Susjedni i okomiti kutovi. Okomite linije. Koji se kutovi nazivaju susjednim? Koliki je zbroj dvaju susjednih kutova?

Pitanje 1. Koji se kutovi nazivaju susjednim?
Odgovor. Dva se kuta nazivaju susjednima ako imaju jednu zajedničku stranicu, a ostale stranice tih kutova su komplementarni polupravci.
Na slici 31 kutovi (a 1 b) i (a 2 b) su susjedni. Zajednička im je stranica b, a stranice a 1 i a 2 su dodatni polupravci.

pitanje 2. Dokažite da je zbroj susjednih kutova 180°.
Odgovor. Teorem 2.1. Zbroj susjednih kutova je 180°.
Dokaz. Neka su kut (a 1 b) i kut (a 2 b) podaci susjedni kutovi(vidi sliku 31). Zraka b prolazi između stranica a 1 i a 2 ravnog kuta. Dakle, zbroj kutova (a 1 b) i (a 2 b) jednak je rasklopljenom kutu, tj. 180°. Q.E.D.

pitanje 3. Dokažite da ako su dva kuta jednaka, tada su im jednaki i susjedni kutovi.
Odgovor.

Iz teorema 2.1 Slijedi da ako su dva kuta jednaka, jednaki su im i susjedni kutovi.
Recimo da su kutovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki. Trebamo dokazati da su i kutovi (a 2 b) i (c 2 d) jednaki.
Zbroj susjednih kutova je 180°. Iz toga slijedi da je a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + c 2 d = 180°. Dakle, a 2 b = 180° - a 1 b i c 2 d = 180° - c 1 d. Kako su kutovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki, dobivamo da je a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Po svojstvu tranzitivnosti znaka jednakosti slijedi da je a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

pitanje 4. Koji se kut naziva pravim (oštrim, tupim)?
Odgovor. Kut jednak 90° naziva se pravim kutom.
Kut manji od 90° naziva se šiljasti kut.
Kut veći od 90° i manji od 180° nazivamo tupim.

pitanje 5. Dokažite da je kut susjedan pravom kutu pravi kut.
Odgovor. Iz teorema o zbroju susjednih kutova proizlazi da je kut susjedan pravom kutu pravi kut: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pitanje 6. Koji se kutovi nazivaju okomitima?
Odgovor. Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednoga kuta komplementarne polupravci stranicama drugoga.

Pitanje 7. Dokaži to okomiti kutovi su jednaki.
Odgovor. Teorem 2.2. Vertikalni kutovi su jednaki.
Dokaz. Neka su (a 1 b 1) i (a 2 b 2) zadani vertikalni kutovi (sl. 34). Kut (a 1 b 2) je susjedan kutu (a 1 b 1) i kutu (a 2 b 2). Odavde, koristeći teorem o zbroju susjednih kutova, zaključujemo da svaki od kutova (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dopunjuje kut (a 1 b 2) na 180°, tj. kutovi (a 1 b 1) i (a 2 b 2) su jednaki. Q.E.D.

Pitanje 8. Dokažite da ako je, kad se dva pravca sijeku, jedan od kutova pravi, tada su i ostala tri kuta prava.
Odgovor. Pretpostavimo da se pravci AB i CD sijeku u točki O. Pretpostavimo da je kut AOD 90°. Kako je zbroj susjednih kutova 180°, dobivamo da je AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kut COB je okomit na kut AOD, pa su jednaki. Odnosno, kut COB = 90°. Kut COA okomit je na kut BOD, pa su jednaki. Odnosno, kut BOD = 90°. Dakle, svi su kutovi jednaki 90°, odnosno svi su pravi kutovi. Q.E.D.

pitanje 9. Koji se pravci nazivaju okomitima? Kojim se znakom označava okomitost pravaca?
Odgovor. Dva se pravca nazivaju okomitima ako se sijeku pod pravim kutom.
Okomitost linija označena je znakom \(\perp\). Zapis \(a\perp b\) glasi: "Pravac a je okomit na pravac b."

pitanje 10. Dokažite da kroz bilo koju točku na pravcu možete povući pravac okomit na nju, i to samo jedan.
Odgovor. Teorem 2.3. Kroz svaku liniju možete povući liniju okomitu na nju, i to samo jednu.
Dokaz. Neka je a zadana linija i A zadana točka na njoj. Označimo s 1 jedan od polupravaca pravca a s početnom točkom A (slika 38). Oduzmimo od polupravca a 1 kut (a 1 b 1) jednak 90°. Tada će pravac koji sadrži zraku b 1 biti okomit na pravac a.

Pretpostavimo da postoji još jedan pravac, koji također prolazi točkom A i okomit je na pravac a. Označimo s c 1 polupravac tog pravca koji leži u istoj poluravnini s zrakom b 1 .
U jednoj poluravnini od polupravca a 1 položeni su kutovi (a 1 b 1) i (a 1 c 1), svaki jednak 90°. Ali iz polupravca a 1 samo jedan kut jednak 90° može se postaviti u datu poluravninu. Dakle, ne može postojati drugi pravac koji prolazi točkom A i okomit je na pravac a. Teorem je dokazan.

Pitanje 11.Što je okomito na pravac?
Odgovor. Okomica na dani pravac je isječak pravca okomit na dani pravac, čiji je jedan kraj u sjecištu. Ovaj kraj segmenta se zove osnova okomito.

Pitanje 12. Objasnite u čemu se sastoji dokaz kontradikcijom.
Odgovor. Metoda dokazivanja koju smo koristili u teoremu 2.3 zove se dokaz kontradikcijom. Ova metoda dokazivanja sastoji se od toga da se prvo postavi pretpostavka suprotna onome što navodi teorem. Zatim, razmišljanjem, oslanjajući se na aksiome i dokazane teoreme, dolazimo do zaključka koji proturječi ili uvjetima teorema, ili nekom od aksioma, ili prethodno dokazanom teoremu. Na temelju toga zaključujemo da je naša pretpostavka bila netočna, pa je stoga tvrdnja teorema točna.

Pitanje 13.Što je simetrala kuta?
Odgovor. Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz vrha kuta, prolazi između njegovih stranica i dijeli kut na pola.

U procesu proučavanja tečaja geometrije često se pojavljuju pojmovi "kut", "okomiti kutovi", "susjedni kutovi". Razumijevanje svakog od pojmova pomoći će vam da shvatite problem i da ga ispravno riješite. Što su susjedni kutovi i kako ih odrediti?

Susjedni kutovi - definicija pojma

Izraz "susjedni kutovi" karakterizira dva kuta koja tvore zajednička zraka i dvije dodatne poluprave koje leže na istoj ravnoj liniji. Sve tri zrake izlaze iz iste točke. Zajednički polupravac je istovremeno stranica i jednog i drugog kuta.

Susjedni kutovi – osnovna svojstva

1. Na temelju formulacije susjednih kutova lako je vidjeti da zbroj takvih kutova uvijek tvori ravni kut, stupanjska mjerašto je jednako 180°:

• Ako su μ i η susjedni kutovi, tada je μ + η = 180°.
• Znajući veličinu jednog od susjednih kutova (na primjer, μ), možete jednostavno izračunati mjeru stupnjeva drugog kuta (η) pomoću izraza η = 180° – μ.

2. Ovo svojstvo kutova omogućuje nam da izvedemo sljedeći zaključak: kut koji je susjedan pravi kut, također će biti izravan.

3. S obzirom na to trigonometrijske funkcije(sin, cos, tg, ctg), na temelju redukcijskih formula za susjedne kutove μ i η vrijedi sljedeće:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Susjedni kutovi - primjeri

Primjer 1

Zadan je trokut s vrhovima M, P, Q – ΔMPQ. Odredite kutove susjedne kutovima ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Produžimo svaku stranicu trokuta ravnom crtom.
• Znajući da se susjedni kutovi međusobno nadopunjuju do obrnutog kuta, saznajemo da:

susjedan kutu ∠QMP je ∠LMP,

uz kut ∠MPQ je ∠SPQ,

susjedan kutu ∠PQM je ∠HQP.

Primjer 2

Vrijednost jednog susjednog kuta je 35°. Kolika je stupnjevna mjera drugog susjednog kuta?

• Zbroj dva susjedna kuta iznosi 180°.
• Ako je ∠μ = 35°, tada je uz njega ∠η = 180° – 35° = 145°.

Primjer 3

Odredite vrijednosti susjednih kutova ako je poznato da je stupanjska mjera jednog od njih tri puta veća od stupnjevne mjere drugog kuta.

• Označimo veličinu jednog (manjeg) kuta s – ∠μ = λ.
• Tada će prema uvjetima zadatka vrijednost drugog kuta biti jednaka ∠η = 3λ.
• Na temelju osnovnog svojstva susjednih kutova, μ + η = 180° slijedi

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

To znači da je prvi kut ∠μ = λ = 45°, a drugi kut ∠η = 3λ = 135°.

Sposobnost korištenja terminologije, kao i poznavanje osnovnih svojstava susjednih kutova, pomoći će vam u rješavanju mnogih geometrijskih problema.

POGLAVLJE I.

OSNOVNI KONCEPTI.

§jedanaest. SUSJEDNI I OKOMITI KUTOVI.

1. Susjedni kutovi.

Produžimo li stranicu bilo kojeg kuta preko njegova vrha, dobit ćemo dva kuta (slika 72): / I sunce i / SVD, u kojem je jedna stranica BC zajednička, a druge dvije A i BD čine ravnu liniju.

Dva kuta kojima je jedna stranica zajednička, a druge dvije tvore ravnu crtu nazivaju se susjednim kutovima.

Susjedni kutovi se mogu dobiti i na ovaj način: povučemo li zraku iz neke točke na pravcu (koja ne leži na danom pravcu), dobit ćemo susjedne kutove.
Na primjer, / ADF i / FDV - susjedni kutovi (slika 73).

Susjedni kutovi mogu imati najrazličitije položaje (slika 74).

Susjedni kutovi zbrajaju ravni kut, pa umma dva susjedna ugla je jednaka 2d.

Stoga se pravi kut može definirati kao kut jednak svom susjednom kutu.

Znajući veličinu jednog od susjednih kutova, možemo pronaći veličinu drugog kuta koji je uz njega.

Na primjer, ako je jedan od susjednih kutova 3/5 d, tada će drugi kut biti jednak:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikalni kutovi.

Produžimo li stranice kuta izvan njegova vrha, dobit ćemo okomite kutove. Na crtežu 75 kutovi EOF i AOC su okomiti; kutovi AOE i COF su također okomiti.

Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednog kuta nastavci stranica drugog kuta.

Neka / 1 = 7 / 8 d(Slika 76). Uz njega / 2 će biti jednako 2 d- 7 / 8 d, tj. 1 1/8 d.

Na isti način možete izračunati čemu su jednaki / 3 i / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Slika 77).

Vidimo to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.

Možete riješiti još nekoliko istih zadataka i svaki put ćete dobiti isti rezultat: okomiti kutovi su međusobno jednaki.

Međutim, kako bi bili sigurni da su vertikalni kutovi uvijek jednaki jedan drugome, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne brojčani primjeri, jer zaključci izvedeni na temelju pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstava okomitih kutova potrebno je provjeriti zaključivanjem, dokazom.

Dokaz se može provesti na sljedeći način (slika 78):

/ a+/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(jer je zbroj susjednih kutova 2 d).

/ a+/ c = / b+/ c

(pošto je lijeva strana ove jednakosti također jednaka 2 d, a njegova desna strana također je jednaka 2 d).

Ova jednakost uključuje isti kut S.

Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, ostat će jednaki iznosi. Rezultat će biti: / a = / b, tj. vertikalni kutovi su međusobno jednaki.

Razmatrajući problematiku okomitih kutova, prvo smo objasnili koji se kutovi nazivaju okomitim, tj. definicija okomiti kutovi.

Zatim smo iznijeli sud (tvrdnju) o jednakosti okomitih kutova i dokazom se uvjerili u valjanost tog suda. Takve presude, čija se valjanost mora dokazati, nazivaju se teoremi. Stoga smo u ovom odjeljku dali definiciju okomitih kutova, a također smo naveli i dokazali teorem o njihovim svojstvima.

U budućnosti, proučavajući geometriju, stalno ćemo se morati susretati s definicijama i dokazima teorema.

3. Zbroj kutova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79 / 1, / 2, / 3 i / 4 nalaze se s jedne strane pravca i imaju zajednički vrh na tom pravcu. U zbroju, ovi kutovi čine ravni kut, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na crtežu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 imaju zajednički vrh. Zbrojeno, ovi kutovi čine puni kut, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Vježbe.

1. Jedan od susjednih kutova je 0,72 d. Izračunajte kut koji čine simetrale ovih susjednih kutova.

2. Dokažite da simetrale dvaju susjednih kutova čine pravi kut.

3. Dokažite da ako su dva kuta jednaka, onda su im jednaki i susjedni kutovi.

4. Koliko je pari susjednih kutova na crtežu 81?

5. Može li se par susjednih kutova sastojati od dva šiljasta kuta? iz dva tupa kuta? iz pravog i tupog kuta? iz pravog i oštrog kuta?

6. Ako je jedan od susjednih kutova pravi, što se onda može reći o veličini njemu susjednog kuta?

7. Ako je u sjecištu dviju ravnih crta jedan kut pravi, što se onda može reći o veličini ostala tri kuta?

Kako pronaći susjedni kut?

Matematika je najstarija egzaktna znanost, koja se obvezno izučava u školama, fakultetima, institutima i sveučilištima. Međutim, osnovno znanje se uvijek stječe u školi. Ponekad se dijete dovoljno pita teške zadatke, a roditelji ne mogu pomoći, jer su jednostavno zaboravili neke stvari iz matematike. Na primjer, kako pronaći susjedni kut na temelju veličine glavnog kuta itd. Zadatak je jednostavan, ali može uzrokovati poteškoće u rješavanju zbog neznanja koji se kutovi nazivaju susjednim i kako ih pronaći.

Pogledajmo pobliže definiciju i svojstva susjednih kutova, kao i kako ih izračunati iz podataka u zadatku.

Definicija i svojstva susjednih kutova

Dvije zrake koje izlaze iz jedne točke tvore lik koji se naziva "ravni kut". U ovom slučaju, ova točka se naziva vrhom kuta, a zrake su njegove strane. Ako nastavite jednu od zraka izvan početne točke u ravnoj liniji, tada se formira drugi kut, koji se naziva susjednim. Svaki kut u ovom slučaju ima dva susjedna kuta, jer su stranice kuta ekvivalentne. To jest, uvijek postoji susjedni kut od 180 stupnjeva.

Glavna svojstva susjednih kutova uključuju

• Susjedni kutovi imaju zajednički vrh i jednu stranicu;
• Zbroj susjednih kutova uvijek je jednak 180 stupnjeva ili broju Pi ako se izračun provodi u radijanima;
• Sinusi susjednih kutova uvijek su jednaki;
• Kosinusi i tangenti susjednih kutova jednaki su, ali imaju suprotne predznake.

Kako pronaći susjedne kutove

Obično se daju tri varijante problema za pronalaženje veličine susjednih kutova

• Dana je vrijednost glavnog kuta;
• Zadan je omjer glavnog i susjednog kuta;
• Zadana je vrijednost okomitog kuta.

Svaka verzija problema ima svoje rješenje. Pogledajmo ih.

Zadana je vrijednost glavnog kuta

Ako problem specificira vrijednost glavnog kuta, tada je pronalaženje susjednog kuta vrlo jednostavno. Da biste to učinili, samo oduzmite vrijednost glavnog kuta od 180 stupnjeva i dobit ćete vrijednost susjednog kuta. Ovo se rješenje temelji na svojstvu susjednog kuta - zbroj susjednih kutova uvijek je jednak 180 stupnjeva.

Ako je vrijednost glavnog kuta dana u radijanima, a zadatak zahtijeva pronalaženje susjednog kuta u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost glavnog kuta, budući da je vrijednost punog rasklopljenog kuta od 180 stupnjeva. jednak je broju Pi.

Zadan je omjer glavnog i susjednog kuta

Problem može dati omjer glavnog i susjednih kutova umjesto stupnjeva i radijana glavnog kuta. U ovom slučaju, rješenje će izgledati kao jednadžba proporcija:

1. Proporciju glavnog kuta označavamo kao varijablu "Y".
2. Razlomak koji se odnosi na susjedni kut označen je kao varijabla "X".
3. Broj stupnjeva koji pada na svaki omjer bit će označen, na primjer, s "a".
4. Opća formula izgledat će ovako - a*X+a*Y=180 ili a*(X+Y)=180.
5. Zajednički faktor jednadžbe “a” nalazimo pomoću formule a=180/(X+Y).
6. Zatim pomnožimo dobivenu vrijednost zajedničkog faktora "a" s udjelom kuta koji treba odrediti.

Na taj način možemo pronaći vrijednost susjednog kuta u stupnjevima. Međutim, ako trebate pronaći vrijednost u radijanima, tada jednostavno trebate pretvoriti stupnjeve u radijane. Da biste to učinili, pomnožite kut u stupnjevima s Pi i sve podijelite sa 180 stupnjeva. Dobivena vrijednost bit će u radijanima.

Zadana je vrijednost okomitog kuta

Ako zadatak ne daje vrijednost glavnog kuta, ali je dana vrijednost okomitog kuta, tada se susjedni kut može izračunati pomoću iste formule kao u prvom odlomku, gdje je dana vrijednost glavnog kuta.

Okomiti kut je kut koji polazi iz iste točke kao i glavni, ali je usmjeren u točno suprotnom smjeru. To rezultira zrcalnom slikom. To znači da je okomiti kut jednak veličini glavnom. S druge strane, susjedni kut okomitog kuta jednak je susjednom kutu glavnog kuta. Zahvaljujući tome, može se izračunati susjedni kut glavnog kuta. Da biste to učinili, jednostavno oduzmite okomitu vrijednost od 180 stupnjeva i dobijete vrijednost susjednog kuta glavnog kuta u stupnjevima.

Ako je vrijednost dana u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost okomitog kuta, budući da je vrijednost punog rasklopljenog kuta od 180 stupnjeva jednaka broju Pi.

Također možete pročitati naše korisne članke i.

kutak prema rasklopljenom, odnosno jednak 180°, pa da ih nađete oduzmite od toga poznatu vrijednost glavnog kuta α₁ = α₂ = 180°-α.

Od ovoga postoje . Ako su dva kuta susjedna i jednaka, tada su pravi kutovi. Ako je jedan od susjednih kutova prav, tj. 90 stupnjeva, tada je i drugi kut prav. Ako je jedan od susjednih kutova oštar, onda će drugi biti tup. Slično tome, ako je jedan od kutova tup, onda će drugi, prema tome, biti oštar.

Oštar kut- ovo je onaj čija je mjera stupnja manja od 90 stupnjeva, ali veća od 0. Tupi kut ima mjeru stupnja veću od 90 stupnjeva, ali manju od 180.

Još jedno svojstvo susjednih kutova formulirano je na sljedeći način: ako su dva kuta jednaka, tada su i kutovi koji su im susjedni također jednaki. To znači da ako postoje dva kuta za koje je mjera stupnja ista (na primjer, to je 50 stupnjeva), a istovremeno jedan od njih ima susjedni kut, tada se vrijednosti tih susjednih kutova također podudaraju ( u primjeru će njihova mjera stupnja biti jednaka 130 stupnjeva).

Izvori:

• Velik Enciklopedijski rječnik- Susjedni uglovi
• kut 180 stupnjeva

Riječ "" ima različita tumačenja. U geometriji, kut je dio ravnine omeđen dvjema zrakama koje izlaze iz jedne točke – vrha. Kada govorimo o ravnim, šiljastim i rasklopljenim kutovima, mislimo na geometrijske kutove.

Kao i sve figure u geometriji, kutovi se mogu uspoređivati. Jednakost kutova određuje se kretanjem. Kut je lako podijeliti na dva jednaka dijela. Dijeljenje na tri dijela je malo teže, ali se ipak može pomoću ravnala i šestara. Usput, ovaj zadatak se činio prilično teškim. Opisivanje da je jedan kut veći ili manji od drugog je geometrijski jednostavno.

Mjerna jedinica za kutove je 1/180