Kąty sąsiadujące i pionowe. Prostopadłe linie. Jakie kąty nazywamy sąsiadującymi? Jaka jest suma dwóch sąsiednich kątów?

Pytanie 1. Jakie kąty nazywamy sąsiadującymi?
Odpowiedź. Dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, jeśli mają jedną stronę wspólną, a pozostałe strony tych kątów są dopełniającymi się półprostymi.
Na rysunku 31 kąty (a 1 b) i (a 2 b) sąsiadują ze sobą. Mają wspólny bok b, a boki a 1 i a 2 to dodatkowe półproste.

Pytanie 2. Udowodnić, że suma kątów przyległych wynosi 180°.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.1. Suma kątów przyległych wynosi 180°.
Dowód. Niech kąt (a 1 b) i kąt (a 2 b) będą danymi sąsiednie kąty(patrz rys. 31). Promień b przechodzi pomiędzy bokami a 1 i a 2 kąta prostego. Zatem suma kątów (a 1 b) i (a 2 b) jest równa kątowi rozłożonemu, czyli 180°. co było do okazania

Pytanie 3. Udowodnić, że jeśli dwa kąty są równe, to kąty sąsiednie też są równe.
Odpowiedź.

Z twierdzenia 2.1 Wynika z tego, że jeśli dwa kąty są równe, to sąsiednie kąty są równe.
Powiedzmy, że kąty (a 1 b) i (c 1 d) są równe. Musimy udowodnić, że kąty (a 2 b) i (c 2 d) są również równe.
Suma kątów przyległych wynosi 180°. Wynika z tego, że a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + do 2 d = 180°. Zatem a 2 b = 180° - a 1 b i c 2 d = 180° - c 1 d. Ponieważ kąty (a 1 b) i (c 1 d) są równe, otrzymujemy, że a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Z własności przechodniości znaku równości wynika, że ​​a 2 b = c 2 d. co było do okazania

Pytanie 4. Jaki kąt nazywa się prostym (ostrym, rozwartym)?
Odpowiedź. Kąt równy 90° nazywa się kątem prostym.
Kąt mniejszy niż 90° nazywany jest kątem ostrym.
Kąt większy niż 90° i mniejszy niż 180° nazywa się rozwartym.

Pytanie 5. Udowodnić, że kąt sąsiadujący z kątem prostym jest kątem prostym.
Odpowiedź. Z twierdzenia o sumie kątów sąsiednich wynika, że ​​kąt przylegający do kąta prostego jest kątem prostym: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pytanie 6. Jakie kąty nazywamy pionowymi?
Odpowiedź. Dwa kąty nazywamy pionowymi, jeśli boki jednego kąta są dopełniającymi się półprostymi boków drugiego.

Pytanie 7. Udowodnij to Pionowe kąty są równe.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.2. Kąty pionowe są równe.
Dowód. Niech (a 1 b 1) i (a 2 b 2) będą danymi kątami pionowymi (ryc. 34). Kąt (a 1 b 2) sąsiaduje z kątem (a 1 b 1) i z kątem (a 2 b 2). Stąd, korzystając z twierdzenia o sumie sąsiednich kątów, wnioskujemy, że każdy z kątów (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dopełnia kąt (a 1 b 2) do 180°, tj. kąty (a 1 b 1) i (a 2 b 2) są równe. co było do okazania

Pytanie 8. Udowodnić, że jeśli przy przecięciu dwóch prostych jeden z kątów jest prosty, to pozostałe trzy kąty również są proste.
Odpowiedź. Załóżmy, że linie AB i CD przecinają się w punkcie O. Załóżmy, że kąt AOD wynosi 90°. Ponieważ suma sąsiednich kątów wynosi 180°, otrzymujemy, że AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kąt COB jest pionowy do kąta AOD, więc są one równe. Oznacza to, że kąt COB = 90°. Kąt COA jest pionowy do kąta BOD, więc są one równe. Oznacza to, że kąt BOD = 90°. Zatem wszystkie kąty są równe 90°, to znaczy wszystkie są kątami prostymi. co było do okazania

Pytanie 9. Które proste nazywamy prostopadłymi? Jaki znak służy do oznaczania prostopadłości prostych?
Odpowiedź. Dwie proste nazywamy prostopadłymi, jeśli przecinają się pod kątem prostym.
Prostopadłość linii jest oznaczona znakiem \(\perp\). Zapis \(a\perp b\) brzmi: „Linia a jest prostopadła do linii b”.

Pytanie 10. Udowodnić, że przez dowolny punkt prostej można poprowadzić do niego prostą prostopadłą i tylko jedną.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.3. Przez każdą linię możesz narysować linię prostopadłą do niej i tylko jedną.
Dowód. Niech a będzie daną linią, a A danym punktem na niej. Oznaczmy przez 1 jedną z półprostych prostej a z punktem początkowym A (ryc. 38). Odejmijmy kąt (a 1 b 1) równy 90° od półprostej a 1. Wtedy prosta zawierająca promień b 1 będzie prostopadła do prostej a.

Załóżmy, że istnieje inna prosta, również przechodząca przez punkt A i prostopadła do prostej a. Oznaczmy przez c 1 półprostą tej prostej leżącą w tej samej półpłaszczyźnie co półprosta b 1 .
Kąty (a 1 b 1) i (a 1 c 1), każdy równy 90°, leżą w jednej półpłaszczyźnie od półprostej a 1. Ale z półprostej a 1 można włożyć do danej półpłaszczyzny tylko jeden kąt równy 90°. Zatem nie może być innej prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej a. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pytanie 11. Co jest prostopadłe do prostej?
Odpowiedź. Prostopadła do danej prostej to odcinek prostej prostopadły do ​​danej prostej, którego jeden z końców znajduje się w punkcie przecięcia. Ten koniec segmentu nazywa się podstawa prostopadły.

Pytanie 12. Wyjaśnij na czym polega dowód przez sprzeczność.
Odpowiedź. Metoda dowodu, którą zastosowaliśmy w Twierdzeniu 2.3, nazywa się dowodem przez sprzeczność. Ta metoda dowodu polega na tym, że najpierw przyjmujemy założenie przeciwne do tego, co stwierdza twierdzenie. Następnie rozumując, opierając się na aksjomatach i sprawdzonych twierdzeniach, dochodzimy do wniosku, który jest sprzeczny albo z warunkami twierdzenia, albo z jednym z aksjomatów, albo z wcześniej udowodnionym twierdzeniem. Na tej podstawie wnioskujemy, że nasze założenie było błędne, a zatem stwierdzenie twierdzenia jest prawdziwe.

Pytanie 13. Jaka jest dwusieczna kąta?
Odpowiedź. Dwusieczna kąta to półprosta, która wychodzi z wierzchołka kąta, przechodzi między jego bokami i dzieli kąt na pół.

W trakcie studiowania kursu geometrii dość często pojawiają się pojęcia „kąta”, „kątów pionowych”, „kątów sąsiadujących”. Zrozumienie każdego z terminów pomoże Ci zrozumieć problem i poprawnie go rozwiązać. Co to są kąty przyległe i jak je wyznaczać?

Kąty sąsiadujące - definicja pojęcia

Terminem „kąty sąsiadujące” charakteryzuje się dwa kąty utworzone przez wspólną półprostą i dwie dodatkowe półproste leżące na tej samej prostej. Wszystkie trzy promienie wychodzą z tego samego punktu. Wspólna półprosta jest jednocześnie bokiem jednego i drugiego kąta.

Kąty przyległe - podstawowe właściwości

1. Na podstawie wzoru na kąty sąsiednie łatwo zauważyć, że suma tych kątów zawsze tworzy kąt prosty, miara stopnia co jest równe 180°:

• Jeśli μ i η są sąsiadującymi kątami, to μ + η = 180°.
• Znając wielkość jednego z sąsiednich kątów (na przykład μ), możesz łatwo obliczyć miarę drugiego kąta (η) za pomocą wyrażenia η = 180° – μ.

2. Ta właściwość kątów pozwala nam wyciągnąć następujący wniosek: kąt sąsiadujący prosty kąt, będzie również bezpośredni.

3. Rozważanie funkcje trygonometryczne(sin, cos, tg, ctg), bazując na wzorach redukcyjnych dla sąsiednich kątów μ i η, prawdziwe jest stwierdzenie:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Kąty sąsiednie - przykłady

Przykład 1

Dany trójkąt o wierzchołkach M, P, Q – ΔMPQ. Znajdź kąty sąsiadujące z kątami ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Przedłużmy każdy bok trójkąta linią prostą.
• Wiedząc, że sąsiednie kąty uzupełniają się aż do kąta odwróconego, dowiadujemy się, że:

sąsiadujący z kątem ∠QMP to ∠LMP,

sąsiadujący z kątem ∠MPQ wynosi ∠SPQ,

sąsiadujący z kątem ∠PQM wynosi ∠HQP.

Przykład 2

Wartość jednego sąsiedniego kąta wynosi 35°. Jaka jest miara stopnia drugiego sąsiedniego kąta?

• Dwa sąsiednie kąty sumują się do 180°.
• Jeżeli ∠μ = 35°, to sąsiadujące z nim ∠η = 180° – 35° = 145°.

Przykład 3

Określ wartości kątów sąsiednich, jeśli wiadomo, że miara stopnia jednego z nich jest trzykrotnie większa niż miara stopnia drugiego kąta.

• Oznaczmy wielkość jednego (mniejszego) kąta przez – ∠μ = λ.
• Wtedy, zgodnie z warunkami zadania, wartość drugiego kąta będzie równa ∠η = 3λ.
• Z podstawowej właściwości sąsiednich kątów wynika, że ​​μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Oznacza to, że pierwszy kąt wynosi ∠μ = λ = 45°, a drugi kąt wynosi ∠η = 3λ = 135°.

Umiejętność posługiwania się terminologią, a także znajomość podstawowych właściwości sąsiednich kątów, pomoże Ci rozwiązać wiele problemów geometrycznych.

ROZDZIAŁ I.

PODSTAWOWE KONCEPCJE.

§jedenaście. NAROŻNIKI PRZYŁĄCZONE I PIONOWE.

1. Sąsiednie kąty.

Jeśli przedłużymy bok dowolnego kąta poza jego wierzchołek, otrzymamy dwa kąty (ryc. 72): / I słońce i / SVD, w którym jedna strona BC jest wspólna, a pozostałe dwie A i BD tworzą linię prostą.

Dwa kąty, w których jeden bok jest wspólny, a dwa pozostałe tworzą linię prostą, nazywane są kątami przyległymi.

Kąty sąsiednie można też otrzymać w ten sposób: jeśli narysujemy półprostą z jakiegoś punktu na prostej (nie leżącego na danej prostej), otrzymamy kąty sąsiednie.
Na przykład, / ADF i / FDВ - sąsiednie kąty (ryc. 73).

Sąsiednie kąty mogą mieć różne pozycje (ryc. 74).

Kąty sąsiednie sumują się do kąta prostego, więc umma dwóch sąsiednich kątów jest równa 2D.

Zatem kąt prosty można zdefiniować jako kąt równy kątowi sąsiedniemu.

Znając wielkość jednego z sąsiednich kątów, możemy znaleźć wielkość drugiego kąta sąsiadującego z nim.

Na przykład, jeśli jeden z sąsiednich kątów wynosi 3/5 D, wówczas drugi kąt będzie równy:

2D- 3 / 5 D= l 2 / 5 D.

2. Kąty pionowe.

Jeśli przedłużymy boki kąta poza jego wierzchołek, otrzymamy kąty pionowe. Na rysunku 75 kąty EOF i AOC są pionowe; kąty AOE i COF są również pionowe.

Dwa kąty nazywamy pionowymi, jeśli boki jednego kąta są kontynuacją boków drugiego kąta.

Pozwalać / 1 = 7 / 8 D(Rysunek 76). Sąsiadujące z nim / 2 będzie równe 2 D- 7 / 8 D, tj. 1 1/8 D.

W ten sam sposób możesz obliczyć, ile są równe / 3 i / 4.
/ 3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; / 4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(Rysunek 77).

Widzimy to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.

Możesz rozwiązać jeszcze kilka takich samych problemów i za każdym razem otrzymasz ten sam wynik: kąty pionowe są sobie równe.

Aby jednak mieć pewność, że kąty pionowe są zawsze sobie równe, nie wystarczy rozważyć indywidualne przykłady numeryczne, gdyż wnioski wyciągane na podstawie konkretnych przykładów mogą czasami być błędne.

Konieczne jest sprawdzenie ważności właściwości kątów pionowych poprzez rozumowanie, dowód.

Dowód można przeprowadzić w następujący sposób (ryc. 78):

/ +/ C = 2D;
/ b+/ C = 2D;

(ponieważ suma sąsiednich kątów wynosi 2 D).

/ +/ C = / b+/ C

(ponieważ lewa strona tej równości jest również równa 2 D, a jego prawa strona jest również równa 2 D).

Ta równość obejmuje ten sam kąt Z.

Jeśli od równych ilości odejmiemy równe kwoty, wówczas pozostaną równe kwoty. Rezultatem będzie: / A = / B, czyli kąty pionowe są sobie równe.

Rozważając kwestię kątów pionowych, najpierw wyjaśniliśmy, które kąty nazywamy pionowymi, tj. definicja Pionowe kąty.

Następnie wydaliśmy sąd (oświadczenie) o równości kątów pionowych i przekonaliśmy się o słuszności tego wyroku poprzez dowód. Takie orzeczenia, których ważność należy udowodnić, nazywane są twierdzenia. Zatem w tej części podaliśmy definicję kątów pionowych, a także sformułowaliśmy i udowodniliśmy twierdzenie o ich właściwościach.

W przyszłości, studiując geometrię, będziemy musieli stale spotykać się z definicjami i dowodami twierdzeń.

3. Suma kątów mających wspólny wierzchołek.

Na rysunku 79 / 1, / 2, / 3 i / 4 znajdują się po jednej stronie linii i mają na tej linii wspólny wierzchołek. W sumie kąty te tworzą kąt prosty, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2D.

Na rysunku 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 mają wspólny wierzchołek. W sumie kąty te tworzą kąt pełny, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.

Ćwiczenia.

1. Jeden z sąsiednich kątów wynosi 0,72 D. Oblicz kąt utworzony przez dwusieczne tych sąsiednich kątów.

2. Udowodnić, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów tworzą kąt prosty.

3. Udowodnić, że jeśli dwa kąty są równe, to sąsiednie kąty też są równe.

4. Ile par kątów sąsiednich znajduje się na rysunku 81?

5. Czy para kątów sąsiednich może składać się z dwóch kątów ostrych? z dwóch kątów rozwartych? pod kątem prostym i rozwartym? pod kątem prostym i ostrym?

6. Jeśli jeden z sąsiednich kątów jest prosty, to co można powiedzieć o wielkości sąsiadującego z nim kąta?

7. Jeśli na przecięciu dwóch prostych jeden kąt jest prosty, to co można powiedzieć o wielkości pozostałych trzech kątów?

Jak znaleźć sąsiedni kąt?

Matematyka jest najstarszą nauką ścisłą, której nauka jest obowiązkowa w szkołach, na uczelniach, w instytutach i na uniwersytetach. Jednak podstawowa wiedza jest zawsze przekazywana w szkole. Czasami dziecko jest proszone o dość trudne zadania, a rodzice nie są w stanie pomóc, bo po prostu zapomnieli pewnych rzeczy z matematyki. Na przykład, jak znaleźć sąsiedni kąt na podstawie wielkości głównego kąta itp. Problem jest prosty, ale może powodować trudności w rozwiązaniu z powodu niewiedzy, które kąty nazywamy sąsiadującymi i jak je znaleźć.

Przyjrzyjmy się bliżej definicji i właściwościom sąsiednich kątów, a także sposobom ich obliczenia na podstawie danych zawartych w zadaniu.

Definicja i właściwości kątów sąsiednich

Dwa promienie wychodzące z jednego punktu tworzą figurę zwaną „kątem płaskim”. W tym przypadku punkt ten nazywany jest wierzchołkiem kąta, a promienie są jego bokami. Jeśli będziesz kontynuować jeden z promieni poza punktem początkowym w linii prostej, powstanie kolejny kąt, który nazywa się sąsiednim. Każdy kąt w tym przypadku ma dwa sąsiednie kąty, ponieważ boki kąta są równoważne. Oznacza to, że zawsze istnieje sąsiadujący kąt 180 stopni.

Główne właściwości sąsiednich kątów obejmują

• Sąsiednie kąty mają wspólny wierzchołek i jeden bok;
• Suma kątów sąsiednich jest zawsze równa 180 stopni lub liczbie Pi, jeśli obliczenia przeprowadza się w radianach;
• Sinusy sąsiednich kątów są zawsze równe;
• Cosinusy i styczne do sąsiednich kątów są równe, ale mają przeciwne znaki.

Jak znaleźć sąsiednie kąty

Zwykle podaje się trzy odmiany problemów, aby znaleźć wielkość sąsiednich kątów

• Podawana jest wartość kąta głównego;
• Podano stosunek kąta głównego i sąsiedniego;
• Podawana jest wartość kąta pionowego.

Każda wersja problemu ma swoje własne rozwiązanie. Przyjrzyjmy się im.

Podawana jest wartość kąta głównego

Jeśli zadanie określa wartość kąta głównego, to znalezienie kąta sąsiedniego jest bardzo proste. Aby to zrobić, wystarczy odjąć wartość kąta głównego od 180 stopni, a otrzymasz wartość kąta sąsiedniego. Rozwiązanie to opiera się na własności kąta przyległego - suma kątów przyległych jest zawsze równa 180 stopni.

Jeżeli wartość kąta głównego podana jest w radianach, a zadanie wymaga znalezienia kąta przyległego w radianach, to od liczby Pi należy odjąć wartość kąta głównego, gdyż wartość kąta pełnego rozłożonego wynosi 180 stopni jest równa liczbie Pi.

Podano stosunek kąta głównego do kąta przyległego

Problem może dać stosunek kąta głównego i sąsiednich zamiast stopni i radianów kąta głównego. W tym przypadku rozwiązanie będzie wyglądać jak równanie proporcji:

1. Proporcję kąta głównego oznaczamy jako zmienną „Y”.
2. Ułamek związany z sąsiednim kątem jest oznaczony jako zmienna „X”.
3. Liczba stopni przypadająca na każdą proporcję będzie oznaczona na przykład przez „a”.
4. Ogólna formuła będzie wyglądać tak - a*X+a*Y=180 lub a*(X+Y)=180.
5. Wspólny czynnik równania „a” znajdujemy ze wzoru a=180/(X+Y).
6. Następnie mnożymy wynikową wartość wspólnego współczynnika „a” przez ułamek kąta, który należy określić.

W ten sposób możemy znaleźć wartość sąsiedniego kąta w stopniach. Jeśli jednak chcesz znaleźć wartość w radianach, wystarczy przekonwertować stopnie na radiany. Aby to zrobić, pomnóż kąt w stopniach przez Pi i podziel wszystko przez 180 stopni. Wynikowa wartość będzie wyrażona w radianach.

Podawana jest wartość kąta pionowego

Jeżeli w zadaniu nie jest podana wartość kąta głównego, ale podana jest wartość kąta pionowego, to kąt przyległy można obliczyć korzystając z tego samego wzoru, co w akapicie pierwszym, gdzie podana jest wartość kąta głównego.

Kąt pionowy to kąt, który ma swój początek w tym samym punkcie co główny, ale jest skierowany dokładnie w przeciwnym kierunku. W efekcie powstaje lustrzane odbicie. Oznacza to, że kąt pionowy jest równy wielkości głównemu. Z kolei kąt przyległy kąta pionowego jest równy kątowi przyległemu kąta głównego. Dzięki temu można obliczyć kąt przyległy kąta głównego. Aby to zrobić, po prostu odejmij wartość pionową od 180 stopni i uzyskaj wartość sąsiedniego kąta kąta głównego w stopniach.

Jeśli wartość jest podana w radianach, to od liczby Pi należy odjąć wartość kąta pionowego, gdyż wartość pełnego kąta rozłożonego o 180 stopni jest równa liczbie Pi.

Możesz także przeczytać nasze przydatne artykuły i.

narożnik do rozłożonego, czyli równego 180°, więc aby je znaleźć, odejmij od tego znaną wartość kąta głównego α₁ = α₂ = 180°-α.

Z tego są. Jeżeli dwa kąty są sobie równe i są sobie równe, to są to kąty proste. Jeśli jeden z sąsiednich kątów jest prosty, to znaczy 90 stopni, to drugi kąt również jest prosty. Jeśli jeden z sąsiednich kątów jest ostry, drugi będzie rozwarty. Podobnie, jeśli jeden z kątów jest rozwarty, wówczas drugi będzie odpowiednio ostry.

Ostry róg- to taki, którego miara stopnia jest mniejsza niż 90 stopni, ale większa niż 0. Kąt rozwarty ma miarę większą niż 90 stopni, ale mniejszą niż 180.

Inną właściwość kątów sąsiednich formułuje się w następujący sposób: jeśli dwa kąty są równe, to kąty do nich przylegające również są równe. Oznacza to, że jeśli istnieją dwa kąty, dla których miara stopnia jest taka sama (na przykład wynosi 50 stopni) i jednocześnie jeden z nich ma kąt przyległy, to wartości tych sąsiednich kątów również się pokrywają ( w przykładzie ich miara stopnia będzie równa 130 stopni).

Źródła:

• Duży Słownik encyklopedyczny- Sąsiednie rogi
• kąt 180 stopni

Słowo „” ma różne interpretacje. W geometrii kąt jest częścią płaszczyzny ograniczonej dwoma promieniami wychodzącymi z jednego punktu - wierzchołka. Kiedy mówimy o kątach prostych, ostrych i rozłożonych, mamy na myśli kąty geometryczne.

Jak wszystkie figury geometryczne, kąty można porównywać. Równość kątów określa się za pomocą ruchu. Łatwo jest podzielić kąt na dwie równe części. Podział na trzy części jest nieco trudniejszy, ale nadal można to zrobić za pomocą linijki i kompasu. Nawiasem mówiąc, to zadanie wydawało się dość trudne. Opisanie, że jeden kąt jest większy lub mniejszy od drugiego, jest geometrycznie proste.

Jednostką miary kątów jest 1/180