Definición. Dejemos que la función \(y = f(x) \) se defina en un cierto intervalo que contiene el punto \(x_0\) dentro de sí mismo. Démosle al argumento un incremento \(\Delta x \) tal que no salga de este intervalo. Encontremos el incremento correspondiente de la función \(\Delta y \) (al movernos del punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) y componamos la relación \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Si hay un límite para esta relación en \(\Delta x \rightarrow 0\), entonces el límite especificado se llama derivada de una función\(y=f(x) \) en el punto \(x_0 \) y denota \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

El símbolo y se usa a menudo para denotar la derivada. Tenga en cuenta que y" = f(x) es una función nueva, pero naturalmente relacionada con la función y = f(x), definida en todos los puntos x en los que existe el límite anterior. Esta función se llama así: derivada de la función y = f(x).

Significado geométrico de derivada es como sigue. Si es posible trazar una tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto con abscisa x=a, que no es paralelo al eje y, entonces f(a) expresa la pendiente de la tangente :
\(k = f"(a)\)

Dado que \(k = tg(a) \), entonces la igualdad \(f"(a) = tan(a) \) es verdadera.

Ahora interpretemos la definición de derivada desde el punto de vista de igualdades aproximadas. Sea la función \(y = f(x)\) tener una derivada en un punto específico \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Esto significa que cerca del punto x la igualdad aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), es decir, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax\). El significado significativo de la igualdad aproximada resultante es el siguiente: el incremento de la función es "casi proporcional" al incremento del argumento, y el coeficiente de proporcionalidad es el valor de la derivada en un punto dado x. Por ejemplo, para la función \(y = x^2\) la igualdad aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) es válida. Si analizamos detenidamente la definición de derivada, encontraremos que contiene un algoritmo para encontrarla.

Formulémoslo.

¿Cómo encontrar la derivada de la función y = f(x)?

1. Fije el valor de \(x\), encuentre \(f(x)\)
2. Dale al argumento \(x\) un incremento \(\Delta x\), ve a un nuevo punto \(x+ \Delta x \), encuentra \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encuentra el incremento de la función: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Crea la relación \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcula $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este límite es la derivada de la función en el punto x.

Si una función y = f(x) tiene una derivada en un punto x, entonces se llama diferenciable en un punto x. El procedimiento para encontrar la derivada de la función y = f(x) se llama diferenciación funciones y = f(x).

Analicemos la siguiente pregunta: ¿cómo se relacionan entre sí la continuidad y la diferenciabilidad de una función en un punto?

Sea la función y = f(x) diferenciable en el punto x. Entonces se puede trazar una tangente a la gráfica de la función en el punto M(x; f(x)) y, recordemos, el coeficiente angular de la tangente es igual a f "(x). Tal gráfica no puede “romperse” en el punto M, es decir, la función debe ser continua en el punto x.

Estos fueron argumentos “prácticos”. Demos un razonamiento más riguroso. Si la función y = f(x) es derivable en el punto x, entonces se cumple la igualdad aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Si en esta igualdad \(\Delta x \) tiende a cero, entonces \(\Delta y\) tenderá a cero, y esta es la condición para la continuidad de la función en un punto.

Entonces, Si una función es derivable en un punto x, entonces es continua en ese punto..

La afirmación inversa no es cierta. Por ejemplo: función y = |x| es continua en todas partes, en particular en el punto x = 0, pero la tangente a la gráfica de la función en el “punto de unión” (0; 0) no existe. Si en algún punto no se puede trazar una tangente a la gráfica de una función, entonces la derivada no existe en ese punto.

Un ejemplo más. La función \(y=\sqrt(x)\) es continua en toda la recta numérica, incluso en el punto x = 0. Y la tangente a la gráfica de la función existe en cualquier punto, incluso en el punto x = 0 Pero en este punto la tangente coincide con el eje y, es decir, es perpendicular al eje de abscisas, su ecuación tiene la forma x = 0. Coeficiente de pendiente dicha línea no tiene, lo que significa que \(f"(0) \) tampoco existe

Entonces, nos familiarizamos con una nueva propiedad de una función: la diferenciabilidad. ¿Cómo se puede concluir de la gráfica de una función que es derivable?

En realidad, la respuesta se da arriba. Si en algún punto es posible trazar una tangente a la gráfica de una función que no sea perpendicular al eje de abscisas, entonces en ese punto la función es derivable. Si en algún punto la tangente a la gráfica de una función no existe o es perpendicular al eje de abscisas, entonces en ese punto la función no es derivable.

Reglas de diferenciación

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación. Al realizar esta operación, a menudo es necesario trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como "funciones de funciones", es decir, funciones complejas. A partir de la definición de derivada, podemos derivar reglas de diferenciación que facilitan este trabajo. Si C - numero constante y f=f(x), g=g(x) son algunas funciones diferenciables, entonces lo siguiente es cierto reglas de diferenciación:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivada función compleja:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabla de derivadas de algunas funciones.

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

El contenido del artículo.

DERIVADO– derivada de la función y = F(X), dado en un intervalo determinado ( a, b) en el punto X de este intervalo se llama el límite al que tiende la relación del incremento de la función F en este punto al incremento correspondiente del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero.

La derivada suele denotarse de la siguiente manera:

También se utilizan ampliamente otras designaciones:

Velocidad instantánea.

deja el punto METRO se mueve en línea recta. Distancia s punto en movimiento, contado desde alguna posición inicial METRO 0 , depende del tiempo t, es decir. s hay una función del tiempo t: s= F(t). Deja que en algún momento t punto en movimiento METRO estaba a una distancia s desde la posición inicial METRO 0, y en algunos siguiente momento t+D t se encontró en una posición METRO 1 - a distancia s+D s desde la posición inicial ( ver foto.).

Así, durante un período de tiempo D t distancia s cambiado por la cantidad D s. En este caso dicen que durante el intervalo de tiempo D t magnitud s incremento recibido D s.

La velocidad media no puede en todos los casos caracterizar con precisión la velocidad de movimiento de un punto. METRO en un momento dado t. Si, por ejemplo, el cuerpo al comienzo del intervalo D t se movió muy rápido y, al final, muy lentamente, entonces la velocidad promedio no podrá reflejar las características indicadas del movimiento del punto y dar una idea de la verdadera velocidad de su movimiento en este momento. t. Para expresar con mayor precisión la velocidad real utilizando la velocidad promedio, es necesario tomar un período de tiempo más corto D t. Caracteriza más completamente la velocidad de movimiento de un punto en este momento. t el límite al que tiende la velocidad media en D t® 0. Este límite se llama velocidad actual:

Por tanto, la velocidad de movimiento en un momento dado se denomina límite de la relación de incremento de trayectoria D s al incremento de tiempo D t, cuando el incremento de tiempo tiende a cero. Porque

Significado geométrico de la derivada. Tangente a la gráfica de una función.

La construcción de rectas tangentes es uno de esos problemas que propiciaron el nacimiento del cálculo diferencial. El primer trabajo publicado relacionado con el cálculo diferencial, escrito por Leibniz, se tituló Nuevo método máximos y mínimos, así como tangentes, para los cuales ni las cantidades fraccionarias ni las irracionales, y un tipo especial de cálculo para ello, sirven como obstáculo.

Sea la curva la gráfica de la función. y =F(X) en un sistema de coordenadas rectangular ( cm. arroz.).

a algun valor X la función importa y =F(X). Estos valores X Y y el punto de la curva corresponde METRO 0(X, y). Si el argumento X dar incremento D X, entonces el nuevo valor del argumento X+D X corresponde al nuevo valor de la función y+ D y = F(X + D X). El punto correspondiente de la curva será el punto METRO 1(X+D X,y+D y). Si dibujas una secante METRO 0METRO 1 y denotado por j el ángulo formado por una transversal con la dirección positiva del eje Buey, de la figura se desprende inmediatamente que .

Si ahora D X tiende a cero, entonces el punto METRO 1 se mueve a lo largo de la curva, acercándose al punto METRO 0 y ángulo j cambia con D X. En dx® 0 el ángulo j tiende a un cierto límite a y la recta que pasa por el punto METRO 0 y la componente con la dirección positiva del eje x, ángulo a, será la tangente deseada. Su pendiente es:

Por eso, F´( X) = tga

aquellos. valor derivado F´( X) para un valor de argumento dado X es igual a la tangente del ángulo formado por la tangente a la gráfica de la función F(X) en el punto correspondiente METRO 0(X,y) con dirección de eje positiva Buey.

Diferenciabilidad de funciones.

Definición. Si la función y = F(X) tiene una derivada en el punto X = X 0, entonces la función es derivable en este punto.

Continuidad de una función que tiene una derivada. Teorema.

Si la función y = F(X) es diferenciable en algún momento X = X 0, entonces es continuo en este punto.

Por tanto, la función no puede tener derivada en los puntos de discontinuidad. La conclusión opuesta es incorrecta, es decir del hecho de que en algún momento X = X 0 función y = F(X) es continua no significa que sea diferenciable en este punto. Por ejemplo, la función y = |X| continuo para todos X(–Ґ x x = 0 no tiene derivada. En este punto no hay tangente a la gráfica. Hay una tangente derecha y otra izquierda, pero no coinciden.

Algunos teoremas sobre funciones diferenciables. Teorema de las raíces de la derivada (teorema de Rolle). Si la función F(X) es continua en el segmento [a,b], es diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento y en los extremos X = a Y X = b va a cero ( F(a) = F(b) = 0), luego dentro del segmento [ a,b] hay al menos un punto X= Con, a c b, en el que la derivada Fў( X) va a cero, es decir Fў( C) = 0.

Teorema del incremento finito (teorema de Lagrange). Si la función F(X) es continua en el intervalo [ a, b] y es diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento, luego dentro del segmento [ a, b] hay al menos un punto Con, a c b eso

F(b) – F(a) = Fў( C)(b– a).

Teorema sobre la relación de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy). Si F(X) Y gramo(X) – dos funciones continuas en el segmento [a, b] y diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento, y gramoў( X) no desaparece en ningún lugar dentro de este segmento, luego dentro del segmento [ a, b] existe tal punto X = Con, a c b eso

Derivados de diversos órdenes.

Deja que la función y =F(X) es diferenciable en algún intervalo [ a, b]. Valores derivados F ў( X), en términos generales, dependen de X, es decir. derivado F ў( X) también es función de X. Al derivar esta función, obtenemos la llamada segunda derivada de la función. F(X), que se denota F ўў ( X).

Derivado norte-ésimo orden de función F(X) se llama derivada (de primer orden) de la derivada norte- 1- th y se denota con el símbolo y(norte) = (y(norte– 1))ў.

Diferenciales de varios órdenes.

Función diferencial y = F(X), Dónde X– variable independiente, sí dy = F ў( X)dx, alguna función de X, Pero de donde X sólo el primer factor puede depender F ў( X), el segundo factor ( dx) es el incremento de la variable independiente X y no depende del valor de esta variable. Porque dy hay una función de X, entonces podemos determinar el diferencial de esta función. El diferencial del diferencial de una función se llama segundo diferencial o diferencial de segundo orden de esta función y se denota d 2y:

d(dx) = d 2y = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferencial norte- de primer orden se llama primer diferencial del diferencial norte- 1- orden:

dn y = d(re n–1y) = F(norte)(X)dx(norte).

Derivada parcial.

Si una función no depende de uno, sino de varios argumentos xyo(i varía de 1 a norte,i= 1, 2,… norte),F(X 1,X 2,… xn), luego en cálculo diferencial se introduce el concepto de derivada parcial, que caracteriza la tasa de cambio de una función de varias variables cuando solo cambia un argumento, por ejemplo, xyo. Derivada parcial de primer orden con respecto a xyo se define como una derivada ordinaria y se supone que todos los argumentos excepto xyo, mantenga valores constantes. Para derivadas parciales, se introduce la notación.

Las derivadas parciales de primer orden así definidas (como funciones de los mismos argumentos) pueden, a su vez, también tener derivadas parciales, son derivadas parciales de segundo orden, etc. Estas derivadas extraídas de diferentes argumentos se denominan mixtas. Las derivadas mixtas continuas del mismo orden no dependen del orden de diferenciación y son iguales entre sí.

Anna Chugainova

Fecha: 20/11/2014

¿Qué es un derivado?

Tabla de derivadas.

La derivada es uno de los conceptos principales. Matemáticas avanzadas. En esta lección introduciremos este concepto. Conozcámonos, sin formulaciones ni pruebas matemáticas estrictas.

Este conocido te permitirá:

Comprender la esencia de tareas simples con derivadas;

Resolver con éxito estos mismos problemas tareas difíciles;

Prepárese para lecciones más serias sobre derivados.

Primero, una agradable sorpresa).

La definición estricta de derivada se basa en la teoría de los límites y la cosa es bastante complicada. Esto es perturbador. ¡Pero la aplicación práctica de derivados, por regla general, no requiere un conocimiento tan extenso y profundo!

Para completar con éxito la mayoría de las tareas en la escuela y la universidad, basta con saber sólo unos pocos términos- comprender la tarea, y solo algunas reglas- para solucionarlo. Eso es todo. Esto me hace feliz.

¿Empecemos a conocernos?)

Términos y designaciones.

Hay muchas operaciones matemáticas diferentes en matemáticas elementales. Suma, resta, multiplicación, exponenciación, logaritmo, etc. Si agrega una operación más a estas operaciones, las matemáticas elementales aumentan. Este nueva operación llamado diferenciación. La definición y el significado de esta operación se discutirán en lecciones separadas.

Es importante entender aquí que la diferenciación es simplemente una operación matemática sobre una función. Tomamos cualquier función y, según determinadas reglas, la transformamos. El resultado será una nueva función. Esta nueva función se llama: derivado.

Diferenciación- acción sobre una función.

Derivado- el resultado de esta acción.

Así como, por ejemplo, suma- el resultado de la suma. O privado- el resultado de la división.

Conociendo los términos, al menos podrá comprender las tareas). Las formulaciones son las siguientes: encontrar la derivada de una función; tomar la derivada; diferenciar la función; calcular derivada etcétera. Esto es todo mismo. Por supuesto, también hay tareas más complejas, en las que encontrar la derivada (diferenciación) será solo uno de los pasos para resolver el problema.

La derivada se indica con un guión en la parte superior derecha de la función. Como esto: y" o f"(x) o Calle) etcétera.

Lectura trazo igrek, trazo ef desde x, trazo es desde te, bueno ya lo entiendes...)

Un primo también puede indicar la derivada de una función particular, por ejemplo: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. A menudo, las derivadas se denotan mediante diferenciales, pero no consideraremos dicha notación en esta lección.

Supongamos que hemos aprendido a comprender las tareas. Todo lo que queda es aprender a resolverlos.) Déjame recordarte una vez más: encontrar la derivada es transformación de una función según ciertas reglas. Sorprendentemente, existen muy pocas de estas reglas.

Para encontrar la derivada de una función, sólo necesitas saber tres cosas. Tres pilares sobre los que se sustenta toda diferenciación. Aquí están estos tres pilares:

1. Tabla de derivadas (fórmulas de diferenciación).

3. Derivada de una función compleja.

Empecemos en orden. En esta lección veremos la tabla de derivadas.

Tabla de derivadas.

Hay una infinidad de funciones en el mundo. Entre esta variedad, hay funciones que son más importantes para aplicación práctica. Estas funciones se encuentran en todas las leyes de la naturaleza. A partir de estas funciones, como a partir de ladrillos, se pueden construir todas las demás. Esta clase de funciones se llama funciones elementales. Son estas funciones las que se estudian en la escuela: lineal, cuadrática, hipérbola, etc.

Diferenciación de funciones "desde cero", es decir. Según la definición de derivada y la teoría de los límites, esto es algo que requiere bastante mano de obra. ¡Y los matemáticos también son personas, sí, sí!) Así que simplificaron su vida (y la nuestra). Calcularon las derivadas de funciones elementales antes que nosotros. El resultado es una tabla de derivadas, donde todo está listo).

Aquí está esta placa para las funciones más populares. A la izquierda está la función elemental, a la derecha está su derivada.

	Función y	Derivada de la función y y"
1	C (valor constante)	"C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - cualquier número)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	pecado x	(sen x)" = cosx
	porque x	(cos x)" = - sen x
	tgx
	ctg x
5	arcosen x
	arcocos x
	arctán x
	arcctgx
4	a X
	mi X
5	registro a X
	En x ( a = mi)

Recomiendo prestar atención al tercer grupo de funciones de esta tabla de derivadas. Derivado función de potencia- ¡una de las fórmulas más comunes, si no la más común! ¿Entiendes la pista?) Sí, es recomendable saberse de memoria la tabla de derivadas. Por cierto, esto no es tan difícil como parece. Intente resolver más ejemplos, ¡la tabla en sí será recordada!)

Encontrar el valor tabular de la derivada, como comprenderá, no es la tarea más difícil. Por lo tanto, muy a menudo en tales tareas hay chips adicionales. Ya sea en la redacción de la tarea, o en la función original, que no parece estar en la tabla...

Veamos algunos ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función y = x 3

No existe tal función en la tabla. Pero hay una derivada de la función de potencia en vista general(tercer grupo). En nuestro caso n=3. Así que sustituimos tres en lugar de n y anotamos cuidadosamente el resultado:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Eso es todo.

Respuesta: y" = 3x 2

2. Encuentra el valor de la derivada de la función y = sinx en el punto x = 0.

Esta tarea significa que primero debes encontrar la derivada del seno y luego sustituir el valor x = 0 en esta misma derivada. ¡Exactamente en ese orden! De lo contrario, sucede que inmediatamente sustituyen cero en la función original... Se nos pide que encontremos no el valor de la función original, sino el valor. su derivada. La derivada, déjame recordarte, es una función nueva.

Utilizando la tablilla encontramos el seno y la derivada correspondiente:

y" = (sen x)" = cosx

Sustituimos cero en la derivada:

y"(0) = porque 0 = 1

Esta será la respuesta.

3. Diferenciar la función:

¿Qué, inspira?) No existe tal función en la tabla de derivadas.

Déjame recordarte que derivar una función es simplemente encontrar la derivada de esta función. Si olvidamos la trigonometría elemental, buscar la derivada de nuestra función es bastante problemático. La mesa no ayuda...

Pero si vemos que nuestra función es coseno de doble ángulo¡Entonces todo mejorará de inmediato!

¡Sí Sí! Recuerda que transformando la función original antes de la diferenciación bastante aceptable! Y resulta que hace la vida mucho más fácil. Usando la fórmula del coseno de doble ángulo:

Aquellos. nuestra complicada función no es más que y = cosx. Y esta es una función de tabla. Inmediatamente obtenemos:

Respuesta: y" = - sen x.

Ejemplo para graduados avanzados y estudiantes:

4. Encuentra la derivada de la función:

Por supuesto, no existe tal función en la tabla de derivadas. Pero si recuerdas las matemáticas elementales, operaciones con potencias... Entonces es muy posible simplificar esta función. Como esto:

¡Y x elevado a una décima ya es una función tabular! Tercer grupo, n=1/10. Escribimos directamente según la fórmula:

Eso es todo. Esta será la respuesta.

Espero que todo quede claro con el primer pilar de diferenciación: la tabla de derivados. Queda por ocuparnos de las dos ballenas restantes. En la próxima lección aprenderemos las reglas de diferenciación.

Si sigues la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la relación del incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero intenta usar esta fórmula para calcular, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, después de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por tanto, existen formas más sencillas y eficaces.

Para empezar, observamos que entre toda la variedad de funciones podemos distinguir las llamadas funciones elementales. Se trata de expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado y tabulado desde hace mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todas las que se enumeran a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es nada difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, derivadas de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (¡sí, cero!)
Potencia con exponente racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = porque X	−pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/sen 2 X
Logaritmo natural	F(X) = iniciar sesión X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = iniciar sesión a X	1/(X en a)
Funcion exponencial	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, entonces la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no particularmente elementales, pero también diferenciables respecto de algunas reglas. Estas reglas se analizan a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Se dan las funciones F(X) Y gramo(X), cuyos derivados conocemos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales analizadas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y diferencia de estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Existe un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (-1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + sen x; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, por tanto:

F ’(X) = (X 2 + pecado X)’ = (X 2)’ + (pecado X)’ = 2X+ porquex;

Razonamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Respuesta:
F ’(X) = 2X+ porquex;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado del producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por eso mucha gente cree que si la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto huelga">igual al producto de las derivadas. ¡Pero que te jodan! La derivada de un producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es sencilla, pero a menudo se olvida. Y no sólo los escolares, sino también los estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 porque x; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es el producto de dos funciones elementales, por lo que todo es sencillo:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3)' porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (- pecado X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer factor es un poco más complicado, pero esquema general esto no cambia. Obviamente, el primer factor de la función. gramo(X) es un polinomio y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Respuesta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso se factoriza la derivada. Formalmente, esto no es necesario hacer, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para examinar la función. Esto significa que además la derivada se igualará a cero, se determinarán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión factorizada.

Si hay dos funciones F(X) Y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir nueva caracteristica h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función también puedes encontrar la derivada:

No débil, ¿eh? ¿De dónde vino el inconveniente? Por qué gramo 2? ¡Y así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes entenderla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo en ejemplos específicos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

El numerador y denominador de cada fracción contienen funciones elementales, por lo que todo lo que necesitamos es la fórmula para la derivada del cociente:

Según la tradición, factoricemos el numerador; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de longitud. Por ejemplo, basta con tomar la función. F(X) = pecado X y reemplazamos la variable X, digamos, en X 2 + en X. Funcionará F(X) = pecado ( X 2 + en X) - esta es una función compleja. También tiene una derivada, pero no será posible encontrarla utilizando las reglas comentadas anteriormente.

¿Qué tengo que hacer? En tales casos, reemplazar una variable y una fórmula para la derivada de una función compleja ayuda:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación al comprender esta fórmula es incluso más triste que con la derivada del cociente. Por eso, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con Descripción detallada cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2 + en X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos un reemplazo: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Buscamos la derivada de una función compleja usando la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizamos el reemplazo inverso: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función. gramo(X). Obviamente hay que cambiarlo X 2 + en X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2 + en X. Entonces:

gramo ’(X) = porque ( X 2 + en X) · ( X 2 + en X)’ = porque ( X 2 + en X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como puede verse en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la suma derivada.

Respuesta:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque ( X 2 + en X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivada", uso la palabra "principal". Por ejemplo, una prima de la cantidad igual a la suma trazos. ¿Está eso más claro? Bueno, eso es bueno.

Por tanto, calcular la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos según las reglas comentadas anteriormente. Como ejemplo final, volvamos a la derivada de potencia con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocas personas saben que en el papel. norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0,5. ¿Qué pasa si hay algo elegante debajo de la raíz? Nuevamente, el resultado será una función compleja: les gusta dar tales construcciones a pruebas y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de la función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos un reemplazo: dejemos X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada usando la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hagamos el reemplazo inverso: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, volvamos a las raíces:

Resolver problemas físicos o ejemplos en matemáticas es completamente imposible sin el conocimiento de la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes. Análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su valor físico y significado geométrico¿Cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de derivada.

Que haya una función f(x) , especificado en un intervalo determinado (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambiar el argumento: la diferencia en sus valores. x-x0 . Esta diferencia se escribe como deltax y se llama incremento de argumento. Un cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de una función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la relación entre el incremento de la función en un punto dado y el incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Y esto es lo que es:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

Significado físico derivado: la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar todo el mundo sabe que la velocidad es un camino particular. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un período de tiempo determinado:

Para conocer la velocidad del movimiento en un momento dado. t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: establezca una constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Es más, esto debe hacerse. Al resolver ejemplos de matemáticas, tómelo como regla: Si puedes simplificar una expresión, asegúrate de simplificarla. .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo ocurre con la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de la función:

Regla tres: derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Es importante hablar aquí sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio y la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior nos encontramos con la expresión:

EN en este caso el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de dicha expresión, primero calculamos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla cuatro: derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada del cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular las derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes contactar con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, le ayudaremos a resolver las pruebas más difíciles y a comprender las tareas, incluso si nunca antes ha realizado cálculos de derivadas.