Al resolver ecuaciones y desigualdades, a menudo es necesario factorizar un polinomio cuyo grado es tres o más. En este artículo veremos la forma más sencilla de hacerlo.
Como de costumbre, recurramos a la teoría en busca de ayuda.
teorema de bezout afirma que el resto al dividir un polinomio por un binomio es.
Pero lo importante para nosotros no es el teorema en sí, sino corolario de ello:
Si el número es raíz de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el binomio sin resto.
Nos enfrentamos a la tarea de encontrar de alguna manera al menos una raíz del polinomio y luego dividir el polinomio entre , donde está la raíz del polinomio. Como resultado, obtenemos un polinomio cuyo grado es uno menor que el grado del original. Y luego, si es necesario, puedes repetir el proceso.
Esta tarea se divide en dos: cómo encontrar la raíz de un polinomio y cómo dividir un polinomio por un binomio.
Echemos un vistazo más de cerca a estos puntos.
1. Cómo encontrar la raíz de un polinomio.
Primero, comprobamos si los números 1 y -1 son raíces del polinomio.
Los siguientes hechos nos ayudarán aquí:
Si la suma de todos los coeficientes de un polinomio es cero, entonces el número es la raíz del polinomio.
Por ejemplo, en un polinomio la suma de los coeficientes es cero: . Es fácil comprobar cuál es la raíz de un polinomio.
Si la suma de los coeficientes de un polinomio a potencias pares es igual a la suma de los coeficientes a potencias impares, entonces el número es la raíz del polinomio. El término libre se considera un coeficiente para un grado par, ya que , a es un número par.
Por ejemplo, en un polinomio la suma de los coeficientes de las potencias pares es: , y la suma de los coeficientes de las potencias impares es: . Es fácil comprobar cuál es la raíz de un polinomio.
Si ni 1 ni -1 son raíces del polinomio, continuamos.
Para un polinomio de grado reducido (es decir, un polinomio en el que el coeficiente principal, el coeficiente en, es igual a la unidad), la fórmula de Vieta es válida:
¿Dónde están las raíces del polinomio?
También existen fórmulas de Vieta relativas a los coeficientes restantes del polinomio, pero ésta nos interesa.
De esta fórmula de Vieta se deduce que Si las raíces de un polinomio son números enteros, entonces son divisores de su término libre, que también es un número entero.
Basado en esto, Necesitamos factorizar el término libre del polinomio en factores y, secuencialmente, de menor a mayor, verificar cuál de los factores es la raíz del polinomio.
Consideremos, por ejemplo, el polinomio
Divisores del término libre: ; ; ;
La suma de todos los coeficientes de un polinomio es igual a , por lo tanto, el número 1 no es la raíz del polinomio.
Suma de coeficientes para potencias pares:
Suma de coeficientes para potencias impares:
Por lo tanto, el número -1 tampoco es raíz del polinomio.
Comprobemos si el número 2 es la raíz del polinomio: por tanto, el número 2 es la raíz del polinomio. Esto significa que, según el teorema de Bezout, el polinomio es divisible por un binomio sin resto.
2. Cómo dividir un polinomio en un binomio.
Un polinomio se puede dividir en un binomio mediante una columna.
Divida el polinomio por un binomio usando una columna:
Hay otra forma de dividir un polinomio por un binomio: el esquema de Horner.
Mira este vídeo para entender cómo dividir un polinomio por un binomio con una columna y usando el diagrama de Horner.
Observo que si, al dividir por una columna, falta algún grado de la incógnita en el polinomio original, escribimos 0 en su lugar, de la misma manera que cuando compilamos una tabla según el esquema de Horner.
Entonces, si necesitamos dividir un polinomio por un binomio y como resultado de la división obtenemos un polinomio, entonces podemos encontrar los coeficientes del polinomio usando el esquema de Horner:
También podemos usar Esquema de Horner para comprobar si es numero dado raíz de un polinomio: si un número es raíz de un polinomio, entonces el resto al dividir el polinomio por es igual a cero, es decir, en la última columna de la segunda fila del esquema de Horner obtenemos 0.
Utilizando el esquema de Horner, "matamos dos pájaros de un tiro": comprobamos simultáneamente si el número es raíz de un polinomio y dividimos este polinomio por un binomio.
Ejemplo. Resuelve la ecuación:
1. Anotemos los divisores del término libre y busquemos las raíces del polinomio entre los divisores del término libre.
Divisores de 24:
2. Comprobemos si el número 1 es la raíz del polinomio.
La suma de los coeficientes de un polinomio, por tanto, el número 1 es la raíz del polinomio.
3. Divide el polinomio original en un binomio usando el esquema de Horner.
A) Anotamos los coeficientes del polinomio original en la primera fila de la tabla.
Como falta el término que lo contiene, en la columna de la tabla en la que se debe escribir el coeficiente escribimos 0. A la izquierda escribimos la raíz encontrada: el número 1.
B) Completa la primera fila de la tabla.
En la última columna, como era de esperar, obtuvimos cero; dividimos el polinomio original por un binomio sin resto. Los coeficientes del polinomio resultante de la división se muestran en azul en la segunda fila de la tabla:
Es fácil comprobar que los números 1 y -1 no son raíces del polinomio.
B) Sigamos la mesa. Comprobemos si el número 2 es la raíz del polinomio:
Entonces, el grado del polinomio, que se obtiene como resultado de la división por uno, es menor que el grado del polinomio original, por lo tanto, el número de coeficientes y el número de columnas son uno menos.
En la última columna obtuvimos -40, un número que no es igual a cero, por lo tanto, el polinomio es divisible por un binomio con resto y el número 2 no es la raíz del polinomio.
C) Comprobemos si el número -2 es la raíz del polinomio. Como el intento anterior falló, para evitar confusiones con los coeficientes borraré la línea correspondiente a este intento:
¡Excelente! Obtuvimos cero como resto, por lo tanto, el polinomio se dividió en un binomio sin resto, por lo tanto, el número -2 es la raíz del polinomio. Los coeficientes del polinomio que se obtienen al dividir un polinomio entre un binomio se muestran en verde en la tabla.
Como resultado de la división obtuvimos trinomio cuadrático 
, cuyas raíces se pueden encontrar fácilmente utilizando el teorema de Vieta:
Entonces las raíces de la ecuación original son:
{
}
Respuesta: ( 
}
Si un polinomio
Prueba
Sean todos los coeficientes del polinomio números enteros y el número entero a sea la raíz de este polinomio. Dado que en este caso se deduce que el coeficiente se divide por a.
Comentario. En realidad, este teorema permite encontrar las raíces de polinomios de grados superiores en el caso de que los coeficientes de estos polinomios sean números enteros y la raíz sea un número racional. El teorema se puede reformular de la siguiente manera: si sabemos que los coeficientes de un polinomio son números enteros y sus raíces son racionales, entonces estas raíces racionales solo pueden tener la forma donde p es un divisor del número (el término libre), y el número q es el divisor del número (el coeficiente principal).
Teorema de raíces enteras, que contiene
Si el número entero α es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces α es el divisor de su término libre.
Prueba. Permitir:
P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n
un polinomio con coeficientes enteros y un número entero α es su raíz.
Entonces, por definición de raíz, la igualdad P (α)=0;
a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.
Sacando el factor común α de paréntesis, obtenemos la igualdad:
α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , dónde
un norte = -α(un 0 αⁿ -1 +un 1 αⁿ -2 +…+un n-1)
Dado que los números a 0 , a 1 ,…a n-1 , an y α son números enteros, hay un número entero entre paréntesis y, por lo tanto, an es divisible por α, que es lo que había que demostrar.
El teorema demostrado también se puede formular de la siguiente manera: toda raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros es divisor de su término libre.
El teorema se basa en un algoritmo para buscar raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros: anota todos los divisores del término libre y anota uno a uno los valores de los polinomios de estos números.
2.Teorema adicional sobre raíces enteras
Si un número entero α es la raíz de un polinomio P(x) con coeficientes enteros, entonces α-1 es un divisor del número P(1), α+1 es un divisor del número P(-1)
Prueba. De la identidad
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)
de ello se deduce que para los números enteros b y c, el número bⁿ-cⁿ es divisible por b∙c. Pero para cualquier polinomio P la diferencia
P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +un)=
=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)
y por lo tanto, para un polinomio P con coeficientes enteros y números enteros byc, la diferencia P(b)-P(c) se divide por b-c.
Entonces: para b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), lo que significa que P(1) se divide por α-1. El segundo caso se trata de manera similar.
Esquema de Horner
Teorema: Sea la fracción irreducible p/q la raíz de la ecuación un 0 x norte + un 1 x norte - 1 + + un norte - 1 x + un norte =0 con coeficientes enteros, entonces el número q es un divisor del coeficiente principal a0, y el número R es un divisor del término libre a n.
Nota 1. Cualquier raíz entera de una ecuación con coeficientes enteros es divisor de su término libre.
Nota 2.Si el coeficiente principal de una ecuación con coeficientes enteros es igual a 1, entonces todas las raíces racionales, si existen, son enteras.
Raíz de un polinomio. Raíz de un polinomio f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n es x = c , tal que F (c)=0 .
Nota 3. Si x = c raíz de un polinomio , entonces el polinomio se puede escribir como: f(x)=(x−c)q(x) , Dónde es el cociente de un polinomio f(x) por monomio x-c
La división de un polinomio por un monomio se puede realizar mediante el esquema de Horner:
Si f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , un 0 ≠0 , g(x)=x−c , entonces al dividir F (X) en gramo (X) privado q(x) parece q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Dónde b 0 =a 0 ,
b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Resto r se encuentra mediante la fórmula r=c segundo norte − 1 +a norte
Solución: El coeficiente de mayor grado es 1, por lo que las raíces enteras de la ecuación deben buscarse entre los divisores del término libre: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Usando el esquema de Horner, encontramos las raíces enteras de la ecuación:
Si se selecciona una raíz según el esquema de Horner. entonces puedes decidir más así x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3
La cuestión de encontrar raíces racionales de un polinomio. F(X)q[X] (con coeficientes racionales) se reduce a la cuestión de encontrar raíces racionales de polinomios k
∙
F(X)
z[X] (con coeficientes enteros). Aquí está el número k es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes de un polinomio dado.
Las condiciones necesarias, pero no suficientes, para la existencia de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros vienen dadas por el siguiente teorema.
Teorema 6.1 (sobre raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros).
Si
–
raíz racional de un polinomioF(X)
=
a norte
X norte +
+
…+
a 1
X
+
a 0
Con
entero
coeficientes, y(pag,
q)
= 1, entonces el numerador de la fracciónpages un divisor del término libre a 0
, y el denominadorqes un divisor del coeficiente principal a 0
.
Teorema 6.2.Si
q
(
Dónde
(pag,
q)
=
1)
es la raíz racional del polinomio
F(X)
con coeficientes enteros, entonces
–números enteros.
Ejemplo. Encuentra todas las raíces racionales del polinomio.
F(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.
1. Por el teorema 6.1: si
–
raíz racional de un polinomio F(X),
( Dónde( pag,
q)
= 1),
Eso a 0
= 1
pag,
a norte
= 6
q. Es por eso pag 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), lo que significa
.
2. Se sabe que (Corolario 5.3) el número A es la raíz del polinomio F(X) si y solo si F(X) dividido por ( x – un).
Por lo tanto, para comprobar si los números 1 y –1 son raíces de un polinomio F(X) puedes utilizar el esquema de Horner:
F(1)
= 6
0,F(–1)
= 12
0, entonces 1 y –1 no son raíces del polinomio F(X).
3. Para eliminar algunos de los números restantes 
, usemos el teorema 6.2. Si expresiones 
o 
acepta valores enteros para los valores del numerador correspondientes pag y denominador q, luego en las celdas correspondientes de la tabla (ver más abajo) escribiremos la letra "ts", de lo contrario - "dr".
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. Utilizando el esquema de Horner, comprobamos si los números que quedan después de la selección serán 
raíces F(X). Primero dividamos F(X) en ( X
–
).
Como resultado tenemos: F(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) y – raíz F(X). Privado q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - dividir 2 por ( X + ).
Porque q
(–)
= 3
0, entonces (–) no es una raíz del polinomio q(X), y de ahí el polinomio F(X).
Finalmente dividimos el polinomio. q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 en ( X – ).
Consiguió: q () = 0, es decir – raíz q(X), y por tanto es la raíz F (X). Entonces el polinomio F (X) tiene dos raíces racionales: y.
Liberación de la irracionalidad algebraica en el denominador de una fracción.
En el curso escolar, a la hora de resolver cierto tipo de problemas para deshacerse de la irracionalidad en el denominador de una fracción, basta con multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el número conjugado al denominador.
Ejemplos. 1.t
=
.
Aquí la fórmula de multiplicación abreviada (diferencia de cuadrados) funciona en el denominador, lo que te permite liberarte de la irracionalidad en el denominador.
2. Libérate de la irracionalidad en el denominador de la fracción
t
=
. Expresión – cuadrado incompleto de la diferencia de números A=
Y b= 1. Usando la fórmula de multiplicación abreviada A 3
–
b 3
=
(un +b)
· ( a 2
–
ab
+
b 2
), podemos determinar el multiplicador metro
= (un +b)
=
+ 1, por el cual se debe multiplicar el numerador y denominador de la fracción t deshacerse de la irracionalidad en el denominador de la fracción t. De este modo,
En situaciones en las que las fórmulas de multiplicación abreviadas no funcionan, se pueden utilizar otras técnicas. A continuación formularemos un teorema, cuya demostración, en particular, nos permite encontrar un algoritmo para eliminar la irracionalidad en el denominador de una fracción en situaciones más complejas.
Definición 6.1. Número z llamado algebraico sobre el campo
F, si hay un polinomio F(X)
F[X], cuya raíz es z, de lo contrario el número z llamado trascendental sobre el campoF.
Definición 6.2.Grado de algebraico sobre campo.
F
números
z se llama grado de un irreducible sobre un campo F polinomio pag(X)
F[X], cuya raíz es el número z.
Ejemplo. Demostremos que el número z = 
es algebraico sobre el campo q y hallar su grado.
Encontremos un irreductible sobre el campo. q polinomio pag(X), cuya raíz es X
=
. Levantemos ambos lados de la igualdad. X
=
elevado a la cuarta potencia tenemos X 4
= 2 o X 4
–
2
= 0. Entonces, pag(X)
= X 4
–
2, y la potencia del número z igual a grados
pag(X)
= 4.
Teorema 6.3
(sobre la liberación de la irracionalidad algebraica en el denominador de una fracción).Dejarz– número algebraico sobre un campoFgradosnorte. Expresión de la format
=
,Dónde
F(X),
(X)
F[X],
(z) 
0
sólo se puede representar en la forma:
t
= Con norte -1
z norte -1
+
C norte -2
z norte -2
+ … +
C 1
z
+
C 0
,
C i
F.
Demostraremos el algoritmo para eliminar la irracionalidad en el denominador de una fracción usando un ejemplo específico.
Ejemplo. Libérate de la irracionalidad en el denominador de una fracción:
t
=
1. El denominador de la fracción es el valor del polinomio. 
(X)
= X 2
– X+1 cuando X
=
. El ejemplo anterior muestra que 
– número algebraico sobre un campo q grado 4, ya que es la raíz de un irreducible sobre q polinomio pag(X)
= X 4
–
2.
2. Encontremos la expansión lineal de MCD ( 
(X),
pag(X)) utilizando el algoritmo euclidiano.
_X 4 – 2 | X 2 -X + 1
X 4 -X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (X)
_ X 3 -X 2 – 2
X 3 -X 2 +x
X 2 -X + 1 | – X –2 = r 1 (X )
X 2 + 2 X -x+ 3 = q 2 (X)
_–3X+ 1
–3 X – 6
_ – X –2 |7 = r 2
– X –2 -X - =q 3 (X)
Entonces, MCD ( 
(X),
pag(X))
= r 2
=
7. Encontremos su expansión lineal.
Escribamos la secuencia euclidiana usando notación polinomial.
pag(X)
=
(X)
· q 1
(X)
+ r 1
(X)
r 1
(X)
=pag(X)
–
(X)
· q 1
(X)
Como ya hemos señalado, uno de los problemas más importantes en la teoría de polinomios es el problema de encontrar sus raíces. Para resolver este problema, puede utilizar el método de selección, es decir Tome un número al azar y compruebe si es la raíz de un polinomio dado.
En este caso, puede "toparse" rápidamente con la raíz o es posible que nunca la encuentre. Después de todo, es imposible comprobar todos los números, ya que hay una infinidad de ellos.
Otra cosa sería si pudiéramos acotar el área de búsqueda, por ejemplo, para saber que las raíces que buscamos están, digamos, entre los treinta números especificados. Y para treinta números puedes hacer una verificación. En relación con todo lo dicho anteriormente, esta afirmación parece importante e interesante.
Si la fracción irreducible l/m (l,m son números enteros) es la raíz de un polinomio f (x) con coeficientes enteros, entonces el coeficiente principal de este polinomio se divide por m y el término libre se divide por 1.
En efecto, si f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, donde an, an-1,...,a1, a0 son números enteros, entonces f (l/ m) =0, es decir, аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.
Multipliquemos ambos lados de esta igualdad por mn. Obtenemos anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.
Esto implica:
anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).
Vemos que el número entero anln es divisible por m. Pero l/m es una fracción irreducible, es decir los números l y m son coprimos y luego, como se sabe por la teoría de la divisibilidad de los números enteros, los números ln y m también son coprimos. Entonces, anln es divisible por m y m es coprimo de ln, lo que significa que an es divisible por m.
El tema probado nos permite reducir significativamente el área de búsqueda de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Demostremos esto con un ejemplo específico. Encontremos las raíces racionales del polinomio f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Según el teorema, las raíces racionales de este polinomio se encuentran entre las fracciones irreducibles de la forma l/m, donde l es el divisor del término libre a0=8 y m es el divisor del coeficiente principal a4=6. Además, si la fracción l/m es negativa, se asignará el signo “-” al numerador. Por ejemplo, - (1/3) = (-1) /3. Entonces podemos decir que l es un divisor del número 8 y m es un divisor positivo del número 6.
Dado que los divisores del número 8 son ±1, ±2, ±4, ±8, y los divisores positivos del número 6 son 1, 2, 3, 6, entonces las raíces racionales del polinomio en cuestión se encuentran entre los números ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Recordemos que escribimos sólo fracciones irreducibles.
Por tanto, tenemos veinte números: "candidatos" a raíces. Sólo queda comprobar cada uno de ellos y seleccionar aquellos que realmente sean raíces. Pero nuevamente, tendrás que hacer muchas comprobaciones. Pero el siguiente teorema simplifica este trabajo.
Si la fracción irreducible l/m es la raíz de un polinomio f (x) con coeficientes enteros, entonces f (k) es divisible por l-km para cualquier número entero k, siempre que l-km?0.
Para probar este teorema, divida f (x) por x-k con un resto. Obtenemos f (X) = (xk) s (X) +f (k). Dado que f (x) es un polinomio con coeficientes enteros, también lo es el polinomio s (x), y f (k) es un número entero. Sea s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Entonces f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Pongamos x=l/m en esta igualdad. Considerando que f (l/m) =0, obtenemos
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
Multipliquemos ambos lados de la última igualdad por mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).
De ello se deduce que el número entero mnf (k) es divisible por l-km. Pero como l y m son coprimos, entonces mn y l-km también son coprimos, lo que significa que f (k) es divisible por l-km. El teorema ha sido demostrado.
Volvamos ahora a nuestro ejemplo y, utilizando el teorema probado, estrecharemos aún más el círculo de búsqueda de raíces racionales. Apliquemos este teorema para k=1 y k=-1, es decir si la fracción irreducible l/m es la raíz del polinomio f (x), entonces f (1) / (l-m) y f (-1) / (l+m). Encontramos fácilmente que en nuestro caso f (1) = -5 y f (-1) = -15. Tenga en cuenta que al mismo tiempo excluimos ±1 de la consideración.
Entonces, las raíces racionales de nuestro polinomio deben buscarse entre los números ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8. /3.
Considere l/m=1/2. Entonces l-m=-1 y f (1) =-5 se divide por este número. Además, l+m=3 y f (1) =-15 también es divisible por 3. Esto significa que la fracción 1/2 permanece entre los “candidatos” a raíces.
Sea ahora lm=- (1/2) = (-1) /2. En este caso, l-m=-3 y f (1) =-5 no es divisible por - 3. Esto significa que la fracción - 1/2 no puede ser la raíz de este polinomio y la excluimos de mayor consideración. Revisemos cada una de las fracciones escritas arriba y encontremos que las raíces requeridas están entre los números 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Así, bastante truco sencillo Hemos reducido significativamente el área de búsqueda de raíces racionales del polinomio considerado. Bueno, para comprobar los números restantes, usaremos el esquema de Horner:
Tabla 10
Encontramos que el resto al dividir g (x) entre x-2/3 es igual a - 80/9, es decir, 2/3 no es raíz del polinomio g (x), y por lo tanto tampoco lo es f (x).
A continuación, encontramos fácilmente que - 2/3 es la raíz del polinomio g (x) y g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Entonces f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Se puede realizar una verificación adicional para el polinomio x2+2x-4, que, por supuesto, es más simple que para g (x) o incluso más para f (x). Como resultado, encontramos que los números 2 y - 4 no son raíces.
Entonces, el polinomio f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 tiene dos raíces racionales: 1/2 y - 2/3.
Recuerde que el método descrito anteriormente permite encontrar solo raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Mientras tanto, un polinomio también puede tener raíces irracionales. Entonces, por ejemplo, el polinomio considerado en el ejemplo tiene dos raíces más: - 1±v5 (estas son las raíces del polinomio x2+2x-4). Y, en términos generales, es posible que un polinomio no tenga raíces racionales en absoluto.
Ahora demos algunos consejos.
Cuando se prueban "candidatos" para las raíces del polinomio f (x) usando el segundo de los teoremas demostrados anteriormente, este último generalmente se usa para los casos k=±1. En otras palabras, si l/m es una raíz "candidata", entonces verifique si f (1) y f (-1) son divisibles por l-m y l+m, respectivamente. Pero puede suceder que, por ejemplo, f (1) = 0, es decir, 1 sea una raíz, y luego f (1) sea divisible por cualquier número, y nuestra comprobación pierda sentido. En este caso, debes dividir f (x) entre x-1, es decir obtenga f(x) = (x-1)s(x) y pruebe el polinomio s(x). Al mismo tiempo, no debemos olvidar que ya hemos encontrado una raíz del polinomio f (x) - x1=1. Si, al comprobar las raíces "candidatas" que quedan después de aplicar el segundo teorema sobre raíces racionales, utilizando el esquema de Horner encontramos que, por ejemplo, l/m es una raíz, entonces se debe encontrar su multiplicidad. Si es igual a, digamos, k, entonces f (x) = (x-l/m) ks (x), y se pueden realizar más pruebas para s (x), lo que reduce los cálculos.
Así, hemos aprendido a encontrar raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Resulta que al hacer esto hemos aprendido a encontrar las raíces irracionales de un polinomio con coeficientes racionales. De hecho, si tenemos, por ejemplo, un polinomio f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, entonces, llevando los coeficientes a un denominador común y sacándolo de paréntesis, obtenemos obtenga f (x) = 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Está claro que las raíces del polinomio f (x) coinciden con las raíces del polinomio entre paréntesis y sus coeficientes son números enteros. Demostremos, por ejemplo, que sen100 es un número irracional. Utilicemos la conocida fórmula sin3?=3sin?-4sin3?. Por lo tanto sin300=3sin100-4sin3100. Considerando que sen300=0,5 y realizando transformaciones simples, obtenemos 8sin3100-6sin100+1=0. Por tanto, sen100 es la raíz del polinomio f (x) =8x3-6x+1. Si buscamos raíces racionales de este polinomio, nos convenceremos de que no las hay. Esto significa que la raíz sen100 no es un número racional, es decir sin100 es un número irracional.
Etc. es de carácter educativo general y tiene gran importancia para estudiar TODO el curso de matemáticas superiores. Hoy repetiremos las ecuaciones "escolares", pero no solo las "escolares", sino aquellas que se encuentran en todas partes en varios problemas de vyshmat. Como es habitual, la historia se contará de forma aplicada, es decir. No me centraré en definiciones y clasificaciones, pero compartiré exactamente con ustedes. experiencia personal soluciones. La información está destinada principalmente a principiantes, pero los lectores más avanzados también encontrarán muchos puntos interesantes. Y por supuesto habrá nuevo material, ir más allá escuela secundaria.
Entonces la ecuación…. Muchos recuerdan esta palabra con escalofríos. ¿Cuánto valen las “sofisticadas” ecuaciones con raíces... ...olvídate de ellas! Porque entonces conocerás a los “representantes” más inofensivos de esta especie. O aburridas ecuaciones trigonométricas con docenas de métodos de solución. Para ser honesto, a mí tampoco me gustaban mucho... ¡No entrar en pánico! – entonces le esperan sobre todo “dientes de león” con una solución obvia en 1-2 pasos. Aunque la "bardana" ciertamente se adhiere, aquí hay que ser objetivo.
Curiosamente, en matemáticas superiores es mucho más común tratar con ecuaciones muy primitivas como lineal ecuaciones
¿Qué significa resolver esta ecuación? Esto significa encontrar TAL valor de “x” (raíz) que lo convierta en una verdadera igualdad. Echemos el “tres” hacia la derecha con cambio de signo:
y suelta el “dos” al lado derecho (o, lo mismo, multiplica ambos lados por)
:
Para comprobarlo, sustituyamos el trofeo ganado en la ecuación original: 
Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que el valor encontrado es efectivamente la raíz de esta ecuación. O, como también dicen, satisface esta ecuación.
Tenga en cuenta que la raíz también se puede escribir en la forma decimal:
¡Y trata de no ceñirte a este mal estilo! Repetí el motivo más de una vez, en particular, en la primera lección sobre álgebra superior.
Por cierto, la ecuación también se puede resolver “en árabe”:
¡Y lo más interesante es que esta grabación es completamente legal! Pero si no eres profesor, entonces es mejor no hacer esto, porque aquí la originalidad se castiga =)
Y ahora un poco sobre
método de solución gráfica
La ecuación tiene la forma y su raíz es coordenada "X" puntos de intersección gráfico de función lineal con horario función lineal (eje x):
Parecería que el ejemplo es tan elemental que no hay nada más que analizar aquí, pero se puede “exprimir” un matiz más inesperado: presentemos la misma ecuación en la forma y construyamos gráficas de las funciones: 
Donde, por favor no confundas los dos conceptos: una ecuación es una ecuación, y función– ¡Esta es una función! Funciones solo ayuda encontrar las raíces de la ecuación. De los cuales pueden haber dos, tres, cuatro o incluso una infinidad. El ejemplo más cercano en este sentido es el conocido ecuación cuadrática, cuyo algoritmo de solución recibió un párrafo separado fórmulas escolares "calientes". ¡Y esto no es una coincidencia! Si puedes resolver una ecuación cuadrática y sabes Teorema de pitágoras, entonces se podría decir “la mitad de las matemáticas superiores ya está en tu bolsillo” =) ¡Exagerado, por supuesto, pero no tan lejos de la verdad!
Por lo tanto, no seamos perezosos y resolvamos alguna ecuación cuadrática usando algoritmo estándar:
, lo que significa que la ecuación tiene dos diferentes válido raíz: 
Es fácil verificar que ambos valores encontrados realmente satisfacen esta ecuación: 
¿Qué hacer si de repente olvida el algoritmo de solución y no hay medios o ayuda disponible? Esta situación puede surgir, por ejemplo, durante una prueba o examen. ¡Utilizamos el método gráfico! Y hay dos maneras: puedes construir punto por punto parábola 
, descubriendo así dónde se cruza con el eje (si se cruza). Pero es mejor hacer algo más astuto: imaginar la ecuación en la forma, dibujar gráficas de funciones más simples y Coordenadas "X"¡sus puntos de intersección son claramente visibles! 
Si resulta que la línea recta toca la parábola, entonces la ecuación tiene dos raíces (múltiples) coincidentes. Si resulta que la línea recta no corta a la parábola, entonces no hay raíces reales.
Para hacer esto, por supuesto, necesitas poder construir gráficas de funciones elementales, pero, por otro lado, incluso un escolar puede realizar estas habilidades.
Y nuevamente: una ecuación es una ecuación y funciones son funciones que solo ayudó¡resuelve la ecuación!
Y aquí, por cierto, conviene recordar una cosa más: Si todos los coeficientes de una ecuación se multiplican por un número distinto de cero, entonces sus raíces no cambiarán..
Así, por ejemplo, la ecuación 
tiene las mismas raíces. Como “prueba” simple, quitaré la constante entre paréntesis: 
y lo quitaré sin dolor (Dividiré ambas partes por “menos dos”):
¡PERO! Si consideramos la función 
¡Entonces no puedes deshacerte de la constante aquí! Sólo está permitido sacar el multiplicador de paréntesis: 
.
Mucha gente subestima el método de solución gráfica, considerándolo algo "indigno", y algunos incluso se olvidan por completo de esta posibilidad. ¡Y esto es fundamentalmente incorrecto, ya que trazar gráficos a veces simplemente salva la situación!
Otro ejemplo: supongamos que no recuerdas las raíces de la ecuación trigonométrica más simple: . Formula general están en los libros de texto escolares, en todos los libros de referencia sobre matemáticas elementales, pero no están disponibles para usted. Sin embargo, resolver la ecuación es fundamental (también conocido como "dos"). ¡Hay una salida! – construir gráficas de funciones: 
tras lo cual anotamos tranquilamente las coordenadas “X” de sus puntos de intersección: 
Hay infinitas raíces y en álgebra se acepta su notación condensada:
, Dónde ( – conjunto de números enteros)
.
Y, sin “irnos”, unas palabras sobre el método gráfico para resolver desigualdades con una variable. El principio es el mismo. Entonces, por ejemplo, la solución a la desigualdad es cualquier “x”, porque La sinusoide se encuentra casi completamente debajo de la línea recta. La solución a la desigualdad es el conjunto de intervalos en los que las partes de la sinusoide se encuentran estrictamente por encima de la recta. (eje x):
o, en resumen:
Pero aquí están las muchas soluciones a la desigualdad: vacío, ya que ningún punto de la sinusoide se encuentra por encima de la línea recta.
¿Hay algo que no entiendes? Estudie urgentemente las lecciones sobre conjuntos Y gráficas de funciones!
Vamos a calentar:
Ejercicio 1
Resuelve gráficamente las siguientes ecuaciones trigonométricas:
Respuestas al final de la lección.
Como puede ver, para estudiar ciencias exactas no es necesario abarrotar fórmulas y libros de referencia. Además, este es un enfoque fundamentalmente defectuoso.
Como ya les aseguré al comienzo de la lección, las ecuaciones trigonométricas complejas en un curso estándar de matemáticas superiores rara vez deben resolverse. Toda complejidad, por regla general, termina con ecuaciones como , cuya solución son dos grupos de raíces que se originan a partir de las ecuaciones más simples y 
. No te preocupes demasiado por resolver esto último: busca en un libro o encuéntralo en Internet =)
El método de solución gráfica también puede resultar útil en casos menos triviales. Considere, por ejemplo, la siguiente ecuación “irregular”:
Las perspectivas para su solución parecen... no se parecen en nada, pero sólo hay que imaginar la ecuación en la forma , construir gráficas de funciones y todo resultará increíblemente sencillo. Hay un dibujo en el medio del artículo sobre funciones infinitesimales (se abrirá en la siguiente pestaña).
Usando el mismo método gráfico, puedes descubrir que la ecuación ya tiene dos raíces, y una de ellas es igual a cero, y la otra, aparentemente, irracional y pertenece al segmento . Esta raíz se puede calcular aproximadamente, por ejemplo, método tangente. Por cierto, en algunos problemas sucede que no es necesario encontrar las raíces, sino descubrirlas. ¿Existen en absoluto?. Y aquí también un dibujo puede ayudar: si las gráficas no se cruzan, entonces no hay raíces.
Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros.
Esquema de Horner
Y ahora te invito a que vuelvas la mirada hacia la Edad Media y sientas la atmósfera única del álgebra clásica. Para una mejor comprensión del material, te recomiendo que leas al menos un poco. números complejos.
Ellos son los mejores. Polinomios.
El objeto de nuestro interés serán los polinomios más comunes de la forma con entero coeficientes Número natural llamado grado de polinomio, número – coeficiente del grado más alto (o simplemente el coeficiente más alto), y el coeficiente es miembro gratuito.
Denotaré brevemente este polinomio por .
Raíces de un polinomio llamar a las raíces de la ecuación
Me encanta la lógica de hierro =)
Para ver ejemplos, vaya al principio del artículo: 
No hay problemas para encontrar las raíces de polinomios de 1.º y 2.º grado, pero a medida que aumentas, esta tarea se vuelve cada vez más difícil. Aunque por otro lado ¡todo es más interesante! Y esto es exactamente a lo que se dedicará la segunda parte de la lección.
Primero, literalmente la mitad de la pantalla de la teoría:
1) Según el corolario teorema fundamental del álgebra, el polinomio de grados tiene exactamente complejo raíces. Algunas raíces (o incluso todas) pueden ser particularmente válido. Además, entre las raíces reales puede haber raíces idénticas (múltiples) (mínimo dos, máximo piezas).
Si algún número complejo es raíz de un polinomio, entonces conjugado su número también es necesariamente la raíz de este polinomio (las raíces complejas conjugadas tienen la forma ).
El ejemplo más simple es una ecuación cuadrática que apareció por primera vez en 8 (como) clase, y que finalmente “rematamos” en el tema números complejos. Permítanme recordarles: una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales diferentes, raíces múltiples o raíces complejas conjugadas.
2) De teorema de bezout de ello se deduce que si un número es la raíz de una ecuación, entonces el polinomio correspondiente se puede factorizar:
, donde es un polinomio de grado.
Y nuevamente, nuestro viejo ejemplo: puesto que es la raíz de la ecuación, entonces. Después de lo cual no es difícil obtener la conocida expansión “escolar”.
El corolario del teorema de Bezout tiene un gran valor práctico: si conocemos la raíz de una ecuación de tercer grado, entonces podemos representarla en la forma 
y de ecuación cuadrática es fácil reconocer las raíces restantes. Si conocemos la raíz de una ecuación de cuarto grado, entonces es posible expandir el lado izquierdo en un producto, etc.
Y aquí hay dos preguntas:
Pregunta uno. ¿Cómo encontrar esta misma raíz? En primer lugar, definamos su naturaleza: en muchos problemas de matemáticas superiores es necesario encontrar racional, En particular entero raíces de polinomios, y en este sentido, a continuación nos interesarán principalmente... ...¡son tan buenos, tan esponjosos, que querrás encontrarlos! =)
Lo primero que me viene a la mente es el método de selección. Consideremos, por ejemplo, la ecuación . El problema aquí está en el término libre: si fuera igual a cero, entonces todo estaría bien; sacamos la "x" de los paréntesis y las raíces mismas "caen" a la superficie: 
Pero nuestro término libre es "tres", y por lo tanto comenzamos a sustituir en la ecuación varios números que dicen ser "raíz". En primer lugar, se sugiere la sustitución de valores únicos. Sustituyamos: 
Recibió incorrecto igualdad, por tanto, la unidad “no encajaba”. Bueno, está bien, sustituyamos: 
Recibió verdadero¡igualdad! Es decir, el valor es la raíz de esta ecuación.
Para encontrar las raíces de un polinomio de tercer grado, existe un método analítico (las llamadas fórmulas de Cardano), pero ahora estamos interesados en una tarea ligeramente diferente.
Dado que - es la raíz de nuestro polinomio, el polinomio se puede representar en la forma y surge Segunda pregunta: ¿Cómo encontrar un “hermano menor”?
Las consideraciones algebraicas más simples sugieren que para hacer esto necesitamos dividir por . ¿Cómo dividir un polinomio por un polinomio? El mismo método escolar que comparten numeros regulares- ¡“en una columna”! Este método Lo discutí en detalle en los primeros ejemplos de la lección. Límites complejos, y ahora veremos otro método, que se llama Esquema de Horner.
Primero escribimos el polinomio "más alto" con todos
, incluidos los coeficientes cero:
, después de lo cual ingresamos estos coeficientes (estrictamente en orden) en la fila superior de la tabla:
Escribimos la raíz a la izquierda:
Inmediatamente haré una reserva de que el esquema de Horner también funciona si el número "rojo" No es la raíz del polinomio. Sin embargo, no apresuremos las cosas.
Eliminamos el coeficiente principal de arriba:
El proceso de llenar las celdas inferiores recuerda un poco al bordado, donde "menos uno" es una especie de "aguja" que impregna los pasos siguientes. Multiplicamos el número "arrastrado hacia abajo" por (–1) y sumamos el número de la celda superior al producto:
Multiplicamos el valor encontrado por la “aguja roja” y sumamos al producto el siguiente coeficiente de ecuación:
Y finalmente, el valor resultante se vuelve a “procesar” con la “aguja” y el coeficiente superior:
El cero en la última celda nos dice que el polinomio se divide en sin dejar rastro (como debería ser), mientras que los coeficientes de expansión se “eliminan” directamente de la línea inferior de la tabla:
Así, pasamos de la ecuación a una ecuación equivalente y todo queda claro con las dos raíces restantes. (V en este caso obtenemos raíces complejas conjugadas).
La ecuación, por cierto, también se puede resolver gráficamente: trazar "iluminación" 
y observa que la gráfica cruza el eje x ()
en el punto . O el mismo truco "astuto": reescribimos la ecuación en la forma , dibujamos gráficas elementales y encontramos la coordenada "X" de su punto de intersección.
Por cierto, la gráfica de cualquier función polinomio de tercer grado cruza el eje al menos una vez, lo que significa que la ecuación correspondiente tiene al menos uno válido raíz. Este hecho válido para cualquier función polinómica de grado impar.
Y aquí también me gustaría detenerme en punto importante que se refiere a la terminología: polinomio Y función polinómica – no es lo mismo! Pero en la práctica a menudo se habla, por ejemplo, de la “gráfica de un polinomio”, lo cual, por supuesto, es negligencia.
Sin embargo, volvamos al esquema de Horner. Como mencioné recientemente, este esquema funciona para otros números, pero si el número No es la raíz de la ecuación, entonces aparece una suma distinta de cero (resto) en nuestra fórmula:
"Ejecutemos" el valor "fallido" según el esquema de Horner. En este caso, es conveniente utilizar la misma tabla: escriba una nueva "aguja" a la izquierda, mueva el coeficiente principal desde arriba (flecha verde izquierda), y listo: 
Para comprobarlo, abramos los corchetes y presentemos términos similares:
, DE ACUERDO.
Es fácil ver que el resto (“seis”) es exactamente el valor del polinomio en . Y de hecho, ¿cómo es? 
, y aún mejor, así:
De los cálculos anteriores es fácil entender que el esquema de Horner permite no sólo factorizar el polinomio, sino también realizar una selección "civilizada" de la raíz. Le sugiero que consolide usted mismo el algoritmo de cálculo con una pequeña tarea:
Tarea 2
Usando el esquema de Horner, encuentre la raíz entera de la ecuación y factorice el polinomio correspondiente.
En otras palabras, aquí debe verificar secuencialmente los números 1, –1, 2, –2, ... – hasta que se "dibuje" un resto cero en la última columna. Esto significará que la “aguja” de esta recta es la raíz del polinomio
Es conveniente ordenar los cálculos en una sola tabla. Solución detallada y respuesta al final de la lección.
El método de selección de raíces es bueno para casos relativamente simples, pero si los coeficientes y/o el grado del polinomio son grandes, entonces el proceso puede llevar mucho tiempo. ¿O tal vez hay algunos valores de la misma lista 1, –1, 2, –2 y no tiene sentido considerarlos? Y, además, las raíces pueden resultar fraccionarias, lo que conducirá a un pinchazo completamente poco científico.
Afortunadamente, existen dos teoremas poderosos que pueden reducir significativamente la búsqueda de valores "candidatos" para raíces racionales:
Teorema 1 Consideremos irreducible fracción , donde . Si el número es la raíz de la ecuación, entonces el término libre se divide por y el coeficiente principal se divide por.
En particular, si el coeficiente principal es , entonces esta raíz racional es un número entero:
Y comenzamos a explotar el teorema con sólo este sabroso detalle:
Volvamos a la ecuación. Dado que su coeficiente principal es , entonces las raíces racionales hipotéticas pueden ser exclusivamente enteras, y el término libre necesariamente debe dividirse en estas raíces sin resto. Y “tres” sólo se puede dividir en 1, –1, 3 y –3. Es decir, tenemos sólo 4 "candidatos raíz". Y, según Teorema 1, otros números racionales no pueden ser raíces de esta ecuación EN PRINCIPIO.
Hay un poco más de “contendientes” en la ecuación: el término libre se divide en 1, –1, 2, – 2, 4 y –4.
Tenga en cuenta que los números 1, –1 son "habituales" de la lista de posibles raíces. (una consecuencia obvia del teorema) y la mayoría mejor elección para control de prioridad.
Pasemos a ejemplos más significativos:
Problema 3
Solución: dado que el coeficiente principal es , entonces las raíces racionales hipotéticas solo pueden ser enteras y necesariamente deben ser divisores del término libre. “Menos cuarenta” se divide en los siguientes pares de números:
– un total de 16 “candidatos”.
Y aquí aparece inmediatamente un pensamiento tentador: ¿es posible eliminar todas las raíces negativas o todas las positivas? ¡En algunos casos es posible! Formularé dos signos:
1) si Todo Si los coeficientes del polinomio no son negativos, entonces no puede tener raíces positivas. Desafortunadamente, este no es nuestro caso (Ahora, si nos dieran una ecuación, entonces sí, al sustituir cualquier valor del polinomio, el valor del polinomio es estrictamente positivo, lo que significa que todos los números positivos (y los irracionales también) no pueden ser raíces de la ecuación.
2) Si los coeficientes para las potencias impares no son negativos y para todas las potencias pares (incluido miembro gratuito) son negativos, entonces el polinomio no puede tener raíces negativas. ¡Este es nuestro caso! Mirando un poco más de cerca, puedes ver que al sustituir cualquier “X” negativa en la ecuación, el lado izquierdo será estrictamente negativo, lo que significa que las raíces negativas desaparecen.
Así, quedan 8 números por investigar:
Los “cobramos” secuencialmente según el esquema de Horner. Espero que ya hayas dominado los cálculos mentales: 
La suerte nos esperaba a la hora de probar el “dos”. Por tanto, ¿es la raíz de la ecuación considerada, y
Queda por estudiar la ecuación. 
. Esto es fácil de hacer mediante el discriminante, pero realizaré una prueba indicativa utilizando el mismo esquema. En primer lugar, observemos que el término libre es igual a 20, lo que significa Teorema 1 los números 8 y 40 salen de la lista de posibles raíces, dejando los valores para la investigación (uno fue eliminado según el esquema de Horner).
Escribimos los coeficientes del trinomio en la fila superior de la nueva tabla y Empezamos a comprobar con los mismos "dos". ¿Por qué? Y como las raíces pueden ser múltiplos, por favor: - esta ecuación tiene 10 raíces idénticas. Pero no nos distraigamos: 
Y aquí, por supuesto, estaba un poco mentido, sabiendo que las raíces son racionales. Después de todo, si fueran irracionales o complejos, entonces me enfrentaría a una verificación fallida de todos los números restantes. Por lo tanto, en la práctica, déjese guiar por el discriminante.
Respuesta: raíces racionales: 2, 4, 5
Tuvimos suerte en el problema que analizamos porque: a) se cayeron enseguida valores negativos, yb) encontramos la raíz muy rápidamente (y en teoría podríamos comprobar la lista completa).
Pero en realidad la situación es mucho peor. Te invito a ver un emocionante juego llamado “El último héroe”:
Problema 4
Encuentra las raíces racionales de la ecuación.
Solución: Por Teorema 1 los numeradores de raíces racionales hipotéticas deben satisfacer la condición (leemos “doce se divide entre el”), y los denominadores corresponden a la condición . En base a esto, obtenemos dos listas:
"listar el":
y "lista um": (afortunadamente, los números aquí son naturales).
Ahora hagamos una lista de todas las raíces posibles. Primero, dividimos la “lista el” entre . Está absolutamente claro que se obtendrán las mismas cifras. Por conveniencia, pongámoslos en una tabla:
Se han reducido muchas fracciones, dando como resultado valores que ya están en la “lista de héroes”. Agregamos solo "novatos": 
De manera similar, dividimos la misma “lista” por: 
y finalmente en
Así, se completa el equipo de participantes de nuestro juego: 
Desafortunadamente, el polinomio de este problema no satisface el criterio "positivo" o "negativo" y, por lo tanto, no podemos descartar la fila superior o inferior. Tendrás que trabajar con todos los números.
¿Cómo te sientes? Vamos, levanta la cabeza: hay otro teorema que en sentido figurado puede llamarse el "teorema asesino"…. ...“candidatos”, por supuesto =)
Pero primero debes desplazarte por el diagrama de Horner durante al menos un El conjunto números. Tradicionalmente, tomemos uno. En la línea superior escribimos los coeficientes del polinomio y todo queda como siempre:
Como cuatro claramente no es cero, el valor no es la raíz del polinomio en cuestión. Pero ella nos ayudará mucho.
Teorema 2 si por algunos en general el valor del polinomio es distinto de cero: , entonces sus raíces racionales (si ellos estan) satisfacer la condición
En nuestro caso y por tanto todas las raíces posibles deben satisfacer la condición (llamémoslo Condición No. 1). Estos cuatro serán los “asesinos” de muchos “candidatos”. A modo de demostración, veremos algunas comprobaciones:
Revisemos al "candidato". Para ello, representémoslo artificialmente en forma de fracción, de la que se ve claramente que . Calculemos la diferencia de prueba: . Cuatro se divide por “menos dos”: , lo que significa que la posible raíz ha pasado la prueba.
Comprobemos el valor. Aquí la diferencia de prueba es: 
. Por supuesto, y por tanto el segundo “tema” también permanece en la lista.
