Išplėstinės matricos sprendimas Gauso metodu. Atvirkštinis Gauso metodas

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Žymusis vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenimą gavo pripažinimą kaip didžiausią visų laikų matematiką, genijų ir netgi pravardę „Matematikos karalius“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, į pinigus papuola ne tik čiulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos markių kupiūros (iki euro įvedimo), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įvaldyti PAKAKNA VENTKOKĖS MOKINIO ŽINIŲ. Turi mokėti pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai pasirenkamųjų matematikos dalykų mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodą. Paradoksalu, tačiau Gauso metodas mokiniams sukelia daugiausiai sunkumų. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o aš pabandysiu prieinama forma papasakoti apie metodo algoritmą.

Pirma, mes šiek tiek susisteminame žinias apie sistemas. tiesines lygtis. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo metodas Šiaip ar taip veda mus prie atsakymo! Įjungta šią pamoką 1 atveju (vienintelis sistemos sprendimas) nagrinėsime Gauso metodą, straipsnis skirtas 2-3 punktų situacijoms. Pastebiu, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Atgal į paprasčiausia sistema iš pamokos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?
ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricinė sistema:
. Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.

Nuoroda :Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų narių stulpelis Ši byla: . Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos Gali pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebraižysiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kuriam skaičiui ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš -3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolesnius matricos pakeitimus.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai detaliai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš -2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš -2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Visada eilutė pakeista, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau:

Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

Pirmas stulpelis pirmas. Žemiau turiu gauti nulį. Todėl aukščiau esantį vienetą padauginu iš -2:, o pirmą pridedu prie antrosios eilutės: 2 + (-2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra kolona. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: »

„Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome gerai pagalvoti apie šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai „kišenėje“. Bet, žinoma, mes vis dar dirbame su šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasiūloma užduotis, kur matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su „klasika“ matricos jokiu būdu neturėtumėte nieko pertvarkyti matricų viduje!

Grįžkime prie mūsų sistemos. Ji praktiškai suskaidyta į dalis.

Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš -2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – konvertuoti matricą į žingsninę formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiai pieštuku nubrėžia „kopėčias“, taip pat apjuosite skaičius, esančius ant „laiptelių“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomojoje literatūroje jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Dėl elementarių transformacijų gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: .

Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir jau pakeiskite ją žinoma vertė"yig":

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai išspręsti reikalingas Gauso metodas.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje:

Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių:

Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmą stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Nuliai gaunami tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antrąja eilute (2, -1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antros eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -2: (-2, -4, 2, -18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš -2:

Rezultatas rašomas antroje eilutėje:

Panašiai elgiamės ir su trečiąja eilute (3, 2, -5, -1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -3: (-3, -6, 3, -27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -3:

Rezultatas rašomas trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, ir tyliai išsipučiame - NOSEKVENMIAI ir DĖMESINGAI:

O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antrą eilutę padalijame iš -5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu mes dalijame trečią eilutę iš -2, nes ką mažesnis už skaičių, temos lengvesnis sprendimas:

Įjungta paskutinis etapas elementarios konversijos turi gauti dar vieną nulį čia:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2:

Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema:

Saunus.

Dabar pradeda veikti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas, apdailos pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmais, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau tai:
(1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi antruoju „žingsniu“ gavome norimą vienetą.

(4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į žemiau, ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Apmokestiname atvirkštinį žingsnį, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Atvirkštinis judėjimas, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Pilnas sprendimas ir pavyzdinis dizainas pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano.

Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui:

Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius:

Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose ant „žingsnių“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Čia, viršutiniame kairiajame „žingsnelyje“, turime dvikovą. Tačiau pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be likučio – ir dar iš dviejų ir šešių. Ir mums tiks viršuje, kairėje, esanti deuce! Pirmajame žingsnyje turite atlikti šias transformacijas: prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Taigi pirmajame stulpelyje gausime norimus nulius.

Arba kitas hipotetinis pavyzdys: . Čia mums tinka ir antrosios „laiptelės“ trigubas, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrąją eilutę, padaugintą iš -4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pažodžiui iš pirmo karto – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norėdami pasitikėti Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Lietingas rudeniškas oras už lango....Todėl visiems daugiau sudėtingas pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite keturių tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, išsamiai išstudijavęs šį puslapį, intuityviai supranta tokios sistemos sprendimo algoritmą. Iš esmės tas pats – tik daugiau veiksmo.

Pamokoje Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendruoju sprendimu nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.

Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. Dėmesio!Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame!
(2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau.
(3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5.
(4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas : Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos:
(1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1.
(4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės.
(3) Antroji eilutė, padauginta iš 4, buvo įtraukta į trečią eilutę. Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo įtraukta į ketvirtą eilutę.
(4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta vietoj trečios eilutės.
(5) Trečioji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -5.

Atvirkštinis judėjimas:

Dvi tiesinių lygčių sistemos vadinamos lygiavertėmis, jei visų jų sprendinių aibė yra vienoda.

Elementarios lygčių sistemos transformacijos yra šios:

Išbraukimas iš trivialių lygčių sistemos, t.y. tie, kurių visi koeficientai lygūs nuliui;

Bet kurios lygties padauginimas iš ne nulio skaičiaus;

Priedas prie bet kurios i-osios bet kurios j-osios lygties, padaugintos iš bet kurio skaičiaus.

Kintamasis x i vadinamas laisvuoju, jei šis kintamasis neleidžiamas, o leidžiama visa lygčių sistema.

Teorema. Elementariosios transformacijos paverčia lygčių sistemą į lygiavertę.

Gauso metodo prasmė yra transformuoti pradinę lygčių sistemą ir gauti lygiavertę leistiną arba lygiavertę nenuoseklią sistemą.

Taigi Gauso metodas susideda iš šių žingsnių:

Apsvarstykite pirmąją lygtį. Pasirenkame pirmąjį nenulinį koeficientą ir iš jo padalijame visą lygtį. Gauname lygtį, kurioje koks nors kintamasis x i įeina su koeficientu 1;
Atimkime šią lygtį iš visų kitų, padaugindami ją iš skaičių taip, kad likusiose lygtyse kintamojo x i koeficientai būtų lygūs nuliui. Gauname sistemą, kuri yra išspręsta kintamojo x i atžvilgiu ir yra lygiavertė pradinei;
Jei atsiranda trivialių lygčių (retai, bet pasitaiko; pavyzdžiui, 0 = 0), jas ištriname iš sistemos. Dėl to lygtys tampa viena mažiau;
Ankstesnius veiksmus kartojame ne daugiau n kartų, kur n yra lygčių skaičius sistemoje. Kiekvieną kartą „apdorojimui“ pasirenkame naują kintamąjį. Jei atsiranda prieštaringų lygčių (pavyzdžiui, 0 = 8), sistema yra nenuosekli.

Dėl to po kelių žingsnių gauname arba leistiną sistemą (galbūt su laisvais kintamaisiais), arba nenuoseklią. Leidžiamos sistemos skirstomos į du atvejus:

Kintamųjų skaičius lygus lygčių skaičiui. Taigi sistema yra apibrėžta;
Kintamųjų skaičius yra didesnis nei lygčių skaičius. Dešinėje renkame visus laisvus kintamuosius – gauname leidžiamų kintamųjų formules. Šios formulės parašytos atsakyme.

Tai viskas! Tiesinių lygčių sistema išspręsta! Tai gana paprastas algoritmas, ir norint jį įvaldyti, nereikia susisiekti su matematikos mokytoju. Apsvarstykite pavyzdį:

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Žingsnių aprašymas:

Pirmąją lygtį atimame iš antrosios ir trečiosios – gauname leistiną kintamąjį x 1;
Antrąją lygtį padauginame iš (-1), o trečiąją padalijame iš (-3) - gauname dvi lygtis, kuriose kintamasis x 2 įeina su koeficientu 1;
Antrąją lygtį pridedame prie pirmosios, o iš trečiosios atimame. Gaukime leistiną kintamąjį x 2 ;
Galiausiai iš pirmosios atimame trečiąją lygtį – gauname leistiną kintamąjį x 3 ;
Gavome autorizuotą sistemą, surašome atsakymą.

Bendras jungtinės tiesinių lygčių sistemos sprendimas yra nauja sistema, lygiavertė pradinei, kurioje visi leidžiami kintamieji išreiškiami laisvaisiais.

Kada gali prireikti bendro sprendimo? Jei turite atlikti mažiau žingsnių nei k (k yra lygčių iš viso). Tačiau priežastys, kodėl procesas baigiasi kokiu nors l žingsniu< k , может быть две:

Po l -ojo žingsnio gauname sistemą, kurioje nėra lygties su skaičiumi (l + 1). Tiesą sakant, tai yra gerai, nes. išspręsta sistema vis tiek gaunama – net keliais žingsniais anksčiau.
Po l-ojo žingsnio gaunama lygtis, kurioje visi kintamųjų koeficientai lygūs nuliui, o laisvasis koeficientas skiriasi nuo nulio. Tai nenuosekli lygtis, todėl sistema yra nenuosekli.

Svarbu suprasti, kad nenuoseklios lygties atsiradimas Gauso metodu yra pakankama nenuoseklumo priežastis. Tuo pačiu metu pastebime, kad dėl l-ojo žingsnio trivialių lygčių negali likti - visos jos ištrinamos tiesiogiai proceso metu.

Žingsnių aprašymas:

Iš antrosios atimkite pirmąją lygtį 4 kartus. Taip pat pridėkite pirmąją lygtį prie trečiosios - gauname leistiną kintamąjį x 1;
Trečiąją lygtį, padaugintą iš 2, atimame iš antrosios – gauname prieštaringą lygtį 0 = −5.

Taigi, sistema yra nenuosekli, nes buvo rasta nenuosekli lygtis.

Užduotis. Ištirkite suderinamumą ir raskite bendrą sistemos sprendimą:

Žingsnių aprašymas:

Pirmąją lygtį atimame iš antrosios (padauginus iš dviejų) ir trečiąją – gauname leistiną kintamąjį x 1;
Iš trečiosios atimkite antrąją lygtį. Kadangi visi šių lygčių koeficientai yra vienodi, trečioji lygtis tampa triviali. Tuo pat metu antrą lygtį padauginame iš (-1);
Iš pirmosios lygties atimame antrąją lygtį – gauname leistiną kintamąjį x 2. Dabar taip pat išspręsta visa lygčių sistema;
Kadangi kintamieji x 3 ir x 4 yra laisvi, juos perkeliame į dešinę, kad išreikštume leidžiamus kintamuosius. Tai yra atsakymas.

Taigi, sistema yra jungtinė ir neapibrėžta, nes yra du leidžiami kintamieji (x 1 ir x 2) ir du laisvieji (x 3 ir x 4).

1. Linijinė sistema algebrines lygtis

1.1 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos samprata

Lygčių sistema yra sąlyga, kai vienu metu vykdomos kelios lygtys keliuose kintamuosiuose. Tiesinių algebrinių lygčių (toliau – SLAE) sistema, turinti m lygčių ir n nežinomųjų, yra tokios formos sistema:

kur skaičiai a ij vadinami sistemos koeficientais, skaičiai b i yra laisvieji nariai, aij Ir b i(i=1,…, m; b=1,…, n) yra keletas žinomų skaičių ir x 1 ,…, x n- nežinomas. Koeficientų žymėjime aij pirmasis indeksas i reiškia lygties skaičių, o antrasis indeksas j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas. Jei reikia rasti skaičių x n . Tokią sistemą patogu parašyti kompaktiška matrica: AX = B.Čia A yra sistemos koeficientų matrica, vadinama pagrindine matrica;

yra nežinomo xj stulpelio vektorius.
yra laisvųjų narių bi stulpelio vektorius.

Matricų A * X sandauga yra apibrėžta, nes matricoje A yra tiek stulpelių, kiek matricoje X eilučių (n vienetų).

Išplėstinė sistemos matrica yra sistemos matrica A, papildyta laisvųjų narių stulpeliu

1.2 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Lygčių sistemos sprendimas yra sutvarkyta skaičių (kintamųjų reikšmių) rinkinys, kai juos pakeičiant vietoj kintamųjų, kiekviena sistemos lygtis virsta tikrąja lygybe.

Sistemos sprendimas yra n reikšmių nežinomųjų x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, kurias pakeičiant visos sistemos lygtys virsta tikrosiomis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip matricos stulpelis

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei turi bent vieną sprendinį, ir nenuoseklia, jei sprendinių nėra.

Jungtinė sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą. Pastaruoju atveju kiekvienas jo sprendimas vadinamas konkrečiu sistemos sprendimu. Visų konkrečių sprendimų rinkinys vadinamas bendruoju sprendimu.

Išspręsti sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji nuosekli, ar nenuosekli. Jei sistema suderinama, raskite jos bendrą sprendimą.

Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentinėmis), jei jų bendrasis sprendimas yra toks pat. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai.

Transformacija, kurią taikant sistema paverčiama nauja sistema, lygiaverte pradinei, vadinama ekvivalentine arba lygiaverte transformacija. Tokios transformacijos gali būti lygiaverčių transformacijų pavyzdžiai: dviejų sistemos lygčių sukeitimas, dviejų nežinomųjų sukeitimas su visų lygčių koeficientais, abiejų bet kurios sistemos lygties dalių padauginimas iš ne nulio skaičiaus.

Tiesinių lygčių sistema vadinama vienalyte, jei visi laisvieji nariai lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes x1=x2=x3=…=xn=0 yra sistemos sprendimas. Šis sprendimas vadinamas niekiniu arba trivialiu.

2. Gauso eliminacijos metodas

2.1 Gauso eliminacijos metodo esmė

Klasikinis tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo metodas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Gauso metodas(Jis taip pat vadinamas Gauso eliminacijos metodu). Tai kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas, kai elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laiptuotos (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kiti kintamieji, pradedant nuo paskutiniai (pagal skaičių) kintamieji.

Gauso sprendimo procesas susideda iš dviejų etapų: judesių pirmyn ir atgal.

1. Tiesioginis judėjimas.

Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariomis transformacijomis per eilutes sistema perkeliama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nenuosekli. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirenkamas nulinis vienetas, jis permutuojant eilutes perkeliamas į aukščiausią padėtį, o pirmoji eilutė, gauta atlikus permutaciją, atimama iš likusių eilučių, padauginant ją iš reikšmė lygi kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmos eilutės pirmojo elemento santykiui, taigi po juo esantis stulpelis nulinis.

Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmas stulpelis mintyse perbraukiamos ir tęsiamos tol, kol lieka matrica dydis nulis. Jei kai kuriose iteracijose tarp pirmojo stulpelio elementų nebuvo rastas ne nulis, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

Pirmajame etape (į priekį) sistema redukuojama į laiptuotą (ypač trikampę).

Žemiau pateikta sistema yra laipsniška:

Koeficientai aii vadinami pagrindiniais (pirmaujančiais) sistemos elementais.

(jei a11=0, pertvarkykite matricos eilutes taip a 11 nebuvo lygus 0. Tai visada įmanoma, nes kitu atveju matricoje yra nulinis stulpelis, jo determinantas lygus nuliui ir sistema nenuosekli).

Sistemą transformuojame pašalindami nežinomą x1 visose lygtyse, išskyrus pirmąją (naudojant elementariąsias sistemos transformacijas). Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš

ir sudėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi (arba iš antrosios lygties terminą po termino atimame pirmąjį, padaugintą iš ). Tada abi pirmosios lygties dalis padauginame iš ir pridedame prie trečiosios sistemos lygties (arba atimame pirmąją, padaugintą iš trečiojo nario). Taigi pirmąją eilutę padauginame iš skaičiaus ir pridedame prie i-toji eilutė, skirta i= 2, 3, …,n.

Tęsdami šį procesą, gauname lygiavertę sistemą:

– naujos nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientų reikšmės paskutinėse sistemos m-1 lygtyse, kurios nustatomos pagal formules:

Taigi, pirmame žingsnyje, visi koeficientai po pirmuoju pagrindiniu elementu a 11 yra sunaikinti

0, antrasis veiksmas sunaikina elementus po antruoju pagrindiniu elementu a 22 (1) (jei 22 (1) 0) ir pan. Tęsdami šį procesą toliau, pradinę sistemą galiausiai sumažinsime iki trikampės sistemos (m-1) žingsnyje.

Jeigu redukuojant sistemą į pakopinę formą atsiranda nulinės lygtys, t.y. lygybės 0=0 formos, jos atmetamos. Jei yra formos lygtis

Tai rodo sistemos nesuderinamumą.

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo eigą.

2. Atbulinis judėjimas.

Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti pagrindinę sprendinių sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai, tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendinį.

Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (joje yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis, ir taip toliau, kylant „laipteliais“ į viršų.

Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Pastaba: praktikoje patogiau dirbti ne su sistema, o su jos išplėstine matrica, atliekant visas elementarias transformacijas jos eilutėse. Patogu, kad koeficientas a11 būtų lygus 1 (pertvarkykite lygtis arba padalykite abi lygties puses iš a11).

2.2 SLAE sprendimo Gauso metodu pavyzdžiai

Šiame skyriuje, naudodami tris skirtingus pavyzdžius, parodysime, kaip Gauso metodas gali būti naudojamas SLAE išspręsti.

1 pavyzdys. Išspręskite 3 eilės SLAE.

Nustatykite koeficientus į nulį

antroje ir trečioje eilutėse. Norėdami tai padaryti, padauginkite juos atitinkamai iš 2/3 ir 1 ir pridėkite prie pirmosios eilutės:

Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip tiesinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo būdas. Metodas yra analitinis, tai yra, leidžia įrašyti sprendimo algoritmą bendras vaizdas, tada pakeiskite reikšmes iš konkrečių ten esančių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi be galo daug sprendinių. Arba jie jo visai neturi.

Ką reiškia Gauss

Pirmiausia turite užrašyti mūsų lygčių sistemą į Tai atrodo taip. Sistema paimama:

Koeficientai rašomi lentelės forma, o dešinėje atskirame stulpelyje – laisvieji nariai. Stulpelis su laisvaisiais nariais yra atskirtas dėl patogumo.Matrica, kurioje yra šis stulpelis, vadinama išplėstine.

Be to, pagrindinė matrica su koeficientais turi būti sumažinta iki viršutinės trikampio formos. Tai yra pagrindinis tikslas sprendžiant sistemą Gauso metodu. Paprasčiau tariant, po tam tikrų manipuliacijų matrica turėtų atrodyti taip, kad apatinėje kairiojoje jos dalyje būtų tik nuliai:

Tada, jei naują matricą dar kartą parašysite kaip lygčių sistemą, pastebėsite, kad paskutinėje eilutėje jau yra vienos iš šaknų reikšmė, kuri vėliau pakeičiama į aukščiau esančią lygtį, randama kita šaknis ir pan.

Šis sprendimo aprašymas Gauso metodu labiausiai bendrais bruožais. O kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų yra be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus sprendime naudojamus elementus Gauso metodu.

Matricos, jų savybės

Matricoje nėra paslėptos prasmės. Tai tiesiog patogus būdas įrašyti duomenis vėlesnėms operacijoms. Net moksleiviai neturėtų jų bijoti.

Matrica visada yra stačiakampė, nes taip patogiau. Netgi Gauso metodu, kai viskas susiveda į trikampės matricos sudarymą, įraše atsiranda stačiakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur nėra skaičių. Nulių galima praleisti, tačiau jie yra numanomi.

Matrica turi dydį. Jo "plotis" yra eilučių skaičius (m), jo "ilgis" yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios raidės) laiškus) bus pažymėtas kaip A m×n . Jei m = n, tada ši matrica yra kvadratinė, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilutės ir stulpelio skaičiumi: a xy ; x - eilutės numeris, pakeitimai , y - stulpelio numeris, pakeitimai .

B nėra pagrindinis sprendimo taškas. Iš esmės visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pačiomis lygtimis, tačiau žymėjimas pasirodys daug sudėtingesnis ir jame bus daug lengviau susipainioti.

Determinantas

Matrica taip pat turi determinantą. Tai labai svarbi savybė. Sužinokite jo reikšmę dabar neverta, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskaičiuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias būdas rasti determinantą yra per įstrižaines. Matricoje brėžiamos įsivaizduojamos įstrižainės; ant kiekvieno iš jų esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: įstrižainės su nuolydžiu į dešinę - su "pliuso" ženklu, su nuolydžiu į kairę - su "minuso" ženklu.

Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Stačiakampei matricai galite atlikti šiuos veiksmus: pasirinkti mažiausią iš eilučių ir stulpelių skaičiaus (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėti k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinė matrica. Jei tokios matricos determinantas yra skaičius, kuris nėra nulis, tada jis vadinamas pradinės stačiakampės matricos baziniu mažuoju.

Prieš sprendžiant lygčių sistemą Gauso metodu, nepakenks apskaičiuoti determinantą. Jei paaiškėja, kad jis yra nulis, galime iš karto pasakyti, kad matrica turi arba begalinį skaičių sprendinių, arba jų iš viso nėra. Tokiu liūdnu atveju reikia eiti toliau ir sužinoti apie matricos rangą.

Sistemos klasifikacija

Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai yra didžiausia jo nenulinio determinanto tvarka (atsimindami pagrindinį mažąjį, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka).

Atsižvelgiant į tai, kaip viskas yra su rangu, SLAE galima suskirstyti į:

Bendras. At jungtinių sistemų pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės (su laisvųjų narių stulpeliu) rangu. Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, todėl jungčių sistemos papildomai skirstomos į:
- tam tikras- turėti unikalų sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats) yra lygūs;
- neterminuota - su begaliniu skaičiumi sprendinių. Tokių sistemų matricų rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
Nesuderinamas. At tokios sistemos, pagrindinės ir išplėstinės matricų eilės nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Gauso metodas geras tuo, kad leidžia gauti arba nedviprasmišką sistemos nenuoseklumo įrodymą (neskaičiuojant didelių matricų determinantų), arba bendrą sprendinį sistemai su begaliniu sprendinių skaičiumi sprendimo metu.

Elementarios transformacijos

Prieš pereinant tiesiai prie sistemos sprendimo, galima padaryti jį mažiau sudėtingą ir patogesnį skaičiavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokias, kad jų įgyvendinimas niekaip nepakeistų galutinio atsakymo. Reikia pažymėti, kad kai kurios iš aukščiau paminėtų elementariųjų transformacijų galioja tik matricoms, kurių šaltinis buvo būtent SLAE. Štai šių transformacijų sąrašas:

Stygos permutacija. Akivaizdu, kad jei pakeisime lygčių tvarką sistemos įraše, tai sprendiniui tai niekaip nepaveiks. Vadinasi, šios sistemos matricoje taip pat galima sukeisti eilutes, nepamirštant, žinoma, apie laisvųjų narių stulpelį.
Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudingas! Jis gali būti naudojamas sutrumpinti dideli skaičiai matricoje arba pašalinkite nulius. Sprendimų rinkinys, kaip įprasta, nesikeis, o tolimesnes operacijas atlikti taps patogiau. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
Ištrinti eilutes su proporciniais koeficientais. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tada padauginus / padalijus vieną iš eilučių iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba dar kartą daugiau) visiškai identiškos eilutės, o papildomas galite pašalinti, palikdami tik vienas.
Nulinės eilutės pašalinimas. Jei transformacijų metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
Pridedant prie vienos eilutės elementų kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus iš tam tikro koeficiento. Pats neaiškiausias ir labiausiai svarbi transformacija iš visų. Verta prie to pasilikti plačiau.

Sudedant eilutę, padaugintą iš koeficiento

Kad būtų lengviau suprasti, verta žingsnis po žingsnio išardyti šį procesą. Iš matricos paimtos dvi eilutės:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia pridėti pirmąjį prie antrojo, padaugintą iš koeficiento „-2“.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Tada matricoje antroji eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Pažymėtina, kad daugybos koeficientą galima pasirinkti taip, kad, pridėjus dvi eilutes, vienas iš naujos eilutės elementų būtų lygus nuliui. Todėl sistemoje galima gauti lygtį, kurioje bus vienu nežinomuoju mažiau. Ir jei jūs gaunate dvi tokias lygtis, tada operaciją galima atlikti dar kartą ir gauti lygtį, kurioje jau bus du mažiau nežinomųjų. Ir jei kiekvieną kartą visoms eilutėms, kurios yra žemesnės už pradinę, pasuksime į nulį vieną koeficientą, tada galime, kaip žingsniai, nusileisti į patį matricos apačią ir gauti lygtį su vienu nežinomuoju. Tai vadinama sistemos išsprendimu Gauso metodu.

Apskritai

Tegul būna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite užrašyti taip:

Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Laisvųjų narių stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskiriamas juostele.

pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k = (-a 21 / a 11);
pridedama pirmoji modifikuota matricos eilutė ir antroji eilutė;
vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilutėje yra 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Dabar atliekama ta pati transformacijų serija, įtraukiamos tik pirmoji ir trečia eilutės. Atitinkamai kiekviename algoritmo žingsnyje elementas a 21 pakeičiamas 31 . Tada viskas kartojama 41, ... a m1. Rezultatas yra matrica, kurioje pirmasis elementas eilutėse yra lygus nuliui. Dabar turime pamiršti apie pirmą eilutę ir vykdyti tą patį algoritmą, pradedant nuo antros eilutės:

koeficientas k \u003d (-a 32 / a 22);
antroji modifikuota eilutė pridedama prie "dabartinės" eilutės;
papildymo rezultatas pakeičiamas trečioje, ketvirtoje ir tt eilutėse, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
matricos eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.

Algoritmas turi būti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k = (-a m,m-1 /a mm). Tai reiškia, kad algoritmas paskutinį kartą buvo paleistas tik žemesnei lygčiai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuotą formą. Apatinėje eilutėje yra lygybė a mn × x n = b m . Koeficientas ir laisvasis narys yra žinomi, per juos išreiškiama šaknis: x n = b m /a mn. Gauta šaknis pakeičiama į viršutinę eilutę, kad būtų nustatyta x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Ir taip toliau pagal analogiją: kiekvienoje kitoje eilutėje yra nauja šaknis ir, pasiekę sistemos „viršų“, galite rasti daugybę sprendimų. Tai bus vienintelis.

Kai nėra sprendimų

Jei vienoje iš matricos eilučių visi elementai, išskyrus laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai šią eilutę atitinkanti lygtis atrodo taip, kad 0 = b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis įtraukta į sistemą, tai visos sistemos sprendinių aibė yra tuščia, tai yra išsigimusi.

Kai sprendinių yra be galo daug

Gali pasirodyti, kad sumažintoje trikampėje matricoje nėra eilučių su vienu elementu - lygties koeficientu, o viena - laisvuoju nariu. Yra tik eilutės, kurios perrašomos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintamųjų. Tai reiškia, kad sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Šiuo atveju atsakymas gali būti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?

Visi matricos kintamieji skirstomi į pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai – tai tie, kurie stovi laiptuotos matricos eilučių „ant krašto“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji rašomi laisvaisiais.

Patogumui matrica pirmiausia perrašoma į lygčių sistemą. Tada paskutiniame iš jų, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pusėje, o visa kita perkeliama į kitą. Tai daroma kiekvienai lygčiai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lygčių dalyse, kur įmanoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakeičiama jam gauta išraiška. Jei dėl to vėl atsiranda išraiška, turinti tik vieną pagrindinį kintamąjį, ji vėl išreiškiama iš ten ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis užrašomas kaip išraiška su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.

Taip pat galite rasti pagrindinį sistemos sprendimą – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reikšmes, o tada šiuo konkrečiu atveju apskaičiuokite pagrindinių kintamųjų reikšmes. Yra be galo daug konkrečių sprendimų.

Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais

Čia yra lygčių sistema.

Patogumui geriau iš karto sukurti jo matricą

Žinoma, kad sprendžiant Gauso metodu, pirmąją eilutę atitinkanti lygtis transformacijų pabaigoje išliks nepakitusi. Todėl bus pelningiau, jei viršutinis kairysis matricos elementas bus mažiausias - tada pirmieji likusių eilučių elementai po operacijų taps nuliu. Tai reiškia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga vietoj pirmosios eilutės dėti antrą.

antroji eilutė: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trečia eilutė: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia užsirašyti matricą su tarpiniais transformacijų rezultatais.

Akivaizdu, kad tokią matricą kai kurių operacijų pagalba galima padaryti patogesnę suvokimui. Pavyzdžiui, galite pašalinti visus „minusus“ iš antrosios eilutės, padaugindami kiekvieną elementą iš „-1“.

Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galite sutrumpinti eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamos reikšmės).

Atrodo daug gražiau. Dabar turime palikti pirmąją eilutę ir dirbti su antrąja ir trečia. Užduotis yra pridėti antrą eilutę prie trečios eilės, padaugintą iš tokio koeficiento, kad elementas a 32 taptų lygus nuliui.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 bendroji trupmena ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspręskite, ar suapvalinti ir išversti į kitą įrašo formą)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica vėl parašyta su naujomis reikšmėmis.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kaip matote, gauta matrica jau turi laiptuotą formą. Todėl tolesnių sistemos transformacijų Gauso metodu nereikia. Ką čia galima padaryti, tai iš trečios eilutės pašalinti bendrą koeficientą „-1/7“.

Dabar viskas gražu. Esmė maža – vėl parašykite matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuokite šaknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7m + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima z reikšmę:

y = (24–11×(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leidžia rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine ir netgi apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Neribotos sistemos pavyzdys

Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia nagrinėti atvejį, jei sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jau pati sistemos forma kelia nerimą, nes nežinomųjų skaičius yra n = 5, o sistemos matricos rangas jau lygiai mažesnis už šį skaičių, nes eilučių skaičius yra m = 4, tai yra, didžiausia kvadratinio determinanto eilė yra 4. Tai reiškia, kad sprendinių yra be galo daug, ir reikia ieškoti bendrosios jo formos. Gauso metodas tiesinėms lygtims leidžia tai padaryti.

Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma papildyta matrica.

Antroji eilutė: koeficientas k = (-a 21 / a 11) = -3. Trečioje eilutėje pirmas elementas yra prieš transformacijas, todėl nieko liesti nereikia, reikia palikti tokį, koks yra. Ketvirta eilutė: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Padauginus pirmosios eilutės elementus iš kiekvieno jų koeficiento ir pridėjus juos prie norimų eilučių, gauname tokios formos matricą:

Kaip matote, antroji, trečioji ir ketvirtoji eilutės susideda iš elementų, kurie yra proporcingi vienas kitam. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra vienodi, todėl vieną iš jų galima nedelsiant pašalinti, o likusius padauginti iš koeficiento „-1“ ir gauti eilutės numerį 3. Ir vėl palikite vieną iš dviejų identiškų eilučių.

Pasirodė tokia matrica. Sistema dar nenurašyta, čia reikia nustatyti pagrindinius kintamuosius - esant koeficientams 11 \u003d 1 ir 22 \u003d 1, o laisvus - visus kitus.

Antroji lygtis turi tik vieną pagrindinį kintamąjį – x 2 . Vadinasi, jį galima išreikšti iš ten, rašant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gautą išraišką pakeičiame pirmąja lygtimi.

Paaiškėjo lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1. Su juo darykime tą patį, kaip ir su x 2 .

Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar galite parašyti atsakymą bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais, kaip taisyklė, laisvųjų kintamųjų reikšmės pasirenkami nuliai. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesuderinamos sistemos pavyzdys

Nenuoseklių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu yra greičiausias. Jis baigiasi, kai tik viename iš etapų gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, gana ilgas ir niūrus etapas su šaknų skaičiavimu išnyksta. Atsižvelgiama į šią sistemą:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip įprasta, matrica sudaroma:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ir jis sumažinamas iki pakopinės formos:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pirmosios transformacijos trečioje eilutėje yra formos lygtis

neturintis sprendimo. Todėl sistema yra nenuosekli, o atsakymas yra tuščias rinkinys.

Metodo privalumai ir trūkumai

Jei pasirinksite, kurį metodą išspręsti SLAE popieriuje su rašikliu, tada metodas, kuris buvo aptartas šiame straipsnyje, atrodo patraukliausias. Elementariose transformacijose susipainioti yra daug sunkiau, nei tai atsitinka, jei reikia rankiniu būdu ieškoti determinanto ar kokios keblios atvirkštinės matricos. Tačiau jei darbui su tokio tipo duomenimis naudojate programas, pavyzdžiui, skaičiuokles, tuomet paaiškėja, kad tokiose programose jau yra algoritmai, skirti skaičiuoti pagrindinius matricų parametrus – determinantą, mažuosius, atvirkštinius ir pan. Ir jei esate tikri, kad mašina pati apskaičiuos šias reikšmes ir nesuklys, tikslingiau naudoti matricos metodą arba Cramerio formules, nes jų taikymas prasideda ir baigiasi determinantų ir determinantų skaičiavimu. atvirkštinės matricos.

Taikymas

Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica iš tikrųjų yra dvimatis masyvas, jį galima naudoti programuojant. Bet kadangi straipsnis save pozicionuoja kaip „manekenų“ vadovą, reikėtų pasakyti, kad metodą lengviausia įdėti į skaičiuokles, pavyzdžiui, „Excel“. Vėlgi, bet koks SLAE, įvestas į lentelę matricos pavidalu, „Excel“ bus laikomas dvimačiu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gražių komandų: sudėjimas (galima pridėti tik vienodo dydžio matricas!), Daugyba iš skaičiaus, matricos daugyba (taip pat su tam tikrais apribojimais), atvirkštinių ir perkeltų matricų radimas ir, svarbiausia, , apskaičiuojant determinantą. Jei ši daug laiko reikalaujanti užduotis pakeičiama viena komanda, daug greičiau galima nustatyti matricos rangą, taigi ir nustatyti jos suderinamumą ar nenuoseklumą.

Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip tiesinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo būdas. Metodas yra analitinis, tai yra, jis leidžia parašyti sprendimo algoritmą bendra forma, o tada pakeisti reikšmes iš konkrečių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi be galo daug sprendinių. Arba jie jo visai neturi.

Ką reiškia Gauss

Pirmiausia turite užrašyti mūsų lygčių sistemą į Tai atrodo taip. Sistema paimama:

Tai yra Gauso metodo sprendimo aprašymas pačiais bendriausiais terminais. O kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų yra be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus sprendime naudojamus elementus Gauso metodu.

Matricos, jų savybės

Matricoje nėra paslėptos prasmės. Tai tiesiog patogus būdas įrašyti duomenis vėlesnėms operacijoms. Net moksleiviai neturėtų jų bijoti.

Matrica turi dydį. Jo "plotis" yra eilučių skaičius (m), jo "ilgis" yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios lotyniškos raidės) bus žymimas kaip A m×n . Jei m = n, tada ši matrica yra kvadratinė, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilutės ir stulpelio skaičiumi: a xy ; x - eilutės numeris, pakeitimai , y - stulpelio numeris, pakeitimai .

Determinantas

Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Stačiakampei matricai galite atlikti šiuos veiksmus: pasirinkti mažiausią iš eilučių ir stulpelių skaičiaus (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėti k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinę matricą. Jei tokios matricos determinantas yra skaičius, kuris nėra nulis, tada jis vadinamas pradinės stačiakampės matricos baziniu mažuoju.

Sistemos klasifikacija

Atsižvelgiant į tai, kaip viskas yra su rangu, SLAE galima suskirstyti į:

Bendras. At jungtinių sistemų pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės (su laisvųjų narių stulpeliu) rangu. Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, todėl jungčių sistemos papildomai skirstomos į:
- tam tikras- turėti unikalų sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats) yra lygūs;
- neterminuota - su begaliniu skaičiumi sprendinių. Tokių sistemų matricų rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
Nesuderinamas. At tokios sistemos, pagrindinės ir išplėstinės matricų eilės nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Elementarios transformacijos

Stygos permutacija. Akivaizdu, kad jei pakeisime lygčių tvarką sistemos įraše, tai sprendiniui tai niekaip nepaveiks. Vadinasi, šios sistemos matricoje taip pat galima sukeisti eilutes, nepamirštant, žinoma, apie laisvųjų narių stulpelį.
Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudingas! Su juo galite sumažinti didelius skaičius matricoje arba pašalinti nulius. Sprendimų rinkinys, kaip įprasta, nesikeis, o tolimesnes operacijas atlikti taps patogiau. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
Ištrinti eilutes su proporciniais koeficientais. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tada padauginus / padalijus vieną iš eilučių iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba dar kartą daugiau) visiškai identiškos eilutės, o papildomas galite pašalinti, palikdami tik vienas.
Nulinės eilutės pašalinimas. Jei transformacijų metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
Pridedant prie vienos eilutės elementų kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus iš tam tikro koeficiento. Neaiškiausia ir svarbiausia transformacija iš visų. Verta prie to pasilikti plačiau.

Sudedant eilutę, padaugintą iš koeficiento

Kad būtų lengviau suprasti, verta žingsnis po žingsnio išardyti šį procesą. Iš matricos paimtos dvi eilutės:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia pridėti pirmąjį prie antrojo, padaugintą iš koeficiento „-2“.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Tada matricoje antroji eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Apskritai

Tegul būna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite užrašyti taip:

Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Laisvųjų narių stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskiriamas juostele.

pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k = (-a 21 / a 11);
pridedama pirmoji modifikuota matricos eilutė ir antroji eilutė;
vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilutėje yra 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeficientas k \u003d (-a 32 / a 22);
antroji modifikuota eilutė pridedama prie "dabartinės" eilutės;
papildymo rezultatas pakeičiamas trečioje, ketvirtoje ir tt eilutėse, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
matricos eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.

Kai nėra sprendimų

Kai sprendinių yra be galo daug

Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais

Čia yra lygčių sistema.

Patogumui geriau iš karto sukurti jo matricą

antroji eilutė: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trečia eilutė: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia užsirašyti matricą su tarpiniais transformacijų rezultatais.

Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galite sumažinti eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamas reikšmes).

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 trupmenos ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspręskite, ar suapvalinti ir išversti į kitą žymėjimo formą)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica vėl parašyta su naujomis reikšmėmis.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Dabar viskas gražu. Esmė maža – vėl parašykite matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuokite šaknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7m + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima z reikšmę:

y = (24–11×(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leidžia rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine ir netgi apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Neribotos sistemos pavyzdys

Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia nagrinėti atvejį, jei sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma papildyta matrica.

Padauginus pirmosios eilutės elementus iš kiekvieno jų koeficiento ir pridėjus juos prie norimų eilučių, gauname tokios formos matricą:

Pasirodė tokia matrica. Sistema dar nenurašyta, čia reikia nustatyti pagrindinius kintamuosius - esant koeficientams 11 \u003d 1 ir 22 \u003d 1, o laisvus - visus kitus.

Antroji lygtis turi tik vieną pagrindinį kintamąjį – x 2 . Vadinasi, jį galima išreikšti iš ten, rašant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gautą išraišką pakeičiame pirmąja lygtimi.

Paaiškėjo lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1. Su juo darykime tą patį, kaip ir su x 2 .

Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar galite parašyti atsakymą bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais, kaip taisyklė, laisvųjų kintamųjų reikšmės pasirenkami nuliai. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesuderinamos sistemos pavyzdys

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip įprasta, matrica sudaroma:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ir jis sumažinamas iki pakopinės formos:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pirmosios transformacijos trečioje eilutėje yra formos lygtis

neturintis sprendimo. Todėl sistema yra nenuosekli, o atsakymas yra tuščias rinkinys.