Funkcje zmiennej zespolonej.
Różniczkowanie funkcji zmiennej zespolonej.
Artykuł ten otwiera serię lekcji, w których omówię typowe problemy związane z teorią funkcji zmiennej zespolonej. Aby pomyślnie opanować przykłady, musisz posiadać podstawową wiedzę o liczbach zespolonych. Aby utrwalić i powtórzyć materiał wystarczy wejść na stronę. Będziesz także potrzebować umiejętności, aby znaleźć pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Oto one, te pochodne cząstkowe... nawet teraz byłem trochę zaskoczony, jak często one występują...
Temat, który zaczynamy badać, nie reprezentuje szczególne trudności, a w funkcjach zmiennej zespolonej w zasadzie wszystko jest jasne i dostępne. Najważniejsze jest, aby trzymać się podstawowej zasady, którą wyprowadziłem eksperymentalnie. Czytaj!
Pojęcie funkcji zmiennej zespolonej
Na początek odświeżmy naszą wiedzę na temat funkcji szkolnej jednej zmiennej:
Funkcja pojedynczej zmiennej jest regułą, według której każdej wartości zmiennej niezależnej (z dziedziny definicji) odpowiada jedna i tylko jedna wartość funkcji. Naturalnie „x” i „y” są liczbami rzeczywistymi.
W przypadku złożonym zależność funkcjonalną określa się podobnie:
Funkcja jednowartościowa zmiennej zespolonej– to zasada, według której wszyscy wyczerpujący wartość zmiennej niezależnej (z dziedziny definicji) odpowiada jednemu i tylko jednemu wyczerpujący wartość funkcji. Teoria uwzględnia także funkcje wielowartościowe i niektóre inne rodzaje funkcji, ale dla uproszczenia skupię się na jednej definicji.
Jaka jest różnica między złożoną funkcją zmiennej?
Główna różnica: liczby zespolone. Nie ironizuję. Takie pytania często wprawiają ludzi w osłupienie; na końcu artykułu opowiem zabawną historię. Na lekcji Liczby zespolone dla manekinów rozważaliśmy liczbę zespoloną w postaci . Odtąd litera „z” stała się zmienny, to będziemy to oznaczać następująco: , natomiast „x” i „y” mogą przyjmować różne wartości ważny znaczenia. Z grubsza rzecz biorąc, funkcja zmiennej zespolonej zależy od zmiennych i , które przyjmują „zwykłe” wartości. Z ten fakt Logicznie wynika z tego następujący punkt:
Funkcję zmiennej zespolonej można zapisać jako:
, gdzie i są dwiema funkcjami dwójki ważny zmienne.
Funkcja nazywa się prawdziwa część Funkcje
Funkcja nazywa się część wyimaginowana Funkcje
Oznacza to, że funkcja zmiennej zespolonej zależy od dwóch funkcji rzeczywistych i . Aby w końcu wszystko wyjaśnić, spójrzmy na praktyczne przykłady:
Przykład 1
Rozwiązanie: Zmienna niezależna „zet”, jak pamiętasz, zapisywana jest w postaci , zatem:
(1) Podstawiliśmy .
(2) Dla pierwszego wyrazu zastosowano skrócony wzór na mnożenie. W wyrażeniu nawiasy zostały otwarte.
(3) Starannie wyrównane, nie zapominając o tym
(4) Zmiana układu terminów: najpierw przepisujemy terminy , w którym nie ma jednostki urojonej(pierwsza grupa), następnie terminy tam, gdzie występują (druga grupa). Należy zauważyć, że nie jest konieczne mieszanie warunków i ten etap można pominąć (w rzeczywistości robiąc to ustnie).
(5) W przypadku drugiej grupy usuwamy ją z nawiasów.
W rezultacie nasza funkcja okazała się reprezentowana w formie
Odpowiedź:
– część rzeczywista funkcji.
– część urojona funkcji.
Jakie to okazały się funkcje? Najzwyklejsze funkcje dwóch zmiennych, z których można znaleźć takie popularne pochodne cząstkowe. Bez litości znajdziemy go. Ale trochę później.
W skrócie algorytm rozwiązania problemu można zapisać w następujący sposób: podstawiamy , do funkcji pierwotnej, dokonujemy uproszczeń i dzielimy wszystkie wyrazy na dwie grupy - bez jednostki urojonej (część rzeczywista) i z jednostką urojoną (część urojona) .
Przykład 2
Znajdź część rzeczywistą i urojoną funkcji
To jest przykład dla niezależna decyzja. Zanim wyruszysz do bitwy na skomplikowanym planie z wyciągniętymi warcabami, pozwól, że dam ci najważniejszą radę na ten temat:
BĄDŹ OSTROŻNY! Oczywiście wszędzie trzeba zachować ostrożność, ale w przypadku liczb zespolonych należy zachować ostrożność bardziej niż kiedykolwiek! Pamiętaj, że ostrożnie otwórz nawiasy, aby niczego nie zgubić. Z moich obserwacji wynika, że najczęstszym błędem jest zagubienie znaku. Nie spiesz się!
Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Teraz sześcian. Korzystając ze skróconego wzoru na mnożenie, wyprowadzamy:
.
Formuły są bardzo wygodne w zastosowaniu w praktyce, gdyż znacznie przyspieszają proces rozwiązywania.
Różniczkowanie funkcji zmiennej zespolonej.
Mam dwie wiadomości: dobrą i złą. Zacznę od tego dobrego. Dla funkcji zmiennej zespolonej obowiązują zasady różniczkowania i tablica pochodnych funkcji elementarnych. Zatem pochodną oblicza się dokładnie tak samo, jak w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej.
Zła wiadomość jest taka, że dla wielu złożonych funkcji zmiennych w ogóle nie ma pochodnej i trzeba to rozgryźć czy jest to różniczkowalne taką czy inną funkcję. A „odkrycie”, co czuje Twoje serce, wiąże się z dodatkowymi problemami.
Rozważmy funkcję zmiennej zespolonej. W celu tę funkcję było różniczkowalne konieczne i wystarczające:
1) Zatem istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Zapomnij od razu o tych oznaczeniach, gdyż w teorii funkcji zmiennej zespolonej tradycyjnie stosuje się inny zapis: 
.
2) Do przeprowadzenia tzw Warunki Cauchy'ego-Riemanna:
Tylko w tym przypadku pochodna będzie istnieć!
Przykład 3
Rozwiązanie dzieli się na trzy kolejne etapy:
1) Znajdźmy rzeczywistą i urojoną część funkcji. Zadanie to zostało omówione w poprzednich przykładach, więc napiszę je bez komentarza:
Od tego czasu:
Zatem: 
– część urojona funkcji.
Poruszę jeszcze jedną kwestię techniczną: w jakiej kolejności zapisz wyrazy w części rzeczywistej i urojonej? Tak, w zasadzie nie ma to znaczenia. Na przykład część rzeczywistą można zapisać w następujący sposób: 
, i wyimaginowany – taki jak ten: .
2) Sprawdźmy spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna. Jest ich dwóch.
Zacznijmy od sprawdzenia warunku. Znaleźliśmy pochodne cząstkowe:
Zatem warunek jest spełniony.
Oczywiście dobra wiadomość jest taka, że pochodne cząstkowe są prawie zawsze bardzo proste.
Sprawdzamy spełnienie drugiego warunku: 
Wynik jest taki sam, ale z przeciwnymi znakami, to znaczy warunek jest również spełniony.
Warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione, zatem funkcja jest różniczkowalna.
3) Znajdźmy pochodną funkcji. Pochodna jest również bardzo prosta i wyznaczana według zwykłych zasad:
Podczas różniczkowania jednostka urojona jest uważana za stałą.
Odpowiedź: 
– część prawdziwa, 
– część wyimaginowana.
Warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione, .
Istnieją jeszcze dwa sposoby znalezienia pochodnej, są one oczywiście używane rzadziej, ale informacje przydadzą się do zrozumienia drugiej lekcji - Jak znaleźć funkcję zmiennej zespolonej?
Pochodną można znaleźć korzystając ze wzoru: 
Zatem
Musimy rozwiązać problem odwrotny - w otrzymanym wyrażeniu musimy wyizolować . Aby to zrobić, konieczne jest w terminach i poza nawiasami:
Odwrotna czynność, jak wielu zauważyło, jest nieco trudniejsza do sprawdzenia; zawsze lepiej jest wziąć wyraz w wersji roboczej lub ustnie otworzyć z powrotem nawiasy, upewniając się, że wynik jest dokładnie taki sam.
Wzór lustrzany na znalezienie pochodnej: 
W tym przypadku: 
, Dlatego:
Przykład 4
Wyznaczanie części rzeczywistej i urojonej funkcji 
. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna. Jeżeli spełnione są warunki Cauchy'ego-Riemanna, znajdź pochodną funkcji.
Krótkie rozwiązanie i przybliżona próbka kończąc na koniec lekcji.
Czy warunki Cauchy’ego-Riemanna są zawsze spełnione? Teoretycznie nie są one spełniane częściej niż są spełniane. Ale w praktycznych przykładach nie pamiętam przypadku, aby nie zostały spełnione =) Zatem, jeśli Twoje pochodne cząstkowe „nie są zbieżne”, to z bardzo dużym prawdopodobieństwem możesz powiedzieć, że gdzieś popełniłeś błąd.
Skomplikujmy nasze funkcje:
Przykład 5
Wyznaczanie części rzeczywistej i urojonej funkcji 
. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna. Oblicz
Rozwiązanie: Algorytm rozwiązania zostaje w całości zachowany, ale na końcu zostanie dodany nowy punkt: znalezienie pochodnej w punkcie. Dla sześcianu wyprowadzono już wymagany wzór:
Określmy części rzeczywiste i urojone tej funkcji:
Uwaga i jeszcze raz uwaga!
Od tego czasu:
Zatem:
– część rzeczywista funkcji;
– część urojona funkcji.
Sprawdzanie drugiego warunku: 
Wynik jest taki sam, ale z przeciwnymi znakami, to znaczy warunek jest również spełniony.
Warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione, zatem funkcja jest różniczkowalna:
Obliczmy wartość pochodnej w wymaganym punkcie:
Odpowiedź:, , spełnione są warunki Cauchy'ego-Riemanna,
Funkcje z kostkami są powszechne, więc oto przykład do wzmocnienia:
Przykład 6
Wyznaczanie części rzeczywistej i urojonej funkcji 
. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna. Oblicz.
Rozwiązanie i przykład zakończenia na koniec lekcji.
W teorii analizy złożonej definiuje się także inne funkcje argumentu złożonego: wykładnik, sinus, cosinus itp. Funkcje te mają niezwykłe, a nawet dziwaczne właściwości - i to jest naprawdę interesujące! Naprawdę chcę ci powiedzieć, ale tak się składa, że nie jest to podręcznik ani podręcznik, ale książka z rozwiązaniami, więc rozważę ten sam problem z kilkoma typowymi funkcjami.
Najpierw o tzw Wzory Eulera:
Dla kazdego ważny liczb, obowiązują następujące formuły: 
Możesz także skopiować go do swojego notatnika jako materiał referencyjny.
Ściśle mówiąc, istnieje tylko jedna formuła, ale zwykle dla wygody zapisują także specjalny przypadek z minusem w wykładniku. Parametr nie musi być pojedynczą literą, może to być złożone wyrażenie lub funkcja, ważne jest tylko, aby je zaakceptowały tylko ważne znaczenia. Właściwie, zobaczymy to teraz:
Przykład 7
Znajdź pochodną.
Rozwiązanie: Ogólna linia partii pozostaje niezmienna - konieczne jest rozróżnienie części rzeczywistej i urojonej funkcji. Podam szczegółowe rozwiązanie i skomentuję każdy krok poniżej:
Od tego czasu:
(1) Zamiast tego zastąp „z”.
(2) Po podstawieniu musisz wybrać części rzeczywiste i urojone pierwszy na wskaźniku wystawcy. Aby to zrobić, otwórz nawiasy.
(3) Grupujemy część urojoną wskaźnika, umieszczając jednostkę urojoną poza nawiasami.
(4) Akcji szkoły używamy ze stopniami.
(5) Dla mnożnika używamy wzoru Eulera, oraz .
(6) Otwórz nawiasy, co spowoduje:
– część rzeczywista funkcji;
– część urojona funkcji.
Dalsze działania są standardowe; sprawdźmy spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna: 
Przykład 9
Wyznaczanie części rzeczywistej i urojonej funkcji 
. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna. Niech tak będzie, nie znajdziemy pochodnej.
Rozwiązanie: Algorytm rozwiązania jest bardzo podobny do poprzednich dwóch przykładów, ale jest ich bardzo ważne punkty, Dlatego Pierwszy etap Skomentuję jeszcze raz krok po kroku:
Od tego czasu:
1) Zamiast tego zastąp „z”.
(2) Najpierw wybieramy części rzeczywiste i urojone wewnątrz zatoki. W tym celu otwieramy nawiasy.
(3) Używamy wzoru i 
.
(4) Użyj parzystość cosinusa hiperbolicznego: I osobliwość sinusa hiperbolicznego: . Hiperboliki, choć nie z tego świata, pod wieloma względami przypominają podobne funkcje trygonometryczne.
W końcu:
– część rzeczywista funkcji;
– część urojona funkcji.
Uwaga! Znak minus odnosi się do części urojonej i pod żadnym pozorem nie powinniśmy go tracić! Dla jasnej ilustracji uzyskany powyżej wynik można przepisać w następujący sposób:
Sprawdźmy spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna: 
Warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione.
Odpowiedź:, , spełnione są warunki Cauchy'ego-Riemanna.
Panie i panowie, rozwiążmy to sami:
Przykład 10
Wyznacz część rzeczywistą i urojoną funkcji. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna.
Celowo wybrałem trudniejsze przykłady, bo chyba każdy jest w stanie sobie z czymś poradzić, na przykład z orzeszkami ziemnymi w łupinach. Jednocześnie będziesz ćwiczyć swoją uwagę! Dziadek do orzechów na koniec lekcji.
Podsumowując, przyjrzę się innemu interesującemu przykładowi, gdy w mianowniku znajduje się złożony argument. Zdarzyło się to kilka razy w praktyce, spójrzmy na coś prostego. Ech, starzeję się...
Przykład 11
Wyznacz część rzeczywistą i urojoną funkcji. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy'ego-Riemanna.
Rozwiązanie: Ponownie konieczne jest rozróżnienie części rzeczywistej i urojonej funkcji.
Jeśli następnie
Powstaje pytanie, co zrobić, gdy w mianowniku znajduje się „Z”?
Wszystko jest proste - standardowy pomoże metoda mnożenia licznika i mianownika przez wyrażenie sprzężone, zostało to już wykorzystane w przykładach lekcji Liczby zespolone dla manekinów. Pamiętajmy o formule szkoły. Mamy już w mianowniku, co oznacza, że wyrażenie sprzężone będzie wynosić . Zatem musisz pomnożyć licznik i mianownik przez:
