La ecuación del formulario AX4 + BX2 + C \u003d 0 se llama una ecuación de biquette. Absolutamente cualquier ecuación de este tipo se puede resolver utilizando la introducción de una nueva variable y la solución posterior de la ecuación en relación con él. Después de gastar un reemplazo y encontrar la X deseada.
Veamos cómo aplicar este método al resolver ecuaciones racionales.
La ecuación se da: x4 - 4x2 + 4 \u003d 0.
Decisión
Para resolver esta ecuación, debe ingresar una nueva variable, que tiene el formulario y \u003d x2. También con razón la siguiente igualdad: x4 \u003d (x2) 2 \u003d y2. La ecuación inicial se reescribe de la siguiente manera: Y2 - 4Y + 4 \u003d 0. Esta es una ecuación cuadrada común, decidiendo cuál, obtiene las raíces y1 \u003d y2 \u003d 2. Dado que y \u003d x2, entonces la solución de esta tarea se reduce para resolver otra ecuación, a saber: x2 \u003d 2. Encuentra la respuesta: + - √2.
En esta situación, el método de introducir la variable fue "adecuada la situación", es decir, fue claramente visible, la expresión se reemplaza con una nueva variable, pero no siempre sucede. Básicamente, la expresión que se puede reemplazar se manifiesta solo en el proceso de transformación y simplifica la expresión inicial. Puede ver el análisis de este ejemplo en el video tutorial.
Las propiedades de la función y \u003d k / x, cuando k\u003e 0
En el video tutorial, se familiarizará con las propiedades básicas de los hipérboles, según su modelo geométrico.
1. D (F) \u003d (-∞; 0) ∪ (0; ∞): la función de determinar la función consiste en todos los números, excepto 0.
2. en x\u003e 0 \u003d\u003e y\u003e 0, y con x< 0 => y< 0.
3. Para K\u003e 0, la función disminuye en una viga abierta (-∞; 0) y en la viga abierta (0; ∞).
4. La función y \u003d k / x no tiene restricciones en la parte superior e inferior.
5. La función y \u003d k / x no tiene los valores más grandes y más pequeños.
6. Continuo en el intervalo (-∞; 0) y (0; ∞), que se somete a la brecha en x \u003d 0.
Con el método de introducción de una nueva variable en la solución de ecuaciones racionales de una variable, aprendió a conocer las álgebras de 8º grado. La esencia de este método en la solución de sistemas de ecuaciones es la misma, pero desde un punto de vista técnico hay algunas características que discutimos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3. Resolver el sistema de ecuaciones.
Decisión. Introducimos una nueva variable, entonces la primera ecuación del sistema se puede reescribir en más vista simple: 
Esta es la ecuación relativa a la variable t:
Ambos valores satisfacen la condición y, por lo tanto, son las raíces de la ecuación racional con la variable T. Pero significa, o desde donde encontramos que x \u003d 2, o
Por lo tanto, utilizando el método de introducción de la nueva variable, logramos "agrupar" la primera ecuación del sistema, bastante complicada, en dos ecuaciones más simples:
x \u003d 2 y; y - 2x.
¿Que sigue? Y luego, cada una de las dos ecuaciones ordinarias obtenidas debe considerarse alternativamente en el sistema con la ecuación x 2 - en 2 \u003d 3, que aún no hemos recordado. En otras palabras, la tarea se reduce a resolver dos sistemas de ecuaciones:
Es necesario encontrar soluciones del primer sistema, el segundo sistema y todos los vapores recibidos permiten en respuesta. Realizar el primer sistema de ecuaciones:
Utilizamos el método de sustitución, especialmente porque todo está listo para él: sustituiremos la expresión 2y en lugar de x en la segunda ecuación del sistema. Recibir
Dado que X \u003d 2U, se nos encontramos, respectivamente, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Por lo tanto, se obtuvieron dos soluciones de un sistema dado: (2; 1) y (-2; -1). Resolveremos el segundo sistema de ecuaciones:
Usaremos nuevamente el método de sustitución: sustituiremos la expresión 2x \u200b\u200ben lugar de en la segunda ecuación del sistema. Recibir
Esta ecuación no tiene raíces, significa que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones. Por lo tanto, en respuesta, solo deben incluir soluciones del primer sistema.
Respuesta: (2; 1); (-2; -1).
El método de introducción de nuevas variables cuando se utilizan sistemas de resolución de dos ecuaciones con dos variables en dos versiones. Primera opción: se introduce una nueva variable y se usa en una sola ecuación del sistema. Así es como estaba el caso en el ejemplo 3.El orden: se introducen dos nuevas variables y se usan simultáneamente en ambas ecuaciones del sistema. Así será el caso en el Ejemplo 4.
Ejemplo 4. Resolver el sistema de ecuaciones.
Lección sobre el tema: Solución de ecuaciones.
Ascendido a: Volkova VIKTOROVNA - Profesor de matemáticas
El sujeto de la lección: resolver las ecuaciones introduciendo una nueva variable.
LECCIÓN DE OBJETIVOS: 1. Presentar a los estudiantes un nuevo método para resolver ecuaciones;
2. Crear habilidades de soluciones. ecuaciones cuadradas y elegir los métodos de sus soluciones;
3. Será la primera fijación de un nuevo tema;
4. Desarrollar la capacidad de defender su punto de vista, argumentó realizar un diálogo con los compañeros de clase;
Desarrollar atención, memoria y pensamiento lógico, Observación
Echa un vistazo a las habilidades de la comunicación y la cultura de la comunicación.
Poner las habilidades de trabajo independiente.
Durante las clases
1. Argoment
Temas de mensajes Lección y objetivos de ajuste.
2. Repetición
En lecciones anteriores, aprendimos a resolver ecuaciones cuadradas. diferentes caminos y ecuaciones. Que se puede llevar a la plaza.
¿Qué ecuación se llama cuadrada?
¿Qué formas de resolverlos sabes?
¿Qué ecuaciones se pueden llevar a cuadrado?
a) (x + 3) 2 + (x - 2) 2 + (x + 5) (x -5) \u003d 11x +20
b) x 2 (x + 1) - (x + 4) x \u003d 12 (x - 1) 2
c) x 2 + x + 9 \u003d 3x-7,
d) x + 1 + x \u003d 2.5
X x + 1
mi) x 2 + 2x + 2 + x 2 + 2x + 3 \u003d 9
X 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 6 10?
3. Estudiando un nuevo material.
Ahora trabajaremos en grupos (recuerde el procedimiento para el trabajo y las reglas de comportamiento al trabajar en grupos). Su tarea es resolver las ecuaciones propuestas (las tarjetas se distribuyen con una tarea, un póster está colgado en la pizarra).
pero) x + 1 + x \u003d 2.5
X x + 1
b) x 2 + 2x + 2 + x 2 + 2x + 3 \u003d 9
X 2 + 2x + 5 x 2 + 2x + 6 10
El profesor observa el trabajo en el trabajo y selecciona la forma de verificar la primera ecuación:
Oralmente o en la placa dependiendo del éxito de la clase.
Vamos a verificar que lo hiciste.
La primera ecuación se reduce a una ecuación cuadrada x 2 + x -2 \u003d 0.
La solución cuya solución es números -2 y 1.
Y ahora nos giramos para resolver la segunda ecuación. En todos los grupos, resultó la ecuación del cuarto grado, que no sabe cómo decidir.
Tratemos de resolverlo todavía.
Como sea la solución de cualquier problema, la solución de la ecuación consiste en una serie de etapas:
- Análisis de la ecuación.
- Dibujar un plan de solución.
- Implementación de este plan.
- Comprobación de soluciones.
- Análisis del método de decisión para sistematizar la experiencia.
- - ¿Cómo se realiza el análisis de la ecuación generalmente?
En primer lugar, respondemos a la pregunta, nos reunimos con las ecuaciones de esta especie antes?
Sí, se conocieron, esta es una ecuación fraccional.
Puede intentar resolver esta ecuación "pesada", y puede volver a
la ecuación inicial y una vez más lo analiza.
Para esto:
- Resaltamos algunos elementos de la ecuación,
- Estableceremos sus propiedades generales,
- Estudiamos el vínculo entre diferentes elementos de la ecuación,
- Utilizamos esta información.
Trabajaremos durante 5 minutos en grupos en este plan.
La mayoría de los elementos individuales incluidos en los numeradores y denominadores de fracciones en la ecuación. Para que la ecuación sea más fácil, reemplace esta expresión en una letra, por ejemplo, Z:
X 2 + 2x \u003d z
Z +2 + z +3 \u003d 9
Z +5 Z +6 10
Puede considerarse como una nueva ecuación para un Z. En ella, la variable X no está presente en una forma clara.
Dicen que la variable es reemplazada.
¿Es un reemplazo tan apropiado? Para responder a esta pregunta, es suficiente para averiguar:
¿Es posible resolver una nueva ecuación y encontrar valores z,
¿Es posible encontrar el valor de la variable X para la ecuación de origen?
Intenta trabajar en grupos para responder la primera parte de la pregunta.
El profesor observa la obra de trabajo. Luego, los resultados de la búsqueda de valores de la variable Z están marcados.
Entonces, encontramos los valores de la variable Z: Z 1 \u003d 0, z 2 \u003d - 61 | once
Pero estamos interesados \u200b\u200ben todos los valores de la variable X, satisfaciendo la ecuación inicial. Encontramos estos valores. La relación entre las raíces del original y la nueva ecuación está contenida en la fórmula x 2 + 2x \u003d z. Los valores de la variable Z ya encontramos. En consecuencia, cualquier raíz de la ecuación racional fraccional original es la raíz de una de las ecuaciones: x 2 + 2x \u003d z 1 o x 2 + 2x \u003d z 2
Decide estas ecuaciones de acuerdo a las opciones.
Compruebe los resultados: la primera ecuación tiene raíces x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2, y la segunda ecuación no tiene raíces.
Queda por verificar los resultados obtenidos para la ecuación de origen y anotar la respuesta.
Respuesta: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2.
Entonces, decidimos la ecuación inicial con un nuevo método llamado la introducción de una nueva variable.
Hacer un algoritmo para resolver nuestra ecuación. la introducción de una nueva variable.(Trabajo en grupos)
- Asignamos la expresión x 2 + 2x;
- Indique la expresión de una letra x 2 + 2x \u003d z;
- Realizamos la sustitución y obtenemos una nueva ecuación;
- Lo damos a la plaza y decidimos;
- Por los valores de la variable Z, encontramos los valores de la variable X;
- Hacemos un cheque de los resultados obtenidos y escribimos la respuesta.
3. Material de reflejo.
¿Qué crees que era posible llevar a cabo otro reemplazo de las variables? (Por ejemplo, x 2 + 2x
2 \u003d z o x 2 + 2x +6 \u003d Z.) ¿Qué tipo de voluntad tendrá una nueva ecuación? ¿Cómo resolverlos? ¿Puede la primera ecuación de la casa resolver la introducción de una nueva variable? ¿Qué expresión se puede reemplazar con una nueva variable? ¿Cuál es la ecuación? ¿Cómo resolverlo? ¿Cuáles son los valores de la variable Z? ¿Cuáles son los valores de la variable X?
4. Acércate al resultado.
- ¿Qué hemos estudiado hoy en la lección?
- Qué nueva manera ¿Las ecuaciones de soluciones lo descubrieron?
- ¿Cuál es el método de introducir una nueva variable?
- ¿Cuál es el algoritmo de este método?
- ¿Encontraste este método difícil, inconveniente?
- ¿Es posible aplicarlo para todos?
5. Tarea máxima.
- Escriba y aprenda el algoritmo para la aplicación de la introducción de una nueva variable;
- Para resolver este método No. 2.43 (1; 2) GIA P.117.
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2.2.3. Método de introducción de una nueva variable.
Los medios poderosos para resolver las ecuaciones irracionales son el método de introducción de una nueva variable, o "método de reemplazo". El método generalmente se aplica si se encuentra repetidamente una cierta expresión en la ecuación, dependiendo de un valor desconocido. Luego tiene sentido designar esta expresión de una nueva letra e intentar resolver la ecuación primero sobre el introdujo desconocido, y luego encontrar el original desconocido. En algunos casos, introduje con éxito las nuevas personas desconocidas a veces permiten obtener una decisión más rápida y más fácil; A veces sin reemplazo, la tarea es generalmente imposible. .
Ejemplo 7. Resolver la ecuación.
Decisión. PONER, obtenemos una ecuación irracional significativamente más simple. Erigió ambas partes de la ecuación en la plaza :.
;
;
;
Verificar los valores encontrados de su sustitución a la ecuación muestra que, la raíz de la ecuación, y es una raíz extraña.
Volviendo a la variable original X, obtenemos la ecuación, es decir, una ecuación cuadrada. 
Decidiendo que encontramos dos raíces :,. Ambas raíces, como lo demuestra la prueba, satisfacen la ecuación de origen.
El reemplazo es especialmente útil si se logra un resultado por una nueva calidad, por ejemplo, la ecuación irracional se convierte en un cuadrado.
Ejemplo 8. Resolver la ecuación.
Decisión. Reescribo la ecuación como esta :.
Se puede ver que si ingresa una nueva variable. 
Entonces la ecuación tomará el formulario. 
Dónde,.
Ahora la tarea se reduce a resolver la ecuación. 
y ecuaciones 
. La primera de estas soluciones no tiene, sino de la segunda que obtenemos ,. Ambas raíces, como lo demuestra la prueba, satisfacen la ecuación de origen.
Cabe señalar que la aplicación "Sin pensar", en el Ejemplo 8, del método de "privacidad radical" y la construcción de la plaza conduciría a la ecuación de cuarto grado, cuya solución es generalmente extremadamente tarea compleja.
Ejemplo 9. Resolver la ecuación 
.
Presentamos una nueva variable.
Como resultado, la ecuación irracional inicial toma la vista de la plaza.
,
donde teniendo en cuenta la restricción, obtenemos. Resolviendo la ecuación, tenemos la raíz. Como muestra la prueba, satisface la ecuación inicial.
A veces, por alguna sustitución, es posible traer una ecuación irracional a la forma racional, como se consideran ejemplos 8, 9. En este caso, se dice que esta sustitución racionaliza la ecuación irracional en cuestión, y se llama su racionalización. Basado en El uso de sustituciones de racionalización se denomina método de racionalización.
Con todos los estudiantes en la lección, este método para resolver ecuaciones irracionales no es necesario, pero se puede considerar dentro del marco de clases opcionales o círculos en matemáticas con los estudiantes que muestran un mayor interés en las matemáticas.
Basado en el conocimiento de la comunicación entre el resultado y los componentes. acción aritmética (es decir, conocimiento de los métodos de encontrar componentes desconocidos). Estos requisitos del programa definen la técnica de trabajo en las ecuaciones. 2. Métodos para estudiar desigualdades en las escuelas secundarias 2.1 El contenido y el papel de la línea de ecuaciones y desigualdades en el curso de la escuela moderna de las matemáticas debido a la importancia y la extensión del material, ...
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Argumento numérico, por lo que con este enfoque hay una cierta redundancia en la formación de una función como un concepto generalizado. 2. Las principales direcciones de la introducción del concepto de función en el curso de la escuela de matemáticas en el curso de la escuela moderna de las matemáticas, el enfoque líder se considera genético con la adición de elementos de lógico. La formación de conceptos e ideas, métodos y técnicas en la composición ...
