Dane macierze
Znajdź: 1) aA - bB,
Rozwiązanie: 1) Znajdujemy to sekwencyjnie, korzystając z zasad mnożenia macierzy przez liczbę i dodawania macierzy.
2. Znajdź A*B jeśli
Rozwiązanie: Używamy zasady mnożenia macierzy
Odpowiedź: 
3. Dla danej macierzy znajdź mniejsze M 31 i oblicz wyznacznik.
Rozwiązanie: Minor M 31 jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z A
po przekreśleniu linii 3 i kolumny 1. Znajdujemy
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Przekształćmy macierz A bez zmiany jej wyznacznika (zróbmy zera w wierszu 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Teraz obliczamy wyznacznik macierzy A poprzez rozwinięcie wzdłuż wiersza 1
Odpowiedź: M 31 = 0, detA = 0
Rozwiązywać metodą Gaussa i metodą Cramera.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Rozwiązanie: Sprawdźmy
Możesz użyć metody Cramera
Rozwiązanie układu: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Zastosujmy metodę Gaussa.
Sprowadźmy rozszerzoną macierz układu do postaci trójkątnej.
Dla ułatwienia obliczeń zamieńmy linie:
Pomnóż drugą linię przez (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodaj do trzeciego:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Pomnóż pierwszą linię przez (k = -2 / 2 = -1 ) i dodaj do drugiego:
Teraz oryginalny system można zapisać jako:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Z drugiej linii wyrażamy
Od pierwszej linii wyrażamy
Rozwiązanie jest takie samo.
Odpowiedź: (2; -5; 3)
Znajdź rozwiązanie ogólne układu i FSR
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Rozwiązanie: Zastosujmy metodę Gaussa. Sprowadźmy rozszerzoną macierz układu do postaci trójkątnej.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Pomnóż pierwszą linię przez (-11). Pomnóż drugą linię przez (13). Dodajmy drugą linię do pierwszej:
| -2 | -2 | -3 | ||
Pomnóż drugą linię przez (-5). Pomnóżmy trzecią linię przez (11). Dodajmy trzecią linię do drugiej:
Pomnóż trzecią linię przez (-7). Pomnóżmy czwartą linię przez (5). Dodajmy czwartą linię do trzeciej:
Drugie równanie jest liniową kombinacją pozostałych
Znajdźmy rząd macierzy.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Wybrany moll ma najwyższy rząd (z możliwych minorów) i jest niezerowy (jest równy iloczynowi elementów na odwrotnej przekątnej), zatem rang(A) = 2.
Ten drobny element jest podstawowy. Zawiera współczynniki dla niewiadomych x 1 , x 2 , co oznacza, że niewiadome x 1 , x 2 są zależne (podstawowe), a x 3 , x 4 , x 5 są wolne.
Układ o współczynnikach tej macierzy jest równoważny układowi pierwotnemu i ma postać:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Stosując metodę eliminacji niewiadomych, znajdujemy wspólna decyzja:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Znajdujemy podstawowy system rozwiązań (FSD), który składa się z (n-r) rozwiązań. Zatem w naszym przypadku n=5, r=2 podstawowy układ rozwiązań składa się z 3 rozwiązań, a rozwiązania te muszą być liniowo niezależne.
Aby wiersze były liniowo niezależne konieczne i wystarczające jest, aby stopień macierzy złożonej z elementów wierszowych był równy liczbie wierszy, czyli 3.
Wystarczy podać niewiadomym x 3 , x 4 , x 5 wartości z linii wyznacznika trzeciego rzędu, niezerowe i obliczyć x 1 , x 2 .
Najprostszym niezerowym wyznacznikiem jest macierz tożsamości.
Ale wygodniej jest zabrać tutaj
Korzystając z ogólnego rozwiązania, znajdujemy:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I decyzja FSR: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
Rozwiązanie II FSR: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III decyzja FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Dane: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Znajdź: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Rozwiązanie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Odpowiedź: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i
Cel usługi. Kalkulator online ma na celu znalezienie nietrywialnego i podstawowego rozwiązania SLAE. Powstałe rozwiązanie zapisywane jest w pliku Word (patrz przykładowe rozwiązanie).
Instrukcje. Wybierz wymiar matrycy:
Własności układów liniowych równań jednorodnych
Aby system miał nietrywialne rozwiązania, konieczne i wystarczające jest, aby stopień jej macierzy był mniejsza liczba nieznany.Twierdzenie. Układ w przypadku m=n ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego układu jest równy zero.
Twierdzenie. Każda liniowa kombinacja rozwiązań układu jest również rozwiązaniem tego układu.
Definicja. Zbiór rozwiązań układu liniowych równań jednorodnych nazywa się podstawowy system rozwiązań, jeśli zbiór ten składa się z liniowo niezależnych rozwiązań i każde rozwiązanie układu jest liniową kombinacją tych rozwiązań.
Twierdzenie. Jeżeli stopień r macierzy układu jest mniejszy od liczby n niewiadomych, to istnieje podstawowy układ rozwiązań składający się z (n-r) rozwiązań.
Algorytm rozwiązywania układów liniowych równań jednorodnych
- Znalezienie rangi macierzy.
- Wybieramy moll podstawowy. Rozróżniamy niewiadome zależne (podstawowe) i wolne.
- Skreślamy te równania układu, których współczynniki nie są uwzględniane w molowej bazie, gdyż są konsekwencjami pozostałych (zgodnie z twierdzeniem o molowej bazie).
- Wyrazy równań zawierających wolne niewiadome przesuwamy na prawą stronę. W rezultacie otrzymujemy układ r równań z r niewiadomymi, równoważny podanemu, którego wyznacznik jest różny od zera.
- Rozwiązujemy powstały układ, eliminując niewiadome. Znajdujemy relacje wyrażające zmienne zależne poprzez zmienne wolne.
- Jeśli rząd macierzy nie jest równy liczbie zmiennych, wówczas znajdujemy rozwiązanie podstawowe układu.
- W przypadku rang = n mamy trywialne rozwiązanie.
Przykład. Znajdź bazę układu wektorów (a 1, a 2,...,a m), uporządkuj i wyraź wektory na podstawie podstawy. Jeśli a 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4) i 5 =(2,1,0,3).
Zapiszmy główną macierz układu:
Pomnóż trzecią linię przez (-3). Dodajmy czwartą linię do trzeciej:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnóż czwartą linię przez (-2). Pomnóżmy piątą linię przez (3). Dodajmy piątą linię do czwartej:
Dodajmy drugą linię do pierwszej:
Znajdźmy rząd macierzy.
Układ o współczynnikach tej macierzy jest równoważny układowi pierwotnemu i ma postać:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Stosując metodę eliminacji niewiadomych znajdujemy nietrywialne rozwiązanie:
Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 1 , x 2 , x 3 poprzez wolne x 4 , czyli znaleźliśmy rozwiązanie ogólne:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Układy jednorodne liniowe równania algebraiczne
W ramach zajęć Metoda Gaussa I Niekompatybilne systemy/systemy ze wspólnym rozwiązaniem rozważaliśmy niejednorodne układy równań liniowych, Gdzie Wolny Członek(który zwykle znajduje się po prawej stronie) przynajmniej jeden z równań była różna od zera.
A teraz, po dobrej rozgrzewce z ranga matrycy, będziemy nadal udoskonalać technikę elementarne przemiany NA jednorodny układ równań liniowych.
Sądząc po pierwszych akapitach, materiał może wydawać się nudny i przeciętny, jednak wrażenie to jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwoju techniki Będzie sporo nowych informacji, więc proszę nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.
Co to jest jednorodny układ równań liniowych?
Odpowiedź nasuwa się sama. Układ równań liniowych jest jednorodny, jeśli jest wyrazem swobodnym wszyscy równanie układu wynosi zero. Na przykład:
To zupełnie jasne jednorodny system jest zawsze spójny, czyli zawsze ma rozwiązanie. A przede wszystkim to co rzuca się w oczy to tzw trywialny rozwiązanie 
. Trywialny, dla tych, którzy w ogóle nie rozumieją znaczenia przymiotnika, czyli bez popisu. Oczywiście nie naukowo, ale zrozumiale =) ...Po co owijać w bawełnę, dowiedzmy się, czy ten system ma jakieś inne rozwiązania:
Przykład 1
Rozwiązanie: aby rozwiązać jednorodny system, należy napisać matryca systemu i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadzić go do postaci stopniowej. Pamiętaj, że tutaj nie ma potrzeby zapisywania pionowej kreski i zerowej kolumny wolnych terminów - w końcu niezależnie od tego, co zrobisz z zerami, pozostaną one zerami: 
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –3.
(2) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1.
Dzielenie trzeciej linii przez 3 nie ma większego sensu.
W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się równoważny układ jednorodny 
i, zastosowanie skok odwrotny Metodą Gaussa łatwo sprawdzić, czy rozwiązanie jest unikalne.
Odpowiedź:
Sformułujmy oczywiste kryterium: ma jednorodny układ równań liniowych po prostu banalne rozwiązanie, Jeśli ranga macierzy systemu(W w tym przypadku 3) równa liczbie zmiennych (w tym przypadku – 3 sztuki).
Rozgrzejmy się i nastrójmy nasze radio na falę elementarnych przemian:
Przykład 2
Rozwiązać jednorodny układ równań liniowych 
Z artykułu Jak znaleźć rząd macierzy? Przypomnijmy sobie racjonalną technikę jednoczesnego zmniejszania liczb macierzy. W przeciwnym razie będziesz musiał pokroić duże i często gryzące ryby. Przybliżona próbka wykonanie zadania na koniec lekcji.
Zera są dobre i wygodne, ale w praktyce przypadek jest znacznie częstszy w przypadku wierszy macierzy systemowej liniowo zależne. A wtedy pojawienie się ogólnego rozwiązania jest nieuniknione:
Przykład 3
Rozwiązać jednorodny układ równań liniowych 
Rozwiązanie: napiszmy macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej. Pierwsza akcja ma na celu nie tylko uzyskanie pojedynczej wartości, ale także zmniejszenie liczb w pierwszej kolumnie:
(1) Do pierwszego wiersza dodano trzecią linię pomnożoną przez –1. Trzecia linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. W lewym górnym rogu dostałem jednostkę z „minusem”, co często jest znacznie wygodniejsze przy dalszych przekształceniach.
(2) Pierwsze dwa wiersze są takie same, jeden z nich został usunięty. Szczerze mówiąc, nie forsowałem rozwiązania - tak się okazało. Jeśli wykonujesz przekształcenia w sposób szablonowy, to zależność liniowa linie zostałyby ujawnione nieco później.
(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 3.
(4) Zmieniono znak pierwszego wiersza.
W wyniku elementarnych przekształceń otrzymano układ równoważny: 
Algorytm działa dokładnie tak samo jak dla systemy heterogeniczne. Zmienne „siedzenie na schodach” są głównymi, zmienna, która nie uzyskała „kroku” jest dowolna.
Wyraźmy podstawowe zmienne poprzez zmienną wolną: 
Odpowiedź: wspólna decyzja: 
Banalne rozwiązanie jest zawarte w ogólna formuła i nie ma potrzeby zapisywania tego osobno.
Sprawdzanie również przeprowadza się według zwykłego schematu: powstałe rozwiązanie ogólne należy podstawić do lewej strony każdego równania układu i dla wszystkich podstawień uzyskać legalne zero.
Można by to zakończyć cicho i spokojnie, ale często trzeba przedstawić rozwiązanie jednorodnego układu równań w formie wektorowej używając podstawowy system rozwiązań. Proszę o tym na razie zapomnieć geometria analityczna, ponieważ teraz będziemy mówić o wektorach w ogólnym sensie algebraicznym, o czym trochę otworzyłem w artykule o ranga matrycy. Nie ma co rozwodzić się nad terminologią, wszystko jest dość proste.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszy temat kurs algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Czynniki te wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest tak dobrany i skonstruowany, abyś przy jego pomocy mógł to zrobić
- ulec poprawie optymalna metoda rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych,
- przestudiować teorię wybranej metody,
- rozwiązuj swój układ równań liniowych, rozważając szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów.
Krótki opis materiału artykułu.
Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy oznaczenia.
Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Po pierwsze skupimy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby utrwalić teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.
Następnie przejdziemy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych ogólna perspektywa, w którym liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest pojedyncza. Sformułujmy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie układów (o ile są kompatybilne) wykorzystując pojęcie molowej podstawy macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.
Na pewno zatrzymamy się na strukturze ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie podstawowego układu rozwiązań i pokażmy, jak rozwiązanie ogólne SLAE jest zapisywane przy użyciu wektorów podstawowego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.
Podsumowując, rozważymy układy równań, które można sprowadzić do równań liniowych, a także różne problemy, przy rozwiązywaniu których powstają SLAE.
Nawigacja strony.
Definicje, pojęcia, oznaczenia.
Rozważymy układy p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n) postaci
Nieznane zmienne, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wyrazy swobodne (również liczby rzeczywiste lub zespolone).
Ta forma nagrywania SLAE nazywa się koordynować.
W postać matrycowa zapisanie tego układu równań ma postać,
Gdzie 
- macierz główna systemu, - macierz kolumnowa nieznanych zmiennych, - macierz kolumnowa wolnych terminów.
Jeśli do macierzy A dodamy macierz-kolumnę wolnych wyrazów jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli 
Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych nazywany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również staje się tożsamością.
Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się go wspólny.
Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, nazywa się go nie wspólne.
Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to – niepewny.
Jeśli wolne wyrazy wszystkich równań układu są równe zeru 
, wówczas system zostaje wywołany jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.
Rozwiązywanie elementarnych układów liniowych równań algebraicznych.
Jeżeli liczba równań układu jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jego macierzy głównej nie jest równy zeru, wówczas takie SLAE będą nazywane podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.
Zaczęliśmy badać takie SLAE w Liceum. Rozwiązując je, braliśmy jedno równanie, wyrażaliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i podstawialiśmy ją do pozostałych równań, następnie braliśmy następne równanie, wyrażaliśmy kolejną nieznaną zmienną i podstawialiśmy ją do innych równań i tak dalej. Lub zastosowali metodę dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy szczegółowo omawiać tych metod, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.
Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Uporządkujmy je.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.
Załóżmy, że musimy rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych 
w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, czyli .
Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu i 
- wyznaczniki macierzy otrzymanych z A przez podstawienie 1., 2.,…, n-te kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków: 
Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane przy użyciu wzorów metody Cramera jako 
. W ten sposób znajduje się rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.
Przykład.
Metoda Cramera 
.
Rozwiązanie.
Główna macierz układu ma postać 
. Obliczmy jego wyznacznik (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Ponieważ wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.
Skomponujmy i obliczmy niezbędne wyznaczniki 
(wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych, wyznacznik zastępując drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych, a trzecią kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych) : 
Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą wzorów 
:
Odpowiedź:
Główną wadą metody Cramera (jeśli można to nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań w układzie jest większa niż trzy.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).
Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie dany w postaci macierzowej, gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest różny od zera.
Ponieważ , macierz A jest odwracalna, to znaczy istnieje macierz odwrotna. Jeśli pomnożymy obie strony równości przez lewą stronę, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy-kolumny nieznanych zmiennych. W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.
Przykład.
Rozwiązywać układ równań liniowych metoda matrycowa.
Rozwiązanie.
Zapiszmy układ równań w postaci macierzowej: 
Ponieważ
wówczas SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Używając odwrotna macierz rozwiązanie tego systemu można znaleźć jako 
.
Skonstruujmy macierz odwrotną, korzystając z macierzy z algebraicznych dodatków elementów macierzy A (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Pozostaje obliczyć macierz nieznanych zmiennych poprzez pomnożenie macierzy odwrotnej 
do kolumny macierzy wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Odpowiedź:
lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Głównym problemem przy znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, szczególnie dla macierze kwadratowe zamówienie wyższe niż trzecie.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.
Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi 
którego wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.
Istota metody Gaussa polega na sekwencyjnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż zostanie tylko nieznana zmienna x n pozostaje w ostatnim równaniu. Ten proces przekształcania równań układu w celu sekwencyjnego eliminowania nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po wykonaniu skoku do przodu metodą Gaussa, z ostatniego równania oblicza się x n, wykorzystując tę wartość z przedostatniego równania, oblicza się x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania wyznacza się x 1. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotność metody Gaussa.
Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.
Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać 
gdzie i 
.
Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawieli otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.
Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku 
W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać 
gdzie i 
. Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.
Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3, analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu 
Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę 
Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , wykorzystując otrzymaną wartość x n z przedostatniego równania znajdujemy x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .
Przykład.
Rozwiązywać układ równań liniowych Metoda Gaussa.
Rozwiązanie.
Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. Aby to zrobić, do obu stron drugiego i trzeciego równania dodajemy odpowiednie części pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez i przez: 
Teraz eliminujemy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej strony lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone przez: 
Na tym kończy się ruch do przodu w metodzie Gaussa; rozpoczynamy ruch w tył.
Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3: 
Z drugiego równania otrzymujemy .
Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i w ten sposób uzupełniamy odwrotność metody Gaussa.
Odpowiedź:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.
Generalnie liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:
Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy także układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i osobliwa.
Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.
Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych należy ustalić jego zgodność. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest kompatybilne, a kiedy niespójne, daje Twierdzenie Kroneckera–Capelliego:
Aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równe n) był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli , Pozycja (A) = Pozycja (T).
Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera – Capelliego do określenia zgodności układu równań liniowych.
Przykład.
Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma 
rozwiązania.
Rozwiązanie.
. Zastosujmy metodę graniczących nieletnich. Minor drugiego rzędu 
różny od zera. Spójrzmy na graniczące z nim nieletnie trzeciego rzędu: 
Ponieważ wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, ranga macierzy głównej jest równa dwa.
Z kolei ranga rozszerzonej macierzy 
jest równe trzy, ponieważ moll jest trzeciego rzędu 
różny od zera.
Zatem, Rang(A), korzystając zatem z twierdzenia Kroneckera–Capelliego, możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.
Odpowiedź:
System nie ma rozwiązań.
Nauczyliśmy się więc ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera–Capelliego.
Ale jak znaleźć rozwiązanie dla SLAE, jeśli zostanie ustalona jego kompatybilność?
Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia podstawy mniejszej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.
Drobny najwyższy porządek nazywa się macierz A różną od zera podstawowy.
Z definicji bazy minor wynika, że jej rząd jest równy rządowi macierzy. W przypadku niezerowej macierzy A może być kilka drugorzędnych baz; zawsze jest jeden moll bazowy.
Rozważmy na przykład macierz 
.
Wszystkie nieletnie trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.
Poniższe nieletni drugiego rzędu są podstawowe, ponieważ są niezerowe 
Nieletni 
nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.
Twierdzenie o rangach macierzy.
Jeżeli rząd macierzy rzędu p na n jest równy r, to wszystkie elementy wierszowe (i kolumnowe) macierzy nie tworzące wybranej podstawy mniejszej są wyrażone liniowo w postaci odpowiadających im elementów wierszowych (i kolumnowych) tworzących podstawa niewielka.
Co mówi nam twierdzenie o rankingu macierzy?
Jeżeli zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną bazę mniejszą macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wykluczamy z układu wszystkie równania, które spełniają nie tworzą wybranej podstawy drobnej. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny pierwotnemu, gdyż odrzucone równania są w dalszym ciągu zbędne (zgodnie z twierdzeniem o rangi macierzy są one liniową kombinacją pozostałych równań).
W efekcie po odrzuceniu zbędnych równań układu możliwe są dwa przypadki.
Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie będzie równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie to określone i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Przykład.
.
Rozwiązanie.
Ranga głównej macierzy systemu 
jest równe dwa, ponieważ moll jest drugiego rzędu 
różny od zera. Rozszerzony ranking matrycy 
jest również równe dwa, ponieważ jedynym drugorzędnym trzecim rzędem jest zero 
a drugorzędna drugorzędna rozważana powyżej jest różna od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera–Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, gdyż Ranga(A)=Rank(T)=2.
Jako podstawę bierzemy mniej . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania: 
Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawy moll, dlatego wykluczamy je z układu w oparciu o twierdzenie o rzędzie macierzy: 
W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera: 
Odpowiedź:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jeśli liczba równań r w wynikowym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to po lewej stronie równań pozostawiamy wyrazy tworzące podstawę minor, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równania równania układu o przeciwnym znaku.
Wywoływane są nieznane zmienne (z nich r) pozostałe po lewej stronie równań główny.
Wywoływane są nieznane zmienne (jest n - r elementów), które znajdują się po prawej stronie bezpłatny.
Teraz wierzymy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne zostaną wyrażone poprzez wolne nieznane zmienne w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Spójrzmy na to na przykładzie.
Przykład.
Rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych 
.
Rozwiązanie.
Znajdźmy rangę głównej macierzy układu 
metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego molla drugiego rzędu graniczącego z tym mollem: 
W ten sposób znaleźliśmy niezerową mollę drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej granicy moll trzeciego rzędu: 
Zatem ranga głównej macierzy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.
Jako podstawę przyjmujemy znalezioną niezerową mollę trzeciego rzędu.
Dla przejrzystości pokazujemy elementy tworzące podstawę moll: 
Wyrazy związane z mollą bazową pozostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę z przeciwnymi znakami przenosimy na prawą stronę: 
Dajmy wolnym nieznanym zmiennym x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli akceptujemy 
, gdzie są dowolnymi liczbami. W tym przypadku SLAE przybierze formę 
Rozwiążmy powstały elementarny układ liniowych równań algebraicznych metodą Cramera: 
Stąd, .
W swojej odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.
Odpowiedź:
Gdzie są liczby dowolne.
Podsumować.
Aby rozwiązać układ ogólnych równań algebraicznych liniowych, najpierw określamy jego zgodność za pomocą twierdzenia Kroneckera – Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas stwierdzamy, że system jest niekompatybilny.
Jeżeli ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy moll bazowy i odrzucamy równania układu, które nie biorą udziału w tworzeniu wybranego molla bazowego.
Jeżeli kolejność podstawy drobne równa liczbie nieznanych zmiennych, wówczas SLAE ma unikalne rozwiązanie, które znajdujemy dowolną znaną nam metodą.
Jeśli rząd podstawy mniejszej jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę i podajemy dowolne wartości wolne nieznane zmienne. Z powstałego układu równań liniowych znajdujemy główne niewiadome zmienne metodą Cramera, metoda macierzowa lub metoda Gaussa.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.
Metodę Gaussa można zastosować do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych dowolnego rodzaju bez uprzedniego sprawdzania ich spójności. Proces sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.
Z obliczeniowego punktu widzenia preferowana jest metoda Gaussa.
Obejrzyj to szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.
Zapisywanie rozwiązań ogólnych jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.
W tej sekcji omówimy jednoczesne jednorodne i niejednorodne układy liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.
Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.
Podstawowy system rozwiązań jednorodny układ p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi to zbiór (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rządem mniejszej podstawy macierzy głównej układu.
Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) są kolumnowe macierze wymiaru n przez 1) , wówczas ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań o dowolnych stałych współczynnikach C 1, C 2, ..., C (n-r), to Jest, .
Co oznacza termin ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?
Znaczenie jest proste: formuła ustala wszystko możliwe rozwiązania oryginalny SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zbiór wartości dowolnych stałych C 1, C 2, ..., C (n-r), korzystając ze wzoru otrzymamy jedno z rozwiązań pierwotnego jednorodnego SLAE.
Zatem jeśli znajdziemy podstawowy system rozwiązań, wówczas możemy zdefiniować wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .
Pokażmy proces konstruowania podstawowego systemu rozwiązań do jednorodnego SLAE.
Wybieramy bazę mniejszą pierwotnego układu równań liniowych, wykluczamy z układu wszystkie pozostałe równania i przenosimy wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne na prawe strony równań układu o przeciwnych znakach. Niewiadomym swobodnym nadajmy wartości 1,0,0,...,0 i obliczmy główne niewiadome rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W rezultacie otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeśli podamy wolnym niewiadomym wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, otrzymamy X (2) . I tak dalej. Jeżeli niewiadomym wolnym przypiszemy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy niewiadome główne, otrzymamy X (n-r). W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy system rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne będzie można zapisać w postaci .
W przypadku niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne jest reprezentowane w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego układu jednorodnego i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego niejednorodnego SLAE, które otrzymujemy podając wartości niewiadomym wolnym 0,0,…,0 i obliczenie wartości głównych niewiadomych.
Spójrzmy na przykłady.
Przykład.
Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych 
.
Rozwiązanie.
Ranga macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równa rangi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rząd macierzy głównej, stosując metodę graniczących nieletnich. Jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu bierzemy element a 1 1 = 9 macierzy głównej układu. Znajdźmy graniczący niezerowy moll drugiego rzędu: 
Znaleziono moll drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez nieletnie trzeciego rzędu graniczące z nim w poszukiwaniu niezerowej jedynki: 
Wszystkie nieletnie graniczące trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej jest równa dwa. Weźmy . Dla jasności zwróćmy uwagę na elementy systemu, które go tworzą: 
Trzecie równanie pierwotnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawy moll, dlatego można je wykluczyć: 
Wyrazy zawierające główne niewiadome pozostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony:
Skonstruujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązania tego SLAE składają się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a rząd jego podstawy jest równy dwa. Aby znaleźć X (1), wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 1, x 4 = 0, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań 
.
