Pierwiastki wymierne równania kwadratowego. Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

Kontynuujemy studiowanie tematu „ rozwiązywanie równań" Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przyjrzymy się, czym jest równanie kwadratowe i jak się je zapisuje ogólna perspektywa, a my damy powiązane definicje. Następnie użyjemy przykładów, aby szczegółowo zbadać, w jaki sposób rozwiązuje się niekompletne równania kwadratowe. Następnie przejdziemy do rozwiązywania pełnych równań, uzyskamy wzór na pierwiastek, zapoznamy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważymy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja strony.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także powiązanych definicji. Następnie możesz rozważyć główne typy równania kwadratowe: równania zredukowane i nieredukowane oraz zupełne i niezupełne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Wynika to z faktu, że równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Podana definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Zatem 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja.

Liczby a, b i c nazywane są współczynniki równania kwadratowego a·x 2 +b·x+c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, lub współczynnikiem x 2, b jest drugim współczynnikiem, czyli współczynnikiem x, a c jest wyrazem wolnym .

Weźmy na przykład równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x −3=0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik jest równy −2, a wyraz wolny jest równy −3. Należy zauważyć, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wówczas skrócona forma zapisując równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i/lub b są równe 1 lub -1, zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki pisania takich . Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0 współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik y jest równy −1.

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik wiodący wynosi 1 dane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe ma postać nietknięty.

Według tę definicję, równania kwadratowe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – biorąc pod uwagę, że w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich współczynniki wiodące są różne od 1.

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie strony przez współczynnik wiodący, można przejść do równania zredukowanego. Działanie to jest transformacją równoważną, to znaczy otrzymane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne nieredukowane równanie kwadratowe, lub podobnie jak ono nie ma pierwiastków.

Spójrzmy na przykład, jak dokonuje się przejścia z nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Musimy tylko podzielić obie strony pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on różny od zera, abyśmy mogli wykonać to działanie. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, czyli to samo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a następnie (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, skąd . W ten sposób otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Definicja równania kwadratowego zawiera warunek a≠0. Warunek ten jest niezbędny, aby równanie a x 2 + b x + c = 0 było kwadratowe, ponieważ gdy a = 0, faktycznie staje się równaniem liniowym w postaci b x + c = 0.

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno indywidualnie, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Nazywa się równaniem kwadratowym a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Takie nazwy nie zostały nadane przypadkowo. Stanie się to jasne po następujących dyskusjach.

Jeżeli współczynnik b wynosi zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a·x 2 +0·x+c=0 i jest równoważne równaniu a·x 2 +c=0. Jeżeli c=0, czyli równanie kwadratowe ma postać a·x 2 +b·x+0=0, to można je przepisać jako a·x 2 +b·x=0. A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Powstałe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że tak trzy typy niepełnych równań kwadratowych:

a·x 2 =0, odpowiadają temu współczynniki b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
i a·x 2 +b·x=0, gdy c=0.

Przyjrzyjmy się po kolei, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

a x 2 = 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań w postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału poprzez podzielenie obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 = 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 = 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co tłumaczy się faktem, że dla dowolnej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 > 0, co oznacza, że dla p ≠0 równość p 2 = 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a·x 2 =0 ma pojedynczy pierwiastek x=0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4 x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 = 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x = 0, dlatego pierwotne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można zapisać w następujący sposób:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

ax2 +c=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero, a c≠0, czyli równania w postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
i dzielimy obie strony przez a, otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego pierwiastków. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2, to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6, wtedy ), to nie jest zero , ponieważ zgodnie z warunkiem c≠0. Przyjrzyjmy się przypadkom osobno.

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętamy o , to pierwiastek równania od razu staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ . Łatwo zgadnąć, że liczba ta jest w istocie także pierwiastkiem równania. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy pierwiastki równania właśnie ogłoszonego jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2, inny niż wskazane pierwiastki x 1 i −x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków do równania zamiast x powoduje, że równanie staje się poprawną równością liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Właściwości równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawidłowych równości liczbowych, zatem odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 −x 2 2 =0. Właściwości operacji na liczbach pozwalają nam zapisać otrzymaną równość jako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0, czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 =−x 1. Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu to

nie ma korzeni, jeśli ,
ma dwa pierwiastki i , jeśli .

Rozważmy przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0.

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0. Po przesunięciu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, otrzymujemy . Ponieważ prawa strona ma liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 +7 = 0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy kolejne niekompletne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę: −x 2 = −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 = 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub . Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

ax2 +bx=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0. Niekompletne równania kwadratowe postaci a x 2 + b x = 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny współczynnik x z nawiasów. Pozwala nam to przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania w postaci x·(a·x+b)=0. Równanie to jest równoważne zbiorowi dwóch równań x=0 i a·x+b=0, z których drugie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a.

Zatem niepełne równanie kwadratowe a·x 2 +b·x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretny przykład.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Usunięcie x z nawiasów daje równanie . Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , i dzielimy liczbę mieszaną przez ułamek wspólny, znaleźliśmy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po nabyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można w skrócie zapisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy to wzór na pierwiastki równania kwadratowego: , Gdzie D=b 2 −4 za do- tak zwana dyskryminator równania kwadratowego. Wpis zasadniczo oznacza, że .

Warto wiedzieć, w jaki sposób wyprowadzono wzór na pierwiastek i jak można go wykorzystać do znalezienia pierwiastków równań kwadratowych. Rozwiążmy to.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Musimy rozwiązać równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0. Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

Możemy podzielić obie strony tego równania przez niezerową liczbę a, uzyskując następujące równanie kwadratowe.
Teraz podkreślmy idealny kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
Na tym etapie możliwe jest przeniesienie dwóch ostatnich wyrazów na prawą stronę z przeciwnym znakiem, mamy .
Przekształćmy także wyrażenie po prawej stronie: .

W efekcie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0.

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy to sprawdzaliśmy. Pozwala nam to wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

jeżeli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
jeżeli , to równanie ma zatem postać , z której widoczny jest jedyny jego pierwiastek;
jeśli , to lub , co jest tym samym co lub , to znaczy równanie ma dwa pierwiastki.

Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a zatem pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia wyznacza znak licznika, gdyż mianownik 4·a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4·a·c. To wyrażenie b 2 −4 a c zostało nazwane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczony literą D. Stąd jasna jest istota dyskryminatora - na podstawie jego wartości i znaku wnioskują, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania i przepiszmy je stosując notację dyskryminacyjną: . I wyciągamy wnioski:

jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
wreszcie, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub, co można zapisać w postaci lub, i po rozwinięciu i sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy.

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, które wyglądają jak , gdzie dyskryminator D oblicza się ze wzoru D=b 2 −4·a·c.

Za ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, oba wzory dają tę samą wartość pierwiastka, co odpowiada jednoznacznemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A w przypadku ujemnego dyskryminatora, próbując użyć wzoru na pierwiastek równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyodrębnieniem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wykracza poza zakres szkolnego programu nauczania. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć, korzystając z tych samych wzorów na pierwiastki, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek w celu obliczenia ich wartości. Ale jest to bardziej związane ze znalezieniem złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie mówimy o zespolonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw znaleźć dyskryminator, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), i dopiero wtedy obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0, należy:

korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 −4·a·c oblicz jego wartość;
wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, jeśli wyróżnik jest ujemny;
obliczyć jedyny pierwiastek równania ze wzoru, jeśli D=0;
znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, korzystając ze wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest dodatni.

Tutaj po prostu zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, możesz również użyć wzoru; da on tę samą wartość co .

Można przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważmy rozwiązania trzech równań kwadratowych z wyróżnikiem dodatnim, ujemnym i zerowym. Po zapoznaniu się z ich rozwiązaniem analogicznie możliwe będzie rozwiązanie dowolnego innego równania kwadratowego. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 +2·x−6=0.

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1, b=2 i c=−6. Zgodnie z algorytmem należy najpierw obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je za pomocą wzoru głównego, otrzymamy , tutaj możesz uprościć wynikowe wyrażenia, wykonując przesunięcie mnożnika poza znak pierwiastka a następnie redukcja ułamka:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia dyskryminatora: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , to znaczy

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5·y 2 +6·y+2=0.

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5, b=6 i c=2. Podstawiamy te wartości do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Jeśli chcesz wskazać pierwiastki złożone, stosujemy dobrze znany wzór na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Zauważmy jeszcze raz, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to w szkole zwykle od razu zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie znaleziono pierwiastków zespolonych.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D=b 2 −4·a·c pozwala otrzymać wzór w postaci bardziej zwartej, pozwalającej na rozwiązywanie równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem dla x (lub po prostu z współczynnik mający na przykład postać 2·n lub 14·ln5=2,7·ln5 ). Wyciągnijmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe w postaci a x 2 +2 n x+c=0. Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanego nam wzoru. W tym celu obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 za c=4 n 2 −4 za c=4 (n 2 −a do), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −ac jako D 1 (czasami jest to oznaczone jako D „). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać , gdzie D 1 = n 2 −a·c.

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1, czyli D 1 =D/4. Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest oczywiste, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Zatem, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2·n, potrzebujesz

Oblicz D 1 = n 2 −a·c ;
Jeśli D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jeśli D 1 = 0, to oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
Jeśli D 1 > 0, to znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste, korzystając ze wzoru.

Rozważmy rozwiązanie przykładu, korzystając ze wzoru na pierwiastek uzyskanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 −6 x −32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . Oznacza to, że możesz przepisać pierwotne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tutaj a=5, n=−3 i c=−32 i obliczyć czwartą część dyskryminujący: re 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdźmy je, korzystając z odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Należy zauważyć, że możliwe było użycie zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku konieczne byłoby wykonanie większej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania?” Zgadzam się, że pod względem obliczeniowym łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x−6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0.

Zazwyczaj uproszczenie postaci równania kwadratowego osiąga się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu stron przez określoną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie można było uprościć równanie 1100 x 2 −400 x −600=0 dzieląc obie strony przez 100.

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie strony równania są zwykle dzielone przez wartości bezwzględne jego współczynników. Weźmy na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: NWD(12, 42, 48)= NWD(12, 42), 48)= NWD(6, 48)=6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x+8=0.

Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane w celu pozbycia się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się przez mianowniki jego współczynników. Na przykład, jeśli obie strony równania kwadratowego pomnożymy przez LCM(6, 3, 1)=6, wówczas przyjmiemy prostszą postać x 2 +4·x−18=0.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że prawie zawsze pozbywają się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada mnożeniu (lub dzieleniu) obu stron przez -1. Na przykład zwykle przechodzi się od równania kwadratowego −2 x 2 −3 x+7=0 do rozwiązania 2 x 2 +3 x−7=0 .

Zależność pierwiastków i współczynników równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki. Na podstawie wzoru pierwiastkowego można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie wzory z twierdzenia Viety mają postać i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 −7 x + 22 = 0, możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 /3.

Korzystając z już napisanych wzorów, można uzyskać szereg innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić poprzez jego współczynniki: .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.

Tylko. Według formuł i jasnych, prostych zasad. Na pierwszym etapie

należy doprowadzić dane równanie do postaci standardowej, tj. do formularza:

Jeśli równanie zostało już Ci podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu. Najważniejsze jest, aby zrobić to dobrze

wyznaczyć wszystkie współczynniki, A, B I C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć X, musimy

Używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równanie kwadratowe. Po prostu ostrożnie go włóż

wartości a, b i c Obliczamy według tego wzoru. Zastępujemy przez ich oznaki!

Na przykład, w równaniu:

A =1; B = 3; C = -4.

Podstawiamy wartości i piszemy:

Przykład jest prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b I Z. A raczej z substytucją

wartości ujemne do wzoru na obliczanie pierwiastków. Tutaj na ratunek przychodzi szczegółowy zapis formuły

z konkretnymi liczbami. Jeśli masz problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj A = -6; B = -5; C = -1

Opisujemy wszystko szczegółowo, dokładnie, nie pomijając niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Równania kwadratowe często wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsze spotkanie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymamy następujące równanie:

Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:

Pozbądź się minusa. Jak? Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu.

Zdecyduj sam. Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1.

Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Przez Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x 2 +bx+c=0,

Następniex 1 x 2 = ok

x 1 + x 2 =−B

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a≠1:

x2+Bx+C=0,

podzielić całe równanie przez A:

→ →

Gdzie x 1 I X 2 - pierwiastki równania.

Recepcja trzecia. Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie ze wspólnym mianownikiem.

Wniosek. Praktyczne porady:

1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed kwadratem X znajduje się współczynnik ujemny, eliminujemy go, mnożąc wszystko

równania przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiednie

czynnik.

4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik wynosi jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić

Równania kwadratowe uczymy się w ósmej klasie, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest absolutnie konieczna.

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania należy pamiętać, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

Nie mają korzeni;
Mają dokładnie jeden korzeń;
Mają dwa różne korzenie.

Jest to istotna różnica między równaniami kwadratowymi a równaniami liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak ustalić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś cudownego - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 − 4ac.

Tę formułę musisz znać na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz istotne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: po znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

Jeśli D< 0, корней нет;
Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu wielu ludzi uważa. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Wypiszmy współczynniki pierwszego równania i znajdźmy dyskryminator:
a = 1, b = -8, c = 12;
re = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Zatem dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w podobny sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
re = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ostatnie równanie jakie pozostało to:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Dyskryminator wynosi zero - pierwiastek będzie wynosić jeden.

Należy pamiętać, że dla każdego równania zapisano współczynniki. Tak, jest długa, tak, jest nudna, ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli opanujesz tę czynność, po pewnym czasie nie będziesz musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje będziesz wykonywać w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - ogólnie rzecz biorąc, nie tak dużo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do samego rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć korzystając ze wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnego z tych wzorów - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12 x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ za = 1; b = -2; c = -3;
re = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = -2; c = 15;
re = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie ponownie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można zastosować dowolną formułę. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i potrafisz liczyć, nie będzie żadnych problemów. Najczęściej błędy pojawiają się przy podstawieniu do wzoru współczynników ujemnych. Tutaj znowu pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, zapisz każdy krok - a już wkrótce pozbędziesz się błędów.

Niekompletne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

x 2 + 9 x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w równaniach tych brakuje jednego z członów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie wymagają nawet obliczania dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu swobodnego jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b = c = 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 = 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x = 0.

Rozważmy pozostałe przypadki. Niech b = 0, wówczas otrzymamy niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 + c = 0. Przekształćmy to trochę:

Od arytmetyki Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a) ≥ 0. Wniosek:

Jeżeli w niepełnym równaniu kwadratowym postaci ax 2 + c = 0 jest spełniona nierówność (−c /a) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
Jeśli (-c /a)< 0, корней нет.

Jak widać, dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych go nie ma złożone obliczenia. Właściwie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c /a) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli będzie ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Przyjrzyjmy się teraz równaniom postaci ax 2 + bx = 0, w których element wolny jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. To stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, spójrzmy na kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiązuj równania kwadratowe:

x 2 - 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.

Przyjrzyjmy się wszystkiemu szczegółowo: istocie i zapisowi równania kwadratowego, zdefiniuj towarzyszące terminy, przeanalizuj schemat rozwiązywania równań niepełnych i pełnych, zapoznaj się ze wzorem pierwiastków i dyskryminatora, ustal połączenia między pierwiastkami i współczynnikami, i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1

Równanie kwadratowe jest równaniem zapisanym jako za x 2 + b x + do = 0, Gdzie X– zmienna, a, b i C– kilka liczb, podczas gdy A nie jest zerem.

Często równania kwadratowe nazywane są również równaniami drugiego stopnia, ponieważ w istocie jest to równanie kwadratowe równanie algebraiczne drugi stopień.

Podajmy przykład ilustrujący podaną definicję: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja 2

Liczby a, b i C są współczynnikami równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0, natomiast współczynnik A nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy X, A C nazywany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 współczynnik wiodący wynosi 6, drugi współczynnik − 2 , a wolny termin jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki B i/lub c są ujemne, wówczas stosuje się skróconą formę 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: jeśli współczynniki A i/lub B równy 1 Lub − 1 , wówczas nie mogą brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwościami pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 - y + 7 = 0 współczynnik wiodący wynosi 1, a drugi współczynnik − 1 .

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

Ze względu na wartość pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielimy na zredukowane i nieredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący wynosi 1. Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest nieredukowane.

Podajmy przykłady: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 są redukowane, w każdym z nich współczynnik wiodący wynosi 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, od którego różni się pierwszy współczynnik 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie strony przez pierwszy współczynnik (transformacja równoważna). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki co podane równanie niezredukowane lub też nie będzie miało pierwiastków.

Rozpatrzenie konkretnego przykładu pozwoli nam wyraźnie wykazać przejście od nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania do postaci zredukowanej.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem obie strony pierwotnego równania dzielimy przez wiodący współczynnik 6. Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, a to jest to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymuje się równanie równoważne podanemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim to określiliśmy a ≠ 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania za x 2 + b x + do = 0 był dokładnie kwadratowy, gdyż o godz a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + do = 0.

W przypadku, gdy współczynniki B I C są równe zeru (co jest możliwe zarówno indywidualnie, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywa się niepełnym.

Definicja 4

Niekompletne równanie kwadratowe- takie równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników B I C(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe– równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zero.

Porozmawiajmy, dlaczego rodzaje równań kwadratowych mają dokładnie te nazwy.

Gdy b = 0, równanie kwadratowe przyjmuje postać za x 2 + 0 x + do = 0, czyli to samo co za x 2 + do = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe zapisuje się jako za x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne za x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przybierze postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Właściwie to właśnie ten fakt dał nazwę tego typu równaniom – niepełne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – niepełne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Podana powyżej definicja pozwala wyróżnić następujące typy niepełnych równań kwadratowych:

a x 2 = 0, to równanie odpowiada współczynnikom b = 0 i c = 0;
a · x 2 + do = 0 przy b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 przy c = 0.

Rozważmy kolejno rozwiązanie każdego rodzaju niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 =0

Jak wspomniano powyżej, równanie to odpowiada współczynnikom B I C, równy zeru. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę A, nierówny zero. Oczywistym faktem jest pierwiastek równania x2 = 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wytłumaczyć właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby P, nierówny zero, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje unikalny pierwiastek x = 0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to równoważne równaniu x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x = 0, to pierwotne równanie ma jeden pierwiastek – zero.

W skrócie rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c = 0

Następne w kolejce jest rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych, gdzie b = 0, c ≠ 0, czyli równania postaci za x 2 + do = 0. Przekształćmy to równanie, przesuwając wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę różną od zera:

przenosić C po prawej stronie, co daje równanie za x 2 = - do;
podziel obie strony równania przez A, kończymy na x = - c a .

Nasze przekształcenia są równoważne, zatem otrzymane równanie jest również równoważne pierwotnemu, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Od jakich wartości A I C wartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (na przykład if a = 1 I c = 2, następnie - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład if za = - 2 I c = 6, następnie - do za = - 6 - 2 = 3); to nie jest zero, ponieważ c ≠ 0. Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo nad sytuacjami, gdy - ok< 0 и - c a > 0 .

W przypadku gdy - ok< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: pamiętaj o pierwiastku kwadratowym i stanie się oczywiste, że pierwiastkiem równania x 2 = - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 = - c a. Nietrudno zrozumieć, że liczba - - c a jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a.

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to wykazać za pomocą metody sprzeczności. Na początek zdefiniujmy oznaczenia pierwiastków znalezione powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x 2, co różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy to podstawiając do równania X jego pierwiastki, przekształcamy równanie w uczciwą równość liczbową.

Dla x 1 I − x 1 piszemy: x 1 2 = - c a , i dla x 2- x 2 2 = - do za . Bazując na własnościach równości liczbowych, odejmujemy jeden poprawny wyraz równości od drugiego, co da nam: x 1 2 - x 2 2 = 0. Używamy właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero. Z powyższego wynika, że x 1 - x 2 = 0 i/lub x 1 + x 2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = - x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo uznano, że pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a.

Podsumujmy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niekompletne równanie kwadratowe za x 2 + do = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a, które:

nie będzie miał korzeni w - ok< 0 ;
będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a dla - c a > 0.

Podajmy przykłady rozwiązywania równań za x 2 + do = 0.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0. Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Rozwiązanie

Przesuńmy wolny wyraz na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9x2 = - 7.
Podzielmy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = - 7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: dane równanie nie ma pierwiastków. Następnie oryginalne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie mieć korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Trzeba rozwiązać równanie − x 2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przesuńmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części przez − 1 , otrzymujemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy to wywnioskować x = 36 lub x = - 36 .
Wyodrębnijmy pierwiastek i zapiszmy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x 2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 Lub x = - 6.

Odpowiedź: x=6 Lub x = - 6.

Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0

Przeanalizujmy trzeci typ niepełnych równań kwadratowych, kiedy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego za x 2 + b x = 0, zastosujemy metodę faktoryzacji. Rozłóżmy wielomian znajdujący się po lewej stronie równania na czynniki, usuwając wspólny czynnik z nawiasów X. Ten krok umożliwi przekształcenie pierwotnego niepełnego równania kwadratowego w jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne zbiorowi równań x = 0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = - b za.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe za x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x = 0 I x = - b za.

Wzmocnijmy materiał przykładem.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rozwiązanie

Wyciągniemy to X poza nawiasami otrzymujemy równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz powinieneś rozwiązać powstałe równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Zapisz krótko rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0, x = 3 3 7.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązania równań kwadratowych, istnieje wzór na pierwiastek:

Definicja 8

x = - b ± D 2 · a, gdzie re = b 2 - 4 za do– tzw. dyskryminator równania kwadratowego.

Zapisanie x = - b ± D 2 · a zasadniczo oznacza, że x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Przydatne byłoby zrozumienie, w jaki sposób wyprowadzono tę formułę i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Stańmy przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

podziel obie strony równania przez liczbę A, różny od zera, otrzymujemy następujące równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Wybierzmy cały kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
x 2 + b za · x + do a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + do a = = x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + ok
Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
b 2 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - 4 · za · do 4 · za 2 = b 2 - 4 · za · do 4 · za 2 .

W ten sposób dochodzimy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , równoważne pierwotnemu równaniu za x 2 + b x + do = 0.

Rozwiązanie takich równań sprawdziliśmy w poprzednich akapitach (rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte doświadczenie pozwala wyciągnąć wniosek dotyczący pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

z b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
gdy b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, wtedy x + b 2 · a = 0.

Stąd oczywisty jest jedyny pierwiastek x = - b 2 · a;

dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 prawdziwe będzie: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 lub x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , co jest tym samym co x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 lub x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można stwierdzić, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a zatem pierwotne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 zapisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika (mianownik 4 za 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 - 4 za do. To wyrażenie b 2 - 4 za do podana jest nazwa - wyróżnik równania kwadratowego i litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę wyróżnika - na podstawie jego wartości i znaku można stwierdzić, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 . Przepiszmy to używając notacji dyskryminacyjnej: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sformułujmy jeszcze raz nasze wnioski:

Definicja 9

Na D< 0 równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków;
Na D=0 równanie ma pojedynczy pierwiastek x = - b 2 · a ;
Na D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 lub x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Bazując na własnościach rodników, pierwiastki te można zapisać w postaci: x = - b 2 · a + D 2 · a lub - b 2 · a - D 2 · a. A kiedy otworzymy moduły i doprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Zatem wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, dyskryminator D obliczone według wzoru re = b 2 - 4 za do.

Wzory te umożliwiają wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych, gdy dyskryminator jest większy od zera. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu wzorów da ten sam pierwiastek, co jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, jeśli spróbujemy skorzystać ze wzoru na pierwiastek kwadratowy, staniemy przed koniecznością obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadzi nas poza zakres liczb rzeczywistych. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych pierwiastków sprzężonych, określonych tymi samymi wzorami pierwiastkowymi, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Możliwe jest rozwiązanie równania kwadratowego poprzez natychmiastowe użycie wzoru na pierwiastek, ale zwykle robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków oznacza to zwykle poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalnie jest przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw wyznaczyć dyskryminator i upewnić się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpić do obliczania wartość korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala na sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, niezbędny:

według formuły re = b 2 - 4 za do znajdź wartość dyskryminującą;
w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru x = - b 2 · a ;
dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego korzystając ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a, da to taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a.

Spójrzmy na przykłady.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy rozwiązanie przykładów dla różne znaczenia dyskryminujący.

Przykład 6

Musimy znaleźć pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Zapiszmy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a = 1, b = 2 i do = - 6. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczać dyskryminator, za który podstawimy współczynniki a, b I C do wzoru dyskryminacyjnego: re = b 2 - 4 · za · do = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Otrzymujemy więc D > 0, co oznacza, że pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x = - b ± D 2 · a i podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy: x = - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy powstałe wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie redukując ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Przykład 7

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy dyskryminator: re = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora pierwotne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odpowiedź: x = 3,5.

Przykład 8

Trzeba rozwiązać równanie 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5, b = 6 i c = 2. Używamy tych wartości, aby znaleźć dyskryminator: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Obliczony dyskryminator jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór na pierwiastek, wykonując działania na liczbach zespolonych:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 lub x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i lub x = - 3 5 - 1 5 · ja.

Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; pierwiastki zespolone są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

W program nauczania Nie ma standardowego wymogu poszukiwania pierwiastków zespolonych, zatem jeżeli w trakcie rozwiązywania dyskryminator okaże się ujemny, od razu zapisuje się odpowiedź, że pierwiastków rzeczywistych nie ma.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastek x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) pozwala otrzymać inny, bardziej zwarty wzór, pozwalający znaleźć rozwiązania równań kwadratowych o parzystym współczynniku dla x ( lub ze współczynnikiem postaci 2 · n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wyprowadzony jest ten wzór.

Stańmy przed zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

x = - 2 n ± re 2 za, x = - 2 n ± 4 n 2 - za do 2 za, x = - 2 n ± 2 n 2 - za do 2 za, x = - n ± n 2 - a · do za .

Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczone jako D 1 (czasami jest oznaczone jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 · n przyjmie postać:

x = - n ± re 1 a, gdzie re 1 = n 2 - a · do.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:

znajdź re 1 = n 2 - a · do;
w D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
gdy D 1 = 0, określ jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru x = - n a;
dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste za pomocą wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania możemy przedstawić jako 2 · (− 3) . Następnie przepisujemy podane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdzie a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Obliczmy czwartą część dyskryminatora: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczmy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Można by przeprowadzić obliczenia, stosując zwykły wzór na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować postać pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Częściej upraszczanie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu stron przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, otrzymaną poprzez podzielenie obu stron przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są liczbami względnie pierwszymi. Następnie zwykle dzielimy obie strony równania przez największą wspólny dzielnik wartości bezwzględne jego współczynników.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Określmy GCD wartości bezwzględnych jego współczynników: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podzielmy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymamy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywasz się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożą się przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jego współczynników. Na przykład, jeśli każdą część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoży się przez LCM (6, 3, 1) = 6, wówczas zostanie zapisane w więcej w prostej formie x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego wyrazu równania, co osiąga się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) obu stron przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 można przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Zależność pierwiastków i współczynników

Znany nam już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki liczbowe. Na podstawie tego wzoru mamy możliwość określenia innych zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami.

Najbardziej znane i stosowane wzory to twierdzenie Viety:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = do a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego sumą pierwiastków jest drugi współczynnik o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład, patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, można od razu ustalić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.

Można także znaleźć wiele innych powiązań pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b za 2 - 2 do za = b 2 za 2 - 2 do za = b 2 - 2 za do 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W nowoczesne społeczeństwo umiejętność wykonywania operacji na równaniach zawierających kwadrat zmiennej może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w opracowaniach naukowo-technicznych. Dowody na to można znaleźć w projektowaniu statków morskich i rzecznych, samolotów i rakiet. Korzystając z takich obliczeń, trajektorie ruchu są najbardziej różne ciała, w tym obiekty kosmiczne. Przykłady rozwiązań równań kwadratowych wykorzystywane są nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, przy projektowaniu i budowie budynków, ale także w najzwyklejszych sytuacjach życia codziennego. Mogą przydać się na pieszych wędrówkach, na imprezach sportowych, w sklepach przy zakupach i w innych bardzo częstych sytuacjach.

Rozłóżmy wyrażenie na czynniki składowe

Określany jest stopień równania maksymalna wartość stopień zmiennej zawartej w tym wyrażeniu. Jeśli jest równe 2, wówczas takie równanie nazywa się kwadratowym.

Jeśli mówimy językiem formuł, to wskazane wyrażenia, niezależnie od tego, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do postaci, gdy lewa strona wyrażenia składa się z trzech wyrazów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna do kwadratu ze współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze współczynnikiem) i c (składowa wolna, czyli zwykły numer). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze składników składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywa się go niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady rozwiązań takich problemów, w których wartości zmiennych są łatwe do znalezienia.

Jeśli wyrażenie wygląda tak, jakby miało dwa wyrazy po prawej stronie, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiejszym sposobem znalezienia x jest wyciągnięcie zmiennej z nawiasów. Teraz nasze równanie będzie wyglądać następująco: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Reguła mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich wynosi zero.

Przykład

x=0 lub 8x - 3 = 0

W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.

Równania tego rodzaju mogą opisywać ruch ciał pod wpływem grawitacji, które zaczęły się przemieszczać od pewnego punktu przyjętego za początek współrzędnych. Tutaj zapis matematyczny przyjmuje następującą postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Podstawiając niezbędne wartości, przyrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz dowiedzieć się, ile czasu upływa od momentu wzniesienia się ciała do momentu jego upadku, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.

Faktoring wyrażenia

Reguła opisana powyżej pozwala rozwiązać te problemy w większym stopniu trudne przypadki. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania równań kwadratowych tego typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ten trójmian kwadratowy jest gotowy. Najpierw przekształćmy wyrażenie i rozłóżmy je na czynniki. Są dwa z nich: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, powstają trzy z nich, czyli (x+1), (x-3) i (x+ 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że to równanie ma trzy pierwiastki: -3; -1; 3.

Pierwiastek kwadratowy

Inna sprawa niekompletne równanie rząd drugi to wyrażenie reprezentowane w języku liter w taki sposób, że prawa strona jest zbudowana ze składników ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, przenoszony jest wolny termin prawa strona, a następnie z obu stron równości pobierany jest pierwiastek kwadratowy. Należy zaznaczyć, że w w tym przypadku Zwykle równanie ma dwa pierwiastki. Jedynymi wyjątkami mogą być równości, które w ogóle nie zawierają członu z, gdzie zmienna jest równa zeru, a także warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku nie ma żadnych rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać za pomocą korzeni. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W tym przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.

Obliczanie powierzchni gruntu

Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w starożytności, gdyż rozwój matematyki w tamtych odległych czasach w dużej mierze determinowany był koniecznością określania z największą dokładnością powierzchni i obwodów działek.

Warto także rozważyć przykłady rozwiązywania równań kwadratowych w oparciu o tego typu problemy.

Załóżmy, że istnieje prostokątna działka, której długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód działki, jeśli wiesz, że jej powierzchnia wynosi 612 m2.

Aby rozpocząć, utwórzmy najpierw niezbędne równanie. Oznaczmy przez x szerokość obszaru, wówczas jego długość będzie wynosić (x+16). Z tego co napisano wynika, że pole wyznaczamy za pomocą wyrażenia x(x+16), które zgodnie z warunkami naszego zadania wynosi 612. Oznacza to, że x(x+16) = 612.

Rozwiązywania pełnych równań kwadratowych, a właśnie tym jest to wyrażenie, nie można wykonać w ten sam sposób. Dlaczego? Chociaż lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, dlatego zastosowano tutaj inne metody.

Dyskryminujący

Przede wszystkim dokonajmy zatem niezbędnych przekształceń wygląd tego wyrażenia będzie wyglądać następująco: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej podanemu wzorcowi, gdzie a=1, b=16, c=-612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przy użyciu dyskryminatora. Tutaj niezbędne obliczenia są produkowane zgodnie ze schematem: D = b 2 - 4ac. Ta wielkość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie wymaganych ilości w równaniu drugiego rzędu, ale także określa ilość możliwe opcje. Jeśli D > 0, są dwa z nich; dla D=0 istnieje jeden pierwiastek. W przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku dyskryminator wynosi: 256 - 4(-612) = 2704. Sugeruje to, że nasz problem ma rozwiązanie. Jeśli znasz k, rozwiązanie równań kwadratowych należy kontynuować według poniższego wzoru. Pozwala obliczyć pierwiastki.

Oznacza to, że w przedstawionym przypadku: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wymiarów działki nie można mierzyć w ilościach ujemnych, co oznacza, że x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18 +16=34, a obwód 2(34+ 18)=104(m2).

Przykłady i zadania

Kontynuujemy naukę równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązania kilku z nich zostaną podane poniżej.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Przesuńmy wszystko na lewą stronę równości, dokonajmy transformacji, czyli otrzymamy rodzaj równania, które zwykle nazywa się równaniem standardowym i przyrównajmy je do zera.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodając podobne, wyznaczamy dyskryminator: D = 49 - 48 = 1. Oznacza to, że nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczmy je według powyższego wzoru, co oznacza, że pierwsza z nich będzie równa 4/3, a druga 1.

2) Teraz rozwiążmy tajemnice innego rodzaju.

Dowiedzmy się, czy są tu jakieś pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, sprowadźmy wielomian do odpowiedniej zwykłej postaci i obliczmy dyskryminator. W powyższym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, gdyż nie to w ogóle jest istotą problemu. W tym przypadku D = 16 - 20 = -4, co oznacza, że tak naprawdę nie ma pierwiastków.

Twierdzenie Viety

Równania kwadratowe wygodnie jest rozwiązywać za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy z wartości tego ostatniego pobiera się pierwiastek kwadratowy. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów uzyskania wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Jej imię pochodzi od osoby, która żyła w XVI wieku we Francji i zrobiła błyskotliwą karierę dzięki swoim talentom matematycznym i koneksjom na dworze. Jego portret można zobaczyć w artykule.

Schemat, który zauważył słynny Francuz, był następujący. Udowodnił, że pierwiastki równania sumują się liczbowo do -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.

Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 = 0

Skorzystajmy z twierdzenia Viety, da nam to co następuje: suma pierwiastków wynosi -7, a ich iloczyn wynosi -18. Stąd dowiadujemy się, że pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych rzeczywiście pasują do wyrażenia.

Wykres paraboli i równanie

Pojęcia funkcji kwadratowej i równań kwadratowych są ze sobą ściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz niektórym zagadkom matematycznym nieco bardziej szczegółowo. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w postaci wykresu, nazywa się parabolą. Jego różne typy przedstawiono na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą wysoko do nieskończoności, a gdy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym równania kwadratowe. Ta metoda nazywa się graficzną. Wartość zmiennej x to współrzędna odciętej w punktach, w których linia wykresu przecina się z 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć korzystając ze wzoru x 0 = -b/2a. A podstawiając wynikową wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli, która należy do osi rzędnych.

Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych

Przykładów rozwiązywania równań kwadratowych jest mnóstwo, ale są też ogólne wzorce. Przyjrzyjmy się im. Widać, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy y 0 przyjmie wartości ujemne. I dla<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inaczej D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z wykresu paraboli można również określić pierwiastki. Jest też odwrotnie. Oznacza to, że jeśli uzyskanie wizualnej reprezentacji funkcji kwadratowej nie jest łatwe, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać powstałe równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej jest skonstruować wykres.

Z historii

Używając równań zawierających kwadratową zmienną, w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i wyznaczano pola figur geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w fizyce i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.

Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu byli jednymi z pierwszych, którzy rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed naszą erą. Oczywiście ich obliczenia radykalnie różniły się od obecnie przyjętych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład mezopotamscy matematycy nie mieli pojęcia o istnieniu liczb ujemnych. Nie byli także zaznajomieni z innymi subtelnościami, które zna każdy współczesny uczeń.

Być może nawet wcześniej niż naukowcy z Babilonu, mędrzec z Indii Baudhayama zaczął rozwiązywać równania kwadratowe. Stało się to około ośmiu wieków przed erą Chrystusa. To prawda, że \u200b\u200brównania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego, w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później w swoich pracach wykorzystywali je tak wielcy uczeni, jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.