Kako provjeriti je li funkcija parna. Kako odrediti parne i neparne funkcije

Koji su vam u određenoj ili onoj mjeri bili poznati. Također je navedeno da će se zaliha funkcionalnih svojstava postupno nadopunjavati. U ovom odjeljku bit će riječi o dva nova svojstva.

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x), x ê X, poziva se čak i ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost f (-x) \u003d f (x) istinita.

Definicija 2.

Funkcija y \u003d f (x), x ê X, naziva se neparnom ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost f (-x) \u003d -f (x) istinita.

Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.

Odluka. Imamo: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4 . Dakle, za svaki x vrijedi jednakost f (-x) = f (x), tj. funkcija je parna.

Slično se može dokazati da su funkcije y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 parne.

Dokažite da je y = x 3 ~ neparna funkcija.

Odluka. Imamo: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3 . Dakle, za bilo koji x vrijedi jednakost f (-x) \u003d -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično se može dokazati da su funkcije y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 neparne.

Vi i ja smo se više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” porijeklo, tj. mogu se na neki način objasniti. Ovo je slučaj i za parne i za neparne funkcije. Pogledajte: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y \u003d x "(u nastavku ćemo posebno proučiti ove funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako n nije Parni broj, tada je funkcija y \u003d x "neparna; ako je n paran broj, tada je funkcija y \u003d xn parna.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y \u003d 2x + 3. Doista, f (1) \u003d 5 i f (-1) \u003d 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, niti identitet f (-x ) \u003d f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavajući pitanje da li dana funkcija parni ili neparni, obično se naziva proučavanje funkcije za paritet.

Definicije 1 i 2 bave se vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana iu točki x iu točki -x. To znači da točka -x pripada domeni funkcije u isto vrijeme kao i točka x. Ako set brojeva X zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo da su (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrični skupovi, dok \).

Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednadžbe (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Dakle, jednakost (*) može vrijediti samo kada su obje strane jednadžbe jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A ovo znači to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odgovor:

\(a\u \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2. zadatak #3923

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od njih graf funkcije \

simetričan u odnosu na podrijetlo.

Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, tada je takva funkcija neparna, to jest \(f(-x)=-f(x)\) je zadovoljeno za bilo koji \(x\) iz domena funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\lijevo(3\mathrm(tg)\,\lijevo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \desna strelica \quad2\sin \dfrac12\lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \lijevo(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \kraj(poravnano)\]

Posljednja jednadžba mora vrijediti za sve \(x\) iz domene \(f(x)\), stoga \(\sin(2\pi a)=0 \desna strelica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadatak 3 #3069

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednadžba \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijelom realnom pravcu , i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadatak od pretplatnika)

Kako je \(f(x)\) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na y-os, stoga, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Dakle, na \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a ovo je segment duljine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .

1) Neka \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako:


Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi točkom \(A\) :


Posljedično, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( okupljeno)\desno.\] Budući da \(a>0\) , tada je \(a=\dfrac(18)(23)\) u redu.

2) Neka \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Trebamo graf \(g(x)\) da prođe kroz točku \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\desno.\] Budući da \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Slučaj gdje \(a=0\) nije prikladan, jer tada \(f(x)=0\) za sve \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i jednadžba će imati samo 1 korijen.

Odgovor:

\(a\u \lijevo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)

Zadatak 4 #3072

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \

ima barem jedan korijen.

(Zadatak od pretplatnika)

Jednadžbu prepisujemo u obliku \ i razmotrimo dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je parna, ima točku minimuma \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Doista, za \(x>0\) drugi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\) ), dakle, bez obzira na to kako se prvi modul širi, \(f(x)\) će biti jednako \ ( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je jednako \(-9\) ili \(-3\) . Za \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Pronađite vrijednost \(f\) u najvećoj točki: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu sjecišnu točku. Stoga vam je potrebno: \ \\]

Odgovor:

\(a\u \(-7\)\šalica\)

Zadatak 5 #3912

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \

ima šest različitih rješenja.

Napravimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednadžba poprimiti oblik \ Postupno ćemo ispisati uvjete pod kojima će izvorna jednadžba imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednadžba \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Svaka kubna jednadžba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne može imati više od tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, budući da \(t\) mora biti veće od nule) \(t_1\) i \(t_2\) , tada, nakon što smo napravili obrnuto zamjenom, dobivamo: \[\lijevo[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno.\] Budući da se bilo koji pozitivni broj može predstaviti kao \(\sqrt2\) do nekog stupnja, na primjer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednadžba skupa biti prepisana u obliku \ Kao što smo već rekli, svaka kubna jednadžba nema više od tri rješenja, stoga svaka jednadžba iz skupa neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli skup neće imati više od šest rješenja.
To znači da kako bi izvorna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednadžba \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubna jednadžba (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (a ne jedno rješenje jedne jednadžbe treba se podudarati s kojom - ili odlukom druge!)
Očito, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja za izvornu jednadžbu.

Dakle, plan rješenja postaje jasan. Napišimo uvjete koji moraju biti ispunjeni točku po točku.

1) Da bi jednadžba \((*)\) imala dva različita rješenja, njezina diskriminanta mora biti pozitivna: \

2) Također trebamo da oba korijena budu pozitivna (jer \(t>0\) ). Ako je umnožak dva korijena pozitivan i njihov zbroj pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Dakle, već smo sebi osigurali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Pogledajmo ovu jednadžbu \ Za koliko će \(t\) imati tri različita rješenja?
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se množiti: \ Stoga su njegove nule: \(x=-1;2\) .
Ako nađemo derivaciju \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije ekstremne točke \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dakle, grafikon izgleda ovako:


Vidimo da svaka horizontalna linija \(y=k\) , gdje \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ima tri različita rješenja, potrebno je da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Dakle, trebate: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Napomenimo također odmah da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, tada će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različiti, pa jednadžbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) i \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imat će različite korijene.
Sustav \((**)\) može se prepisati ovako: \[\početak(slučajevi) 1

Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednadžbe \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovaj uvjet?
Nećemo eksplicitno ispisivati ​​korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola s granama prema gore, koja ima dvije sjecišne točke s osi apscise (napisali smo ovaj uvjet u paragrafu 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf da sjecišne točke s osi apscisa budu u intervalu \((1;4)\) ? Tako:


Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u točkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabola \(t_0\ ) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Stoga se sustav može napisati: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) uvijek ima barem jedan korijen \(x=0\) . Dakle, da bi se ispunio uvjet zadatka, potrebno je da jednadžba \

ima četiri različita korijena različita od nule, što zajedno s \(x=0\) predstavlja aritmetičku progresiju.

Imajte na umu da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) paran, pa ako je \(x_0\) korijen jednadžbe \((* )\ ) , tada će \(-x_0\) također biti njegov korijen. Tada je potrebno da korijeni ove jednadžbe budu brojevi poredani rastućim redoslijedom: \(-2d, -d, d, 2d\) (tada \(d>0\) ). Tada će tih pet brojeva činiti aritmetičku progresiju (s razlikom \(d\) ).

Da bi ti korijeni bili brojevi \(-2d, -d, d, 2d\) , potrebno je da brojevi \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) budu korijeni jednadžba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Zatim prema Vietinom teoremu:

Jednadžbu prepisujemo u obliku \ i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcija \(g(x)\) ima točku maksimuma \(x=0\) (i \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulta derivacija: \(x=0\) . Za \(x<0\) имеем: \(g">0\) , za \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) raste, a za \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Doista, za \(x>0\) prvi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\)), prema tome, bez obzira na to kako se širi drugi modul, \(f(x)\) će biti jednako \ ( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je ili \(13-10=3\) ili \(13+10=23\) . Za \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Nađimo vrijednost \(f\) u točki minimuma: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu sjecišnu točku. Stoga vam je potrebno: \ Rješavanjem ovog skupa sustava dobivamo odgovor: \\]

Odgovor:

\(a\u \(-2\)\šalica\)

Da biste to učinili, koristite milimetarski papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji broj numeričkih vrijednosti za nezavisnu varijablu x (\displaystyle x) i uključite ih u funkciju za izračunavanje vrijednosti zavisne varijable y (\displaystyle y). Stavite pronađene koordinate točaka na koordinatnu ravninu, a zatim povežite te točke da biste izgradili graf funkcije.

• Zamijenite pozitivne numeričke vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x) i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti. Na primjer, dana funkcija. Zamijenite sljedeće vrijednosti u njega x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Imam točku s koordinatama (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Imam točku s koordinatama (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Imam točku s koordinatama (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).