Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Ponieważ tak jest łatwiej. Dla przypomnienia, aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (będzie to licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:
Na przykład:
Wszystko jest niezwykle proste. I proszę nie szukać wspólnego mianownika! Nie jest on tu potrzebny...
Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż, czyli:
Na przykład:
Jeśli natkniesz się na mnożenie lub dzielenie liczb całkowitych i ułamków, nie ma problemu. Podobnie jak w przypadku dodawania, z liczby całkowitej tworzymy ułamek zwykły z jedynką w mianowniku - i dalej! Na przykład:
W szkole średniej często masz do czynienia z ułamkami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:
Jak mogę sprawić, aby ta frakcja wyglądała przyzwoicie? Tak, bardzo proste! Użyj podziału dwupunktowego:
Ale nie zapomnij o kolejności dzielenia! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale łatwo jest popełnić błąd w ułamku trzech pięter. Zwróć uwagę na przykład:
W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):
W drugim (wyrażenie po prawej):
Czy czujesz różnicę? 4 i 1/9!
Co decyduje o kolejności podziału? Albo w nawiasach, albo (jak tutaj) z długością poziomych linii. Rozwijaj swoje oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, np.:
potem dziel i mnóż w kolejności od lewej do prawej!
A także bardzo proste i ważna technika. W działaniach ze stopniami będzie ci bardzo przydatny! Podzielmy jeden przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:
Strzał się odwrócił! I to zawsze się zdarza. Dzieląc 1 przez dowolny ułamek, otrzymasz ten sam ułamek, tylko odwrócony do góry nogami.
To tyle, jeśli chodzi o operacje na ułamkach. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Notatka praktyczne porady, a będzie ich mniej (błędów)!
Praktyczne wskazówki:
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! Nie jest Pospolite słowa, a nie dobre życzenia! To pilna konieczność! Wykonuj wszystkie obliczenia na egzaminie Unified State Exam jako pełnoprawne zadanie, skupione i jasne. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w wersji roboczej, niż zepsuć obliczenia w pamięci.
2. W przykładach z różne rodzaje ułamki - przejdź do ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż się zatrzymają.
4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe redukujemy do zwykłych, stosując dzielenie przez dwa punkty (zachowujemy kolejność dzielenia!).
5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.
Oto zadania, które zdecydowanie musisz wykonać. Odpowiedzi podawane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów na ten temat i praktycznych wskazówek. Oszacuj, ile przykładów udało Ci się poprawnie rozwiązać. Pierwszy raz! Bez kalkulatora! I wyciągnij właściwe wnioski...
Pamiętaj - prawidłowa odpowiedź to otrzymane za drugim (zwłaszcza trzecim) razem się nie liczy! Takie jest surowe życie.
Więc, rozwiązać w trybie egzaminu ! Nawiasem mówiąc, jest to już przygotowanie do egzaminu Unified State Exam. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy go, rozwiązujemy następny. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. Lecz tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.
Oblicz:
Czy zdecydowałeś?
Szukamy odpowiedzi pasujących do Twoich. Celowo spisałem je w nieładzie, z dala od pokus, że tak powiem... Oto odpowiedzi zapisane średnikami.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało, cieszę się razem z Tobą! Podstawowe obliczenia na ułamkach to nie Twój problem! Możesz zająć się poważniejszymi rzeczami. Jeśli nie...
Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale to rozpuszczalny Problemy.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Aby rozwiązać różne problemy z zajęć z matematyki i fizyki, musisz dzielić ułamki zwykłe. Jeśli wiesz, jest to bardzo łatwe pewne zasady wykonaj tę operację matematyczną.
Zanim przejdziemy do formułowania zasady dzielenia ułamków, przypomnijmy sobie kilka terminów matematycznych:
- Górna część ułamka nazywana jest licznikiem, a dolna częścią mianownikiem.
- Podczas dzielenia liczby nazywa się następująco: dywidenda: dzielnik = iloraz
Jak dzielić ułamki zwykłe: ułamki proste
Aby wykonać dzielenie dwóch ułamki proste pomnóż dywidendę przez odwrotność dzielnika. Ułamek ten nazywany jest również odwróconym, ponieważ uzyskuje się go przez zamianę licznika i mianownika. Na przykład:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Jak dzielić ułamki: ułamki mieszane
Jeśli musimy podzielić ułamki mieszane, to tutaj wszystko jest również dość proste i jasne. Najpierw zamieniamy ułamek mieszany na zwykły ułamek niewłaściwy. Aby to zrobić, pomnóż mianownik takiego ułamka przez liczbę całkowitą i dodaj licznik do powstałego iloczynu. W rezultacie otrzymaliśmy nowy licznik frakcja mieszana, a jego mianownik pozostanie niezmieniony. Ponadto dzielenie ułamków zostanie przeprowadzone dokładnie w taki sam sposób, jak dzielenie prostych ułamków. Na przykład:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Jak podzielić ułamek przez liczbę
Aby podzielić ułamek prosty przez liczbę, należy tę ostatnią zapisać jako ułamek zwykły (nieregularny). Jest to bardzo łatwe: liczbę tę zapisuje się w miejsce licznika, a mianownik takiego ułamka jest równy jeden. Dalszy podział odbywa się w zwykły sposób. Spójrzmy na to na przykładzie:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Jak dzielić ułamki dziesiętne
Często dorosły ma trudności z podzieleniem liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego przez ułamek dziesiętny bez pomocy kalkulatora.
A więc dokonaj podziału miejsca dziesiętne, wystarczy przekreślić przecinek w dzielniku i przestać na niego zwracać uwagę. W dzielnej przecinek należy przesunąć w prawo dokładnie o tyle miejsc, ile był w części ułamkowej dzielnika, w razie potrzeby dodając zera. I nadal produkują regularny podział przez liczbę całkowitą. Aby było to bardziej jasne, rozważmy następujący przykład.
) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).
Wzór na mnożenie ułamków:
Na przykład:
Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy ułamek można skrócić. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.
Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.
Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.
To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):
- zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
- mnożenie liczników i mianowników ułamków;
- zmniejsz ułamek;
- Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamki niewłaściwe, a następnie pomnóż zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.
Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez Liczba naturalna Konieczne jest podzielenie mianownika ułamka przez tę liczbę i pozostawienie licznika bez zmian.
Z powyższego przykładu jasno wynika, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.
Ułamki wielopiętrowe.
W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:
Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj dzielenia przez 2 punkty:
Notatka! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.
Notatka, Na przykład:
Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:
Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.
2. W zadaniach z różnymi rodzajami ułamków przejdź do typu ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.
4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe przekształcamy na zwykłe, dzieląc przez 2 punkty.
5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.
Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci liczby całkowitej, należy uwzględnić części lub ułamki jakiejś miary. Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.
Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.
Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Jednak celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnożone są ułamki mieszane o różnych mianownikach.
Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:
- prawidłowy;
- błędny;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak mnoży się liczby ułamkowe same mianowniki. Sama zasada tego procesu nie jest trudna do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o identycznych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z pierwotnie istniejących.
Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym, że wynikowa liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i, oczywiście, kwadratu jednego wyrażenie numeryczne nie da się tego nazwać.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko za pomocą liczb mianownikowych; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.
Oprócz ułamków prostych istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:
A* B/C = a*b /C.
W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
D* mi/F = mi/f: d.
Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego. Można go również przedstawić jako ogólna formuła:
A BC = a*b+ c/c, gdzie mianownik nowego ułamka tworzy się poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie go przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.
Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.
W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych w różnych odmianach programów. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim nie jest trudna, wypełniasz odpowiednie pola na stronie serwisu, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.
Temat działania arytmetyczne z liczbami ułamkowymi ma zastosowanie w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze opanowana wiedza podstawowa daje w większości całkowitą pewność skutecznego rozwiązania złożone zadania.
Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Zwiększenie licznika – zasług – nie jest w mocy człowieka, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie, a przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki zwykłe (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszą częścią tych działań było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Teraz czas zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobra wiadomość jest taka, że te operacje są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Rozważmy najpierw najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez oddzielonej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki oddzielnie. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi ułamek.
Przeznaczenie:
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby „odwrócić” ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego podczas całej lekcji będziemy się głównie zastanawiać nad mnożeniem.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek redukowalny (i często powstaje) - należy go oczywiście zmniejszyć. Jeśli po wszystkich redukcjach ułamek okaże się nieprawidłowy, należy zaznaczyć całą część. Ale to, co na pewno nie stanie się w przypadku mnożenia, to redukcja do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, największych czynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych przez części całkowite i ułamki ujemne
Jeśli ułamki zawierają część całkowitą, należy je zamienić na niewłaściwe - i dopiero wtedy pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go usunąć z mnożenia lub całkowicie usunąć, zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus przez minus daje minus;
- Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory z tymi zasadami spotykano się jedynie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy konieczne było pozbycie się całej części. W przypadku pracy można je uogólnić, aby „spalić” kilka wad jednocześnie:
- Negatywy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnych przypadkach może przetrwać jeden minus - ten, dla którego nie było partnera;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz rozpocząć mnożenie. Jeżeli ostatni minus nie zostanie przekreślony, bo nie było dla niego pary, to wychodzimy poza granice mnożenia. Wynikiem jest ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Wszystkie ułamki zwykłe zamieniamy na niewłaściwe, a następnie z mnożenia usuwamy minusy. To, co zostaje, mnożymy według zwykłych zasad. Otrzymujemy:
Jeszcze raz przypomnę, że minus występujący przed ułamkiem z zaznaczoną całą częścią odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego całej części (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: podczas mnożenia są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Redukowanie ułamków na bieżąco
Mnożenie jest operacją bardzo pracochłonną. Liczby tutaj okazują się dość duże i aby uprościć problem, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami i dlatego można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach liczby, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na ich miejscu pozostają jednostki, których, ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba zapisywać. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal się zmniejszała.
Jednak nigdy nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami istnieją podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje, ponieważ podczas dodawania licznik ułamka daje sumę, a nie iloczyn liczb. W związku z tym niemożliwe jest zastosowanie podstawowej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innych powodów, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzednie zadanie wygląda tak:
Prawidłowe rozwiązanie:
Jak widać, prawidłowa odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie rzecz biorąc, należy zachować ostrożność.
