Jak wyciągnąć korzeń spod korzenia. Wyciąganie pierwiastka kwadratowego

W matematyce pytanie, jak wyodrębnić pierwiastek, uważa się za stosunkowo proste. Jeśli podniesiemy do kwadratu liczby z ciągu naturalnego: 1, 2, 3, 4, 5...n, to otrzymamy następujący ciąg kwadratów: 1, 4, 9, 16...n 2. Rząd kwadratów jest nieskończony i jeśli przyjrzysz się mu uważnie, zobaczysz, że nie ma w nim zbyt wielu liczb całkowitych. Dlaczego tak się dzieje, zostanie wyjaśnione nieco później.

Pierwiastek liczby: zasady obliczeń i przykłady

Więc podnieśliśmy liczbę 2 do kwadratu, to znaczy pomnożyliśmy ją przez siebie i otrzymaliśmy 4. Jak wyodrębnić pierwiastek z liczby 4? Powiedzmy od razu, że pierwiastki mogą być kwadratowe, sześcienne i w dowolnym stopniu do nieskończoności.

Stopień korzenia – zawsze Liczba naturalna, to znaczy nie można rozwiązać takiego równania: pierwiastek do potęgi 3,6 z n.

Pierwiastek kwadratowy

Wróćmy do pytania, jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z 4. Ponieważ podnieśliśmy liczbę 2 do kwadratu, wyodrębnimy także pierwiastek kwadratowy. Aby poprawnie wyodrębnić pierwiastek z 4, wystarczy wybrać odpowiednią liczbę, która po podniesieniu do kwadratu da liczbę 4. A to oczywiście jest 2. Spójrz na przykład:

• 2 2 =4
• Pierwiastek z 4 = 2

Ten przykład jest dość prosty. Spróbujmy wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z 64. Jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje 64? Jasne, że jest 8.

• 8 2 =64
• Pierwiastek z 64=8

pierwiastek sześcienny

Jak powiedziano powyżej, pierwiastki są nie tylko kwadratowe, na przykładzie postaramy się jaśniej wyjaśnić, jak wyodrębnić pierwiastek sześcienny lub pierwiastek trzeciego stopnia. Zasada wyodrębniania pierwiastka sześciennego jest taka sama jak pierwiastka kwadratowego, jedyną różnicą jest to, że wymagana liczba została początkowo pomnożona przez siebie nie raz, ale dwukrotnie. To znaczy, powiedzmy, że wzięliśmy następujący przykład:

• 3x3x3=27
• Naturalnie pierwiastek sześcienny z 27 wynosi trzy:
• Pierwiastek 3 z 27 = 3

Załóżmy, że trzeba znaleźć pierwiastek sześcienny z 64. Aby rozwiązać to równanie, wystarczy znaleźć liczbę, która podniesiona do trzeciej potęgi da 64.

• 4 3 =64
• Pierwiastek 3 z 64 = 4

Wyodrębnij pierwiastek liczby na kalkulatorze

Oczywiście najlepiej uczyć się wyciągania kwadratów, sześcianów i innych pierwiastków poprzez praktykę, rozwiązując wiele przykładów i zapamiętując tablice kwadratów i sześcianów małych liczb. W przyszłości znacznie ułatwi to i skróci czas rozwiązywania równań. Chociaż należy zauważyć, że czasami konieczne jest wyodrębnienie korzenia takiego duża liczbaże znalezienie prawidłowej liczby do kwadratu byłoby bardzo trudne, jeśli w ogóle możliwe. Aby pomóc w ekstrakcji pierwiastek kwadratowy przyjdzie zwykły kalkulator. Jak wyodrębnić korzeń na kalkulatorze? Bardzo prosto wprowadź liczbę, z której chcesz znaleźć wynik. Przyjrzyj się teraz bliżej przyciskom kalkulatora. Nawet najprostszy z nich ma klucz z ikoną roota. Klikając na niego, natychmiast otrzymasz gotowy wynik.

Nie każdą liczbę można wyodrębnić cały korzeń rozważ następujący przykład:

Pierwiastek z 1859 = 43,116122…

Możesz jednocześnie spróbować rozwiązać ten przykład na kalkulatorze. Jak widać, wynikowa liczba nie jest liczbą całkowitą, ponadto zbiór cyfr po przecinku nie jest skończony. Specjalne kalkulatory inżynieryjne mogą dać dokładniejszy wynik, ale pełny wynik po prostu nie mieści się na wyświetlaczu zwykłych. A jeśli będziesz kontynuować rozpoczęty wcześniej ciąg kwadratów, nie znajdziesz w nim liczby 1859 właśnie dlatego, że liczba podniesiona do kwadratu, aby ją otrzymać, nie jest liczbą całkowitą.

Jeśli chcesz wyodrębnić trzeci pierwiastek na prostym kalkulatorze, musisz dwukrotnie kliknąć przycisk ze znakiem pierwiastka. Na przykład weź liczbę 1859 użytą powyżej i wyjmij z niej pierwiastek sześcienny:

Korzeń 3 z 1859 = 6,5662867…

Oznacza to, że jeśli liczbę 6,5662867... podniesiemy do trzeciej potęgi, otrzymamy w przybliżeniu 1859. Zatem wyodrębnienie pierwiastków z liczb nie jest trudne, wystarczy pamiętać o powyższych algorytmach.

A czy masz uzależnienie od kalkulatora? A może myślisz, że bardzo trudno jest obliczyć, na przykład, inaczej niż za pomocą kalkulatora lub tabeli kwadratów.

Zdarza się, że uczniowie są przywiązani do kalkulatora, a nawet mnożą 0,7 przez 0,5, naciskając cenne przyciski. Mówią: no cóż, jeszcze umiem liczyć, ale teraz zaoszczędzę czas... Kiedy przyjdzie egzamin... to się przemęczę...

Faktem jest więc, że na egzaminie nie zabraknie już „stresujących momentów”... Jak to się mówi, woda niszczy kamienie. Tak więc na egzaminie małe rzeczy, jeśli jest ich dużo, mogą cię zrujnować...

Zminimalizujmy liczbę możliwych problemów.

Biorąc pierwiastek kwadratowy z dużej liczby

Porozmawiamy teraz tylko o przypadku, gdy wynikiem wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego jest liczba całkowita.

Przypadek 1.

Zatem za wszelką cenę (na przykład przy obliczaniu dyskryminatora) musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 86436.

Liczbę 86436 rozłożymy na czynniki pierwsze. Podziel przez 2, otrzymamy 43218; dzieląc ponownie przez 2, otrzymamy 21609. Liczba nie jest podzielna przez 2. Ale ponieważ suma cyfr jest podzielna przez 3, wówczas sama liczba jest podzielna przez 3 (ogólnie rzecz biorąc, jasne jest, że dzieli się również przez 9). . Podziel ponownie przez 3, a otrzymamy 2401. 2401 nie jest całkowicie podzielne przez 3. Nie jest podzielna przez pięć (nie kończy się na 0 ani 5).

Podejrzewamy podzielność przez 7. Rzeczywiście, i ,

Zatem wykonaj zamówienie!

Przypadek 2.

Musimy obliczyć. Niewygodne jest postępowanie w sposób opisany powyżej. Próbujemy rozłożyć na czynniki...

Liczba 1849 nie jest podzielna przez 2 (nie jest parzysta)…

Nie jest całkowicie podzielna przez 3 (suma cyfr nie jest wielokrotnością 3)...

Nie jest całkowicie podzielna przez 5 (ostatnia cyfra to ani 5, ani 0)…

Nie jest całkowicie podzielna przez 7, nie jest podzielna przez 11, nie jest podzielna przez 13... No cóż, ile czasu zajmie nam sortowanie wszystkich liczb pierwszych?

Pomyślmy trochę inaczej.

Rozumiemy to

Zawęziliśmy nasze poszukiwania. Teraz przechodzimy przez liczby od 41 do 49. Ponadto jasne jest, że skoro ostatnią cyfrą liczby jest 9, to powinniśmy zatrzymać się na opcjach 43 lub 47 - tylko te liczby po podniesieniu do kwadratu dadzą ostatnią cyfrę 9 .

Cóż, tutaj oczywiście zatrzymujemy się na 43. Rzeczywiście,

P.S. Jak, do cholery, pomnożymy 0,7 przez 0,5?

Należy pomnożyć 5 przez 7, ignorując zera i znaki, a następnie oddzielić, idąc od prawej do lewej, dwa miejsca po przecinku. Otrzymujemy 0,35.

Czas to uporządkować metody ekstrakcji korzeni. Opierają się one na własnościach pierwiastków, w szczególności na równości, która obowiązuje dla każdej liczby nieujemnej b.

Poniżej przyjrzymy się głównym metodom wydobywania korzeni jeden po drugim.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

Jeśli tabele kwadratów, sześcianów itp. Jeśli nie masz go pod ręką, logiczne jest zastosowanie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze.

Warto szczególnie wspomnieć, co jest możliwe dla pierwiastków o wykładnikach nieparzystych.

Na koniec rozważmy metodę, która pozwala nam sekwencyjnie znajdować cyfry wartości pierwiastkowej.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wyodrębnienie pierwiastków. Co to za tabele?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli zlokalizowana jest na szarym tle i wybierając konkretny wiersz oraz konkretną kolumnę, pozwala na ułożenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy wiersz składający się z 8 dziesiątek i kolumnę zawierającą 3 jednostki, w ten sposób ustaliliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda komórka znajduje się na przecięciu określonego wiersza i określonej kolumny i zawiera kwadrat odpowiedniej liczby od 0 do 99. Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jedności znajduje się komórka z liczbą 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablicy kwadratów, tyle że zawierają kostki, czwarte potęgi itp. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tablice kwadratów, sześcianów, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio na podstawie liczb w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich stosowania podczas wydobywania korzeni.

Powiedzmy, że musimy wyodrębnić n-ty pierwiastek z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych potęg. Korzystając z tej tabeli, znajdujemy liczbę b taką, że a=b n. Następnie dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak użyć tabeli kostek do wyodrębnienia pierwiastka sześciennego z 19 683. W tabeli kostek znajdujemy liczbę 19 683, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego też .

Jest oczywiste, że tablice n-tych potęg są bardzo wygodne do wyodrębniania pierwiastków. Często jednak nie są one pod ręką, a ich skompilowanie zajmuje trochę czasu. Ponadto często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach należy zastosować inne metody ekstrakcji korzeni.

Rozkładanie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (jeśli oczywiście zostanie wyodrębniony pierwiastek) jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Jego chodzi o to: potem dość łatwo jest przedstawić to jako potęgę za pomocą niezbędny wskaźnik, co pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy tę kwestię.

Weźmy n-ty pierwiastek liczby naturalnej a i jego wartość będzie równa b. W tym przypadku prawdziwa jest równość a=bn. Liczbę b, jak każdą liczbę naturalną, można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 ·p 2 ·…·p m , oraz w tym przypadku liczby pierwiastkowej a jest reprezentowane jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Ponieważ rozkład liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, rozkład pierwiastka liczby a na czynniki pierwsze będzie miał postać (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, co pozwala obliczyć wartość pierwiastka Jak.

Należy zauważyć, że jeśli rozkładu liczby a na czynniki pierwsze nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, to n-ty pierwiastek takiej liczby a nie jest wyodrębniony całkowicie.

Rozwiążmy to, rozwiązując przykłady.

Przykład.

Weź pierwiastek kwadratowy ze 144.

Rozwiązanie.

Jeśli spojrzysz na tabelę kwadratów podaną w poprzednim akapicie, wyraźnie zobaczysz, że 144 = 12 2, z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 jest równy 12.

Jednak w świetle tego punktu interesuje nas sposób wyodrębnienia pierwiastka poprzez rozkład pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 do czynników pierwszych:

Oznacza to, że 144=2,2,2,2,3,3. Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2·2·2·2·3·3=(2,2) 2,3 2 =(2,2,3) 2 =12 2. Stąd, .

Korzystając z właściwości stopnia i właściwości pierwiastków, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Rozkład na czynniki pierwsze rodnika 243 ma postać 243=3 5 . Zatem, .

Odpowiedź:

Przykład.

Czy wartość pierwiastkowa jest liczbą całkowitą?

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Wynikowe rozwinięcie nie jest przedstawiane jako sześcian liczby całkowitej, ponieważ stopień podstawowy czynnik 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego nie można całkowicie wyodrębnić pierwiastka sześciennego z 285 768.

Odpowiedź:

NIE.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, jak wyodrębnić pierwiastek z liczby ułamkowej. Niech rodnik ułamkowy zostanie zapisany jako p/q. Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika zasada wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi pierwiastka licznika podzielonego przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębnienia pierwiastka z ułamka.

Przykład.

Z czego wynika pierwiastek kwadratowy ułamek wspólny 25/169 .

Rozwiązanie.

Korzystając z tabeli kwadratów, stwierdzamy, że pierwiastek kwadratowy licznika ułamka pierwotnego jest równy 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika jest równy 13. Następnie . Na tym kończy się ekstrakcja pierwiastka frakcji wspólnej 25/169.

Odpowiedź:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej wyodrębnia się po zastąpieniu liczb pierwiastkowych ułamkami zwykłymi.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny ułamka dziesiętnego 474,552.

Rozwiązanie.

Wyobraźmy sobie oryginał dziesiętny jako ułamek zwykły: 474,552=474552/1000. Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku powstałego ułamka. Ponieważ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000 = 10 3, wtedy I . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiedź:

.

Biorąc pierwiastek z liczby ujemnej

Warto zastanowić się nad wyodrębnianiem pierwiastków z liczb ujemnych. Badając pierwiastki, powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastkowy jest liczbą nieparzystą, wówczas pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Nadaliśmy tym wpisom następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1, . Ta równość daje zasada wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wziąć pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.

Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod pierwiastkiem znajdowała się liczba dodatnia: . Teraz zamień liczbę mieszaną na ułamek zwykły: . Stosujemy regułę wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku powstałego ułamka: .

Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

.

Bitowe określenie wartości pierwiastkowej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu technik omówionych powyżej nie można przedstawić jako n-tą potęgę dowolnej liczby. Ale jednocześnie trzeba znać znaczenie dany korzeń przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala sekwencyjnie uzyskać wystarczającą liczbę wartości cyfr żądanej liczby.

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest sprawdzenie, jaki jest najbardziej znaczący bit wartości pierwiastkowej. W tym celu liczby 0, 10, 100, ... są kolejno podnoszone do potęgi n, aż do momentu, gdy liczba przekroczy liczbę pierwiastkową. Następnie liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n na poprzednim etapie, wskaże odpowiednią najbardziej znaczącą cyfrę.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z pięciu. Weź liczby 0, 10, 100, ... i podnieś je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5. Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jedności. Wartość tego bitu, jak i niższych, zostanie odnaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji pierwiastka.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sekwencyjne doprecyzowanie wartości pierwiastka poprzez znalezienie wartości kolejnych bitów pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższych. Przykładowo wartość pierwiastka w pierwszym kroku okazuje się wynosić 2, w drugim – 2,2, w trzecim – 2,23 i tak dalej 2,236067977…. Opiszmy, jak znaleźć wartości cyfr.

Cyfry można znaleźć, przeszukując je możliwa wartość 0, 1, 2,…, 9. W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas uznaje się, że wartość cyfry odpowiadająca poprzedniej wartości zostaje znaleziona i następuje przejście do kolejnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastka; jeżeli tak się nie stanie, wówczas wartość tej cyfry wynosi 9.

Wyjaśnijmy te punkty na tym samym przykładzie wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdujemy wartość cyfry jedności. Będziemy przechodzić przez wartości 0, 1, 2, ..., 9, obliczając odpowiednio 0 2, 1 2, ..., 9 2, aż otrzymamy wartość większą niż pierwiastek 5. Wszystkie te obliczenia wygodnie jest przedstawić w formie tabeli:

Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Przejdźmy do znalezienia wartości miejsca dziesiątego. W tym przypadku podniesiemy liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 do kwadratu, porównując uzyskane wartości z rodnikiem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 2. Możesz przystąpić do znajdowania wartości miejsca setnego:

W ten sposób znaleziono kolejną wartość pierwiastka z pięciu, która wynosi 2,23. Możesz więc nadal znajdować wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby utrwalić materiał, przeanalizujemy ekstrakcję pierwiastka z dokładnością do setnych, stosując rozważany algorytm.

Najpierw określamy najbardziej znaczącą cyfrę. Aby to zrobić, dzielimy liczby 0, 10, 100 itd. dopóki nie otrzymamy liczby większej niż 2 151 186. Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, więc najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra dziesiątek.

Ustalmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątek wynosi 1. Przejdźmy do jednostek.

Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2. Przejdźmy do dziesiątek.

Ponieważ nawet 12,9 3 jest mniejsze niż pierwiastek 2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 9. Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, który da nam wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość pierwiastka ustala się z dokładnością do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów ekstrakcji korzeni. Ale w przypadku większości zadań wystarczą te, które przestudiowaliśmy powyżej.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele obliczali pierwiastki kwadratowe ręcznie. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne dają dokładną odpowiedź.

Kroki

Faktoryzacja pierwsza

Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki będące liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby radykalnej otrzymasz odpowiedź przybliżoną lub dokładną. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład współczynniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami, które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć liczbę pierwiastkową na czynniki kwadratowe.

• Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. Zatem 400 można rozłożyć na współczynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
• Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

1. Pierwiastek kwadratowy iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z każdego współczynnika kwadratowego i pomnożyć wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

   • W naszym przykładzie weź pierwiastek z 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5x4 = 20

2. Jeśli liczba pierwiastkowa nie zostanie rozłożona na dwa współczynniki kwadratowe (a tak się dzieje w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale można uprościć problem, rozkładając liczbę pierwiastkową na współczynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie weźmiesz pierwiastek kwadratowy ze współczynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze wspólnego czynnika.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa współczynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jeśli to konieczne, oszacuj wartość pierwiastka. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znaleźć wartość przybliżoną), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliżej (po obu stronach osi liczbowej) liczby pierwiastkowej. Wartość pierwiastkową otrzymasz w postaci ułamka dziesiętnego, który należy pomnożyć przez liczbę znajdującą się za znakiem pierwiastka.

   • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastkiem jest liczba 3. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się pomiędzy 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Mnożymy tę wartość przez liczbę przy znaku pierwiastka: 7 x 1,7 = 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12,13, co jest dość bliskie naszej odpowiedzi.
     • Ta metoda działa również w przypadku dużych liczb. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastkiem jest liczba 35. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 mieści się pomiędzy 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 to tylko 1 mniej niż 36), możemy powiedzieć, że √35 jest nieco mniejsze niż 6 Sprawdź na kalkulatorze, co daje nam odpowiedź 5,92 – mieliśmy rację.

4. Innym sposobem jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Zapisz czynniki pierwsze w szeregu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można wyjąć ze znaku głównego.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Zatem √45 = √(3 x 3 x 5). Jako pierwiastek można wyjąć 3: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
   • Spójrzmy na inny przykład: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Otrzymałeś trzy mnożniki liczby 2; weź kilka z nich i przesuń je poza znak korzenia.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Teraz możesz ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

   Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

   Używanie długiego dzielenia

   1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długich i zapewnia dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza narysuj poziomą linię do linii pionowej. Teraz podziel liczbę pierwiastkową na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz podaną liczbę w postaci „7 80, 14” w lewym górnym rogu. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (pierwiastek tej liczby) napiszesz w prawym górnym rogu.

   2. Dla pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) od lewej strony znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy danej parze liczb (lub pojedynczej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową najbliższą pierwszej parze liczb (lub pojedynczej liczbie) od lewej, ale mniejszą od niej, i weź pierwiastek kwadratowy z tej liczby kwadratowej; otrzymasz liczbę n. Wpisz n, które znalazłeś, w prawym górnym rogu i wpisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą liczbą po lewej będzie 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) po lewej stronie. Wynik obliczeń zapisz pod odejmowaniem (kwadratem liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7 i uzyskaj 3.

   4. Zapisz drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwoj liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby w prawym górnym rogu daje 4. Wpisz „4_×_=" w prawym dolnym rogu.

   5. Wypełnij puste pola po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast myślników wstawimy liczbę 8, to 48 x 8 = 384, czyli więcej niż 380. Zatem 8 to za duża liczba, ale wystarczy 7. Zamiast myślników wpisz 7 i uzyskaj: 47 x 7 = 329. Wpisz 7 w prawym górnym rogu - jest to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

   6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Wynik z poprzedniego kroku zapisz pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjemnikiem.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co równa się 51.

   7. Powtórz krok 4. Jeżeli przenoszona para liczb jest częścią ułamkową pierwotnej liczby, należy umieścić separator (przecinek) pomiędzy liczbą całkowitą a częścią ułamkową w wymaganym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Po lewej stronie obniż następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780,14, dlatego umieść separator części całkowitej i ułamkowej w żądanym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Zapisz liczbę 14 i wpisz ją w lewym dolnym rogu. Podwójna liczba w prawym górnym rogu (27) to 54, więc wpisz „54_×_=" w prawym dolnym rogu.

   8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą liczbę w miejsce kresek po prawej stronie (zamiast kresek należy podstawić tę samą liczbę), aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy bieżącej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej stronie: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc po przecinku dla pierwiastka kwadratowego, wpisz kilka zer na lewo od bieżącej liczby i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz precyzję odpowiedzi (liczbę miejsc po przecinku) potrzebować.

   Zrozumienie procesu

   Aby opanować tę metodę, wyobraź sobie liczbę, której pierwiastek kwadratowy musisz znaleźć jako obszar kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukać długości boku L takiego kwadratu. Obliczamy wartość L w taki sposób, że L² = S.

   Podaj literę do każdej cyfry w odpowiedzi. Oznaczmy przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

   Określ literę dla każdej pary pierwszych cyfr. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

   Zrozum związek między tą metodą a długim dzieleniem. Podobnie jak przy dzieleniu, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko kolejna cyfra liczby, którą dzielimy, tak przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy kolejno przez parę cyfr (aby otrzymać kolejną cyfrę wartości pierwiastka kwadratowego) .

   1. Rozważmy pierwszą parę cyfr Sa liczby S (w naszym przykładzie Sa = 7) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A żądanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (to znaczy szukamy takiego A, że nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: rozważamy pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która pomnożona przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Oznacza to, że szukamy liczba d, dla której prawdziwa jest nierówność: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. W myślach wyobraź sobie kwadrat, którego powierzchnię musisz obliczyć. Szukasz L, czyli długości boku kwadratu, którego pole jest równe S. A, B, C to liczby w liczbie L. Można to zapisać inaczej: 10A + B = L (dla liczba dwucyfrowa) lub 100A + 10B + C = L (dla liczby trzycyfrowej) i tak dalej.

      • Pozwalać (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamiętaj, że 10A+B to liczba, w której cyfra B oznacza jednostki, a cyfra A dziesiątki. Na przykład, jeśli A=1 i B=2, wówczas 10A+B równa się liczbie 12. (10A+B)² to pole całego kwadratu, 100A²- powierzchnia dużego placu wewnętrznego, B²- powierzchnia małego wewnętrznego placu, 10A×B- powierzchnia każdego z dwóch prostokątów. Dodając pola opisanych figur, znajdziesz pole pierwotnego kwadratu.

Instrukcje

Wybierz mnożnik dla liczby pierwiastkowej, której usunięcie spod źródło jest w rzeczywistości wyrażeniem — w przeciwnym razie operacja zakończy się niepowodzeniem. Na przykład, jeśli pod znakiem źródło z wykładnikiem równym trzy (pierwiastek sześcienny), kosztuje numer 128, to spod znaku można wyjąć np. numer 5. Jednocześnie radykalny numer 128 trzeba będzie podzielić przez 5 do sześcianów: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jeśli obecność liczby ułamkowej pod znakiem źródło nie jest sprzeczny z warunkami zadania, to jest to możliwe w tej formie. Jeśli potrzebujesz prostszej opcji, najpierw podziel wyrażenie radykalne na czynniki całkowite, pierwiastek sześcienny jednego z nich będzie liczbą całkowitą numer m. Na przykład: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Służy do wybierania współczynników liczby pierwiastkowej, jeśli nie można obliczyć potęgi liczby w głowie. Dotyczy to zwłaszcza źródło m z wykładnikiem większym niż dwa. Jeśli masz dostęp do Internetu, możesz wykonać obliczenia, korzystając z kalkulatorów wbudowanych w wyszukiwarki Google i Nigma. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć największy współczynnik całkowity, który można wyjąć spod znaku sześciennego źródło dla numeru 250, następnie przejdź na stronę Google i wpisz zapytanie „6^3”, aby sprawdzić, czy da się go usunąć spod znaku źródło sześć. Wyszukiwarka wyświetli wynik równy 216. Niestety, 250 nie można podzielić bez reszty przez to numer. Następnie wprowadź zapytanie 5^3. Wynik wyniesie 125, co pozwala podzielić 250 na czynniki 125 i 2, co oznacza wyjęcie go ze znaku źródło numer 5, wychodzę tam numer 2.

Źródła:

• jak to wydobyć spod korzeni
• Pierwiastek kwadratowy produktu

Wyjmij go od spodu źródło jeden z czynników jest niezbędny w sytuacjach, gdy trzeba uprościć wyrażenie matematyczne. Są chwile, kiedy niemożliwe jest wykonanie niezbędnych obliczeń za pomocą kalkulatora. Na przykład, jeśli zamiast liczb używane są oznaczenia literowe zmiennych.

Instrukcje

Rozłóż wyrażenie radykalne na proste czynniki. Zobacz, który z czynników powtarza się tyle samo razy, co wskazuje wskaźnik źródło, albo więcej. Na przykład musisz wziąć czwarty pierwiastek z a. W tym przypadku liczbę można przedstawić jako a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Wskaźnik źródło w tym przypadku będzie to odpowiadać czynnik a3. Należy go usunąć ze znaku.

Jeśli to możliwe, wyodrębnij korzeń powstałych rodników oddzielnie. Ekstrakcja źródło jest operacją algebraiczną odwrotną do potęgowania. Ekstrakcja źródło dowolnej potęgi, znajdź liczbę spośród liczby, która podniesiona do tej dowolnej potęgi da daną liczbę. Jeśli ekstrakcja źródło nie da się wytworzyć, pozostaw radykalne wyrażenie pod znakiem źródło Po prostu tak jest. W wyniku powyższych działań zostaniesz usunięty spod podpisać źródło.

Wideo na ten temat

notatka

Zachowaj ostrożność podczas zapisywania radykalnych wyrażeń w postaci czynników - błąd na tym etapie doprowadzi do błędnych wyników.

Pomocna rada

Podczas wyodrębniania pierwiastków wygodnie jest skorzystać ze specjalnych tabel lub tablic pierwiastków logarytmicznych - znacznie skróci to czas znalezienia prawidłowego rozwiązania.

Źródła:

• znak ekstrakcji korzeni w 2019 r

Upraszczanie wyrażeń algebraicznych jest wymagane w wielu obszarach matematyki, m.in. w rozwiązywaniu równań wyższego rzędu, różniczkowaniu i całkowaniu. Stosuje się kilka metod, w tym faktoryzację. Aby zastosować tę metodę, musisz znaleźć i stworzyć generał czynnik za nawiasy.

Instrukcje

Wykonanie mnożnika całkowitego nawiasy- jedna z najczęstszych metod rozkładu. Technikę tę stosuje się w celu uproszczenia struktury długich wyrażeń algebraicznych, tj. wielomiany. Liczba ogólna może być liczbą, jednomianem lub dwumianem, a aby ją znaleźć, stosuje się rozdzielność mnożenia.

Liczba Przyjrzyj się uważnie współczynnikom każdego wielomianu, aby sprawdzić, czy można je podzielić przez tę samą liczbę. Np. w wyrażeniu 12 z³ + 16 z² – 4 jest to oczywiste czynnik 4. Po transformacji otrzymujesz 4 (3 zł + 4 z² - 1). Innymi słowy, liczba ta jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem wszystkich współczynników.

Jednomian Określ, czy w każdym z wyrazów wielomianu występuje ta sama zmienna. Zakładając, że tak jest, spójrzmy teraz na współczynniki jak w poprzednim przypadku. Przykład: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Każdy element tego wielomianu zawiera zmienną z. Ponadto wszystkie współczynniki są liczbami będącymi wielokrotnościami 3. Zatem wspólnym czynnikiem będzie jednomian 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Dwumian.For nawiasy ogólny czynnik z dwóch, zmienna i liczba, która jest wspólnym wielomianem. Dlatego jeśli czynnik-dwumian nie jest oczywisty, to musisz znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek. Wybierz wolny wyraz wielomianu; jest to współczynnik bez zmiennej. Zastosuj teraz metodę podstawienia do ogólnego wyrażenia wszystkich dzielników całkowitych wyrazu wolnego.

Rozważmy: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Sprawdź, czy którykolwiek z czynników całkowitych liczby 4 to z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Znajdź z1 przez proste podstawienie = 1 i z2 = 2, co oznacza dla nawiasy możemy usunąć dwumiany (z - 1) i (z - 2). Aby znaleźć pozostałe wyrażenie, użyj sekwencyjnego długiego dzielenia.