Bernoulli pakartotinio testo schemų tiriamasis darbas. Bandymų kartojimas. Bernulli schema

skaidrė 2

Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Jei įvykio Α atsiradimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi, tai tikimybė Pn(k), kad įvykis A įvyks k kartų per n nepriklausomų bandymų, yra: T teoremos teiginys Bernoulli formulė - tikimybių teorijos formulė, leidžianti nepriklausomų bandymų metu rasti įvykio A atsiradimo tikimybę. Bernoulli formulė leidžia atsikratyti daugybės skaičiavimų - tikimybių sudėjimo ir daugybos - pakankamai dideliais kiekiais bandymai.

skaidrė 3

Istorinė nuoroda JACOB BERNULLI (1654–1705) Gimimo data: 1654 m. gruodžio 27 d. Gimimo vieta: Bazelis Mirties data: 1705 m. rugpjūčio 16 d. Mirties vieta: Bazelis Pilietybė: Šveicarija Mokslo sritis: matematikas Darbo vieta: Bazelio universitetasMokslininkas. rankos .: LeibnizJakob Bernoulli (vok. Jakob Bernoulli, 1654 m. gruodžio 27 d., Bazelis – 1705 m. rugpjūčio 16 d., ten pat) – šveicarų matematikas, Johano Bernoulli brolis; Bazelio universiteto matematikos profesorius (nuo 1687 m.). Jokūbui Bernuliui priklauso reikšmingi pasiekimai serijų teorijos, variacijų skaičiavimo, tikimybių teorijos ir skaičių teorijos srityse, kur jo vardu pavadinti skaičiai, turintys tam tikras specifines savybes. Jokūbui Bernuliui taip pat priklauso fizikos, aritmetikos, algebros ir geometrijos darbai.

skaidrė 4

Bernulio formulės panaudojimo pavyzdys Kiekvieną dieną ABC Corporation akcijos pabrangsta arba pabrangsta vienu tašku atitinkamai 0,75 ir 0,25 tikimybės. Raskite tikimybę, kad po šešių dienų akcijos grįš į pradinę kainą. Sutikite su sąlyga, kad akcijų kainos pokyčiai aukštyn ir žemyn yra nepriklausomi įvykiai. SPRENDIMAS: Kad akcijos grįžtų į pradinę kainą per 6 dienas, reikia, kad per tą laiką jos pabrangtų 3 kartus ir atpigtų 3 kartus. Norima tikimybė apskaičiuojama pagal Bernulio formulę P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

skaidrė 5

Išbandykite save Urnoje yra 20 baltų ir 10 juodų rutuliukų. Iš eilės išimami 4 rutuliukai, o kiekvienas išimtas kamuoliukas grąžinamas į urną prieš išimant kitą ir sumaišant urnoje esančius kamuoliukus. Kokia tikimybė, kad du iš keturių ištrauktų kamuoliukų bus balti? ATSAKYMAS: SPRENDIMAS: ATSAKYMAS: ATSAKYMAS: SPRENDIMAS: SPRENDIMAS: Auditorius nustato finansinius pažeidimus audituojamoje įmonėje su 0,9 tikimybe. Raskite tikimybę, kad bus nustatyta daugiau nei pusė iš 4 pažeidimą padariusių įmonių. Kauliukas ridenamas 3 kartus. Kokia tikimybė, kad 6 taškai šioje bandymų serijoje pasirodys lygiai 2 kartus? 0,01389 8/27 0,9477

skaidrė 6

Išbandykite save Moneta metama 6 kartus. Raskite tikimybę, kad herbas pasirodys daugiausia 2 kartus. ATSAKYMAS: SPRENDIMAS: ATSAKYMAS: SPRENDIMAS: Tegul kviečių sėklų daigumas būna 90%. Kokia tikimybė, kad iš 7 pasėtų sėklų išdygs 5? 0,124 0,344

7 skaidrė

Balto rutulio ištraukimo tikimybę p=20/30=2/3 galima laikyti vienoda visuose bandymuose; 1-p=1/3 Naudodami Bernulli formulę gauname P4(2) = C42 p2 (1-p)2=(12/2) (2/3)2 (1/3)2 = 8/ 27 ATGAL 1 PROBLEMOS SPRENDIMAS

8 skaidrė

ATGALINIS 2 PROBLEMOS SPRENDIMAS Įvykis susideda iš to, kad iš 4 pažeidimą padariusių firmų bus nustatytos trys ar keturios, t.y. P(A) = P4 (3) + P4 (4) P(A) = C340,93∙0,1 + C44 0,94 = 0,93 (0,4 + 0,9) = 0,9477

skaidrė 1

Bernulio teorema
17.03.2017

skaidrė 2

Atliekama n nepriklausomų bandymų serija. Kiekvienas testas turi 2 rezultatus: A – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Kiekvieno testo „sėkmės“ tikimybė yra vienoda ir lygi P(A) = p Atitinkamai, „nesėkmės“ tikimybė taip pat nekinta nuo patirties iki patirties ir yra lygi.
Bernulli schema
Kokia tikimybė, kad n bandymų serija bus sėkminga k kartų? Raskite Pn(k) .

skaidrė 3

Moneta metama n kartų. Korta iš kaladės ištraukiama n kartų ir kiekvieną kartą, kai korta grąžinama, kaladė sumaišoma. Ištiriame n atsitiktinai atrinktų tam tikros gamybos produktų kokybę. Šaulys į taikinį šaudo n kartų.
Pavyzdžiai

skaidrė 4

Paaiškinkite, kodėl šie klausimai atitinka Bernulio schemą. Nurodykite, iš ko susideda „sėkmė“ ir kas yra n ir k. a) Kokia tikimybė iš dešimties kauliuko metimų tris kartus gauti 2? b) Kokia tikimybė, kad išmetus 100 monetos galvutės pasirodys 73 kartus? c) Dvidešimt kartų iš eilės metama kauliukų pora. Kokia tikimybė, kad taškų suma niekada nebuvo lygi dešimčiai? d) Iš 36 kortų kaladės buvo ištrauktos trys kortos, rezultatas užrašomas ir grąžinamas į kaladę, tada kortos buvo sumaišytos. Tai kartojosi 4 kartus. Kokia tikimybė, kad Pikų dama kiekvieną kartą buvo tarp ištrauktų kortų?

skaidrė 5

Derinių skaičiui nuo n iki k galioja formulė
Pavyzdžiui:

skaidrė 6

Bernulio teorema
Tikimybė Pn(k), kad n nepriklausomų to paties testo pakartojimų bus lygiai k sėkminga, randama pagal formulę, kur p – „sėkmės“ tikimybė, q = 1- p – „nesėkmės“ atskirame eksperimente tikimybė. .

7 skaidrė

Moneta metama 6 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas atsiras 0, 1, ...6 kartus? Sprendimas. Eksperimentų skaičius n=6. Įvykis A – „sėkmė“ – herbo praradimas. Pagal Bernulio formulę reikalinga tikimybė yra
;
;
;
;
;
;

8 skaidrė

Moneta metama 6 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas atsiras 0, 1, ...6 kartus? Sprendimas. Eksperimentų skaičius n=6. Įvykis A – „sėkmė“ – herbo praradimas.
;
;
;
;
;
;

9 skaidrė

Moneta metama 10 kartų. Kokia tikimybė, kad herbas atsiras du kartus? Sprendimas. Eksperimentų skaičius n=10, m=2. Įvykis A – „sėkmė“ – herbo praradimas. Pagal Bernulio formulę reikalinga tikimybė yra
;
;
;
;
;
;

10 skaidrė

Urnoje yra 20 baltų ir 10 juodų rutulių. Išimami 4 rutuliukai, o kiekvienas išimtas rutuliukas grąžinamas į urną prieš ištraukiant kitą ir sumaišant urnoje esančius kamuoliukus. Raskite tikimybę, kad 2 iš 4 nupieštų rutuliukų yra balti. Sprendimas. Įvykis A – gavo baltą kamuolį. Tada tikimybės Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė yra

skaidrė 11

Nustatykite tikimybę, kad šeimoje, kurioje auga 5 vaikai, nėra mergaičių. Manoma, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi

skaidrė 12

Raskite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus viena mergaitė. Manoma, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi

skaidrė 13

Nustatykite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus dvi mergaitės. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi

14 skaidrė

Raskite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus 3 mergaitės. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi

skaidrė 15

Nustatykite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus ne daugiau kaip 3 mergaitės. Manoma, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda. Sprendimas. Tikimybė susilaukti mergaitės, berniuko Reikalinga tikimybė lygi
.

skaidrė 16

Tarp darbuotojo apdirbamų detalių nestandartinių yra vidutiniškai 4 proc. Raskite tikimybę, kad dvi iš 30 testavimui paimtų dalių bus nestandartinės. Sprendimas. Čia patirtis slypi tikrinant kiekvienos iš 30 dalių kokybę. Įvykis A – „nestandartinės dalies atsiradimas“,

Bernulio formulė

Belyaeva T.Yu. GBPOU KK "AMT" Armavir Matematikos mokytojas


  • Vienas iš tikimybių teorijos ir matematinės analizės pradininkų
  • Paryžiaus mokslų akademijos (1699) ir Berlyno mokslų akademijos (1701) užsienio narys

Vyresnysis Johano Bernoulli brolis (žymiausias Bernulli šeimos atstovas)

Jokūbas Bernulis (1654–1705)

Šveicarijos matematikas


Tegul jis gaminamas P nepriklausomi bandymai, kurių kiekvienoje tikimybė, kad įvyks įvykis A, yra lygi R , todėl tikimybė, kad tai neįvyks, yra q = 1 - p .

Būtina rasti tikimybę, kad P nuoseklūs bandymai, įvykis A įvyks tiksliai T kartą.

Pažymėkite norimą tikimybę R P ( T ) .


Tai akivaizdu

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

R 1 (1) + p 1 (0) = p + q = 1


  • Su dviem bandymais:

Galimi 4 rezultatai:

p 2 (2) = p 2; p 2 (1) = 2 p q; p 2 (0) = q 2

R 2 (2) + p 2 (1) + p 2 (0) = (p + q) 2 = 1


  • Su trimis testais:

Galimi 8 rezultatai:

Mes gauname:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

R 3 (3) + p 3 (2) + p 3 (1) + p 3 (0) = (p + q) 3 = 1



1 užduotis.

Moneta metama 8 kartus. Kokia tikimybė, kad „herbas“ atsiras 4 kartus?


2 užduotis.

Urnoje yra 20 kamuoliukų: 15 baltų ir 5 juodi. Iš eilės buvo išimami 5 kamuoliukai, o kiekvienas išimtas kamuoliukas buvo grąžintas į urną prieš ištraukiant kitą kamuoliuką. Raskite tikimybę, kad 2 iš 5 nupieštų rutuliukų bus balti.


Formulės, kaip rasti tikimybę, kad V P ateis bandymų renginys :

A) mažiau nei t kartų

R P (0) + ... + p P (t-1)

b) daugiau nei t kartų

R P (t + 1) + ... + p P (P)

V) ne daugiau t kartų

R P (0) + ... + p P (T)

G) bent t kartų

R P t) + … + p P (P)


3 užduotis.

Nestandartinės detalės pagaminimo automatinėje mašinoje tikimybė yra 0,02. Nustatykite tikimybę, kad tarp šešių atsitiktinai paimtų dalių bus daugiau nei 4 standartinės.

Renginys A - « daugiau nei 4 standartinės dalys» (5 arba 6) reiškia

« ne daugiau kaip 1 sugedusi dalis» (0 arba 1)


Tegul jis gaminamas P nepriklausomi testai. Kiekviename tokiame bandyme įvykis A gali įvykti arba neįvykti. Įvykio A tikimybė yra žinoma.

Tokį skaičių reikia rasti μ (0, 1, ..., n), kurios tikimybė P n (μ) bus didžiausia.



4 užduotis.

Aukščiausios kokybės produktų dalis šioje įmonėje sudaro 31%. Koks yra labiausiai tikėtinas aukščiausios kokybės prekių skaičius, jei pasirenkama daug 75 prekių?

Pagal sąlygą: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69



6 užduotis.

Du šauliai šaudo į taikinį. Tikimybė nepataikyti vienu šūviu pirmajam šauliui yra 0,2, o antrojo – 0,4. Raskite labiausiai tikėtiną skaičių salvių, kurioms pataikyti į taikinį nebus, jei šauliai iššaus 25 salves.

Pagal sąlygą: n = 25, p = 0,2 0,4 = 0,08, q = 0,92

https://accounts.google.com


Skaidrių antraštės:

9 skyrius. Matematinės statistikos elementai, kombinatorika ir tikimybių teorija §54. Atsitiktiniai įvykiai ir jų tikimybės 3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ PAKARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS.

Turinys PAVYZDYS 5. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu... Sprendimas 5a); 5b sprendimas); 5c sprendimas); 5d sprendimas). Atkreipkite dėmesį, kad... Visoje pakartojimų serijoje svarbu žinoti... Jacob Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus... 3 TEOREMA (Bernulio teorema). 6 PAVYZDYS. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite reikšmes n, k, p, q ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn (k) išraišką. 6 sprendimas a); 6 sprendimas b); 6 sprendimas c); 6 sprendimas d). Bernulio teorema leidžia ... TEOREMA 4. Kada dideli skaičiai savarankiški pasikartojimai... Mokytojui. Šaltiniai. 2014-02-08 2

3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ KARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS. 3 dalis. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 3

5 PAVYZDYS. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu Šiek tiek pakeisime ankstesnį pavyzdį: vietoj dviejų skirtingų šaulių į taikinį šaudys tas pats šaulys. 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus; b) nebus paveiktas; c) bus pataikyta bent kartą; d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 4

5a pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus; 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 5

5b pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: b) nebus pataikyta; Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 6

5c pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: c) bus pataikyta bent kartą; Sprendimas: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 7

5d pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą. Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 8

Pastaba 5 pavyzdžio d punkte pateiktas sprendimas konkrečiu atveju pakartoja garsiosios Bernulio teoremos įrodymą, kuris nurodo vieną iš labiausiai paplitusių tikimybinių modelių: nepriklausomus to paties testo pakartojimus su dviem galimais rezultatais. Išskirtinis bruožas daugelis tikimybinių problemų susideda iš to, kad testas, dėl kurio gali įvykti mus dominantis įvykis, gali būti kartojamas daug kartų. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 9

Visoje kartojimų serijoje svarbu žinoti. Kiekviename iš šių pasikartojimų mus domina klausimas, ar šis įvykis įvyks, ar ne. Ir per visą pakartojimų seriją mums svarbu tiksliai žinoti, kiek kartų šis įvykis gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, kauliukas metamas dešimt kartų iš eilės. Kokia tikimybė, kad 4 pasirodys lygiai 3 kartus? 10 šūvių; Kokia tikimybė, kad į taikinį bus lygiai 8 smūgiai? Arba kokia tikimybė, kad per penkis monetos metimus galvos iškils lygiai 4 kartus? 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 10

Jacobas Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus XVIII amžiaus pradžios šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli sujungė tokio tipo pavyzdžius ir klausimus į vieną tikimybinę schemą. Tegul tikimybė atsitiktinis įvykis Ir atliekant tam tikrą testą, jis lygus P (A). Šį testą laikysime testu su tik dviem galimomis baigtimis: vienas rezultatas yra tai, kad įvyks A, o kitas rezultatas yra tai, kad įvykis A neįvyks, t. y. įvyks Ᾱ. Trumpumo dėlei pirmąją baigtį (įvykio A įvykį) pavadinkime „sėkme“, o antrąją baigtį (įvykio Ᾱ įvykį) „nesėkme“. „Sėkmės“ tikimybė P(A) bus pažymėta p, o „nesėkmės“ tikimybė P(Ᾱ) – q. Taigi q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 11

3 TEOREMA (Bernulio teorema) 3 teorema (Bernulio teorema). Tegul P n (k) yra lygiai k „sėkmės“ tikimybė n nepriklausomų to paties testo pakartojimų. Tada P n (k)= С n k  p k  q n- k , kur p – „sėkmės“ tikimybė, o q=1 - p – „nesėkmės“ atskiro bandymo metu. Ši teorema (pateikiame ją be įrodymų) turi Gera vertė tiek teorijai, tiek praktikai. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 12

6 PAVYZDYS. 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. a) Kokia tikimybė gauti lygiai 7 galvas išmetus 10 monetos? b) Kiekvienas iš 20 žmonių savarankiškai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad „sėkmės“ bus lygiai pusė? c) Metimas kauliukas yra „sėkmingas“, jei jis meta 5 arba 6. Kokia tikimybė, kad „pasisekės“ lygiai 5 metimai iš 25? d) Bandymas susideda iš trijų skirtingų monetų metimo vienu metu. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 ritinių bus lygiai trys „laimės“? 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 13

6a sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. a) Kokia tikimybė gauti lygiai 7 galvas išmetus 10 monetos? Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 14

6b sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. b) Kiekvienas iš 20 žmonių savarankiškai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad „sėkmės“ bus lygiai pusė? Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 15

6c sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. c) Metimas kauliukas yra „sėkmingas“, jei jis meta 5 arba 6. Kokia tikimybė, kad „pasisekės“ lygiai 5 metimai iš 25? Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 16

6d sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. d) Bandymas susideda iš trijų skirtingų monetų metimo vienu metu. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 ritinių bus lygiai trys „laimės“? Sprendimas: d) n = 7, k = 3. „Sėkmė“ su vienu metimu yra tai, kad „uodegų“ yra mažiau nei „erelių“. Iš viso galimi 8 rezultatai: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "uodegos", O - "galvos"). Lygiai pusė jų turi mažiau uodegų nei galvų: POO, ORO, OOP, OOO. Taigi p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 17

Bernulio teorema leidžia... Bernulio teorema leidžia nustatyti ryšį tarp statistinio požiūrio į tikimybės apibrėžimą ir klasikinio atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimo. Norėdami apibūdinti šį ryšį, grįžkime prie 50 straipsnio dėl statistinio informacijos apdorojimo sąlygų. Apsvarstykite n nepriklausomų to paties testo pakartojimų seką su dviem rezultatais – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Šių testų rezultatai sudaro duomenų seką, susidedančią iš dviejų variantų: „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Paprasčiau tariant, yra n ilgio seka, sudaryta iš dviejų raidžių U („sėkmės“) ir H („nesėkmė“). Pavyzdžiui, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U arba N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N ir kt. n. Apskaičiuokime Y variantų daugumą ir dažnumą, t. y. raskime trupmeną k / n, kur k yra „sėkmės“ skaičius tarp visų n pakartojimų. Pasirodo, neribotai padidėjus n, „sėkmių“ pasireiškimo dažnis k/n praktiškai nesiskirs nuo „sėkmės“ tikimybės p viename bandyme. Šis gana sudėtingas matematinis faktas yra išvestas būtent iš Bernoulli teoremos. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 18

TEOREMA 4. Esant dideliam nepriklausomų pakartojimų skaičiui TEOREMA 4. Esant dideliam nepriklausomų to paties testo pakartojimų skaičiui, atsitiktinio įvykio A atsiradimo dažnis didėjant tikslumui yra maždaug lygus įvykio A tikimybei: k/n ≈ P(A). Pavyzdžiui, jei n > 2000, su didesne nei 99 % tikimybe, galima teigti, kad absoliuti klaida| k/n - P(A)| apytikslė lygybė k/n≈ P(A) bus mažesnė nei 0,03. Todėl sociologinėse apklausose pakanka apklausti apie 2000 atsitiktinai atrinktų žmonių (respondentų). Jei, tarkime, 520 iš jų atsakė teigiamai užduotas klausimas, tada k/n=520/2000=0,26 ir beveik neabejotina, kad daugiau respondentų, šis dažnis bus nuo 0,23 iki 0,29. Šis reiškinys vadinamas statistinio stabilumo fenomenu. Taigi, Bernulio teorema ir jos pasekmės leidžia mums (apytiksliai) rasti atsitiktinio įvykio tikimybę tais atvejais, kai neįmanoma jo aiškiai apskaičiuoti. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 19

Mokytojui 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 20

2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 21

2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 22

Šaltiniai Algebra ir analizės pradžia, 10-11 kl., 1 dalis. Vadovėlis, 10 leid. ( Pagrindinis lygis), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra ir analizės pradžia, 10-11 kl. (Pagrindinis lygis) įrankių rinkinys dėstytojui A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Lentelės sudarytos MS Word ir MS Excel programomis. Interneto šaltiniai Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 2014-02-08 23

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite paskyrą ( sąskaitą) Google ir prisijunkite: https://accounts.google.com


Skaidrių antraštės:

skaidrė 1
9 skyrius. Matematinės statistikos elementai, kombinatorika ir tikimybių teorija
§54. Atsitiktiniai įvykiai ir jų tikimybės 3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ PAKARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS.

skaidrė 2
Turinys
5 PAVYZDYS. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu... Sprendimas 5a); Sprendimas 5b); Sprendimas 5c); Sprendimas 5d). Atkreipkite dėmesį, kad ... Visoje pakartojimų serijoje svarbu žinoti ... Jokūbas Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus ... 3 TEOREMA (Bernulio teorema ).
6 PAVYZDYS. Kiekviename iš a) - d) pastraipų nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Sprendimas 6a; Sprendimas 6b) ; 6c sprendimas); 6d sprendimas). Bernoulli teorema leidžia... TEOREMA 4. Su dideliu savarankiškų pakartojimų skaičiumi... Mokytojui.Šaltiniai.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 3
3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ KARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS.
3 dalis
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 4
5 PAVYZDYS. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu
Šiek tiek pakeisime ankstesnį pavyzdį: vietoj dviejų skirtingų šaulių į taikinį šaudys tas pats šaulys 5 pavyzdys Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus; b) nebus pataikyta; c) bus pataikyta bent vieną kartą; d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 5
5a pavyzdžio sprendimas
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 6
5b pavyzdžio sprendimas
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad taikinys: b) nebus pataikytas; Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

7 skaidrė
5c pavyzdžio sprendimas)
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: c) bus pataikyta bent kartą; Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

8 skaidrė
5d pavyzdžio sprendimas)
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą. Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

9 skaidrė
Pastaba
5 pavyzdžio d punkte pateiktas sprendimas konkrečiu atveju pakartoja garsiosios Bernulio teoremos įrodymą, kuris nurodo vieną iš labiausiai paplitusių tikimybinių modelių: nepriklausomus to paties testo pakartojimus su dviem galimomis baigtimis. Išskirtinis daugelio tikimybinių problemų bruožas yra tas, kad testas, dėl kurio gali įvykti mus dominantis įvykis, gali būti kartojamas daug kartų.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

10 skaidrė
Visoje pakartojimų serijoje svarbu žinoti
Kiekviename iš šių pasikartojimų mus domina klausimas, ar šis įvykis įvyks, ar ne. Ir per visą pakartojimų seriją mums svarbu tiksliai žinoti, kiek kartų šis įvykis gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, kauliukas metamas dešimt kartų iš eilės. Kokia tikimybė, kad 4 pasirodys lygiai 3 kartus? 10 šūvių; Kokia tikimybė, kad į taikinį bus lygiai 8 smūgiai? Arba kokia tikimybė, kad per penkis monetos metimus galvos iškils lygiai 4 kartus?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 11
Jacob Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus
XVIII amžiaus pradžios šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli tokio tipo pavyzdžius ir klausimus sujungė į vieną tikimybinę schemą. Tegul atsitiktinio įvykio A tikimybė kokio nors testo metu yra lygi P (A). Šį testą laikysime testu su tik dviem galimomis baigtimis: vienas rezultatas yra tai, kad įvyks A, o kitas rezultatas yra tai, kad įvykis A neįvyks, t. y. įvyks Ᾱ. Trumpumo dėlei pirmąją baigtį (įvykio A įvykį) pavadinkime „sėkme“, o antrąją baigtį (įvykio Ᾱ įvykį) „nesėkme“. „Sėkmės“ tikimybė P(A) bus pažymėta p, o „nesėkmės“ tikimybė P(Ᾱ) – q. Taigi q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 12
3 TEOREMA (Bernulio teorema)
3 teorema (Bernulio teorema). Tegul Pn(k) yra lygiai k „sėkmės“ tikimybė n nepriklausomų to paties testo pakartojimų. Tada Pn(k)= Cnk pk qn-k, kur p – „sėkmės“ tikimybė, o q=1-p – „nesėkmės“ atskirame teste tikimybė.. Ši teorema (pateikiame ją be įrodymo). ) yra labai svarbus teorijai ir praktikai.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 13
6 PAVYZDYS.
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Monetos? b) Kiekvienas iš 20 žmonių savarankiškai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad „sėkmės“ bus lygiai pusė? Kokia tikimybė, kad tiksliai 5 metimai iš 25 bus „sėkmingi“? d) Testas susideda iš trijų skirtingų monetų metimo vienu metu. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 ritinių bus lygiai trys „laimės“?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

14 skaidrė
6a sprendimas
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Monetos? Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 15
6b sprendimas)
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. b) Kiekvienas iš 20 žmonių atskirai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad bus lygiai pusė „sėkmės“? Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 16
6c sprendimas)
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Kokia tikimybė, kad tiksliai 5 metimai iš 25 bus „laimingi“? Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

17 skaidrė
6d sprendimas)
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. d) Testą sudaro vienu metu mesti tris skirtingas monetas. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 metimų bus lygiai trys „laimės“? Sprendimas: d) n = 7, k = 3. Vieno metimo „laimė“ yra ta, kad „uodegų“ yra mažiau nei „erelių“. Iš viso galimi 8 rezultatai: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "uodegos", O - "galvos"). Lygiai pusė jų turi mažiau uodegų nei galvų: POO, ORO, OOP, OOO. Taigi p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

18 skaidrė
Bernulio teorema leidžia...
Bernoulli teorema leidžia nustatyti ryšį tarp statistinio požiūrio į tikimybės apibrėžimą ir klasikinio atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimo. Norėdami apibūdinti šį ryšį, grįžkime prie 50 straipsnio dėl statistinio informacijos apdorojimo sąlygų. Apsvarstykite n nepriklausomų to paties testo pakartojimų seką su dviem rezultatais – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Šių testų rezultatai sudaro duomenų seką, susidedančią iš dviejų variantų: „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Paprasčiau tariant, yra n ilgio seka, sudaryta iš dviejų raidžių Y („sėkmės“) ir H („nesėkmė“). Pavyzdžiui, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U arba N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N ir kt. n. Apskaičiuokime variantų Y daugumą ir dažnumą, t. y. rasime trupmeną k / n, kur k yra „sėkmės“ skaičius tarp visų n pakartojimų. Pasirodo, neribotai padidėjus n, „sėkmių“ pasireiškimo dažnis k/n praktiškai nesiskirs nuo „sėkmės“ tikimybės p viename bandyme. Šis gana sudėtingas matematinis faktas yra išvestas būtent iš Bernoulli teoremos.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

19 skaidrė
TEOREMA 4. Dideliam nepriklausomų pakartojimų skaičiui
4 TEOREMA. Esant dideliam nepriklausomų to paties testo pakartojimų skaičiui, atsitiktinio įvykio A atsiradimo dažnis didėjant tikslumui yra maždaug lygus įvykio A tikimybei: k / n ≈ P (A). Pavyzdžiui, su n > 2000 su didesne nei 99 % tikimybe , galima teigti, kad absoliuti paklaida |k/n- Р(А)| apytikslė lygybė k/n≈ P(A) bus mažesnė nei 0,03. Todėl sociologinėse apklausose pakanka apklausti apie 2000 atsitiktinai atrinktų žmonių (respondentų). Jei, tarkime, 520 iš jų atsakė teigiamai į klausimą, tai k / n = 520 / 2000 = 0,26 ir praktiškai neabejotina, kad bet kuriam didesniam respondentų skaičiui toks dažnis bus nuo 0,23 iki 0,29. Šis reiškinys vadinamas statistinio stabilumo reiškiniu.Taigi Bernulio teorema ir jos pasekmės leidžia (apytiksliai) rasti atsitiktinio įvykio tikimybę tais atvejais, kai neįmanoma jo aiškiai apskaičiuoti.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

20 skaidrė
Dėl mokytojo
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

22 skaidrė
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*

skaidrė 23
Šaltiniai
Algebra ir analizės užuomazgos, 10-11 kl., 1 dalis. Vadovėlis, 10 leid. (Pagrindinis lygis), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra ir analizės pradžia, 10-11 kl. (Pagrindinis lygis) Metodinis vadovas mokytojams,A.G.Mordkovich,P.V.Semenov,M.,2010 Lentelės sudarytos MS Word ir MS Excel programomis Interneto ištekliai
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
08.02.2014
*


Vyksta daugybė nepriklausomų bandymų,
kurių kiekvienas turi 2 galimus rezultatus,
kuriuos sąlyginai vadinsime sėkme ir nesėkme.
Pavyzdžiui, studentas laiko po 4 egzaminus
iš kurių galimi 2 rezultatai Sėkmė: studentas
išlaikė egzaminą ir Neišlaikė: neišlaikė.

Kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė yra
p. Gedimo tikimybė yra q=1-p.
Būtina rasti tikimybę, kad serijoje
iš n bandymų sėkmė ateis m kartų
Pn (m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Kiekvienu atveju Sėkmė įvyksta m kartų ir
Nepavyko (n–m) kartų.
Skaičius
visi
deriniai
lygus
numerį
būdų iš n bandymų pasirinkti tuos m, in
kuri buvo Sėkmė, t.y. Cm
n

Kiekvieno tokio derinio tikimybė yra
teorema
apie
daugyba
tikimybės
bus Pmqn-m.
Kadangi šie deriniai yra nesuderinami, tada
norima įvykio Bm tikimybė bus
Pn (m) p q
m
nm
... p q
m
nm
viso C s lagai û õ C p q
m
n
m
n
m
nm

Pn (m) C p q
m
n
m
nm

Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų, studentas
eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų

studentai. Kokia tikimybė, kad
1) trys iš jų dalyvaus paskaitoje
2) paskaitoje bus ne mažiau kaip 3 studentai
2) ar bent vienas iš studentų pateks į paskaitą?

1) Šiame uždavinyje eilė n=5
nepriklausomi testai. Pavadinkime tai sėkme
eiti į paskaitą (uodegos iškrenta) ir
Nesėkmė – ėjimas į kiną (iškritimas iš herbo).
p=q=1/2.
Naudodami Bernulio formulę randame tikimybę, kad
Kas atsitiks 3 kartus po 5 monetos metimo?
sėkmė:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Norėdami rasti tikimybę, kad po 5 metimų
bent kartą moneta nusileis į uodegą,
pereikime prie priešingos situacijos tikimybės
įvykiai - moneta iškris visus 5 kartus su herbu:
P5 (0).
Tada norima tikimybė bus tokia: P=1-P5(0).
Pagal Bernulio formulę:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Tada norimo įvykio tikimybė bus
P1 0,03125 0,96875


Bernulis
studentas eina
kine, jei moneta nukrenta uodegomis - mokinys eina į
paskaita. Monetą išmetė 5 mokiniai. Kas yra labiausiai
tikėtinas studentų skaičius, eis į paskaitą?
Tikimybė
1 bilieto laimėjimas yra 0,2. Kas yra labiausiai
tikėtinas laimėtų bilietų skaičius?

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis

np q k np p

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Labiausiai tikėtinų laimėjimų skaičiaus formulė
np q k np p
Jei np-q yra sveikas skaičius, tai šiame intervale yra 2
Sveiki skaičiai. Abu yra vienodai neįtikėtini.
Jei np-q yra ne sveikasis skaičius, tai šiame intervale yra 1
sveikasis skaičius

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,

– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5

studentai eina į paskaitą?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
tikimybė, Pn(k)
Dalyvavusių studentų skaičiaus tikimybės
paskaita
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
mokinių skaičius, k
4
5

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.


bilietai?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 ​​2,2

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 iki 2, 2
np p 10 0,2 0,2 ​​2,2
k2

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
Tikimybės laimėti bilietų skaičių
tikimybė, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
bilietų skaičius, k
7
8
9
10

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis


Pasirašyta 10 sutarčių

sumokėti draudimo sumą

viena iš sutarčių

nei trys sutartys
d) rasti labiausiai tikėtiną sutarčių skaičių pagal
kas turės sumokėti draudimo sumą

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Vidutiniškai 20 % draudimo sutarčių
įmonė sumoka draudimo sumą.
Pasirašyta 10 sutarčių
a) Raskite tikimybę, kad trys
sumokėti draudimo sumą
0,201327

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Vidutiniškai 20 % draudimo sutarčių
įmonė sumoka draudimo sumą.
Pasirašyta 10 sutarčių
b) Draudimo suma nereikės išmokėti pagal jokią
viena iš sutarčių
0,107374

Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Vidutiniškai 20 % draudimo sutarčių
įmonė sumoka draudimo sumą.
Pasirašyta 10 sutarčių
c) draudimo suma turės būti sumokėta ne daugiau kaip
nei trys sutartys
0,753297

Jei n yra didelis, tada naudokite formulę
Pn (m) C p q
m
n
m
nm
sunku
Todėl naudojamos apytikslės formulės

Teorema: Jei įvykio A tikimybė p
kiekviename bandyme yra artimas nuliui,
ir nepriklausomų bandymų skaičius n yra pakankamai didelis,
tada tikimybė Pn(m), kad n nepriklausomų bandymų
įvykis A įvyks m kartų, maždaug lygus:
Pn (m)
m
m!
e
kur λ=np
Ši formulė vadinama Puasono formule (retų įvykių dėsnis).

Pn (m)
m
m!
e, kt
Paprastai naudojama apytikslė Puasono formulė,
kai p<0,1, а npq<10.





Pavyzdys Leiskite žinoti, kad gaminant tam tikrą vaistą
santuoka (paketų, kurios neatitinka standarto, skaičius)
yra 0,2%. Apskaičiuokite tikimybę, kad
po 1000 atsitiktinai atrinktų paketų bus trys paketai,
neatitinka standarto.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e ,
np

Pavyzdys Leiskite žinoti, kad gaminant tam tikrą vaistą
santuoka (paketų, kurios neatitinka standarto, skaičius)
yra 0,2%. Apskaičiuokite tikimybę, kad
po 1000 atsitiktinai atrinktų paketų bus trys paketai,
neatitinka standarto.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e, kt
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6




sujungtos ne daugiau kaip 5 sutartys.

Pavyzdys Vidutiniškai 1% sutarčių draudimo bendrovė
sumoka draudimo sumą. Raskite tikimybę, kad nuo
100 sutarčių įvykus draudžiamajam įvykiui bus
sujungtos ne daugiau kaip 5 sutartys.