W poprzednim rozdziale wykazano, że wybierając na płaszczyźnie określony układ współrzędnych, można analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej za pomocą równania pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale przyjrzymy się równaniom linii prostych.

Aby utworzyć równanie prostej we współrzędnych kartezjańskich, należy w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Na początek wprowadzimy pojęcie współczynnika kątowego prostej, będącego jedną z wielkości charakteryzujących położenie prostej na płaszczyźnie.

Kąt nachylenia prostej do osi Ox nazwijmy kątem, o który należy obrócić oś Ox, aby pokrywała się z daną linią (lub była do niej równoległa). Jak zwykle, kąt rozważymy biorąc pod uwagę znak (znak zależy od kierunku obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Ox o kąt 180° ponownie zrówna ją z linią prostą, to kąta nachylenia prostej do osi nie da się wybrać jednoznacznie (z dokładnością do wielokrotności ).

Tangens tego kąta jest wyznaczany jednoznacznie (ponieważ zmiana kąta nie zmienia jego tangensu).

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Wółu nazywany jest współczynnikiem kątowym prostej.

Współczynnik kątowy charakteryzuje kierunek prostej (nie rozróżniamy tutaj dwóch wzajemnie przeciwnych kierunków prostej). Jeśli nachylenie linia jest równa zeru, wówczas linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim współczynniku kątowym kąt nachylenia prostej do osi Wołu będzie ostry (rozważamy tutaj najmniejszy wartość dodatnia kąt pochylenia) (ryc. 39); Co więcej, im większy współczynnik kątowy, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wołu. Jeżeli współczynnik kątowy będzie ujemny, wówczas kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie rozwarty (ryc. 40). Należy zauważyć, że prosta prostopadła do osi Wółu nie ma współczynnika kątowego (styczna kąta nie istnieje).

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie jest jedną z najprostszych figury geometryczne, znane Wam od podstawówki, a dziś nauczymy się sobie z nim radzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Informacje te można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, Stworzyłem to dla Matana, ale sekcja o funkcja liniowa Okazało się bardzo udane i szczegółowe. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

NA ta lekcja Przyjrzymy się sposobom utworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ przedstawię je elementarne i ważne fakty, metody techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych działach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” formą równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Przykładowo, jeśli z równania wynika linia prosta, to jej nachylenie wynosi: . Rozważmy znaczenie geometryczne tego współczynnika i jak jego wartość wpływa na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik używając funkcja odwrotna– arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Do linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste są oznaczone jako małe z literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru . W w tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

W razie trudności przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwoniło ostatnie połączenie, impreza maturalna minęła, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przesuńmy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę funkcję techniczną! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej prawie zawsze będzie podane w formie ogólnej. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale więcej o tym incydencie z dzieciństwa, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą, wektor jest dowolny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do jego ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo prosta:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne wynikowego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor jednostkowy jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie za pomocą omówionego właśnie algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w formie, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostszy problem - jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste – współrzędne punktów początkowych muszą spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna jest w tym przypadku trudna, gdyż skonstruowanie linii prostej i sprawdzenie, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, skoro właściwie już rozwiązaliśmy ten problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (jak również wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeżeli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, wykonamy drugie, dalsze łatwa część zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale także ważnym typom równań prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zeru i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest równanie ogólne przedstawiają linię w postaci równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych zagadnieniach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” do zera i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt okazuje się automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.

W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych kartezjańskich jest współczynnik kątowy tej prostej. Parametr ten charakteryzuje nachylenie prostej do osi odciętej. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.

W ogólna perspektywa dowolną linię prostą można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale zawsze a 2 + b 2 ≠ 0.

Za pomocą prostych przekształceń równanie takie można sprowadzić do postaci y=kx+d, gdzie k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego typu nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy zredukować pierwotne równanie do postaci wskazanej powyżej. Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, rozważ konkretny przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 36x - 18y = 108

Rozwiązanie: Przekształćmy pierwotne równanie.

Odpowiedź: Wymagane nachylenie tej linii wynosi 2.

Jeśli podczas transformacji równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const i w rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Współczynnik kątowy takiego linia prosta jest równa nieskończoności.

W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi odciętych. Na przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rozwiązanie: Doprowadźmy pierwotne równanie do jego ogólnej postaci

24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4

Z powstałego wyrażenia nie można wyrazić y, dlatego współczynnik kątowy tej linii jest równy nieskończoności, a sama linia będzie równoległa do osi Y.

Znaczenie geometryczne

Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na zdjęcie:

Na rysunku widzimy wykres funkcji takiej jak y = kx. Dla uproszczenia przyjmijmy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy współczynnikowi kątowemu k. Jednocześnie stosunek BA/AO jest tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym OAB. Okazuje się, że współczynnik kątowy prostej jest równy tangensowi kąta, jaki ta prosta tworzy z osią odciętych siatki współrzędnych.

Rozwiązując problem znalezienia współczynnika kątowego linii prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią X siatki współrzędnych. Przypadki graniczne, gdy rozpatrywana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla prostej opisanej równaniem y=const, kąt pomiędzy nią a osią odciętych wynosi zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero i nachylenie również wynosi zero.

Dla prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią X wynosi 90 stopni. Tangens prosty kąt jest równy nieskończoności, a współczynnik kątowy podobnych prostych jest również równy nieskończoności, co potwierdza to, co napisano powyżej.

Nachylenie styczne

Częstym zadaniem często spotykanym w praktyce jest również znalezienie nachylenia stycznej do wykresu funkcji w pewnym punkcie. Styczna jest linią prostą, dlatego też można do niej zastosować pojęcie nachylenia.

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, będziemy musieli przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodną dowolnej funkcji w pewnym punkcie jest stała liczbowo równa tangensowi kąta utworzonego pomiędzy styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji a osią odciętych. Okazuje się, że aby wyznaczyć współczynnik kątowy stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji pierwotnej w tym punkcie k = f”(x 0). Spójrzmy na przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xe x przy x = 0,1.

Rozwiązanie: Znajdź pochodną funkcji pierwotnej w postaci ogólnej

y"(0,1) = 24,0,1 + 2,0,1, e 0,1 + 2, e 0,1

Odpowiedź: Wymagane nachylenie w punkcie x = 0,1 wynosi 4,831

Naucz się obliczać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W tym przypadku wykres może być linią prostą lub krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętać Główne zasady, według którego brane są instrumenty pochodne i dopiero wtedy przechodzimy do kolejnego kroku.

• Przeczytaj artykuł.
• Jak wziąć najprostsze pochodne, na przykład pochodną równanie wykładnicze, opisany. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć poprzez pochodną funkcji. Zadania nie zawsze wymagają znalezienia nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x,y). Możesz także zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x,y). W obu przypadkach konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji.

Weź pochodną podanej funkcji. Nie ma tu potrzeby budowania wykresu – wystarczy równanie funkcji. W naszym przykładzie weźmy pochodną funkcji. Weź pochodną zgodnie z metodami opisanymi w artykule wspomnianym powyżej:

• Pochodna:

Zastąp podane współrzędne punktu do znalezionej pochodnej, aby obliczyć nachylenie. Pochodna funkcji jest równa nachyleniu w pewnym punkcie. Innymi słowy, f”(x) jest nachyleniem funkcji w dowolnym punkcie (x,f(x)). W naszym przykładzie:

• Znajdź nachylenie funkcji fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2).
• Pochodna funkcji:
  • fa ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4x + 6)
• Zastąp wartość współrzędnej „x” tego punktu:
  • fa ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4 (4) + 6)
• Znajdź nachylenie:
• Funkcja nachylenia fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2) jest równe 22.

Jeśli to możliwe, sprawdź swoją odpowiedź na wykresie. Pamiętaj, że nachylenia nie można obliczyć w każdym punkcie. Sprawdza rachunek różniczkowy złożone funkcje oraz złożone wykresy, gdzie nie można obliczyć nachylenia w każdym punkcie, a w niektórych przypadkach punkty w ogóle nie leżą na wykresach. Jeśli to możliwe, użyj kalkulatora graficznego, aby sprawdzić, czy nachylenie podanej funkcji jest prawidłowe. W przeciwnym razie narysuj styczną do wykresu w podanym punkcie i zastanów się, czy znaleziona wartość nachylenia odpowiada temu, co widzisz na wykresie.

• Styczna będzie miała w pewnym punkcie takie samo nachylenie jak wykres funkcji. Aby narysować styczną w danym punkcie należy przesunąć się w lewo/prawo na osi X (w naszym przykładzie 22 wartości w prawo), a następnie o jedną w górę na osi Y. Zaznacz punkt, a następnie połącz go z dany Ci punkt. W naszym przykładzie połącz punkty o współrzędnych (4,2) i (26,3).