Równania różniczkowe Pierwsze zamówienie. Przykłady rozwiązań.
Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Równania różniczkowe (DE). Te dwa słowa zwykle przerażają przeciętnego człowieka. Równania różniczkowe wydają się być czymś wygórowanym i trudnym do opanowania dla wielu uczniów. Uuuuuu... równania różniczkowe, jak ja to wszystko przeżyję?!

Ta opinia i takie podejście jest z gruntu błędne, bo faktycznie RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE - TO PROSTE I NAWET ZABAWNE. Co trzeba wiedzieć i umieć, żeby nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe? Aby skutecznie badać zjawiska rozproszone, musisz być dobry w integrowaniu i różnicowaniu. Im lepiej badane są tematy Pochodna funkcji jednej zmiennej I Całka nieoznaczona, tym łatwiej będzie zrozumieć równania różniczkowe. Powiem więcej, jeśli macie mniej więcej przyzwoite umiejętności integracyjne, to temat już prawie opanowany! Im więcej całek różne rodzaje wiesz, jak podjąć decyzję - tym lepiej. Dlaczego? Będziesz musiał dużo się zintegrować. I różnicuj. Również wysoce zalecane naucz się znajdować.

W 95% przypadków w testy Istnieją 3 typy równań różniczkowych pierwszego rzędu: równania rozłączne którym przyjrzymy się w tej lekcji; równania jednorodne I liniowe równania niejednorodne. Osobom rozpoczynającym naukę dyfuzorów radzę przeczytać lekcje dokładnie w tej kolejności, a po przestudiowaniu pierwszych dwóch artykułów nie zaszkodzi utrwalić swoje umiejętności na dodatkowym warsztacie - równania redukujące do jednorodnych.

Istnieją jeszcze rzadsze typy równań różniczkowych: równania różniczkowe całkowite, równania Bernoulliego i kilka innych. Najważniejszym z dwóch ostatnich typów są równania różnic całkowitych, ponieważ oprócz tego równania różniczkowego biorę pod uwagę nowy materiał – częściowa integracja.

Jeśli został ci tylko dzień lub dwa, To do ultraszybkiego przygotowania Jest kurs błyskawiczny w formacie pdf.

Punkty orientacyjne są ustawione - chodźmy:

Najpierw pamiętajmy o zwykłych równaniach algebraicznych. Zawierają zmienne i liczby. Najprostszy przykład: . Co to znaczy rozwiązać zwykłe równanie? Oznacza to znalezienie zestaw liczb, które spełniają to równanie. Łatwo zauważyć, że równanie dzieci ma jeden pierwiastek: . Dla zabawy sprawdźmy i podstawmy znaleziony pierwiastek do naszego równania:

– uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Dyfuzory zaprojektowano w podobny sposób!

Równanie różniczkowe Pierwsze zamówienie ogólnie zawiera:
1) zmienna niezależna;
2) zmienna zależna (funkcja);
3) pierwsza pochodna funkcji: .

W niektórych równaniach pierwszego rzędu może nie być „x” i/lub „y”, ale nie jest to istotne - ważny udać się do sterowni był pierwsza pochodna i nie miał pochodne wyższych rzędów – itp.

Co znaczy ? Rozwiązanie równania różniczkowego oznacza znalezienie zestaw wszystkich funkcji, które spełniają to równanie. Taki zbiór funkcji często ma postać (– dowolnej stałej), którą nazywa się ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Przykład 1

Rozwiązać równanie różniczkowe

Pełna amunicja. Gdzie zacząć rozwiązanie?

Przede wszystkim należy przepisać pochodną w nieco innej formie. Przypominamy sobie kłopotliwe oznaczenie, które wielu z Was zapewne wydawało się śmieszne i niepotrzebne. To właśnie rządzi w dyfuzorach!

W drugim kroku sprawdźmy, czy jest to możliwe oddzielne zmienne? Co to znaczy oddzielać zmienne? Z grubsza mówiąc, po lewej stronie musimy wyjechać tylko „Grecy”, A po prawej stronie zorganizować tylko „X”. Podział zmiennych odbywa się za pomocą manipulacji „szkolnych”: wyciągania ich z nawiasów, przenoszenia wyrazów z części do części ze zmianą znaku, przenoszenia czynników z części do części zgodnie z zasadą proporcji itp.

Różnice i są pełnymi mnożnikami i aktywnymi uczestnikami działań wojennych. W rozważanym przykładzie zmienne można łatwo rozdzielić, dorzucając czynniki zgodnie z zasadą proporcji:

Zmienne są oddzielane. Po lewej stronie są tylko „Y”, po prawej – tylko „X”.

Następny etap - całkowanie równań różniczkowych. To proste, całki stawiamy po obu stronach:

Oczywiście musimy wziąć całki. W w tym przypadku są tabelaryczne:

Jak pamiętamy, każdej funkcji pierwotnej przypisuje się stałą. Są tu dwie całki, ale wystarczy raz zapisać stałą (ponieważ stała + stała jest nadal równa innej stałej). W większości przypadków umieszcza się go po prawej stronie.

Ściśle mówiąc, po wzięciu całek równanie różniczkowe uważa się za rozwiązane. Jedyną rzeczą jest to, że nasze „y” nie jest wyrażone przez „x”, to znaczy prezentowane jest rozwiązanie w sposób dorozumiany formularz. Nazywa się rozwiązanie równania różniczkowego w postaci utajonej Całka ogólna równania różniczkowego. Oznacza to, że jest to całka ogólna.

Odpowiedź w tej formie jest całkiem do przyjęcia, ale czy istnieje lepsza opcja? Spróbujmy zdobyć wspólna decyzja.

Proszę, pamiętaj o pierwszym technika techniczna , jest bardzo powszechny i ​​​​często używany zadania praktyczne: jeśli po całkowaniu po prawej stronie pojawi się logarytm, to w wielu przypadkach (ale nie zawsze!) wskazane jest również zapisanie stałej pod logarytmem.

To jest, ZAMIAST wpisy są zwykle pisane .

Dlaczego jest to konieczne? I po to, żeby łatwiej było wyrazić „grę”. Korzystanie z własności logarytmów . W tym przypadku:

Teraz można usunąć logarytmy i moduły:

Funkcja jest przedstawiona jawnie. To jest rozwiązanie ogólne.

Odpowiedź: wspólna decyzja: .

Odpowiedzi na wiele równań różniczkowych można dość łatwo sprawdzić. W naszym przypadku odbywa się to po prostu, bierzemy znalezione rozwiązanie i różnicujemy je:

Następnie podstawiamy pochodną do pierwotnego równania:

– uzyskano poprawną równość, co oznacza, że ​​rozwiązanie ogólne spełnia równanie, co należało sprawdzić.

Podawanie stałej różne znaczenia, możesz uzyskać nieskończenie wiele rozwiązania prywatne równanie różniczkowe. Oczywiste jest, że dowolna z funkcji , itp. spełnia równanie różniczkowe.

Czasami nazywa się rozwiązanie ogólne rodzina funkcji. W tym przykładzie rozwiązanie ogólne - to jest rodzina funkcje liniowe lub raczej rodzina bezpośredniej proporcjonalności.

Po dokładnym przejrzeniu pierwszego przykładu warto odpowiedzieć na kilka naiwnych pytań dotyczących równań różniczkowych:

1)W tym przykładzie udało nam się oddzielić zmienne. Czy zawsze można to zrobić? Nie, nie zawsze. A jeszcze częściej zmiennych nie można rozdzielić. Na przykład w jednorodne równania pierwszego rzędu, należy go najpierw wymienić. W innych typach równań, na przykład w liniowym równaniu niejednorodnym pierwszego rzędu, należy użyć różne techniki oraz metody znajdowania rozwiązania ogólnego. Równania ze zmiennymi rozłącznymi, które rozważamy na pierwszej lekcji, są najprostszym typem równań różniczkowych.

2) Czy zawsze można całkować równanie różniczkowe? Nie, nie zawsze. Bardzo łatwo jest wymyślić „fantazyjne” równanie, którego nie można całkować; poza tym istnieją całki, których nie można wziąć. Ale podobne DE można rozwiązać w przybliżeniu za pomocą specjalne metody. D’Alembert i Cauchy gwarantują… ...ugh, lurkmore. Aby teraz dużo czytać, prawie dodałem „z innego świata”.

3) W tym przykładzie otrzymaliśmy rozwiązanie w postaci całki ogólnej . Czy zawsze można znaleźć rozwiązanie ogólne z całki ogólnej, czyli jawnie wyrazić „y”? Nie, nie zawsze. Na przykład: . No cóż, jak tu wyrazić słowo „grecki”?! W takich przypadkach odpowiedź należy zapisać w postaci całki ogólnej. Poza tym czasami da się znaleźć rozwiązanie ogólne, ale jest ono napisane na tyle uciążliwie i niezgrabnie, że lepiej zostawić odpowiedź w postaci całki ogólnej

4) ...może na razie wystarczy. W pierwszym przykładzie, z którym się zetknęliśmy Inny ważny punkt , ale żeby nie zasypywać „manekinów” lawiną nowych informacji, zostawię to do następnej lekcji.

Nie będziemy się spieszyć. Kolejny prosty pilot i kolejne typowe rozwiązanie:

Przykład 2

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy

Rozwiązanie: zgodnie z warunkiem musisz znaleźć rozwiązanie prywatne DE, który spełnia zadany warunek początkowy. To sformułowanie pytania jest również nazywane Problem Cauchy’ego.

Najpierw znajdujemy ogólne rozwiązanie. W równaniu nie ma zmiennej „x”, ale nie powinno to mylić, najważniejsze jest to, że ma pierwszą pochodną.

Przepisujemy pochodną na we właściwej formie:

Oczywiście zmienne można rozdzielić, chłopcy po lewej, dziewczęta po prawej:

Całkujmy równanie:

Otrzymuje się całkę ogólną. Tutaj narysowałem stałą z gwiazdką, faktem jest, że już wkrótce zamieni się ona w inną stałą.

Teraz spróbujemy przekształcić całkę ogólną w rozwiązanie ogólne (wyraźnie „y”). Przypomnijmy sobie stare dobre rzeczy ze szkoły: . W tym przypadku:

Stała we wskaźniku wygląda jakoś niekoszernie, więc zwykle jest sprowadzana na ziemię. W szczegółach wygląda to tak. Korzystając z własności stopni, przepisujemy funkcję w następujący sposób:

Jeśli jest stałą, to jest też jakąś stałą, oznaczmy ją literą :

Pamiętaj, że „burzenie” jest stałą druga technika, który jest często używany przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące: . To jest ładna rodzina funkcji wykładniczych.

Na ostatnim etapie należy znaleźć konkretne rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy. To również jest proste.

Jakie jest zadanie? Trzeba odebrać taki wartość stałej, aby warunek był spełniony.

Można go sformatować na różne sposoby, ale prawdopodobnie będzie to najczystszy sposób. W rozwiązaniu ogólnym zamiast „X” podstawiamy zero, a zamiast „Y” podstawiamy dwójkę:



To jest,

Wersja standardowa:

Teraz podstawiamy znalezioną wartość stałej do rozwiązania ogólnego:
– to jest konkretne rozwiązanie, którego potrzebujemy.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Sprawdźmy. Sprawdzanie rozwiązania prywatnego obejmuje dwa etapy:

Najpierw należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie rzeczywiście spełnia warunek początkowy? Zamiast „X” podstawiamy zero i zobaczymy, co się stanie:
- tak, rzeczywiście otrzymano dwójkę, co oznacza, że ​​warunek początkowy został spełniony.

Drugi etap jest już znany. Bierzemy wynikowe konkretne rozwiązanie i znajdujemy pochodną:

Podstawiamy do pierwotnego równania:

– uzyskuje się poprawną równość.

Wniosek: konkretne rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Przejdźmy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 3

Rozwiązać równanie różniczkowe

Rozwiązanie: Przepisujemy pochodną do potrzebnej nam postaci:

Oceniamy, czy możliwe jest rozdzielenie zmiennych? Móc. Drugi wyraz przesuwamy w prawą stronę ze zmianą znaku:

I przenosimy mnożniki zgodnie z zasadą proporcji:

Zmienne są rozdzielone, zintegrujmy obie części:

Muszę cię ostrzec, zbliża się dzień sądu. Jeśli nie uczyłeś się dobrze Całki nieoznaczone, rozwiązałeś kilka przykładów, to nie ma dokąd pójść - będziesz musiał je teraz opanować.

Całkę lewej strony można łatwo znaleźć; całką kotangensa zajmujemy się standardową techniką, którą omawialiśmy na lekcji Całkowanie funkcji trygonometrycznych ostatni rok:

Po prawej stronie mamy logarytm i zgodnie z moim pierwszym zaleceniem technicznym, pod logarytmem należy również zapisać stałą.

Spróbujemy teraz uprościć całkę ogólną. Ponieważ mamy tylko logarytmy, pozbycie się ich jest całkiem możliwe (i konieczne). Używając znane właściwości„Pakujemy” logarytmy tak bardzo, jak to możliwe. Napiszę to bardzo szczegółowo:

Opakowanie jest barbarzyńsko podarte:

Czy można wyrazić „grę”? Móc. Konieczne jest wyrównanie obu części.

Ale nie musisz tego robić.

Trzecia wskazówka techniczna: jeśli aby uzyskać ogólne rozwiązanie, konieczne jest podniesienie do potęgi lub zakorzenienie, to W większości przypadków powinieneś powstrzymać się od tych działań i pozostawić odpowiedź w postaci całki ogólnej. Faktem jest, że ogólne rozwiązanie będzie wyglądać po prostu okropnie - z dużymi korzeniami, znakami i innymi śmieciami.

Dlatego odpowiedź zapisujemy w postaci całki ogólnej. Za dobrą praktykę uważa się przedstawienie go w formie , czyli po prawej stronie, jeśli to możliwe, pozostawienie tylko stałej. Nie jest to konieczne, ale zawsze warto zadowolić profesora ;-)

Odpowiedź: całka ogólna:

! Notatka: Całkę ogólną dowolnego równania można zapisać na więcej niż jeden sposób. Jeśli więc Twój wynik nie pokrywa się z wcześniej znaną odpowiedzią, nie oznacza to, że źle rozwiązałeś równanie.

Całkę ogólną można również dość łatwo sprawdzić, najważniejsze jest, aby móc ją znaleźć pochodna funkcji określonej domyślnie. Rozróżnijmy odpowiedź:

Obydwa wyrazy mnożymy przez:

I podziel przez:

Pierwotne równanie różniczkowe otrzymano dokładnie, co oznacza, że ​​całka ogólna została znaleziona poprawnie.

Przykład 4

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy. Wykonaj kontrolę.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Przypomnę, że algorytm składa się z dwóch etapów:
1) znalezienie rozwiązania ogólnego;
2) znalezienie wymaganego konkretnego rozwiązania.

Sprawdzanie również odbywa się dwuetapowo (patrz przykład w przykładzie nr 2), należy:
1) upewnić się, że znalezione rozwiązanie spełnia warunek początkowy;
2) sprawdzić, czy dane rozwiązanie ogólnie spełnia równanie różniczkowe.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Przykład 5

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego , spełniając warunek początkowy. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Najpierw znajdźmy rozwiązanie ogólne.Równanie to zawiera już gotowe różniczki, dlatego rozwiązanie jest uproszczone. Rozdzielamy zmienne:

Całkujmy równanie:

Całka po lewej stronie jest tabelaryczna, całka po prawej stronie jest brana metoda podciągania funkcji pod znak różniczkowy:

Otrzymano całkę ogólną, czy można skutecznie wyrazić rozwiązanie ogólne? Móc. Zawieszamy logarytmy po obu stronach. Ponieważ są dodatnie, znaki modułu są niepotrzebne:

(Mam nadzieję, że wszyscy zrozumieją transformację, takie rzeczy powinny być już znane)

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające danemu warunkowi początkowemu.
W rozwiązaniu ogólnym zamiast „X” podstawimy zero, a zamiast „Y” podstawimy logarytm dwójki:

Bardziej znajomy projekt:

Podstawiamy znalezioną wartość stałej do rozwiązania ogólnego.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Sprawdź: Najpierw sprawdźmy, czy spełniony jest warunek początkowy:
- Wszystko jest dobrze.

Sprawdźmy teraz, czy znalezione konkretne rozwiązanie w ogóle spełnia równanie różniczkowe. Znajdowanie pochodnej:

Spójrzmy na oryginalne równanie: – jest prezentowany w różnicach. Można to sprawdzić na dwa sposoby. Można wyrazić różnicę od znalezionej pochodnej:

Podstawmy znalezione rozwiązanie szczególne i otrzymaną różnicę do pierwotnego równania :

Używamy podstawowej tożsamości logarytmicznej:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​dane rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Druga metoda sprawdzania jest odzwierciedlona i bardziej znana: z równania Wyraźmy pochodną, ​​w tym celu dzielimy wszystkie części przez:

I do przekształconego DE podstawiamy otrzymane rozwiązanie częściowe i znalezioną pochodną. W wyniku uproszczeń należy również otrzymać poprawną równość.

Przykład 6

Rozwiązać równanie różniczkowe. Odpowiedź przedstaw w postaci całki ogólnej.

To przykład do samodzielnego rozwiązania, kompletne rozwiązanie i odpowiedź na koniec lekcji.

Jakie trudności czyhają przy rozwiązywaniu równań różniczkowych ze zmiennymi rozłącznymi?

1) Nie zawsze jest oczywiste (szczególnie dla „czajnika”), że zmienne można oddzielić. Rozważmy przykład warunkowy: . Tutaj musisz wyjąć czynniki z nawiasów: i oddzielić pierwiastki: . Jasne jest, co dalej robić.

2) Trudności z samą integracją. Całki często nie są najprostsze i jeśli występują wady w umiejętnościach znajdowania Całka nieoznaczona, wtedy będzie to trudne z wieloma dyfuzorami. Ponadto logika „skoro równanie różniczkowe jest proste, to przynajmniej niech całki będą bardziej skomplikowane” jest popularna wśród kompilatorów zbiorów i podręczników szkoleniowych.

3) Transformacje ze stałą. Jak wszyscy zauważyli, ze stałą w równaniach różniczkowych można operować dość swobodnie, a niektóre przekształcenia nie zawsze są jasne dla początkującego. Spójrzmy na inny przykład warunkowy: . Wskazane jest pomnożenie wszystkich wyrazów przez 2: . Powstała stała jest również pewnego rodzaju stałą, którą można oznaczyć wzorem: . Tak, a ponieważ po prawej stronie znajduje się logarytm, wskazane jest przepisanie stałej w postaci innej stałej: .

Problem w tym, że często nie zawracają sobie głowy indeksami i używają tej samej litery. W rezultacie zapis decyzji przyjmuje następującą postać:

Jakiego rodzaju herezja? Tam są błędy! Ściśle mówiąc, tak. Jednak z merytorycznego punktu widzenia nie ma tu mowy o błędach, gdyż w wyniku przekształcenia stałej zmiennej nadal otrzymuje się stałą zmienną.

Lub inny przykład, załóżmy, że w trakcie rozwiązywania równania otrzymuje się całkę ogólną. Ta odpowiedź wygląda brzydko, dlatego zaleca się zmianę znaku każdego terminu: . Formalnie jest tu jeszcze jeden błąd – należy to napisać po prawej stronie. Jednak nieformalnie sugeruje się, że „minus ce” jest nadal stałą ( które równie dobrze może mieć dowolne znaczenie!), więc wstawienie „minusu” nie ma sensu i możesz użyć tej samej litery.

Postaram się unikać nieostrożnego podejścia i nadal przypisywać stałe różne indeksy podczas ich konwersji.

Przykład 7

Rozwiązać równanie różniczkowe. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Równanie to pozwala na separację zmiennych. Rozdzielamy zmienne:

Zintegrujmy:

Nie ma potrzeby definiowania tutaj stałej jako logarytmu, ponieważ nic użytecznego z tego nie wyniknie.

Odpowiedź: całka ogólna:

Sprawdź: Zróżnicuj odpowiedź (funkcja ukryta):

Ułamków zwykłych pozbywamy się, mnożąc oba wyrazy przez:

Otrzymano oryginalne równanie różniczkowe, co oznacza, że ​​całka ogólna została znaleziona poprawnie.

Przykład 8

Znajdź konkretne rozwiązanie DE.
,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Jedyną wskazówką jest to, że tutaj otrzymasz całkę ogólną i, mówiąc dokładniej, musisz wymyślić, aby znaleźć nie konkretne rozwiązanie, ale całka częściowa. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Aplikacja

Rozwiązywanie równań różniczkowych online na stronie internetowej, aby uczniowie mogli utrwalić przerobiony materiał. I trenujesz swoje umiejętności praktyczne. Równania różniczkowe w Internecie. Difurs online, rozwiązywanie matematyki online. Rozwiązania problemów matematycznych krok po kroku w Internecie. Rząd lub stopień równania różniczkowego jest najwyższy porządek zawarte w nim instrumenty pochodne. Równania różniczkowe w Internecie. Proces rozwiązywania równania różniczkowego nazywa się całkowaniem. Problem całkowania równania różniczkowego uważa się za rozwiązany, jeśli znalezienie nieznanej funkcji można kwadraturować, niezależnie od tego, czy wynikową całkę wyraża się w Ostatnia forma poprzez znane funkcje, czy nie. Krok po kroku rozwiązanie równań różniczkowych online. Wszystkie równania różniczkowe można podzielić na równania różniczkowe zwyczajne (ODE), które obejmują tylko funkcje (i ich pochodne) jednego argumentu, oraz równania różniczkowe cząstkowe (PDE), w których funkcje wejściowe zależą od wielu zmiennych. Równania różniczkowe w Internecie. Istnieją również stochastyczne równania różniczkowe (SDE) obejmujące procesy losowe. Krok po kroku rozwiązanie równań różniczkowych online. W zależności od kombinacji pochodnych, funkcji i zmiennych niezależnych równania różniczkowe dzielą się na liniowe i nieliniowe, o stałych lub zmiennych współczynnikach, jednorodne i niejednorodne. Ze względu na wagę zastosowań, kwaziliniowe (liniowe względem wyższych pochodnych) równania różniczkowe cząstkowe zaliczane są do odrębnej klasy. Rozwiązania równań różniczkowych dzielimy na rozwiązania ogólne i szczegółowe. Równania różniczkowe w Internecie. Rozwiązania ogólne obejmują nieokreślone stałe, a w przypadku równań różniczkowych cząstkowych dowolne funkcje zmiennych niezależnych, które można wyrafinować na podstawie dodatkowych warunków całkowania (warunki początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych, warunki początkowe i brzegowe dla równań różniczkowych cząstkowych). Krok po kroku rozwiązanie równań różniczkowych online. Po określeniu rodzaju wskazanych funkcji stałych i nieokreślonych rozwiązania stają się szczegółowe. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych doprowadziło do powstania klasy funkcje specjalne- funkcje często spotykane w aplikacjach, które nie są wyrażone za pomocą znanych funkcji elementarnych. Równania różniczkowe w Internecie. Szczegółowo zbadano ich właściwości, opracowano tabele wartości, określono wzajemne powiązania itp. Można badać zbiór wyliczonych liczb. Najlepsza odpowiedź na zadany problem. Jak znaleźć, jako pierwsze przybliżenie, wektor wychodzący do obszaru zbieżności o równaniach różniczkowych bez znajdowania znalezionej górnej granicy. Wybór jest oczywisty w przypadku rosnących funkcji matematycznych. Istnieje metoda progresywna powyżej poziomu badawczego. Dopasowanie stanu początkowego problemu do rozwiązywania równań różniczkowych pomoże znaleźć jednoznacznie wybraną wartość. Być może będzie w stanie natychmiast zidentyfikować nieznane. Podobnie jak w poprzednim przykładzie określenia rozwiązania problemu matematycznego, liniowe równania różniczkowe są odpowiedzią na konkretny problem w określonym przedziale czasu. Utrzymanie procedury badawczej nie jest zdeterminowane lokalnie. Będzie tak, że dla każdego ucznia zostanie znaleziony przykład, a rozwiązanie równań różniczkowych zostanie określone przez osobę przypisaną do osoby odpowiedzialnej z co najmniej dwóch wartości. Przyjmij funkcję o wartości ogólnej na określonym segmencie i ostrzeż, wzdłuż której osi będzie przerwa. Studiując równania różniczkowe online, można jednoznacznie wykazać, jak ważny jest wynik, jeśli przewidują to warunki początkowe. Wycięcie obszaru z definicji funkcji jest niemożliwe, gdyż lokalnie nie ma definicji zadania. Znaleziona z układu równań odpowiedź zawiera zmienną, która jest przeliczalna w sensie ogólnym, ale rozwiązanie równania różniczkowego online będzie oczywiście możliwe bez tej czynności polegającej na określeniu wspomnianego warunku. Obok przedziału odcinka widać, jak rozwiązywanie równań różniczkowych online może popchnąć wynik badań w pozytywnym kierunku w momencie odcięcia wiedzy uczniów. To, co najlepsze, nie zawsze wynika z ogólnie przyjętego podejścia do biznesu. Na poziomie 2x przydatne jest przejrzenie wszystkich niezbędnych liniowych równań różniczkowych w reprezentacji naturalnej, ale możliwość obliczenia wartości liczbowej zaowocuje lepszą wiedzą. Według dowolnej metody matematycznej istnieją równania różniczkowe, które są przedstawiane w wyrażeniach o różnym charakterze, na przykład jednorodnych lub złożonych. Po spędzeniu ogólna analiza po zbadaniu funkcji stanie się jasne, że rozwiązywanie różniczek jako zbioru możliwości stanowi wyraźny błąd w wartościach. Prawda w nim leży w przestrzeni nad liniami odciętych. Gdzieś w obszarze definicji złożona funkcja w pewnym momencie swojej definicji liniowe równania różniczkowe będą mogły przedstawić odpowiedź w formie analitycznej. czyli ogólnie jako istotę. Nic się nie zmienia po zmianie zmiennej. Na odpowiedź należy jednak spojrzeć ze szczególnym zainteresowaniem. W istocie kalkulator ostatecznie zmienia zależność, czyli to, jak rozwiązanie równań różniczkowych jest proporcjonalne do wartości globalnej i jest wyznaczone w granicach pożądanego rozwiązania. W niektórych przypadkach nie da się uniknąć ostrzeżenia o ogromnym błędzie. Zaimplementuj równania różniczkowe online główny pomysł o problemie, ale ostatecznie konieczne jest jak najszybsze uwzględnienie pozytywnych aspektów produktu wektorowego. W matematyce przypadki błędnych przekonań w teorii liczb nie są rzadkością. Na pewno konieczna będzie kontrola. Oczywiście lepiej dać to prawo profesjonalistom w swojej dziedzinie, a oni pomogą Ci rozwiązać równanie różniczkowe online, ponieważ ich doświadczenie jest kolosalne i pozytywne. Różnica na powierzchniach figur i powierzchni jest taka, że ​​to nie rozwiązywanie równań różniczkowych online pozwoli zobaczyć, ale zbiór nie przecinających się obiektów jest taki, że linia jest równoległa do osi. W rezultacie możesz otrzymać dwa razy więcej wartości. Choć nie jest to jednoznaczne, nasze rozumienie poprawności zapisu formalnego obejmuje liniowe równania różniczkowe zarówno w obszarze widzenia, jak i w odniesieniu do celowego przeszacowania jakości wyniku. Dyskusja panelowa na temat interesujący wszystkich studentów jest wielokrotnie recenzowana. W trakcie studiowania całego toku wykładów będziemy skupiać naszą szczególną uwagę na równaniach różniczkowych i pokrewnych obszarach badań naukowych, jeśli nie jest to sprzeczne z prawdą. Na początku podróży można uniknąć wielu kroków. Jeśli rozwiązywanie równań różniczkowych jest nadal dla studentów zasadniczo czymś nowym, to stare nie zostaje w ogóle zapomniane, ale postępuje w przyszłość w dużym tempie rozwoju. Początkowo warunki problemu matematycznego są odmienne, ale wskazano to w akapicie po prawej stronie. Po upływie określonego z definicji czasu nie można wykluczyć możliwości proporcjonalnego zależnego wyniku na różnych płaszczyznach ruchu wektora. Tak prosty przypadek można poprawić w taki sam sposób, w jaki w ogólnej formie opisuje się równania różniczkowe liniowe na kalkulatorze, będzie szybciej i przesunięcie obliczeń nie doprowadzi do błędnej oceny. Tylko pięć przypadków nazwanych zgodnie z teorią może przesunąć granice tego, co się dzieje. Nasze rozwiązanie równań różniczkowych pomoże Ci ręcznie obliczyć wartość w liczbach już na pierwszych etapach dekompozycji przestrzeni funkcyjnej. W we właściwych miejscach konieczne jest przedstawienie punktu styku czterech linii Ogólne znaczenie. Ale jeśli będziesz musiał przenieść zadanie, łatwo będzie zrównać złożoność. Początkowe dane są wystarczające do zaprojektowania sąsiedniej nogi, a równania różniczkowe online wyglądają na wyrównane do lewej, a powierzchnia jest jednostronnie skierowana w stronę wirnika wektora. Powyżej górnej granicy możliwe są wartości liczbowe wykraczające poza wyznaczony stan. Możliwe jest uwzględnienie wzoru matematycznego i rozwiązanie równania różniczkowego online, wykorzystując trzy niewiadome w ogólnej wartości proporcji. Lokalną metodę obliczeń uznaje się za obowiązującą. Układ współrzędnych jest prostokątny we względnym ruchu płaszczyzny. Ogólne rozwiązanie równań różniczkowych dostępne w Internecie pozwala jednoznacznie wyciągnąć wniosek na rzecz przeprowadzenia obliczeniowego definicji macierzy na całej prostej znajdującej się nad wykresem jawnie określonej funkcji. Rozwiązanie jest wyraźnie widoczne, jeśli zastosuje się wektor ruchu do punktu styku trzech półkul. Walec uzyskuje się poprzez obrót prostokąta wokół boku, a liniowe równania różniczkowe będą w stanie pokazać kierunek ruchu punktu zgodnie z podanymi wyrażeniami jego prawa ruchu. Dane początkowe są poprawne, a problem matematyczny jest wymienny pod jednym prostym warunkiem. Jednakże ze względu na okoliczności, ze względu na złożoność postawionego podzadania, równania różniczkowe upraszczają proces obliczania przestrzeni numerycznych na poziomie przestrzeni trójwymiarowej. Łatwo jest udowodnić, że jest inaczej, ale można tego uniknąć, jak w podanym przykładzie. W wyższa matematyka pod warunkiem, że Następujące punkty: Kiedy zadanie sprowadza się do uproszczonej formy, należy włożyć w nie jak najwięcej wysiłku ze strony uczniów. Uwzględniane są linie nałożone na siebie. O rozwiązywaniu różnic nadal wznawia się zaleta wspomnianej metody na linii zakrzywionej. Jeśli najpierw rozpoznasz coś, czego nie potrzebujesz, formuła matematyczna nada temu wyrażeniu nowe znaczenie. Celem jest optymalne podejście do rozwiązywania zadań postawionych przez profesora. Nie należy zakładać, że liniowe równania różniczkowe w uproszczonej formie przekroczą oczekiwany wynik. Umieszczamy trzy wektory na skończenie złożonej powierzchni. do siebie ortogonalne. Obliczmy iloczyn. Zróbmy dodawanie więcej symbole i zapisz wszystkie powstałe wyrażenia funkcje zmienne. Jest proporcja. Kilka czynności poprzedzających zakończenie obliczeń nie da jednoznacznej odpowiedzi na rozwiązanie równań różniczkowych od razu, lecz dopiero po upływie wyznaczonego czasu wzdłuż osi y. Na lewo od punktu nieciągłości, określonego pośrednio z funkcji, rysujemy oś prostopadłą do najlepiej rosnącego wektora i umieszczamy równania różniczkowe online wzdłuż najmniejszej wartości granicznej dolnej ściany obiektu matematycznego. Dołączamy dodatkowy argument w obszarze podziału funkcji. Na prawo od punktów, w których znajduje się krzywa, zapisane przez nas wzory na redukcję do wspólnego mianownika pomogą Ci rozwiązać równanie różniczkowe online. Przyjmiemy jedyne prawidłowe podejście, które rzuci światło na nierozwiązane problemy z teorii do praktyki, w ogólnym przypadku jednoznacznie. Proste w kierunku współrzędnych danych punktów nigdy nie zamykały skrajnego położenia kwadratu, ale rozwiązywanie równań różniczkowych online pomoże studentom, nam i dopiero początkującym w tej dziedzinie w studiowaniu matematyki. Mówimy o możliwości podstawienia argumentu wartości do wszystkich znaczących linii jednego pola. W zasadzie, jak można się spodziewać, nasze liniowe równania różniczkowe są czymś izolowanym pojedyncza koncepcja dane znaczenie. Aby pomóc studentom, jeden z najlepszych kalkulatorów wśród podobnych usług. Weź udział we wszystkich kursach i wybierz najlepszy dla siebie.

=

W niektórych zagadnieniach fizyki nie da się ustalić bezpośredniego związku pomiędzy wielkościami opisującymi proces. Można jednak otrzymać równość zawierającą pochodne badanych funkcji. Tak powstają równania różniczkowe i konieczność ich rozwiązania, aby znaleźć nieznaną funkcję.

Artykuł ten przeznaczony jest dla tych, którzy stają przed problemem rozwiązania równania różniczkowego, w którym nieznana funkcja jest funkcją jednej zmiennej. Teoria jest skonstruowana w taki sposób, że przy zerowej znajomości równań różniczkowych można poradzić sobie ze swoim zadaniem.

Każdy typ równania różniczkowego jest powiązany z metodą rozwiązania ze szczegółowymi wyjaśnieniami i rozwiązaniami typowych przykładów i problemów. Wystarczy określić rodzaj równania różniczkowego swojego problemu, znaleźć podobny analizowany przykład i przeprowadzić podobne działania.

Aby pomyślnie rozwiązywać równania różniczkowe, będziesz potrzebować także umiejętności znajdowania zbiorów funkcji pierwotnych (całek nieoznaczonych) różne funkcje. W razie potrzeby zalecamy zapoznanie się z sekcją.

Najpierw rozważymy rodzaje równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, które można rozwiązać ze względu na pochodną, ​​następnie przejdziemy do ODE drugiego rzędu, następnie zatrzymamy się na równaniach wyższego rzędu i zakończymy układami równania różniczkowe.

Przypomnijmy, że jeśli y jest funkcją argumentu x.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu.

Najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu postaci.

Zapiszmy kilka przykładów takiego pilota .

Równania różniczkowe można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej, dzieląc obie strony równości przez f(x) . W tym przypadku otrzymamy równanie, które będzie równoważne pierwotnemu dla f(x) ≠ 0. Przykładami takich ODE są .

Jeżeli istnieją wartości argumentu x, przy których jednocześnie znikają funkcje f(x) i g(x), to pojawiają się dodatkowe rozwiązania. Dodatkowe rozwiązania równania podane x to dowolne funkcje zdefiniowane dla tych wartości argumentów. Przykłady takich równań różniczkowych obejmują:

Równania różniczkowe drugiego rzędu.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

LDE ze stałymi współczynnikami jest bardzo powszechnym typem równania różniczkowego. Ich rozwiązanie nie jest szczególnie trudne. Najpierw znajdują się pierwiastki równania charakterystycznego . Dla różnych p i q możliwe są trzy przypadki: pierwiastki równania charakterystycznego mogą być rzeczywiste i różne, rzeczywiste i zbieżne lub złożone koniugaty. W zależności od wartości pierwiastków równania charakterystycznego ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zapisuje się jako , Lub lub odpowiednio.

Rozważmy na przykład liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Pierwiastkami jego równania charakterystycznego są k 1 = -3 i k 2 = 0. Pierwiastki są rzeczywiste i różne, dlatego ogólne rozwiązanie LODE przy stałych współczynnikach ma postać


Liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Szuka się ogólnego rozwiązania LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami y w postaci sumy rozwiązania ogólnego odpowiedniego LDDE oraz szczególne rozwiązanie pierwotnego niejednorodnego równania, czyli . Poprzedni akapit poświęcony jest znalezieniu ogólnego rozwiązania jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Konkretne rozwiązanie określa się albo metodą nieokreślonych współczynników pewna forma funkcję f(x) po prawej stronie pierwotnego równania lub metodą zmieniania dowolnych stałych.

Jako przykłady LDDE drugiego rzędu o stałych współczynnikach podajemy


Aby zrozumieć teorię i zapoznać się ze szczegółowymi rozwiązaniami przykładów, oferujemy Państwu na stronie liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe (LODE) oraz liniowe niejednorodne równania różniczkowe (LNDE) drugiego rzędu.

Szczególnym przypadkiem równań różniczkowych tego typu są LODE i LDDE o stałych współczynnikach.

Ogólne rozwiązanie LODE na pewnym odcinku jest reprezentowane przez liniową kombinację dwóch liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych y 1 i y 2 tego równania, to znaczy: .

Główna trudność polega właśnie na znalezieniu liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych równania różniczkowego tego typu. Zazwyczaj wybierane są poszczególne rozwiązania spośród następujących układów funkcji liniowo niezależnych:


Jednak nie zawsze konkretne rozwiązania są prezentowane w tej formie.

Przykładem LOD jest .

Rozwiązanie ogólne LDDE szuka się w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego LDDE i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego równania różniczkowego. Właśnie rozmawialiśmy o znalezieniu tego, ale można to wyznaczyć za pomocą metody zmieniania dowolnych stałych.

Można podać przykład LNDU .

Równania różniczkowe wyższych rzędów.

Równania różniczkowe umożliwiające redukcję rzędu.

Rząd równania różniczkowego , która nie zawiera żądanej funkcji i jej pochodnych aż do rzędu k-1, można zredukować do n-k zastępując .

W tym przypadku pierwotne równanie różniczkowe zostanie zredukowane do . Po znalezieniu rozwiązania p(x) pozostaje powrócić do zamiany i wyznaczyć nieznaną funkcję y.

Na przykład równanie różniczkowe po zamianie stanie się równaniem z rozłącznymi zmiennymi, a jego kolejność zostanie zmniejszona z trzeciej do pierwszej.

Równanie różniczkowe to równanie, które obejmuje funkcję i jedną lub więcej jej pochodnych. W większości problemów praktycznych funkcje reprezentują wielkości fizyczne, pochodne odpowiadają szybkościom zmian tych wielkości, a równanie określa zależność między nimi.

W artykule omówiono metody rozwiązywania niektórych typów równań różniczkowych zwyczajnych, których rozwiązania można zapisać w postaci funkcje elementarne, czyli wielomian, wykładniczy, logarytmiczny i trygonometryczny, a także ich funkcje odwrotne. Wiele z tych równań pojawia się w prawdziwe życie, chociaż większości innych równań różniczkowych nie można rozwiązać tymi metodami, a dla nich odpowiedź jest zapisywana w postaci funkcji specjalnych lub szeregów potęgowych lub jest znajdowana metodami numerycznymi.

Aby zrozumieć ten artykuł, musisz być biegły w rachunku różniczkowym i całkowym, a także mieć pewną wiedzę na temat pochodnych cząstkowych. Zalecana jest także znajomość podstaw algebry liniowej w zastosowaniu do równań różniczkowych, zwłaszcza równań różniczkowych drugiego rzędu, chociaż do ich rozwiązania wystarczy znajomość rachunku różniczkowego i całkowego.

Wstępne informacje

• Równania różniczkowe mają obszerną klasyfikację. W tym artykule mowa o Równania różniczkowe zwyczajne, czyli o równaniach zawierających funkcję jednej zmiennej i jej pochodnych. Zwykłe równania różniczkowe są znacznie łatwiejsze do zrozumienia i rozwiązania niż Równania różniczkowe cząstkowe, które obejmują funkcje kilku zmiennych. W tym artykule nie omawiamy równań różniczkowych cząstkowych, ponieważ metody rozwiązywania tych równań są zwykle określone przez ich szczególną postać.
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów zwykłych równań różniczkowych.
    • re y re x = k y (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = ky)
    • re 2 x re t 2 + k x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) ({\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + kx = 0)
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów równań różniczkowych cząstkowych.
    • ∂ 2 fa ∂ x 2 + ∂ 2 fa ∂ y 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2))) + (\ Frac (\ częściowe ^ (2) )f)(\częściowe y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe u) (\ częściowe t)) - \ alfa (\ Frac (\ częściowe ^ (2) u) (\ częściowe x ^(2)))=0)
• Zamówienie równania różniczkowego wyznacza się rząd najwyższej pochodnej zawartej w tym równaniu. Pierwsze z powyższych równań różniczkowych zwyczajnych jest równaniem pierwszego rzędu, natomiast drugie jest równaniem drugiego rzędu. Stopień równania różniczkowego to największa potęga, do której podniesiony jest jeden ze składników tego równania.
  • Na przykład poniższe równanie jest trzecim rzędem i drugim stopniem.
    • (re 3 y re x 3) 2 + re y re x = 0 (\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (3) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (3)}) \ prawo)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Równanie różniczkowe jest liniowe równanie różniczkowe w przypadku, gdy funkcja i wszystkie jej pochodne są pierwszego stopnia. W przeciwnym razie równanie jest takie nieliniowe równanie różniczkowe. Liniowe równania różniczkowe są niezwykłe, ponieważ ich rozwiązania można wykorzystać do tworzenia kombinacji liniowych, które będą również rozwiązaniami danego równania.
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów liniowych równań różniczkowych.
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów nieliniowych równań różniczkowych. Pierwsze równanie jest nieliniowe ze względu na człon sinusoidalny.
    • re 2 θ re t 2 + sol l grzech ⁡ θ = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) \ teta) {{\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + ( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • re 2 x re t 2 + (d x re t) 2 + t x 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) ({\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Wspólna decyzja zwykłe równanie różniczkowe nie jest unikalne, obejmuje dowolne stałe całkowania. W większości przypadków liczba dowolnych stałych jest równa rządowi równania. W praktyce wartości tych stałych wyznacza się na podstawie danych warunki początkowe, czyli zgodnie z wartościami funkcji i jej pochodnych w x = 0. (\ displaystyle x = 0.) Liczba warunków początkowych, które należy znaleźć rozwiązanie prywatne równanie różniczkowe w większości przypadków jest również równe rzędowi danego równania.
  • Na przykład w tym artykule przyjrzymy się rozwiązaniu poniższego równania. Jest to liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jego ogólne rozwiązanie zawiera dwie dowolne stałe. Aby znaleźć te stałe, należy znać warunki początkowe w x (0) (\ displaystyle x (0)) I x ′ (0) . (\ displaystyle x „(0).) Zwykle warunki początkowe są określone w punkcie x = 0 , (\ displaystyle x = 0,), chociaż nie jest to konieczne. W tym artykule omówione zostanie również, jak znaleźć konkretne rozwiązania dla danych warunków początkowych.
    • re 2 x re t 2 + k 2 x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) ({\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + k ^ (2 )x=0)
    • x (t) = do 1 sałata ⁡ k x + do 2 grzech ⁡ k x (\ Displaystyle x (t) = c_ (1) \ cos kx + c_ (2) \ sin kx)

Kroki

Część 1

Równania pierwszego rzędu

Podczas korzystania z tej usługi niektóre informacje mogą zostać przesłane do serwisu YouTube.

1. Równania liniowe pierwszego rzędu. W tej sekcji omówiono metody rozwiązywania liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu w ogólnych i szczególnych przypadkach, gdy niektóre wyrazy są równe zero. Udawajmy, że y = y (x) , (\ displaystyle y = y (x),) p (x) (\ displaystyle p (x)) I q (x) (\ displaystyle q (x)) są funkcje X. (\ displaystyle x.)

   re y re x + p (x) y = q (x) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)) + p (x) y = q (x ))
   

   P. (x) = 0. (\ Displaystyle p (x) = 0.) Zgodnie z jednym z głównych twierdzeń Analiza matematyczna, całka pochodnej funkcji jest również funkcją. Zatem wystarczy po prostu całkować równanie, aby znaleźć rozwiązanie. Należy to wziąć pod uwagę przy obliczaniu Całka nieoznaczona pojawia się dowolna stała.

   • y (x) = ∫ q (x) re x (\ Displaystyle y (x) = \ int q (x) (\ operatorname (d)) x)

   Q (x) = 0. (\ displaystyle q (x) = 0.) Używamy metody separacja zmiennych. W tym przypadku przenoszone są różne zmienne różne strony równania Na przykład możesz przenieść wszystkich członków z y (\ displaystyle y) w jedno, a wszyscy członkowie z x (\ displaystyle x) na drugą stronę równania. Członkowie mogą być również przenoszeni re x (\ Displaystyle (\ operatorname (d)) x) I re y (\ Displaystyle (\ operatorname (d)) y), które wchodzą w skład wyrażeń pochodnych, jednak należy pamiętać, że są to właśnie wyrażenia pochodne symbol, co jest wygodne przy różniczkowaniu funkcji złożonej. Dyskusja tych członków, którzy są tzw różnice, wykracza poza zakres tego artykułu.

   • Najpierw musisz przenieść zmienne na przeciwne strony znaku równości.
     • 1 y re y = - p (x) re x (\ Displaystyle (\ Frac (1) (y)) (\ operatorname (d)) y = - p (x) (\ operatorname (d)) x)
   • Całkujmy obie strony równania. Po całkowaniu po obu stronach pojawią się dowolne stałe, które można przenieść na prawą stronę równania.
     • ln ⁡ y = ∫ - p (x) re x (\ Displaystyle \ ln y = \ int -p (x) (\ operatorname (d)) x)
     • y (x) = mi - ∫ p (x) re x (\ Displaystyle y (x) = e ^ (- \ int p (x) (\ operatorname (d)) x)}
   • Przykład 1.1. W ostatnim kroku skorzystaliśmy z reguły mi za + b = mi za mi b (\ displaystyle e ^ (a + b) = e ^ (a) e ^ (b)) i zastąpiony mi do (\ displaystyle e ^ (C)) NA C (\ displaystyle C), ponieważ jest to również dowolna stała całkowania.
     • re y re x - 2 y grzech ⁡ x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) -2y \ sin x = 0)
     • 1 2 y re y = grzech ⁡ x re x 1 2 ln ⁡ y = - sałata ⁡ x + do ln ⁡ y = - 2 sałata ⁡ x + do y (x) = do mi - 2 sałata ⁡ x (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(wyrównane)))

   P. (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\ Displaystyle p (x) \ neq 0, \ q (x) \ neq 0.) Aby znaleźć ogólne rozwiązanie, wprowadziliśmy czynnik integrujący jako funkcja x (\ displaystyle x) sprowadzić lewą stronę do wspólnej pochodnej i w ten sposób rozwiązać równanie.

   • Pomnóż obie strony przez μ (x) (\ Displaystyle \ mu (x))
     • μ re y re x + μ p y = μ q (\ Displaystyle \ mu (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) + \ mu py = \ mu q)
   • Aby sprowadzić lewą stronę do pochodnej ogólnej należy dokonać następujących przekształceń:
     • re re x (μ y) = re μ re x y + μ re y re x = μ re y re x + μ p y (\ Displaystyle (\ Frac (\ operatorname (d)) ({\ operatorname (d)) x)) (\ mu y) = (\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Oznacza to ostatnia równość re μ re x = μ p (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) \ mu) ({\ operatorname (d)) x}) = \ mu p). Jest to współczynnik całkujący wystarczający do rozwiązania dowolnego równania liniowego pierwszego rzędu. Teraz możemy wyprowadzić wzór na rozwiązanie tego równania w odniesieniu do μ , (\ displaystyle \ mu,) chociaż w szkoleniu przydatne jest wykonanie wszystkich obliczeń pośrednich.
     • μ (x) = mi ∫ p (x) re x (\ Displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (x) (\ operatorname (d)) x)}
   • Przykład 1.2. Ten przykład pokazuje, jak znaleźć konkretne rozwiązanie równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych.
     • t re y re t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\ Displaystyle t (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) t}) + 2y = t ^ (2) ,\quad y(2)=3)
     • re y re t + 2 t y = t (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) t}) + (\ Frac (2) (t)) y = t)
     • μ (x) = mi ∫ p (t) re t = mi 2 ln ⁡ t = t 2 (\ Displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (t) (\ operatorname (d)) t) = e ^(2\ln t)=t^(2))
     • re re t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + do y (t) = 1 4 t 2 + do t 2 (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) (\ Frac (\ operatorname (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + do 4 , do = 8 (\ Displaystyle 3 = y (2) = 1 + (\ Frac (C) (4)), \ quad C = 8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ Displaystyle y (t) = (\ Frac (1) (4)) t ^ (2) + (\ Frac (8) (t ^ (2)) ))
   
   Rozwiązywanie równań liniowych pierwszego rzędu (rejestracja Intuit – National Open University).

2. Równania nieliniowe pierwszego rzędu. W tej sekcji omówiono metody rozwiązywania niektórych nieliniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu. Chociaż nie ma ogólnej metody rozwiązywania takich równań, niektóre z nich można rozwiązać za pomocą poniższych metod.

   re y re x = fa (x, y) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = f (x, y)}
   re y re x = godz (x) sol (y) . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = h (x) g (y).) Jeśli funkcja fa (x, y) = godz (x) sol (y) (\ displaystyle f (x, y) = h (x) g (y)) można podzielić na funkcje jednej zmiennej, takie równanie nazywa się równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi. W takim przypadku możesz zastosować powyższą metodę:

   • ∫ re y godz (y) = ∫ sol (x) re x (\ Displaystyle \ int (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) (h (y)}) = \ int g (x) (\ operatorname (d) )X)
   • Przykład 1.3.
     • re y re x = x 3 y (1 + x 4) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)) = (\ Frac (x ^ (3)) ( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y re y = ∫ x 3 1 + x 4 re x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + do y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + do (\ displaystyle (\ rozpocząć(wyrównane)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(wyrównane)))

   re y re x = sol (x, y) godz (x, y) . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = (\ Frac (g (x, y)) (h (x, y))).) Udawajmy, że sol (x, y) (\ displaystyle g (x, y)) I h (x, y) (\ displaystyle h (x, y)) są funkcje x (\ displaystyle x) I y. (\ displaystyle y.) Następnie jednorodne równanie różniczkowe jest równaniem, w którym g (\ displaystyle g) I h (\ displaystyle h) Czy funkcje jednorodne w tym samym stopniu. Oznacza to, że funkcje muszą spełniać warunek sol (α x, α y) = α k sol (x, y) , (\ Displaystyle g (\ alfa x, \ alfa y) = \ alfa ^ (k) g (x, y),) Gdzie k (\ displaystyle k) nazywa się stopniem jednorodności. Można zastosować dowolne jednorodne równanie różniczkowe podstawienia zmiennych (v = y / x (\ displaystyle v = y / x) Lub v = x / y (\ displaystyle v = x/y)) przekształcić w równanie rozłączne.

   • Przykład 1.4. Powyższy opis jednorodności może wydawać się niejasny. Spójrzmy na tę koncepcję na przykładzie.
     • re y re x = y 3 - x 3 y 2 x (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = (\ Frac (y ^ (3) -x ^ (3))(y^(2)x)))
     • Na początek należy zauważyć, że równanie to jest nieliniowe względem y. (\ displaystyle y.) Widzimy również, że w tym przypadku nie ma możliwości rozdzielenia zmiennych. Jednocześnie to równanie różniczkowe jest jednorodne, ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik są jednorodne z potęgą 3. Dlatego możemy dokonać zmiany zmiennych v = y/x. (\ Displaystyle v = y / x.)
     • re y re x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) = (\ Frac (y) (x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , re y re x = re v re x x + v (\ Displaystyle y = vx, \ quad (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)) = (\ Frac ({\ operatorname (d) )v)((\mathrm (d))x))x+v)
     • re v re x x = - 1 v 2 . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) v) ({\ operatorname (d)) x}) x = - (\ Frac (1) (v ^ (2))).) W efekcie mamy równanie v (\ displaystyle v) z rozdzielnymi zmiennymi.
     • v (x) = - 3 ln ⁡ x + do 3 (\ Displaystyle v (x) = (\ sqrt [(3)] (-3 \ ln x + C)}}
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + do 3 (\ Displaystyle y (x) = x (\ sqrt [(3)] (-3 \ ln x + C)}}

   re y re x = p (x) y + q (x) y n . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = p (x) y + q (x) y ^ (n).) Ten Równanie różniczkowe Bernoulliego- specjalny rodzaj równania nieliniowego pierwszego stopnia, którego rozwiązanie można zapisać za pomocą funkcji elementarnych.

   • Pomnóż obie strony równania przez (1 - n) y - n (\ Displaystyle (1-n) y ^ (-n)):
     • (1 - n) y - n re y re x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ Displaystyle (1-n) y ^ (-n) (\ Frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej po lewej stronie i przekształcamy równanie na równanie liniowe stosunkowo y 1 - n , (\ Displaystyle y ^ (1-n),) które można rozwiązać powyższymi metodami.
     • re y 1 - n re x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y ^ (1-n)} ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) re y re x = 0. (\ Displaystyle M (x, y) + N (x, y) (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d) )x))=0.) Ten równanie różnic całkowitych. Konieczne jest znalezienie tzw potencjalna funkcja φ (x, y) , (\ Displaystyle \ varphi (x, y)), co spełnia warunek re φ re x = 0. (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) \ varphi) ({\ operatorname (d)) x}) = 0.)

   • Do wykonania ten warunek muszę mieć całkowita pochodna. Całkowita pochodna uwzględnia zależność od innych zmiennych. Aby obliczyć całkowitą pochodną φ (\ displaystyle \ varphi) Przez x , (\ displaystyle x,) zakładamy, że y (\ displaystyle y) może również zależeć X. (\ displaystyle x.)
     • re φ re x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y re y re x (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) \ varphi) ({\ operatorname (d)) x)) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi )(\częściowe x))+(\frac (\częściowe \varphi )(\częściowe y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Porównanie terminów daje nam M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\ Displaystyle M (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe x)}) I N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\ Displaystyle N (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe y)).) Jest to typowy wynik dla równań z kilkoma zmiennymi, w których mieszane pochodne funkcji gładkich są sobie równe. Czasami nazywa się ten przypadek Twierdzenie Clairauta. W tym przypadku równanie różniczkowe jest równaniem różniczkowym całkowitym, jeśli spełniony jest warunek:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe M) (\ częściowe y)) = (\ Frac (\ częściowe N) (\ częściowe x)})
   • Metoda rozwiązywania równań w różniczkach całkowitych jest podobna do znajdowania potencjalnych funkcji w obecności kilku pochodnych, które pokrótce omówimy. Najpierw integrujmy się M (\ displaystyle M) Przez X. (\ displaystyle x.) Ponieważ M (\ displaystyle M) jest funkcją i x (\ displaystyle x), I y , (\ displaystyle y,) po całkowaniu otrzymujemy funkcję niekompletną φ , (\ Displaystyle \ varphi,) oznaczony jako φ ~ (\ Displaystyle (\ tylda (\ varphi))). Wynik zależy również od y (\ displaystyle y) stała integracji.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) re x = φ ~ (x, y) + do (y) (\ Displaystyle \ varphi (x, y) = \ int M (x, y) (\ operatorname (d) )x=(\tylda (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Po tym, aby uzyskać do (y) (\ displaystyle c (y)) możemy obliczyć pochodną cząstkową otrzymanej funkcji względem y , (\ displaystyle y,) zrównać wynik N (x, y) (\ displaystyle N (x, y)) i integrować. Można też najpierw zintegrować N (\ displaystyle N), a następnie weź pochodną cząstkową względem x (\ displaystyle x), co pozwoli Ci znaleźć dowolną funkcję d(x). (\ displaystyle d (x).) Obie metody są odpowiednie i zazwyczaj do całkowania wybierana jest prostsza funkcja.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + re do re y (\ Displaystyle N (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe y)) = (\ Frac (\ częściowe (\tylda (\varphi )))(\częściowe y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Przykład 1.5. Możesz wziąć pochodne cząstkowe i zobaczyć, że poniższe równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y re y re x = 0 (\ Displaystyle 3x ^ (2) + y ^ (2) + 2xy (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) re x = x 3 + x y 2 + do (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + re do re y (\ Displaystyle (\ początek (wyrównany) \ varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\częściowe \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • re do re y = 0 , do (y) = do (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) c) ({\ operatorname (d)) y)} = 0, \ quad c (y) = C)
     • x 3 + x y 2 = do (\ displaystyle x ^ (3) + xy ^ (2) = C)
   • Jeśli równanie różniczkowe nie jest równaniem różniczkowym całkowitym, w niektórych przypadkach można znaleźć współczynnik całkujący, który pozwala na przekształcenie go w całkowite równanie różniczkowe. Jednak takie równania są rzadko stosowane w praktyce i chociaż czynnik całkujący istnieje, zdarza się, że go znajduje niełatwe, dlatego równania te nie są rozważane w tym artykule.

Część 2

Równania drugiego rzędu

1. Jednorodne liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Równania te są szeroko stosowane w praktyce, dlatego ich rozwiązanie ma pierwszorzędne znaczenie. W tym przypadku nie mówimy o funkcjach jednorodnych, ale o tym, że po prawej stronie równania znajduje się 0. W następnej sekcji pokażemy, jak rozwiązać odpowiednie heterogeniczny równania różniczkowe. Poniżej za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b) są stałymi.

   re 2 y re x 2 + za re y re x + b y = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2)}) + a (\ frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Równanie charakterystyczne. To równanie różniczkowe jest niezwykłe, ponieważ można je bardzo łatwo rozwiązać, jeśli zwrócisz uwagę na to, jakie właściwości powinny mieć jego rozwiązania. Z równania wynika, że y (\ displaystyle y) i jego pochodne są do siebie proporcjonalne. Z poprzednich przykładów, które omówiliśmy w części poświęconej równaniom pierwszego rzędu, wiemy, że tę właściwość ma tylko funkcja wykładnicza. Dlatego można zaproponować ansatz(wyrobione przypuszczenie), jakie będzie rozwiązanie tego równania.

   • Rozwiązanie będzie miało postać funkcji wykładniczej mi r x , (\ displaystyle e ^ (rx)) Gdzie r (\ displaystyle r) jest stałą, której wartość należy znaleźć. Podstaw tę funkcję do równania i otrzymaj następujące wyrażenie
     • mi r x (r 2 + za r + b) = 0 (\ displaystyle e ^ (rx) (r ^ (2) + ar + b) = 0)
   • Równanie to wskazuje, że iloczyn funkcji wykładniczej i wielomianu musi być równy zero. Wiadomo, że wykładnik nie może być równy zero dla żadnej wartości stopnia. Z tego wnioskujemy, że wielomian jest równy zero. W ten sposób sprowadziliśmy problem rozwiązania równania różniczkowego do znacznie prostszego problemu rozwiązania równania algebraicznego, który nazywa się równaniem charakterystycznym dla danego równania różniczkowego.
     • r 2 + za r + b = 0 (\ displaystyle r ^ (2) + ar + b = 0)
     • r ± = - za ± za 2 - 4 b 2 (\ Displaystyle r _ (\ pm) = (\ Frac (-a \ pm (\ sqrt (a ^ (2) -4b))) (2))}
   • Mamy dwa korzenie. Ponieważ to równanie różniczkowe jest liniowe, jego ogólnym rozwiązaniem jest liniowa kombinacja rozwiązań cząstkowych. Ponieważ jest to równanie drugiego rzędu, wiemy, że tak jest Naprawdę rozwiązanie ogólne i nie ma innych. Bardziej rygorystyczne uzasadnienie tego tkwi w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, które można znaleźć w podręcznikach.
   • Przydatnym sposobem sprawdzenia, czy dwa rozwiązania są liniowo niezależne, jest obliczenie Wrońskiana. Wrońskian W (\ displaystyle W) jest wyznacznikiem macierzy, której kolumny zawierają funkcje i ich kolejne pochodne. Twierdzenie o algebrze liniowej stwierdza, że ​​funkcje zawarte w Wrońskim są liniowo zależne, jeśli Wrońskian jest równy zero. W tej sekcji możemy sprawdzić, czy dwa rozwiązania są liniowo niezależne - w tym celu musimy się upewnić, że Wrońskian nie jest równy zero. Wrońskian jest ważny przy rozwiązywaniu niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach metodą zmiennych parametrów.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\ Displaystyle W = (\ początek (vmatrix) y_ (1) i y_ (2) \\ y_ (1) "& y_ (2)" \ koniec (vmatrix)})
   • W algebrze liniowej zbiór wszystkich rozwiązań danego równania różniczkowego tworzy przestrzeń wektorową, której wymiar jest równy rządowi równania różniczkowego. W tej przestrzeni można wybrać bazę liniowo niezależny decyzje od siebie. Jest to możliwe dzięki temu, że funkcja y (x) (\ displaystyle y (x)) ważny operator liniowy. Pochodna Jest operator liniowy, gdyż przekształca przestrzeń funkcji różniczkowalnych w przestrzeń wszystkich funkcji. Równania nazywane są jednorodnymi w tych przypadkach, gdy dla dowolnego operatora liniowego L (\ displaystyle L) musimy znaleźć rozwiązanie równania L [ y ] = 0. (\ displaystyle L [y] = 0.)

   Przejdźmy teraz do rozważenia kilku konkretnych przykładów. Przypadek wielokrotnych pierwiastków równania charakterystycznego rozważymy nieco później, w części poświęconej redukcji rzędu.

   Jeśli korzenie r ± (\ displaystyle r _ (\ pm)) są różnymi liczbami rzeczywistymi, równanie różniczkowe ma następujące rozwiązanie

   • y (x) = do 1 mi r + x + do 2 mi r - x (\ displaystyle y (x) = c_ (1) e ^ (r_ (+) x) + c_ (2) e ^ (r_ (-) x ))

   Dwa złożone korzenie. Z podstawowego twierdzenia algebry wynika, że ​​rozwiązania równań wielomianowych o współczynnikach rzeczywistych mają pierwiastki rzeczywiste lub tworzą pary sprzężone. Dlatego jeśli liczba zespolona r = α + ja β (\ Displaystyle r = \ alfa + i \ beta) jest zatem pierwiastkiem równania charakterystycznego r ∗ = α - ja β (\ Displaystyle r ^ (*) = \ alfa -i \ beta) jest także pierwiastkiem tego równania. Rozwiązanie możemy zatem zapisać w postaci do 1 mi (α + ja β) x + do 2 mi (α - ja β) x , (\ Displaystyle c_ (1) e ^ ({\ alfa + i \ beta) x) + c_ (2) e ^ ( (\alfa -i\beta)x),) jest to jednak liczba zespolona i nie jest pożądana do rozwiązywania problemów praktycznych.

   • Zamiast tego możesz użyć Wzór Eulera mi ja x = sałata ⁡ x + ja grzech ⁡ x (\ Displaystyle e ^ (ix) = \ cos x + i \ sin x), co pozwala nam zapisać rozwiązanie w postaci funkcje trygonometryczne:
     • mi α x ( do 1 sałata ⁡ β x + ja do 1 grzech ⁡ β x + do 2 sałata ⁡ β x - ja do 2 grzech ⁡ β x) (\ Displaystyle e ^ (\ alfa x) (c_ (1) \ cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Teraz możesz zamiast stałej do 1 + do 2 (\ displaystyle c_ (1) + c_ (2)) zanotować do 1 (\ displaystyle c_ (1)) i wyrażenie ja (do 1 - do 2) (\ displaystyle i (c_ (1) -c_ (2))) zastąpione przez c 2 . (\ Displaystyle c_ (2).) Po tym otrzymujemy następujące rozwiązanie:
     • y (x) = mi α x (c 1 sałata ⁡ β x + do 2 grzech ⁡ β x) (\ Displaystyle y (x) = e ^ (\ alfa x) (c_ (1) \ cos \ beta x + c_ (2)\sin\beta x))
   • Istnieje inny sposób zapisania rozwiązania w kategoriach amplitudy i fazy, który lepiej nadaje się do problemów fizycznych.
   • Przykład 2.1. Znajdźmy rozwiązanie podanego poniżej równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych. Aby to zrobić, musisz wziąć wynikowe rozwiązanie, jak i jego pochodna i podstawimy je do warunków początkowych, co pozwoli nam wyznaczyć dowolne stałe.
     • re 2 x re t 2 + 3 re x re t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = - 1 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) (( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 ja (\ Displaystyle r ^ (2) + 3r + 10 = 0, \ quad r _ (\ pm) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )I)
     • x (t) = mi - 3 t / 2 (do 1 sałata ⁡ 31 2 t + do 2 grzech ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle x (t) = e ^ (-3t / 2) \ lewo (c_ (1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = do 1 (\ Displaystyle x (0) = 1 = c_ (1))
     • x ′ (t) = - 3 2 mi - 3 t / 2 ( do 1 sałata ⁡ 31 2 t + do 2 grzech ⁡ 31 2 t) + mi - 3 t / 2 (- 31 2 do 1 grzech ⁡ 31 2 t + 31 2 do 2 sałata ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) x" (t) i = - (\ Frac (3) (2)) e ^ (-3t / 2) \ lewo (c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = - 1 = - 3 2 do 1 + 31 2 do 2 , do 2 = 1 31 (\ Displaystyle x" (0) = -1 = - (\ Frac (3) (2)) c_ ( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = mi - 3 t / 2 (bos ⁡ 31 2 t + 1 31 grzech ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle x (t) = e ^ (-3t / 2) \ lewo (\ cos (\ frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Rozwiązywanie równań różniczkowych n-tego rzędu o stałych współczynnikach (rejestracja Intuit - National Open University).

2. Malejący porządek. Redukcja rzędu to metoda rozwiązywania równań różniczkowych, gdy znane jest jedno liniowo niezależne rozwiązanie. Metoda ta polega na obniżeniu rzędu równania o jeden, co pozwala na rozwiązanie równania metodami opisanymi w poprzednim rozdziale. Niech rozwiązanie będzie znane. Główną ideą redukcji rzędu jest znalezienie rozwiązania w poniższej formie, gdzie konieczne jest zdefiniowanie funkcji v (x) (\ displaystyle v (x)), podstawiając go do równania różniczkowego i znajdując v(x). (\ displaystyle v (x).) Przyjrzyjmy się, jak można zastosować redukcję rzędu do rozwiązania równania różniczkowego ze stałymi współczynnikami i wieloma pierwiastkami.

   
   

   Wiele korzeni jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach. Przypomnijmy, że równanie drugiego rzędu musi mieć dwa liniowo niezależne rozwiązania. Jeżeli równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków, to zbiór rozwiązań Nie tworzy przestrzeń, ponieważ rozwiązania te są liniowo zależne. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie redukcji rzędu w celu znalezienia drugiego liniowo niezależnego rozwiązania.

   • Niech równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków r (\ displaystyle r). Załóżmy, że drugie rozwiązanie można zapisać w postaci y (x) = mi r x v (x) (\ displaystyle y (x) = e ^ (rx) v (x)) i podstawiamy go do równania różniczkowego. W tym przypadku większość terminów, z wyjątkiem wyrazu z drugą pochodną funkcji v , (\ displaystyle v,) zostanie zredukowane.
     • v ″ (x) mi r x = 0 (\ displaystyle v"" (x) e ^ (rx) = 0)
   • Przykład 2.2. Niech zostanie podane następujące równanie, które ma wiele pierwiastków r = - 4. (\ displaystyle r = -4.) Podczas podstawienia większość terminów ulega redukcji.
     • re 2 y re x 2 + 8 re y re x + 16 y = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2)}) + 8 ( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) mi - 4 x y ′ = v ′ (x) mi - 4 x - 4 v (x) mi - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - 8 v ′ (x) mi - 4 x + 16 v (x) mi - 4 x (\ Displaystyle (\ początek (wyrównany) y & = v (x) e ^ (-4x) \\ y" i = v" (x) e ^ (-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(wyrównane)))
     • v ″ mi - 4 x - 8 v ′ mi - 4 x + 16 v mi - 4 x + 8 v ′ mi - 4 x - 32 v mi - 4 x + 16 v mi - 4 x = 0 (\ displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Podobnie jak w naszym ansatzu dla równania różniczkowego o stałych współczynnikach, w tym przypadku tylko druga pochodna może być równa zeru. Całkujemy dwukrotnie i uzyskujemy pożądane wyrażenie v (\ displaystyle v):
     • v (x) = do 1 + do 2 x (\ displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) x)
   • Następnie ogólne rozwiązanie równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku, gdy równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków, można zapisać w następującej postaci. Dla wygody możesz pamiętać, że aby uzyskać liniową niezależność, wystarczy po prostu pomnożyć drugi wyraz przez x (\ displaystyle x). Ten zbiór rozwiązań jest liniowo niezależny, dlatego znaleźliśmy wszystkie rozwiązania tego równania.
     • y (x) = (c 1 + do 2 x) mi r x (\ displaystyle y (x) = (c_ (1) + c_ (2) x) e ^ (rx)}

   re 2 y re x 2 + p (x) re y re x + q (x) y = 0. (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ ( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Redukcja zamówienia ma zastosowanie, jeśli rozwiązanie jest znane y 1 (x) (\ Displaystyle y_ (1) (x)), które można znaleźć lub podać w opisie problemu.

   • Szukamy rozwiązania w formie y (x) = v (x) y 1 (x) (\ Displaystyle y (x) = v (x) y_ (1) (x)) i podstawiamy to do równania:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\ displaystyle v"" y_ ( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Ponieważ y 1 (\ displaystyle y_ (1)) jest rozwiązaniem równania różniczkowego, wszystkie terminy z v (\ displaystyle v) są redukowane. W końcu pozostaje równanie liniowe pierwszego rzędu. Aby zobaczyć to wyraźniej, dokonajmy zmiany zmiennych w (x) = v ′ (x) (\ displaystyle w (x) = v" (x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ displaystyle y_ (1) w"+ (2y_ (1)" + p (x) y_ (1)) w = 0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) re x) (\ Displaystyle w (x) = \ exp \ lewo (\ int \ lewo ({\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d))x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) re x (\ Displaystyle v (x) = \ int w (x) (\ operatorname (d)) x)
   • Jeśli całki można obliczyć, rozwiązanie ogólne otrzymujemy jako kombinację funkcji elementarnych. W przeciwnym razie rozwiązanie można pozostawić w formie integralnej.

3. Równanie Cauchy'ego-Eulera. Równanie Cauchy'ego-Eulera jest przykładem równania różniczkowego drugiego rzędu z zmienne współczynniki, które mają dokładne rozwiązania. Równanie to stosuje się w praktyce np. do rozwiązywania równania Laplace'a we współrzędnych sferycznych.

   X 2 re 2 y re x 2 + za x re y re x + b y = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Równanie charakterystyczne. Jak widać, w tym równaniu różniczkowym każdy wyraz zawiera współczynnik mocy, którego stopień jest równy rządowi odpowiedniej pochodnej.

   • Można zatem spróbować poszukać rozwiązania w formularzu y (x) = x n , (\ Displaystyle y (x) = x ^ (n),) gdzie trzeba to ustalić n (\ displaystyle n), tak jak szukaliśmy rozwiązania w postaci funkcji wykładniczej dla liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Po różniczkowaniu i podstawieniu otrzymujemy
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\ displaystyle x ^ (n) (n ^ (2) + (a-1) n + b) = 0)
   • Aby skorzystać z równania charakterystycznego, musimy to założyć x ≠ 0 (\ displaystyle x \ neq 0). Kropka x = 0 (\ displaystyle x = 0) zwany regularny punkt osobliwy równanie różniczkowe. Takie punkty są ważne przy rozwiązywaniu równań różniczkowych za pomocą szeregów potęgowych. Równanie to ma dwa pierwiastki, które mogą być różne i sprzężone w sposób rzeczywisty, wielokrotny lub złożony.
     • n ± = 1 - za ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\ Displaystyle n _ (\ pm) = (\ Frac (1-a \ pm (\ sqrt ((a-1) ^ (2) -4b )))(2)))

   Dwa różne rzeczywiste korzenie. Jeśli korzenie n ± (\ Displaystyle n _ (\ pm)) są rzeczywiste i różne, to rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:

   • y (x) = do 1 x n + + do 2 x n - (\ Displaystyle y (x) = c_ (1) x ^ (n_ (+)) + c_ (2) x ^ (n_ (-)))

   Dwa złożone korzenie. Jeśli równanie charakterystyczne ma pierwiastki n ± = α ± β ja (\ Displaystyle n _ (\ pm) = \ alfa \ pm \ beta i), rozwiązaniem jest funkcja złożona.

   • Aby przekształcić rozwiązanie w funkcję rzeczywistą, dokonujemy zmiany zmiennych x = mi t , (\ Displaystyle x = e ^ (t)) to jest t = ln ⁡ x , (\ displaystyle t = \ ln x,) i skorzystaj ze wzoru Eulera. Podobne działania wykonywano wcześniej przy wyznaczaniu dowolnych stałych.
     • y (t) = mi α t (c 1 mi β ja t + do 2 mi - β ja t) (\ Displaystyle y (t) = e ^ (\ alfa t) (c_ (1) e ^ (\ beta to) + c_(2)e^(-\beta tego)))
   • Następnie rozwiązanie ogólne można zapisać jako
     • y (x) = x α (do 1 sałata ⁡ (β ln ⁡ x) + do 2 grzech ⁡ (β ln ⁡ x)) (\ Displaystyle y (x) = x ^ (\ alfa) (c_ (1) \ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Wiele korzeni. Aby otrzymać drugie liniowo niezależne rozwiązanie należy ponownie zmniejszyć rząd.

   • Wymaga to sporo obliczeń, ale zasada pozostaje ta sama: podstawiamy y = v (x) y 1 (\ displaystyle y = v (x) y_ (1)) w równanie, którego pierwszym rozwiązaniem jest y 1 (\ displaystyle y_ (1)). Po redukcjach otrzymuje się następujące równanie:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\ Displaystyle v "" + (\ Frac (1) (x)) v" = 0)
   • Jest to równanie liniowe pierwszego rzędu względem v ′ (x) . (\ displaystyle v” (x).) Jego rozwiązaniem jest v (x) = do 1 + do 2 ln ⁡ x . (\ Displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) \ ln x.) Zatem rozwiązanie można zapisać w następującej postaci. Jest to dość łatwe do zapamiętania - aby otrzymać drugie liniowo niezależne rozwiązanie wystarczy po prostu dodatkowy człon ln ⁡ x (\ displaystyle \ ln x).
     • y (x) = x n (do 1 + do 2 ln ⁡ x) (\ Displaystyle y (x) = x ^ (n) (c_ (1) + c_ (2) \ ln x))

4. Niejednorodne liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Równania niejednorodne mają postać L [ y (x) ] = fa (x) , (\ Displaystyle L = f (x),) Gdzie fa (x) (\ displaystyle f (x))- tak zwana Wolny Członek. Zgodnie z teorią równań różniczkowych ogólnym rozwiązaniem tego równania jest superpozycja rozwiązanie prywatne y p (x) (\ Displaystyle y_ (p) (x)) I dodatkowe rozwiązanie yc (x) . (\ Displaystyle y_ (c) (x).) Jednak w tym przypadku konkretne rozwiązanie nie oznacza rozwiązania danego przez warunki początkowe, ale raczej rozwiązanie, które jest zdeterminowane obecnością heterogeniczności (termin dowolny). Dodatkowym rozwiązaniem jest rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego, w którym fa (x) = 0. (\ displaystyle f (x) = 0.) Ogólne rozwiązanie jest superpozycją tych dwóch rozwiązań, ponieważ L [ y p + y do ] = L [ y p ] + L [ y do ] = fa (x) (\ displaystyle L = L + L = f (x)), i od L [ y do ] = 0 , (\ displaystyle L = 0,) taka superpozycja jest rzeczywiście rozwiązaniem ogólnym.

   re 2 y re x 2 + za re y re x + b y = fa (x) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2)}) + a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metoda współczynników nieokreślonych. Metodę współczynników nieokreślonych stosuje się w przypadkach, gdy człon fikcyjny jest kombinacją współczynników wykładniczych, trygonometrycznych, hiperbolicznych lub funkcje mocy. Tylko te funkcje mają gwarancję skończonej liczby liniowo niezależnych pochodnych. W tej sekcji znajdziemy szczególne rozwiązanie równania.

   • Porównajmy warunki w fa (x) (\ displaystyle f (x)) z terminami in bez zwracania uwagi na stałe czynniki. Istnieją trzy możliwe przypadki.
     • Nie ma dwóch takich samych członków. W tym przypadku konkretne rozwiązanie y p (\ displaystyle y_ (p)) będzie liniową kombinacją terminów z y p (\ displaystyle y_ (p))
     • fa (x) (\ displaystyle f (x)) zawiera członka x n (\ displaystyle x ^ (n)) i członek z y do , (\ Displaystyle y_ (c)) Gdzie n (\ displaystyle n) wynosi zero lub dodatnią liczbę całkowitą, a człon ten odpowiada oddzielnemu pierwiastkowi równania charakterystycznego. W tym przypadku y p (\ displaystyle y_ (p)) będzie składać się z kombinacji funkcji x n + 1 godz (x) , (\ Displaystyle x ^ (n+1) h (x),) jego liniowo niezależne pochodne, a także inne terminy fa (x) (\ displaystyle f (x)) i ich liniowo niezależne pochodne.
     • fa (x) (\ displaystyle f (x)) zawiera członka h (x) , (\ displaystyle h (x)) co jest dziełem x n (\ displaystyle x ^ (n)) i członek z y do , (\ Displaystyle y_ (c)) Gdzie n (\ displaystyle n) równa się 0 lub dodatnia liczba całkowita i termin ten odpowiada wiele pierwiastek równania charakterystycznego. W tym przypadku y p (\ displaystyle y_ (p)) jest kombinacją liniową funkcji x n + s godz (x) (\ Displaystyle x ^ (n + s) h (x))(Gdzie s (\ displaystyle s)- krotność pierwiastka) i jej liniowo niezależne pochodne, a także inne elementy funkcji fa (x) (\ displaystyle f (x)) i jego liniowo niezależne pochodne.
   • Zapiszmy to y p (\ displaystyle y_ (p)) jako liniowa kombinacja terminów wymienionych powyżej. Dzięki tym współczynnikom w kombinacji liniowej Ta metoda zwaną „metodą nieokreślonych współczynników”. Gdy zawarte w y do (\ displaystyle y_ (c)) elementy można odrzucić ze względu na obecność dowolnych stałych y c. (\ Displaystyle y_ (c).) Następnie zastępujemy y p (\ displaystyle y_ (p)) do równania i zrównać podobne wyrazy.
   • Ustalamy współczynniki. Na tym etapie otrzymujemy system równania algebraiczne, które zwykle można rozwiązać bez żadnych problemów. Rozwiązanie tego układu pozwala nam uzyskać y p (\ displaystyle y_ (p)) i w ten sposób rozwiązać równanie.
   • Przykład 2.3. Rozważmy niejednorodne równanie różniczkowe, którego wolny wyraz zawiera skończoną liczbę liniowo niezależnych pochodnych. Szczególne rozwiązanie takiego równania można znaleźć metodą współczynników nieokreślonych.
     • re 2 r re t 2 + 6 r = 2 mi 3 t - sałata ⁡ 5 t (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) t ^ (2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y do (t) = do 1 sałata ⁡ 6 t + do 2 grzech ⁡ 6 t (\ Displaystyle y_ (c) (t) = c_ (1) \ cos (\ sqrt (6)) t + c_ (2) \ grzech (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = ZA mi 3 t + b sałata ⁡ 5 t + do grzech ⁡ 5 t (\ Displaystyle y_ (p) (t) = Ae ^ (3t) + B \ cos 5t + C \ sin 5t)
     • 9 ZA mi 3 t - 25 b sałata ⁡ 5 t - 25 do grzech ⁡ 5 t + 6 ZA mi 3 t + 6 b sałata ⁡ 5 t + 6 do grzech ⁡ 5 t = 2 mi 3 t - sałata ⁡ 5 t ( \ Displaystyle (\ początek (wyrównany) 9Ae ^ (3t) -25B \ cos 5t i -25C \ sin 5t + 6Ae ^ (3t) \\&+ 6B \ cos 5t + 6C \ sin 5t = 2e ^ (3t) - \ cos 5t\end(wyrównane)))
     • ( 9 ZA + 6 ZA = 2 , ZA = 2 15 - 25 b + 6 b = - 1 , b = 1 19 - 25 do + 6 do = 0 , do = 0 (\ Displaystyle (\ początek (przypadki) 9A + 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ koniec(przypadki)))
     • y (t) = do 1 sałata ⁡ 6 t + do 2 grzech ⁡ 6 t + 2 15 mi 3 t + 1 19 sałata ⁡ 5 t (\ Displaystyle y (t) = c_ (1) \ cos (\ sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metoda Lagrange’a. Metoda Lagrange'a, czyli metoda wariancji dowolnych stałych, jest czymś więcej metoda ogólna rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych, szczególnie w przypadkach, gdy wyraz wolny nie zawiera skończonej liczby liniowo niezależnych pochodnych. Na przykład z darmowymi warunkami dębnik ⁡ x (\ displaystyle \ tan x) Lub x - n (\ displaystyle x ^ (-n)) aby znaleźć konkretne rozwiązanie, należy skorzystać z metody Lagrange'a. Metodę Lagrange'a można nawet zastosować do rozwiązywania równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach, chociaż w tym przypadku, z wyjątkiem równania Cauchy'ego-Eulera, jest ona stosowana rzadziej, ponieważ dodatkowe rozwiązanie zwykle nie jest wyrażane w postaci funkcji elementarnych.

   • Załóżmy, że rozwiązanie ma następującą postać. W drugim wierszu podana jest jej pochodna.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ displaystyle y (x) = v_ (1) (x) y_ (1) (x) + v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ r 1 + v 1 r 1 ′ + v 2 ′ r 2 + v 2 r 2 ′ (\ Displaystyle y" = v_ (1) "y_ (1) + v_ (1) y_ (1) „+v_(2)”y_(2)+v_(2)y_(2)”)
   • Ponieważ proponowane rozwiązanie zawiera dwa nieznane ilości, należy narzucić dodatkowy stan : schorzenie. Wybierzmy ten dodatkowy warunek w następującej postaci:
     • v 1 ′ r 1 + v 2 ′ r 2 = 0 (\ Displaystyle v_ (1) "y_ (1) + v_ (2)" y_ (2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ Displaystyle y" = v_ (1) y_ (1) "+ v_ (2) y_ (2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ Displaystyle y "" = v_ (1) "y_ (1)" + v_ (1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Teraz możemy otrzymać drugie równanie. Po zastąpieniu i redystrybucji członków można grupować członków za pomocą v 1 (\ displaystyle v_ (1)) i członkowie z v 2 (\ displaystyle v_ (2)). Terminy te zostały skrócone, ponieważ y 1 (\ displaystyle y_ (1)) I y 2 (\ displaystyle y_ (2)) są rozwiązaniami odpowiedniego równania jednorodnego. W rezultacie otrzymujemy następujący układ równań
     • v 1 ′ r 1 + v 2 ′ r 2 = 0 v 1 ′ r 1 ′ + v 2 ′ r 2 ′ = fa (x) (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) v_ (1) „y_ (1) + v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(wyrównane)))
   • Układ ten można przekształcić w równanie macierzowe postaci ZA x = b , (\ Displaystyle A (\ mathbf (x)) = (\ mathbf (b) ),) czyje jest rozwiązanie x = ZA - 1 b . (\ Displaystyle (\ mathbf (x) ) = A ^ (-1) (\ mathbf (b)).) Dla matrixa 2 × 2 (\ Displaystyle 2 \ razy 2) odwrotna macierz można znaleźć dzieląc przez wyznacznik, przestawiając elementy ukośne i zmieniając znak elementów niediagonalnych. Tak naprawdę wyznacznikiem tej macierzy jest Wrońskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - r 2 - r 1 ′ r 1) (0 fa (x)) (\ Displaystyle (\ początek (pmatrix) v_ (1) "\\ v_ ( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Wyrażenia dla v 1 (\ displaystyle v_ (1)) I v 2 (\ displaystyle v_ (2)) podano poniżej. Podobnie jak w metodzie redukcji rzędu, w tym przypadku podczas całkowania pojawia się dowolna stała, która zawiera dodatkowe rozwiązanie w ogólnym rozwiązaniu równania różniczkowego.
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W fa (x) y 2 (x) re x (\ Displaystyle v_ (1) (x) = - \ int (\ Frac (1) (W)) f (x) y_ ( 2)(x)(\mathrm (d))x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W fa (x) y 1 (x) re x (\ Displaystyle v_ (2) (x) = \ int (\ Frac (1) (W)) f (x) y_ (1) (x)(\mathrm (d))x)
   
   Wykład z National Open University Intuit zatytułowany „Liniowe równania różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach”.

Praktyczne użycie

Równania różniczkowe ustalają związek między funkcją a jedną lub większą liczbą jej pochodnych. Ponieważ takie połączenia są niezwykle powszechne, szerokie zastosowanie znalazły równania różniczkowe różne obszary, a ponieważ żyjemy w czterech wymiarach, równania te są często równaniami różniczkowymi prywatny pochodne. W tej sekcji omówiono niektóre z najważniejszych równań tego typu.

• Wykładniczy wzrost i upadek. Rozpad radioaktywny. Odsetki składane. Prędkość reakcje chemiczne. Stężenie leków we krwi. Nieograniczony wzrost populacji. Prawo Newtona-Richmanna. W prawdziwym świecie istnieje wiele systemów, w których tempo wzrostu lub zaniku w dowolnym momencie jest proporcjonalne do ilości ten moment czasie lub mogą być dobrze przybliżone przez model. Dzieje się tak, ponieważ rozwiązanie danego równania różniczkowego, czyli funkcja wykładnicza, jest jedną z najważniejszych funkcji w matematyce i innych naukach. Mówiąc bardziej ogólnie, przy kontrolowanym wzroście populacji, system może zawierać dodatkowe warunki ograniczające wzrost. W poniższym równaniu stała k (\ displaystyle k) może być większa lub mniejsza od zera.
  • re y re x = k x (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = kx)
• Wibracje harmoniczne. Zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej oscylator harmoniczny jest jednym z najważniejszych układów fizycznych ze względu na swoją prostotę i szerokie zastosowanie w aproksymacji bardziej złożonych układów, takich jak proste wahadło. W mechanice klasycznej drgania harmoniczne opisuje się równaniem, które wiąże położenie punktu materialnego z jego przyspieszeniem zgodnie z prawem Hooke'a. W tym przypadku można również uwzględnić siły tłumiące i napędowe. W poniższym wyrażeniu x ˙ (\ Displaystyle (\ kropka (x)))- pochodna czasu x , (\ displaystyle x,) β (\ displaystyle \ beta)- parametr opisujący siłę tłumienia, ω 0 (\ Displaystyle \ omega _ (0))- częstotliwość kątowa układu, fa (t) (\ displaystyle F (t))- zależne od czasu siła napędowa. Oscylator harmoniczny występuje także w elektromagnetycznych obwodach oscylacyjnych, gdzie można go zastosować z większą dokładnością niż w układach mechanicznych.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = fa (t) (\ Displaystyle (\ ddot (x)) + 2 \ beta (\ kropka (x)) + \ omega _ (0) ^ (2) x =F(t))
• Równanie Bessela. Równanie różniczkowe Bessela jest stosowane w wielu dziedzinach fizyki, w tym w rozwiązywaniu równania falowego, równania Laplace'a i równania Schrödingera, zwłaszcza w obecności symetrii cylindrycznej lub sferycznej. To równanie różniczkowe drugiego rzędu ze zmiennymi współczynnikami nie jest równaniem Cauchy'ego-Eulera, więc jego rozwiązań nie można zapisać jako funkcji elementarnych. Rozwiązaniami równania Bessela są funkcje Bessela, które są dobrze poznane ze względu na ich zastosowanie w wielu dziedzinach. W poniższym wyrażeniu α (\ displaystyle \ alfa)- stała, która odpowiada w celu Funkcje Bessela.
  • x 2 re 2 y re x 2 + x re y re x + (x 2 - α 2) y = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Równania Maxwella. Równania Maxwella, wraz z siłą Lorentza, stanowią podstawę klasycznej elektrodynamiki. Oto cztery częściowe równania różniczkowe dla prądu elektrycznego mi (r, t) (\ Displaystyle (\ mathbf (E)) ({\ mathbf (r)), t)} i magnetyczne B (r, t) (\ Displaystyle (\ mathbf (B)) ({\ mathbf (r)), t)} pola. W poniższych wyrażeniach ρ = ρ (r, t) (\ Displaystyle \ rho = \ rho ({\ mathbf (r)), t)}- gęstość ładunku, jot = jot (r, t) (\ displaystyle (\ mathbf (J)) = (\ mathbf (J)) ({\ mathbf (r)), t)}- gęstość prądu i ϵ 0 (\ Displaystyle \ epsilon _ (0)) I μ 0 (\ displaystyle \ mu _ (0))- odpowiednio stałe elektryczne i magnetyczne.
  • ∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ b = 0 ∇ × mi = - ∂ b ∂ t ∇ × b = μ 0 jot + μ 0 ϵ 0 ∂ mi ∂ t (\ displaystyle (\ początek (wyrównany) \ nabla \ cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Równanie Schrödingera. W mechanice kwantowej równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem ruchu, które opisuje ruch cząstek zgodnie ze zmianą funkcji falowej Ψ = Ψ (r, t) (\ Displaystyle \ Psi = \ Psi ({\ mathbf (r)), t)} z czasem. Równanie ruchu opisuje zachowanie Hamiltonian H ^ (\ Displaystyle (\ kapelusz (H))) - operator, który opisuje energię układu. Jednym z dobrze znanych przykładów równania Schrödingera w fizyce jest równanie dla pojedynczej nierelatywistycznej cząstki poddanej potencjałowi V (r, t) (\ displaystyle V ({\ mathbf (r)), t)}. Wiele układów opisuje się za pomocą zależnego od czasu równania Schrödingera, a po lewej stronie równania jest mi Ψ , (\ displaystyle E \ Psi,) Gdzie mi (\ displaystyle E)- energia cząstek. W poniższych wyrażeniach ℏ (\ displaystyle \ hbar)- zmniejszona stała Plancka.
  • ja ℏ ∂ Ψ ∂ t = H. ^ Ψ (\ Displaystyle i \ hbar (\ Frac (\ częściowe \ Psi) (\ częściowe t)) = (\ kapelusz (H)) \ Psi)
  • ja ℏ ∂ Ψ ∂ t = (- ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r, t)) Ψ (\ Displaystyle i \ hbar (\ Frac (\ częściowe \ Psi) (\ częściowe t)) = \ lewo (- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Równanie falowe. Fizyki i technologii nie można sobie wyobrazić bez fal, są one obecne we wszystkich typach systemów. Ogólnie fale opisuje poniższe równanie, w którym u = u (r, t) (\ Displaystyle u = u ({\ mathbf (r)), t)} jest pożądaną funkcją, oraz do (\ displaystyle c)- stała wyznaczona eksperymentalnie. d'Alembert jako pierwszy odkrył, że dla przypadku jednowymiarowego rozwiązaniem równania falowego jest: każdy funkcja z argumentem x - do t (\ displaystyle x-ct), który opisuje falę o dowolnym kształcie rozchodzącą się w prawo. Ogólnym rozwiązaniem przypadku jednowymiarowego jest liniowa kombinacja tej funkcji z drugą funkcją z argumentem x + do t (\ displaystyle x + ct), który opisuje falę rozchodzącą się w lewo. Rozwiązanie to przedstawiono w drugiej linii.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = do 2 ∇ 2 u (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe ^ (2) u) (\ częściowe t ^ (2))) = c ^ (2) \ nabla ^ (2) u )
  • u (x , t) = fa (x - do t) + sol (x + do t) (\ Displaystyle u (x, t) = f (x-ct) + g (x + ct))
• Równania Naviera-Stokesa. Równania Naviera-Stokesa opisują ruch płynów. Ponieważ płyny są obecne w praktycznie każdej dziedzinie nauki i technologii, równania te są niezwykle ważne w przewidywaniu pogody, projektowaniu samolotów, badaniu prądów oceanicznych i rozwiązywaniu wielu innych stosowanych problemów. Równania Naviera-Stokesa są nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi i w większości przypadków są bardzo trudne do rozwiązania, ponieważ nieliniowość prowadzi do turbulencji, a uzyskanie stabilnego rozwiązania metodami numerycznymi wymaga podziału na bardzo małe komórki, co wymaga dużej mocy obliczeniowej. Ze względów praktycznych w hydrodynamice do modelowania przepływów turbulentnych stosuje się metody takie jak uśrednianie czasu. Złożone zadania są jeszcze bardziej podstawowe pytania, takie jak istnienie i jednoznaczność rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, a udowodnienie istnienia i jednoznaczności rozwiązania równań Naviera-Stokesa w trzech wymiarach należy do matematycznych problemów tysiąclecia. Poniżej znajdują się równanie przepływu nieściśliwego płynu i równanie ciągłości.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ godz , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe (\ mathbf (u))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Wielu równań różniczkowych po prostu nie da się rozwiązać za pomocą powyższych metod, szczególnie tych wymienionych w ostatniej sekcji. Ma to zastosowanie, gdy równanie zawiera zmienne współczynniki i nie jest równaniem Cauchy'ego-Eulera lub gdy równanie jest nieliniowe, z wyjątkiem kilku bardzo rzadkich przypadków. Jednakże powyższymi metodami można rozwiązać wiele ważnych równań różniczkowych, które często spotyka się w różnych dziedzinach nauki.
• W przeciwieństwie do różniczkowania, które pozwala znaleźć pochodną dowolnej funkcji, całki wielu wyrażeń nie można wyrazić w funkcjach elementarnych. Nie trać więc czasu na obliczanie całki, gdy jest to niemożliwe. Spójrz na tabelę całek. Jeśli rozwiązania równania różniczkowego nie można wyrazić w postaci funkcji elementarnych, czasami można je przedstawić w postaci całkowej i w tym przypadku nie ma znaczenia, czy całkę tę można obliczyć analitycznie.

Ostrzeżenia

• Wygląd równanie różniczkowe może wprowadzać w błąd. Na przykład poniżej znajdują się dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu. Pierwsze równanie można łatwo rozwiązać metodami opisanymi w tym artykule. Na pierwszy rzut oka niewielka zmiana y (\ displaystyle y) NA y 2 (\ displaystyle y ^ (2)) w drugim równaniu sprawia, że ​​jest ono nieliniowe i staje się bardzo trudne do rozwiązania.
  • re y re x = x 2 + y (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) = x ^ (2) + y)
  • re y re x = x 2 + y 2 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) = x ^ (2) + y ^ (2))

6.1. PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozwiązując różne problemy z matematyki i fizyki, biologii i medycyny, dość często nie da się od razu ustalić zależności funkcjonalnej w postaci wzoru łączącego zmienne opisujące badany proces. Zwykle trzeba stosować równania, które oprócz zmiennej niezależnej i nieznanej funkcji zawierają także jej pochodne.

Definicja. Nazywa się równanie łączące zmienną niezależną, nieznaną funkcję i jej pochodne różnych rzędów mechanizm różnicowy.

Zwykle oznacza się nieznaną funkcję y(x) lub po prostu y, i jego pochodne - y”, y” itp.

Możliwe są także inne oznaczenia, np.: if y= x(t), wówczas x"(t), x""(t)- jego pochodne oraz T- zmienna niezależna.

Definicja. Jeżeli funkcja zależy od jednej zmiennej, wówczas równanie różniczkowe nazywa się zwyczajnym. Formularz ogólny Równanie różniczkowe zwyczajne:

Lub

Funkcje F I F może nie zawierać niektórych argumentów, ale aby równania były różniczkowe, niezbędna jest obecność pochodnej.

Definicja.Rząd równania różniczkowego nazywa się rządem najwyższej pochodnej zawartej w nim.

Na przykład, x 2 lata”- y= 0, y” + grzech X= 0 są równaniami pierwszego rzędu, oraz y”+ 2 y”+ 5 y= X- równanie drugiego rzędu.

Przy rozwiązywaniu równań różniczkowych stosuje się operację całkowania, która wiąże się z pojawieniem się dowolnej stałej. Jeśli zastosowano akcję integracji N razy, wtedy oczywiście rozwiązanie będzie zawierać N dowolne stałe.

6.2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RĘKU

Formularz ogólny Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest określona przez wyrażenie

Równanie może nie zawierać wyraźnie X I y, ale koniecznie zawiera y”.

Jeżeli równanie można zapisać jako

wówczas otrzymujemy równanie różniczkowe pierwszego rzędu rozwiązane względem pochodnej.

Definicja. Ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego pierwszego rzędu (6.3) (lub (6.4)) jest zbiór rozwiązań , Gdzie Z- dowolna stała.

Nazywa się wykres rozwiązania równania różniczkowego krzywa całkowa.

Podawanie dowolnej stałej Z różne wartości, można otrzymać częściowe rozwiązania. Na powierzchni xOj rozwiązanie ogólne to rodzina krzywych całkowych odpowiadających każdemu konkretnemu rozwiązaniu.

Jeśli ustalisz punkt A (x 0 , y 0), przez który musi przejść krzywa całkowa, to z reguły ze zbioru funkcji Można wyróżnić jedno – rozwiązanie prywatne.

Definicja.Prywatna decyzja równania różniczkowego jest jego rozwiązaniem, które nie zawiera dowolnych stałych.

Jeśli jest rozwiązaniem ogólnym, a następnie z warunku

możesz znaleźć stałą Z. Warunek to tzw stan początkowy.

Problem znalezienia konkretnego rozwiązania równania różniczkowego (6.3) lub (6.4) spełniającego warunek początkowy Na zwany Problem Cauchy’ego. Czy ten problem zawsze ma rozwiązanie? Odpowiedź zawarta jest w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie Cauchy'ego(twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania). Wprowadźmy równanie różniczkowe y”= f(x, y) funkcjonować f(x, y) i jej

pochodna częściowa określone i ciągłe w niektórych

region D, zawierający punkt Potem w okolicy D istnieje

jedyne rozwiązanie równania spełniające warunek początkowy Na

Twierdzenie Cauchy'ego stwierdza, że ​​w pewnych warunkach istnieje unikalna krzywa całkowa y= f(x), przechodząc przez punkt Punkty, w których warunki twierdzenia nie są spełnione

Nazywa się Cauchy specjalny. W takich momentach pęka F(x, y) lub.

Albo kilka krzywych całkowitych, albo żadna nie przechodzi przez pojedynczy punkt.

Definicja. Jeśli rozwiązanie (6.3), (6.4) zostanie znalezione w postaci F(x, y, C)= 0, niedozwolone w stosunku do y, wtedy nazywa się to całka ogólna równanie różniczkowe.

Twierdzenie Cauchy'ego gwarantuje jedynie, że istnieje rozwiązanie. Ponieważ nie ma jednej metody znalezienia rozwiązania, rozważymy tylko niektóre typy równań różniczkowych pierwszego rzędu, które można zintegrować z kwadratury

Definicja. Równanie różniczkowe nazywa się całkowalne w kwadraturach, jeśli znalezienie rozwiązania sprowadza się do integracji funkcji.

6.2.1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi rozłącznymi

Definicja. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu nazywa się równaniem z zmienne rozdzielne,

Prawa strona równania (6.5) jest iloczynem dwóch funkcji, z których każda zależy tylko od jednej zmiennej.

Na przykład równanie jest równaniem z rozdzielaniem

mieszane ze zmiennymi
i równanie

nie można przedstawić w postaci (6.5).

Biorąc pod uwagę, że , przepisujemy (6.5) w postaci

Z tego równania otrzymujemy równanie różniczkowe z rozdzielonymi zmiennymi, w którym różniczkami są funkcje zależne tylko od odpowiedniej zmiennej:

Całkując termin po terminie, mamy

gdzie C = C 2 - C 1 - dowolna stała. Wyrażenie (6.6) jest całką ogólną równania (6.5).

Dzieląc obie strony równania (6.5) przez, możemy stracić te rozwiązania, dla których Rzeczywiście, jeśli Na

To oczywiście jest rozwiązaniem równania (6.5).

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie równania, które spełnia

stan : schorzenie: y= 6 o godz X= 2 (j(2) = 6).

Rozwiązanie. Wymienimy y” Następnie . Pomnóż obie strony przez

dx, gdyż w trakcie dalszej integracji nie da się już odejść dx w mianowniku:

a następnie dzieląc obie części przez otrzymujemy równanie,

które można zintegrować. Zintegrujmy:

Następnie ; wzmacniając, otrzymujemy y = C. (x + 1) - ob-

rozwiązanie ogólne.

Korzystając z danych początkowych, wyznaczamy dowolną stałą, podstawiając je do rozwiązania ogólnego

Wreszcie dostajemy y= 2(x + 1) jest rozwiązaniem szczególnym. Przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom rozwiązywania równań ze zmiennymi rozłącznymi.

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie równania

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę, że , otrzymujemy .

Całkując obie strony równania, mamy

Gdzie

Przykład 3. Znajdź rozwiązanie równania Rozwiązanie. Obie strony równania dzielimy na te czynniki, które zależą od zmiennej, która nie pokrywa się ze zmienną pod znakiem różniczkowym, tj. i integrować. Wtedy otrzymamy

i w końcu

Przykład 4. Znajdź rozwiązanie równania

Rozwiązanie. Wiedząc, co otrzymamy. Sekcja

niewielkie zmienne. Następnie

Całkując, otrzymujemy

Komentarz. W przykładach 1 i 2 wymaganą funkcją jest y wyrażone wyraźnie (rozwiązanie ogólne). W przykładach 3 i 4 - pośrednio (całka ogólna). W przyszłości forma decyzji nie zostanie określona.

Przykład 5. Znajdź rozwiązanie równania Rozwiązanie.

Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania , satysfakcjonujące

stan człek)= 1.

Rozwiązanie. Zapiszmy równanie w formie

Mnożąc obie strony równania przez dx i dalej, otrzymujemy

Całkując obie strony równania (całka po prawej stronie jest traktowana przez części), otrzymujemy

Ale zgodnie z warunkiem y= 1 godz X= mi. Następnie

Zastąpmy znalezione wartości Z do rozwiązania ogólnego:

Powstałe wyrażenie nazywa się częściowym rozwiązaniem równania różniczkowego.

6.2.2. Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu

Definicja. Nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu jednorodny, jeśli można to przedstawić w formie

Przedstawmy algorytm rozwiązywania równania jednorodnego.

1.Zamiast tego y wprowadźmy nową funkcję Następnie i dlatego

2. Pod względem funkcjonalności ty równanie (6.7) przyjmuje postać

tj. wymiana zmniejsza równanie jednorodne do równania ze zmiennymi rozłącznymi.

3. Rozwiązując równanie (6.8), najpierw znajdujemy u, a następnie y= uks.

Przykład 1. Rozwiązać równanie Rozwiązanie. Zapiszmy równanie w formie

Wykonujemy podstawienie:
Następnie

Wymienimy

Pomnóż przez dx: Dzielić przez X i dalej Następnie

Po zintegrowaniu obu stron równania z odpowiednimi zmiennymi otrzymaliśmy

lub wracając do starych zmiennych, w końcu otrzymujemy

Przykład 2.Rozwiązać równanie Rozwiązanie.Pozwalać Następnie

Podzielmy obie strony równania przez x2: Otwórzmy nawiasy i zmieńmy układ terminów:

Przechodząc do starych zmiennych, dochodzimy do końcowego wyniku:

Przykład 3.Znajdź rozwiązanie równania jeśli się uwzględni

Rozwiązanie.Wykonanie standardowej wymiany dostajemy

Lub

Lub

Oznacza to, że dane rozwiązanie ma postać Przykład 4. Znajdź rozwiązanie równania

Rozwiązanie.

Przykład 5.Znajdź rozwiązanie równania Rozwiązanie.

Niezależna praca

Znajdź rozwiązania równań różniczkowych ze zmiennymi rozłącznymi (1-9).

Znajdź rozwiązanie jednorodnych równań różniczkowych (9-18).

6.2.3. Niektóre zastosowania równań różniczkowych pierwszego rzędu

Problem rozpadu promieniotwórczego

Szybkość rozpadu Ra (radu) w każdym momencie jest proporcjonalna do jego dostępnej masy. Znajdź prawo rozpadu promieniotwórczego Ra, jeśli wiadomo, że w początkowej chwili istniał Ra, a okres półtrwania Ra wynosi 1590 lat.

Rozwiązanie. Niech w tej chwili będzie masa Ra X= x(t) g i Wtedy szybkość zaniku Ra jest równa

Zgodnie z warunkami problemu

Gdzie k

Rozdzielając zmienne w ostatnim równaniu i całkując, otrzymujemy

Gdzie

Do ustalenia C używamy warunku początkowego: kiedy .

Następnie i dlatego,

Czynnik proporcjonalności k ustalone od dodatkowy warunek:

Mamy

Stąd i wymaganą formułę

Problem szybkości rozmnażania się bakterii

Szybkość rozmnażania bakterii jest proporcjonalna do ich liczby. Na początku było 100 bakterii. W ciągu 3 godzin ich liczba podwoiła się. Znajdź zależność liczby bakterii od czasu. Ile razy liczba bakterii wzrośnie w ciągu 9 godzin?

Rozwiązanie. Pozwalać X- liczba bakterii na raz T. Następnie, zgodnie z warunkiem,

Gdzie k- współczynnik proporcjonalności.

Stąd Z warunku wiadomo, że . Oznacza,

Z dodatkowego warunku . Następnie

Funkcja, której szukasz:

Więc kiedy T= 9 X= 800, czyli w ciągu 9 godzin liczba bakterii wzrosła 8-krotnie.

Problem zwiększenia ilości enzymu

W hodowli drożdży piwnych szybkość wzrostu aktywnego enzymu jest proporcjonalna do jego początkowej ilości X. Początkowa ilość enzymu A podwoiła się w ciągu godziny. Znajdź zależność

x(t).

Rozwiązanie. Pod warunkiem równanie różniczkowe procesu ma postać

stąd

Ale . Oznacza, C= A i wtedy

Wiadomo też, że

Stąd,

6.3. RÓWNANIA RÓŻNICOWE DRUGIEGO RZĘDU

6.3.1. Podstawowe koncepcje

Definicja.Równanie różniczkowe drugiego rzędu nazywa się relacją łączącą zmienną niezależną, pożądaną funkcję oraz jej pierwszą i drugą pochodną.

W szczególnych przypadkach w równaniu może brakować x, Na lub y”. Jednakże równanie drugiego rzędu musi koniecznie zawierać y.” W ogólnym przypadku równanie różniczkowe drugiego rzędu zapisuje się jako:

lub, jeśli to możliwe, w postaci rozwiązanej w odniesieniu do drugiej pochodnej:

Podobnie jak w przypadku równania pierwszego rzędu, również dla równania drugiego rzędu mogą istnieć rozwiązania ogólne i szczególne. Ogólne rozwiązanie to:

Znalezienie konkretnego rozwiązania

w warunkach początkowych – danych

numery) nazywa się Problem Cauchy’ego. Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to, że musimy znaleźć krzywą całkową Na= y(x), przechodząc przez dany punkt i mając styczną w tym punkcie, który jest

pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Wół określony kąt. mi. (ryc. 6.1). Problem Cauchy'ego ma unikalne rozwiązanie, jeśli prawa strona równania (6.10) nieustanny

jest nieciągły i ma ciągłe pochodne cząstkowe względem uch, uch" w jakiejś okolicy punktu początkowego

Aby znaleźć stałe zawarte w rozwiązaniu prywatnym, system musi zostać rozwiązany

Ryż. 6.1. Krzywa integralna