczoną ∫ 1 3 x 2 d x korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.
Rozwiązanie
Rozważmy, że całka postaci y = x 2 jest ciągła z przedziału [1 ; 3 ] , a następnie i jest całkowalny na tym segmencie. Zgodnie z tabelą całki nieoznaczone widzimy, że funkcja y \u003d x 2 ma zestaw funkcji pierwotnych dla wszystkich wartości rzeczywistych x, co oznacza, że x ∈ 1; 3 zostanie zapisane jako F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Konieczne jest wzięcie funkcji pierwotnej z C \u003d 0, wtedy otrzymujemy, że F (x) \u003d x 3 3.
Użyjmy wzoru Newtona-Leibniza i zdobądźmy, że obliczenie całki oznaczonej przyjmie postać ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Odpowiadać:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Przykład 2
Oblicz całkę oznaczoną ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza.
Rozwiązanie
Podana funkcja jest ciągła od odcinka [ - 1 ; 2 ], co oznacza, że jest na nim całkowalny. Konieczne jest znalezienie wartości całki nieoznaczonej ∫ x e x 2 + 1 d x metodą sumowania pod znakiem różniczkowym, wtedy otrzymujemy ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.
Stąd mamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji y = x · e x 2 + 1 , które są ważne dla wszystkich x , x ∈ - 1 ; 2.
Należy wziąć pierwotną przy C = 0 i zastosować wzór Newtona-Leibniza. Wtedy otrzymujemy wyraz formy
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Odpowiadać:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Przykład 3
Oblicz całki ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Rozwiązanie
Segment - 4; - 1 2 mówi, że funkcja pod znakiem całkowym jest ciągła, co oznacza, że jest całkowalna. Stąd znajdujemy zbiór funkcji pierwotnych funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 . Rozumiemy to
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Konieczne jest wzięcie pierwotnej F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, a następnie, stosując wzór Newtona-Leibniza, otrzymujemy całkę, którą obliczamy:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Przechodzimy do obliczenia drugiej całki.
Z segmentu [ - 1 ; 1 ] mamy, że podcałka jest uważana za nieograniczoną, ponieważ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , to z tego wynika, że warunek konieczny integrowalność z segmentu. Wtedy F(x) = 2 x 2 - 2 x nie jest funkcją pierwotną dla y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; 1 ] , ponieważ punkt O należy do odcinka, ale nie należy do dziedziny definicji. Oznacza to, że istnieje całka oznaczona Riemanna i Newtona-Leibniza dla funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; jeden ] .
Odpowiedź: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, istnieje całka oznaczona Riemanna i Newtona-Leibniza dla funkcji y = 4 x 3 + 2 x 2 z przedziału [ - 1 ; jeden ] .
Zanim użyjesz wzoru Newtona-Leibniza, musisz dokładnie wiedzieć o istnieniu całki oznaczonej.
Zmiana zmiennej w całce oznaczonej
Gdy funkcja y = f (x) jest zdefiniowana i ciągła z odcinka [ a ; b ] , to istniejący zestaw [ a ; b ] jest uważany za zakres funkcji x = g (z) określony na przedziale α ; β z istniejącą pochodną ciągłą, gdzie g (α) = a i g β = b , stąd otrzymujemy, że ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) dz .
Ten wzór jest używany, gdy konieczne jest obliczenie całki ∫ a b f (x) d x , gdzie całka nieoznaczona ma postać ∫ f (x) d x , obliczamy metodą podstawienia.
Przykład 4
Oblicz całkę oznaczoną postaci ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Rozwiązanie
Całka jest uważana za ciągłą na przedziale całkowania, co oznacza, że istnieje całka oznaczona. Podajmy zapis, że 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Wartość x \u003d 9 oznacza, że z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, a dla x \u003d 18 otrzymujemy, że z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, a następnie g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Podstawiając otrzymane wartości do wzoru ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, otrzymujemy, że
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dni z
Zgodnie z tabelą całek nieoznaczonych mamy, że jedna z funkcji pierwotnych funkcji 2 z 2 + 9 przyjmuje wartość 2 3 a r c t g z 3 . Następnie stosując wzór Newtona-Leibniza otrzymujemy, że
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Odkrycia można dokonać bez użycia wzoru ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Jeśli metoda zamiany używa całki postaci ∫ 1 x 2 x - 9 d x , to możemy otrzymać wynik ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Stąd wykonamy obliczenia za pomocą wzoru Newtona-Leibniza i obliczymy całkę oznaczoną. Rozumiemy to
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
Wyniki się zgadzały.
Odpowiedź: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Całkowanie przez części w obliczaniu całki oznaczonej
Jeśli na segmencie [ a ; b ] funkcje u (x) i v (x) są zdefiniowane i ciągłe, to ich pochodne pierwszego rzędu v " (x) u (x) są całkowalne, więc z tego przedziału dla funkcji całkowalnej u " (x) v (x) równość ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x jest prawdziwa.
Wzór może być wtedy użyty, trzeba obliczyć całkę ∫ a b f (x) d x , a ∫ f (x) d x trzeba było ją znaleźć za pomocą całkowania przez części.
Przykład 5
Oblicz całkę oznaczoną ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Rozwiązanie
Funkcja x sin x 3 + π 6 jest całkowalna na odcinku - π 2; 3 π 2 , więc jest ciągła.
Niech u (x) \u003d x, a następnie d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, i d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x i v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Ze wzoru ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x otrzymujemy to
∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Rozwiązanie przykładu można zrobić w inny sposób.
Znajdź zbiór funkcji pierwotnych funkcji x sin x 3 + π 6 wykorzystując całkowanie przez części ze wzoru Newtona-Leibniza:
∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Odpowiedź: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
