Her iki ana teoremin (olasılıkların eklenmesi teoremi ve olasılıkların çarpımı teoremi) bir sonucu, sözde formüldür. tam olasılık.
Olaylardan biriyle birlikte meydana gelebilecek bir olayın olasılığını belirlemek gerekli olsun:
tam bir uyumsuz olaylar grubu oluşturmak. Bu olaylara hipotez adını vereceğiz.
Bu durumda şunu kanıtlayalım
, (3.4.1)
onlar. Bir olayın olasılığı, her bir hipotezin olasılığı ile bu hipotez kapsamındaki olayın olasılığının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır.
Formül (3.4.1)'e toplam olasılık formülü denir.
Kanıt. Hipotezler tam bir grup oluşturduğundan, bir olay yalnızca aşağıdaki hipotezlerden herhangi biriyle birleştiğinde ortaya çıkabilir:
Hipotezler tutarsız olduğundan kombinasyonlar 
ayrıca uyumsuz; Toplama teoremini bunlara uyguladığımızda şunu elde ederiz:
Çarpma teoremini olaya uygulayarak şunu elde ederiz:
,
Q.E.D.
Örnek 1. Birbirine benzeyen üç adet kavanoz vardır; ilk kavanozda iki beyaz ve bir siyah top bulunur; ikincisinde - üç beyaz ve bir siyah; üçüncüsünde iki beyaz ve iki siyah top var. Birisi kavanozlardan birini rastgele seçiyor ve içinden bir top alıyor. Bu topun beyaz olma olasılığını bulunuz.
Çözüm. Üç hipotezi ele alalım:
İlk sandık seçimi
İkinci kavanozun seçilmesi
Üçüncü kavanozun seçilmesi
ve olay beyaz bir topun ortaya çıkmasıdır.
Problemin koşullarına göre hipotezler eşit derecede mümkün olduğundan, o zaman
.
Bu hipotezler kapsamında olayın koşullu olasılıkları sırasıyla eşittir:
Toplam olasılık formülüne göre
.
Örnek 2. Uçağa üç tek el ateş ediliyor. İlk atışta isabet olasılığı 0,4, ikinci atışta 0,5, üçüncü atışta ise 0,7'dir. Üç vuruş açıkça bir uçağı devre dışı bırakmak için yeterlidir; tek vuruşta uçak 0,2 olasılıkla, iki vuruşta ise 0,6 olasılıkla başarısız olur. Üç atış sonucunda uçağın devre dışı kalma olasılığını bulun.
Çözüm. Dört hipotezi ele alalım:
Uçağa tek mermi isabet etmedi
Uçağa bir mermi isabet etti
Uçağa iki mermi isabet etti
Uçağa üç mermi isabet etti.
Toplama ve çarpma teoremlerini kullanarak bu hipotezlerin olasılıklarını buluruz:
Bu hipotezler kapsamında olayın (uçak arızası) koşullu olasılıkları şuna eşittir:
Toplam olasılık formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
Toplam olasılık formülünde karşılık gelen terim ortadan kalktığı için ilk hipotezin dikkate alınamadığına dikkat edin. Bu, genellikle toplam olasılık formülünü uygularken, uyumsuz hipotezlerin tamamını değil, yalnızca belirli bir olayın mümkün olduğu hipotezleri dikkate alarak yapılan şeydir.
Örnek 3. Motorun çalışması iki regülatör tarafından kontrol edilmektedir. Motorun sorunsuz çalışmasının sağlanmasının istendiği belirli bir süre dikkate alınır. Her iki regülatör de mevcutsa büyük ihtimalle motor arızalanır, sadece birincisi çalışırsa büyük ihtimalle, sadece ikincisi çalışırsa büyük ihtimalle, her iki regülatör de arızalanırsa büyük ihtimalle motor arızalanır. Düzenleyicilerden ilki güvenilirliğe sahiptir, ikincisi ise -. Tüm elemanlar birbirinden bağımsız olarak arızalanır. Motorun toplam güvenilirliğini (arızasız çalışma olasılığı) bulun.
Hadi düşünelim bağımlı olay yalnızca uyumsuz olanlardan birinin uygulanması sonucu ortaya çıkabilen hipotezler
, Hangi şekilde tam grup. Olasılıklarının ve bunlara karşılık gelen koşullu olasılıkların bilinmesine izin verin. O halde olayın gerçekleşme olasılığı:
Bu formül denir toplam olasılık formülleri. Ders kitaplarında kanıtı temel olan bir teorem olarak formüle edilmiştir: göre olayların cebiri, (bir olay meydana geldi Ve veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra veya …. veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra). hipotezlerden bu yana uyumsuzsa ve olay bağımlıysa, o zaman buna göre uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremi (ilk adım) Ve olasılık çarpım teoremi bağımlı olaylar
(ikinci adım):
Sorun 1
Üç tane birbirinin aynısı kavanoz var. İlk torbada 4 beyaz ve 7 siyah top, ikincisinde yalnızca beyaz toplar ve üçüncüsünde yalnızca siyah toplar bulunmaktadır. Bir torba rastgele seçiliyor ve içinden rastgele bir top çekiliyor. Bu topun siyah olma olasılığı nedir?
Çözüm: olayı düşünün - rastgele seçilen bir torbadan siyah bir top çekilecek. Bu olay aşağıdaki hipotezlerden birinin sonucu olarak ortaya çıkabilir:
– 1. torba seçilecektir;
– 2. vazo seçilecektir;
– 3. urn seçilecektir.
Kap rastgele seçildiği için üç kaptan herhangi birinin seçimi eşit derecede mümkün, buradan: 
Lütfen yukarıdaki hipotezlerin oluştuğunu unutmayın. tam bir etkinlik grubu yani duruma göre siyah top ancak bu torbalardan çıkabilir ve örneğin bilardo masasından gelemez. Basit bir ara kontrol yapalım: 
, Tamam, devam edelim:
İlk torbada 4 beyaz + 7 siyah = 11 top bulunur. klasik çözünürlüklü:
– siyah top çekme olasılığı verilen 1. urn seçilecektir.
İkinci kavanozda sadece beyaz toplar var, yani eğer seçilirse siyah topun görünümü olur imkansız: .
Ve son olarak üçüncü kutuda sadece siyah toplar var, bu da karşılık gelen toplar anlamına geliyor. şartlı olasılık siyah topun çıkarılması olacak (olay güvenilirdir).
Toplam olasılık formülüne göre:
– Rastgele seçilen bir torbadan siyah bir topun çekilme olasılığı.
Cevap:
Sorun 2
Atış poligonunda değişen doğrulukta 5 tüfek bulunur. Belirli bir atıcının hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir 
ve 0,4. Atıcı rastgele seçilen bir tüfekle tek atış yaparsa hedefi vurma olasılığı nedir?
Sorun 3
Piramitte üçü optik görüşle donatılmış 5 tüfek var. Atıcının teleskopik görüşlü bir tüfekle ateş ederken hedefi vurma olasılığı 0,95; tüfek için olmadan optik görüş bu olasılık 0,7'dir. Atıcının rastgele aldığı bir tüfekle tek atış yapması durumunda hedefin vurulma olasılığını bulun.
Çözüm: Bu problemde tüfeklerin sayısı bir öncekindekiyle tamamen aynı, ancak yalnızca iki hipotez var:
- atıcı optik görüşe sahip bir tüfek seçecektir;
– atıcı optik görüşü olmayan bir tüfek seçecektir.
İle olasılığın klasik tanımı: 
.
Kontrol:
Sorun 4
Motor üç modda çalışır: normal, zorunlu ve rölanti. Boş modda, arıza olasılığı 0,05, normal çalışma modunda - 0,1 ve zorunlu modda - 0,7'dir. Motorun %70'i normal modda, %20'si ise zorunlu modda çalışır. Çalışma sırasında motor arızası olasılığı nedir?
Örnek 1. İlk torbada: üç kırmızı, bir beyaz top. İkinci torbada: bir kırmızı, üç beyaz top. Bir madeni para rastgele atılıyor: eğer bir arma ise, ilk torbadan, değilse ikinciden seçilir.
Çözüm:
a) Kırmızı topun çekilme olasılığı
A – kırmızı bir top var
P 1 - arması düştü, P 2 - aksi takdirde
b) Kırmızı top seçilir. Birinci torbadan ikinci torbaya alınma olasılığını bulunuz.
B 1 – ilk torbadan, B 2 – ikinci torbadan
,
Örnek 2. Bir kutuda 4 top vardır. Şunlar olabilir: yalnızca beyaz, yalnızca siyah veya beyaz ve siyah. (Bileşimi bilinmiyor).
Çözüm:
A – beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı
a) Tamamen beyaz:
(beyaz olanların olduğu üç seçenekten birinin olma olasılığı)
(herkesin beyaz olduğu yerde beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı)
b) Herkesin siyah olduğu yere çekildi
c) herkesin beyaz ve/veya siyah olduğu seçeneğini kaldırdı
- en az biri beyaz
P a +P b +P c =
Örnek 3. Bir torbada 5 beyaz ve 4 siyah top vardır. İçerisinden arka arkaya 2 top alınıyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.
Çözüm:
5 beyaz, 4 siyah top
P(A 1) – beyaz top dışarı çıkarıldı
P(A 2) – ikinci topun da beyaz olma olasılığı
P(A) – arka arkaya seçilen beyaz toplar
Örnek 3a. Paket içerisinde 2 adet sahte ve 8 adet gerçek banknot bulunmaktadır. Paketten art arda 2 banknot çıkarıldı. Her ikisinin de sahte olma olasılığını bulun.
Çözüm:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Örnek 4. 10 kutu var. 2 siyah ve 2 beyaz topun bulunduğu 9 kutu vardır. 1 torbada 5 beyaz ve 1 siyah vardır. Rastgele alınan bir torbadan bir top çekildi.
Çözüm:
P(A)-? İçinde 5 beyaz top bulunan bir torbadan beyaz bir top alınıyor
B – 5 beyaz içeren bir torbadan çekilme olasılığı
, - başkalarından çıkarıldı
C 1 – 9. seviyede beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı.
C 2 – 5 adet beyaz topun ortaya çıkma olasılığı
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Örnek 5. 20 silindirik silindir ve 15 koni şeklinde silindir. Toplayıcı önce 1 silindir alır, ardından bir tane daha alır.
Çözüm:
a) her iki silindir de silindiriktir
P(C1)=; P(Ts2)=
C 1 – birinci silindir, C 2 – ikinci silindir
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) En az bir silindir
K 1 – ilk koni biçimli.
K 2 - ikinci koni şeklinde.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) ilk silindir, ancak ikinci değil
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Tek bir silindir değil.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Tam olarak 1 silindir
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Örnek 6. Bir kutuda 10 adet standart parça ve 5 adet arızalı parça bulunmaktadır.
Üç parça rastgele çizilir
a) Bir tanesi arızalı
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – kusurlu ürün olasılığı
q – standart parçaların olasılığı
n=3, üç parça
b) Üç parçadan ikisi arızalı P(2)
c) en az bir standart
P(0) - kusurlu değil
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - en az bir parçanın standart olma olasılığı
Örnek 7. 1. torbada 3 beyaz ve siyah top, 2. torbada ise 3 beyaz ve 4 siyah top bulunmaktadır. 1. torbadan 2. torbaya bakmadan 2 top atılıyor ve 2. torbadan 2 top çekiliyor. Onların olma olasılığı nedir? farklı renkler?
Çözüm:
Topları ilk torbadan taşırken aşağıdaki seçenekler mümkündür:
a) arka arkaya 2 beyaz top çıkardı
PBB 1 =
İkinci adımda her zaman bir top eksik olacaktır, çünkü ilk adımda bir top zaten dışarı alınmıştır.
b) bir beyaz ve bir siyah topu çıkardı
Önce beyaz topun, sonra siyah topun çekildiği durum
P savaş başlığı =
Önce siyah topun, sonra beyaz topun çekildiği durum
P BW =
Toplam: P savaş başlığı 1 =
c) arka arkaya 2 siyah top çıkardı
PHH1 =
Birinci torbadan ikinci torbaya 2 top aktarıldığı için ikinci torbadaki topların toplam sayısı 9 (7+2) olacaktır. Buna göre olası tüm seçenekleri arayacağız:
a) İkinci torbadan önce beyaz, sonra siyah bir top alınır.
P BB 2 P BB 1 - ilk torbadan art arda 2 beyaz top çekilmesi koşuluyla önce beyaz bir topun, ardından siyah bir topun çekilme olasılığı anlamına gelir. Bu durumda beyaz topların sayısının 5 (3+2) olmasının nedeni budur.
P BC 2 P BC 1 - ilk torbadan beyaz ve siyah topların çekilmesi koşuluyla, önce beyaz bir topun, ardından siyah bir topun çekilme olasılığı anlamına gelir. Bu nedenle bu durumda beyaz topların sayısı 4 (3+1), siyah topların sayısı ise beş (4+1)'dir.
P BC 2 P BC 1 - her iki siyah topun da sıradaki ilk torbadan çekilmesi koşuluyla, önce beyaz bir topun, ardından siyah bir topun çekilme olasılığı anlamına gelir. Bu durumda siyah topların sayısının 6 (4+2) olmasının nedeni budur.
Çekilen 2 topun farklı renkte olma olasılığı şuna eşittir:
Cevap: P = 0,54
Örnek 7a. 5 beyaz ve 3 siyah topun bulunduğu 1. torbadan 2 top, 2 beyaz ve 6 siyah topun bulunduğu 2. torbaya rastgele aktarıldı. Daha sonra 2. torbadan rastgele 1 top çekildi.
1) 2. torbadan çekilen topun beyaz çıkma olasılığı nedir?
2) 2. torbadan alınan topun beyaz olduğu ortaya çıktı. Topların 1. torbadan 2. torbaya aktarılma olasılığını hesaplayın farklı renk.
Çözüm.
1) Olay A - 2. torbadan çekilen topun beyaz olduğu ortaya çıkar. Bu olayın gerçekleşmesi için aşağıdaki seçenekleri ele alalım.
a) Birinci torbadan ikinci torbaya iki beyaz top yerleştirildi: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
İkinci torbada toplam 4 beyaz top var. O halde ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448'dir.
b) Beyaz ve siyah toplar birinci torbadan ikinci torbaya yerleştirildi: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
İkinci torbada toplam 3 beyaz top var. O zaman ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448'dir.
c) Birinci torbadan ikinci torbaya iki siyah top yerleştirildi: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
İkinci torbada toplam 2 beyaz top var. O halde ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448'dir.
Bu durumda 2. torbadan çekilen topun beyaz çıkma olasılığı:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) 2. torbadan alınan topun beyaz olduğu ortaya çıktı, yani. toplam olasılık P(A)=13/32'dir.
Farklı renkteki (siyah ve beyaz) topların ikinci torbaya konulması ve beyaz seçilmesi olasılığı: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Örnek 7b. Birinci torbada 8 beyaz ve 3 siyah top, ikinci torbada ise 5 beyaz ve 3 siyah top bulunmaktadır. Birinciden rastgele bir top, ikinciden ise iki top seçiliyor. Daha sonra seçilen üç toptan rastgele bir top alınır. Bu son topun siyah olduğu ortaya çıktı. İlk torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığını bulun.
Çözüm.
A olayının tüm çeşitlerini ele alalım; üç toptan çekilen topun siyah olduğu ortaya çıkıyor. Üç topun arasında siyah olan nasıl olabilirdi?
a) Birinci torbadan bir siyah top, ikinci torbadan ise iki beyaz top alınmıştır.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Birinci torbadan bir siyah top, ikinci torbadan iki siyah top alındı.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Birinci torbadan bir siyah top, ikinci torbadan bir beyaz ve bir siyah top alındı.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Birinci torbadan bir beyaz top, ikinci torbadan ise iki siyah top alınmıştır.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Birinci torbadan bir beyaz top, ikinci torbadan bir beyaz ve bir siyah top alındı.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Toplam olasılık şu şekildedir: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Beyaz bir torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Üç toptan siyah bir top seçildiğine göre, ilk torbadan beyaz bir topun seçilme olasılığı şuna eşittir:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Örnek 7c. Birinci torbada 12 beyaz ve 16 siyah top, ikinci torbada ise 8 beyaz ve 10 siyah top bulunmaktadır. Aynı zamanda 1. ve 2. torbalardan bir top çekilir, karıştırılır ve her torbaya birer tane geri gönderilir. Daha sonra her torbadan bir top çekiliyor. Aynı renkte oldukları ortaya çıktı. 1. torbada başlangıçtaki kadar beyaz top kalma olasılığını belirleyin.
Çözüm.
Olay A - 1. ve 2. torbalardan aynı anda bir top çekiliyor.
İlk torbadan beyaz bir top çekme olasılığı: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
İlk torbadan siyah top çekme olasılığı: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
İkinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı: P2(B) = 8/18 = 4/9
İkinci torbadan siyah top çekme olasılığı: P2(H) = 10/18 = 5/9
A olayı gerçekleşti. Olay B: Her torbadan bir top çekiliyor. Karıştırıldıktan sonra beyaz veya siyah topun torbaya dönme olasılığı ½'dir.
B olayının seçeneklerini ele alalım - aynı renkte oldukları ortaya çıktı.
İlk kavanoz için
1) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve daha önce beyaz bir top çekilmiş olması şartıyla bir beyaz top çekildi, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir topun daha önce çekilmesi şartıyla beyaz bir top çekildi, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) İlk torbaya beyaz bir top konur ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekilir, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) İlk torbaya beyaz bir top konur ve siyah bir top çekilir, eğer daha önce siyah bir top çekilmişse, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve daha önce beyaz bir top çekilmiş olması koşuluyla beyaz bir top çekildi, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) İlk torbaya bir siyah top yerleştirildi ve daha önce siyah bir top çekilmesi şartıyla bir beyaz top çekildi, P1(B/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve siyah bir top çekildi, eğer daha önce siyah bir top çekilmişse, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
İkinci kavanoz için
1) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve daha önce beyaz bir top çekilmiş olması şartıyla bir beyaz top çekildi, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir topun daha önce çekilmesi şartıyla beyaz bir top çekildi, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) İlk torbaya beyaz bir top konur ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekilir, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir top çekildi, eğer daha önce siyah bir top çekilmişse, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) İlk torbaya siyah bir top atılıyor ve beyaz bir top çekiliyor, eğer daha önce beyaz bir top çekilmişse, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) İlk torbaya siyah bir top konuluyor ve siyah bir topun daha önce çekilmesi şartıyla beyaz bir top çekiliyor, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve daha önce siyah bir top çekilmiş olması koşuluyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Topların aynı renkte olduğu ortaya çıktı:
bir beyaz
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) siyah
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Örnek 7d. İlk kutuda sırasıyla 5 beyaz ve 4 mavi top, ikincisinde 3 ve 1 ve üçüncüsünde sırasıyla 4 ve 5 top bulunmaktadır. Rastgele bir kutu seçildi ve içinden çekilen bir topun mavi olduğu ortaya çıktı. Bu topun ikinci kutudan gelme olasılığı nedir?
Çözüm.
A - mavi top çekme olayı. Böyle bir olayın tüm olası sonuçlarını düşünelim.
H1 - ilk kutudan çekilen top,
H2 - ikinci kutudan çekilen top,
H3 - üçüncü kutudan çekilen top.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Problemin koşullarına göre A olayının koşullu olasılıkları şuna eşittir:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Bu topun ikinci kutudan gelme olasılığı:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Örnek 8. Her birinde 30 top bulunan beş kutuda 5 kırmızı top bulunur (bu H1 bileşimindeki bir kutudur), her birinde 20 top bulunan diğer altı kutuda 4 kırmızı top bulunur (bu H2 bileşimindeki bir kutudur). Rastgele alınan bir kırmızı topun ilk beş kutudan birinde bulunma olasılığını bulun.
Çözüm: Sorun toplam olasılık formülünü uygulamaktır.
P(H1) = 5/11
Olasılık herhangi Alınan top altı kutudan birinde bulunur:
P(H2) = 6/11
Olay gerçekleşti - kırmızı top çıkarıldı. Dolayısıyla bu iki durumda gerçekleşebilir:
a) ilk beş kutudan çıkarıldı.
P 5 = 5 kırmızı top * 5 kutu / (30 top * 5 kutu) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) diğer altı kutudan çıkarıldı.
P 6 = 4 kırmızı top * 6 kutu / (20 top * 6 kutu) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Toplam: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Buna göre rastgele çekilen bir kırmızı topun ilk beş kutudan birinde bulunma olasılığı:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Örnek 9. Torbanın içinde 2 beyaz, 3 siyah ve 4 kırmızı top bulunmaktadır. Rastgele üç top çekiliyor. En az iki topun aynı renkte olma olasılığı nedir?
Çözüm. Üç olası sonuç vardır:
a) Çekilen üç top arasında en az iki beyaz top vardı.
P b (2) = P 2b
Bu testlerin olası temel sonuçlarının toplam sayısı, 9 toptan 3 topun çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir:
Seçilen 3 toptan 2'sinin beyaz olma olasılığını bulalım.
2 beyaz top arasından seçilebilecek seçenek sayısı:
Diğer 7 top üçüncü top arasından seçilebilecek seçenek sayısı:
b) Çekilen üç top arasında en az iki siyah top vardı (yani 2 siyah veya 3 siyah).
Seçilen 3 toptan 2'sinin siyah olma olasılığını bulalım.
3 siyah top arasından seçim yapılabilecek seçenek sayısı:
Bir topun diğer 6 topu arasından seçilebilecek seçenek sayısı:
P 2h = 0,214
Seçilen topların tamamının siyah olma olasılığını bulalım.
Ph (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) Çekilen üç top arasında en az iki kırmızı top vardı (yani 2 kırmızı veya 3 kırmızı).
Seçilen 3 toptan 2 tanesinin kırmızı olma olasılığını bulalım.
4 siyah top arasından seçilebilecek seçenek sayısı:
Seçilebilecek seçenek sayısı: 5 beyaz top, kalan 1 beyaz top:
Seçilen topların tamamının kırmızı olma olasılığını bulalım.
P'den (2)'ye = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Bu durumda en az iki topun aynı renkte olma olasılığı şuna eşittir: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Örnek 10. İlk kavanozda 7'si beyaz olmak üzere 10 top bulunur; İkinci torbada 5'i beyaz olmak üzere 20 top bulunmaktadır. Her torbadan rastgele bir top çekiliyor ve daha sonra bu iki toptan rastgele bir top çekiliyor. Beyaz topun çekilme olasılığını bulunuz.
Çözüm. İlk torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı P(b)1 = 7/10'dur. Buna göre siyah topun çekilme olasılığı P(h)1 = 3/10'dur.
İkinci torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı P(b)2 = 5/20 = 1/4'tür. Buna göre siyah topun çekilme olasılığı P(h)2 = 15/20 = 3/4'tür.
Olay A – iki toptan beyaz bir top alınır
A olayının olası sonucunu ele alalım.
- Birinci torbadan beyaz bir top, ikinci torbadan da beyaz bir top çekildi. Daha sonra bu iki toptan beyaz bir top çekildi. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Birinci torbadan beyaz bir top, ikinci torbadan ise siyah bir top çekildi. Daha sonra bu iki toptan beyaz bir top çekildi. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Birinci torbadan siyah bir top, ikinci torbadan ise beyaz bir top çekildi. Daha sonra bu iki toptan beyaz bir top çekildi. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Örnek 11. Kutuda n tane tenis topu var. Bunlardan m oynandı. İlk oyunda rastgele iki top alınıp oyundan sonra geri atıldı. İkinci oyunda da rastgele iki top aldık. İkinci oyunun yeni toplarla oynanma olasılığı nedir?
Çözüm. A olayını düşünün; oyun yeni toplarla ikinci kez oynandı. Bakalım hangi olaylar buna yol açabilir?
Dışarı çekilmeden önce yeni topların sayısını g = n-m ile gösterelim.
a) İlk oyun için iki yeni top çıkarıldı.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) ilk oyunda yeni bir top çıkardılar ve bir tanesi zaten oynanmıştı.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) İlk oyunda oynanan iki top dışarı çekildi.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
İkinci oyunun olaylarına bakalım.
a) P1 koşulu altında iki yeni top çekildi: ilk oyun için yeni toplar zaten çekildiğinden, ikinci oyunda sayıları 2, g-2 azaldı.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) P2 koşulu altında iki yeni top çekildi: ilk oyun için zaten yeni bir top çekildiği için, ikinci oyunda sayıları 1 g-1 azaldı.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) P3 koşulu altında iki yeni top çekildi: daha önce ilk oyunda yeni top kullanılmadığından, ikinci oyunda sayıları değişmedi g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Toplam olasılık P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Cevap: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Örnek 12. Birinci, ikinci ve üçüncü kutularda 2 beyaz ve 3 siyah top, dördüncü ve beşinci kutularda ise 1 beyaz ve 1 siyah top bulunmaktadır. Rastgele bir kutu seçiliyor ve içinden bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olması durumunda dördüncü veya beşinci kutunun seçilmesinin koşullu olasılığı nedir?
Çözüm.
Her kutuyu seçme olasılığı P(H) = 1/5'tir.
A olayının (beyaz topun çekilmesi) koşullu olasılıklarını ele alalım.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Beyaz top çekmenin toplam olasılığı:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Dördüncü kutunun seçilmiş olma koşullu olasılığı
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Beşinci kutunun seçilmiş olma koşullu olasılığı
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Toplamda dördüncü veya beşinci kutunun seçilmesinin koşullu olasılığı şöyledir:
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Örnek 13. Torbada 7 beyaz ve 4 kırmızı top vardı. Daha sonra torbaya beyaz, kırmızı veya siyah renkte başka bir top atıldı ve karıştırıldıktan sonra bir top çıkarıldı. Kırmızı olduğu ortaya çıktı. a) Kırmızı topun konulma olasılığı nedir? b) siyah top?
Çözüm.
a) kırmızı top
Olay A - kırmızı top çekilir. Olay H - kırmızı top yerleştirildi. Torbaya kırmızı bir topun konulma olasılığı P(H=K) = 1/3
O zaman P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) siyah top
Olay A - kırmızı top çekilir. Olay H - siyah bir top yerleştirilir.
Torbaya siyah bir topun konulma olasılığı P(H=H) = 1/3
O zaman P(A|H=H)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111
Örnek 14. Topları olan iki kavanoz var. Birinde 10 kırmızı ve 5 mavi top, ikincisinde 5 kırmızı ve 7 mavi top var. Birinci torbadan rastgele bir kırmızı topun, ikinci torbadan ise mavi bir topun çekilmesi olasılığı nedir?
Çözüm. A1 olayının ilk torbadan çekilen kırmızı bir top olmasına izin verin; A2 - ikinci torbadan mavi bir top çekiliyor:
,
A1 ve A2 olayları bağımsızdır. A1 ve A2 olaylarının ortak gerçekleşme olasılığı eşittir:
Örnek 15. Bir deste kart var (36 adet). Art arda rastgele iki kart çekiliyor. Çekilen her iki kartın da kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm. A 1 olayı çekilen ilk kırmızı kart olsun. Olay A 2 - çekilen ikinci kırmızı kart. B - çıkarılan her iki kart da kırmızıdır. Hem A 1 olayı hem de A 2 olayının gerçekleşmesi gerektiğine göre B = A 1 · A 2 . A 1 ve A 2 olayları bağımlıdır, dolayısıyla P(B):
,
Buradan
Örnek 16. İki kavanozda sadece renkleri farklı olan toplar var ve ilk torbada 5 beyaz top, 11 siyah ve 8 kırmızı top, ikincisinde ise sırasıyla 10, 8, 6 top var. Her iki torbadan da rastgele bir top çekiliyor. Her iki topun da aynı renk olma olasılığı nedir?
Çözüm. Dizin 1'in anlamı olsun Beyaz renk, dizin 2 - siyah; 3 - kırmızı renk. A i olayı, ilk torbadan i'inci renkteki bir topun çekilmesi olsun; Bj olayı - ikinci torbadan j renginde bir top çekiliyor; olay A - her iki top da aynı renktedir.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. A i ve Bj olayları bağımsızdır ve A i · B i ve A j · Bj, i ≠ j için uyumsuzdur. Buradan,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Örnek 17. İçinde 3 beyaz ve 2 siyah top bulunan bir torbadan, siyah görünene kadar toplar teker teker çekiliyor. Torbadan 3 topun çekilmesi olasılığını bulunuz? 5 top mu?
Çözüm.
1) Torbadan 3 topun çekilme olasılığı (yani üçüncü topun siyah ve ilk ikisinin beyaz olması).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) Torbadan 5 topun çekilmesi olasılığı
Bu durum mümkün değil çünkü sadece 3 beyaz top.
P=0
4) Birbirinin aynısı olan üç kutu var: ilkinde 5 beyaz ve 10 siyah top var; ikincisinde 9 beyaz ve 6 siyah top bulunur; üçüncüsünde sadece siyah toplar var. Rastgele seçilen bir torbadan bir top çekiliyor. Bu topun siyah olma olasılığı nedir?
Çözüm
Etkinlik A- siyah bir top çıkardı. Etkinlik A
H
H
H
Oy sandıkları aynı göründüğüne göre:
A Her hipotez için.
Siyah top ilk torbadan alındı:
Aynı şekilde:
Cevap:
5) İki kutu var: İlkinde 5 beyaz ve 10 siyah top var; ikinci torbada 9 beyaz ve 6 siyah top bulunmaktadır. Bir top, ilk torbadan ikinci torbaya bakmadan aktarılıyor. Daha sonra ikinci torbadan bir top çekiliyor. Bu topun siyah olma olasılığını bulunuz.
Çözüm
Etkinlik A– ikinci torbadan siyah bir top alındı. Etkinlik A uyumsuz olaylardan (hipotezler) biriyle gerçekleşebilir:
H 1 – beyaz bir top birinci torbadan ikinci torbaya aktarıldı;
H 2 – birinci torbadan ikinci torbaya siyah bir top aktarıldı.
Hipotezlerin olasılıkları:
Olayın koşullu olasılıklarını bulalım A. Beyaz bir top birinci torbadan ikinci torbaya aktarılırsa, ikinci torbada 10 beyaz ve 6 siyah top bulunur. Bu, ondan siyah bir top alma olasılığının şuna eşit olduğu anlamına gelir:
Aynı şekilde:
Toplam olasılık formülüne göre:
Cevap:
6) Üç kutu var: ilkinde 5 beyaz ve 10 siyah top var; ikincisinde 9 beyaz ve 6 siyah top bulunur; üçüncü torbada 15 siyah top bulunur (beyaz top yoktur). Rastgele seçilen bir torbadan bir top alındı. Bu topun siyah olduğu ortaya çıktı. Topun ikinci torbadan çekilme olasılığını bulunuz.
Çözüm
Etkinlik A– Rastgele seçilen bir torbadan bir top alındı.
Etkinlik A uyumsuz olaylardan (hipotezler) biriyle gerçekleşebilir:
H 1 – top ilk torbadan alındı;
H 2 – top ikinci torbadan alındı;
H 3 – Top üçüncü torbadan alındı.
Hipotezlerin önceki olasılıkları şunlardır:
Problem 4'te olayın koşullu olasılıkları bulunur A ve toplam olasılığı:
Bayes formülünü kullanarak hipotezin sonsal olasılığını bulalım. H 2 .
Siyah top ikinci torbadan alınır:
Şimdi karşılaştıralım ve:
Dolayısıyla, eğer siyah bir topun çekildiği biliniyorsa, bu topun ikinci torbadan çekilme olasılığı azalır (bu, ikinci torbanın en az sayıda siyah top içermesi koşuluna karşılık gelir).
Cevap: .
Bernoulli'nin formülü
7) Ailede altı çocuk var. Kız çocuğu sahibi olma olasılığı 0,49'dur. Bu çocuklardan birinin kız olma olasılığını bulun.
Çözüm
Etkinlik A- bir kız doğdu.
P= P(A) = 0,49;
Q= 1 – P= 1 – 0,49 = 0,51.
Bernoulli formülü:
Sadece altı çocuk, yani N=6.
Aralarında tam olarak bir kız olma olasılığını bulmamız gerekiyor, bu da şu anlama geliyor: M= 1.
Cevap:
8) Segment AB tam olarak bölünmüş C 2:1 oranında. Bu bölüme rastgele 6 puan atılır. Bir noktanın bir parçaya düşme olasılığının parçanın uzunluğu ile orantılı olduğu ve konumuna bağlı olmadığı varsayılmaktadır. Birden fazla noktanın olma olasılığını bulun noktanın sağında C.
Çözüm
Etkinlik A– parçanın üzerine rastgele bir nokta düşüyor C.B.(noktanın sağında C).
Çünkü C böler AB 2:1 oranında, o zaman:
2C.B.=AC.;
2C.B.+C.B.=AC.+C.B.;
3C.B.=AB;
Olasılığın geometrik tanımına dayanarak şunu elde ederiz:
Bernoulli'nin formülü.
Toplam olasılık formülü bir olayın olasılığını bulmanızı sağlar A, bu yalnızca her biriyle gerçekleşebilir N Olasılıkları biliniyorsa, tam bir sistem oluşturan birbirini dışlayan olaylar ve koşullu olasılıklar olaylar A sistem olaylarının her birine göre eşittir.
Olaylara hipotez de denir; bunlar birbirini dışlar. Bu nedenle literatürde isimlerini harfle değil de bulabilirsiniz. B ve mektup H(hipotez).
Bu tür koşullardaki sorunları çözmek için 3, 4, 5'i veya genel durumu dikkate almak gerekir. N bir olayın meydana gelme olasılığı A- her etkinlikte.
Olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremlerini kullanarak, sistemdeki her bir olayın olasılığının çarpımlarının toplamını şu şekilde elde ederiz: şartlı olasılık olaylar A sistem olaylarının her biri ile ilgili. Yani bir olayın gerçekleşme olasılığı A formül kullanılarak hesaplanabilir
veya genel olarak
,
buna denir toplam olasılık formülü .
Toplam olasılık formülü: problem çözme örnekleri
Örnek 1. Birbirinin aynısı olan üç kutu var: İlkinde 2 beyaz ve 3 siyah top var, ikincisinde 4 beyaz ve bir siyah, üçüncüsünde ise üç beyaz top var. Birisi rastgele bir torbaya yaklaşıyor ve içinden bir top çıkarıyor. Faydalanmak toplam olasılık formülü Bu topun beyaz olma olasılığını bulunuz.
Çözüm. Etkinlik A- beyaz bir topun görünümü. Üç hipotez öne sürdük:
İlk vazo seçilir;
İkinci vazo seçilir;
Üçüncü urn seçilir.
Bir olayın koşullu olasılıkları A hipotezlerin her biri ile ilgili olarak:
,
,
.
Toplam olasılık formülünü uygulayarak gerekli olasılığı elde ederiz:
.
Örnek 2. Birinci fabrikada her 100 ampulden ortalama 90 adet, ikinci fabrikada 95'i, üçüncü fabrikada 85'i standart ampul üretilmekte olup, bu fabrikaların ürünleri sırasıyla %50, %30 ve %30'unu oluşturmaktadır. Belirli bir bölgedeki mağazalara sağlanan tüm ampullerin %20'si. Standart bir ampul satın alma olasılığını bulun.
Çözüm. Standart bir ampul satın alma olasılığını şu şekilde ifade edelim: A ve satın alınan ampulün sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü fabrikalarda üretildiği olayları. Koşullu olarak, bu olayların olasılıkları bilinir: , ve olayın koşullu olasılıkları A her biri hakkında: 
,
,
. Bunlar sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü fabrikada üretilmesi koşuluyla standart bir ampul satın alma olasılıklarıdır.
Etkinlik A bir olay meydana gelirse meydana gelir k- Ampul ilk fabrikada üretilir ve standarttır veya olaydır L- ampul ikinci bir tesiste üretilmiştir ve standarttır veya olaydır M- Ampul üçüncü fabrikada üretilmiştir ve standarttır. Olayın gerçekleşmesi için diğer olasılıklar A HAYIR. Bu nedenle olay A olayların toplamıdır k, L Ve M uyumsuz olanlardır. Olasılık toplama teoremini kullanarak bir olayın olasılığını hayal ederiz A gibi
ve olasılık çarpım teoremi ile şunu elde ederiz
yani, toplam olasılık formülünün özel durumu.
Olasılık değerlerini formülün sol tarafına yazarak olayın olasılığını elde ederiz. A :
Örnek 3. Uçak havaalanına iniyor. Hava izin verirse pilot, aletlerin yanı sıra görsel gözlem de kullanarak uçağı indirir. Bu durumda güvenli iniş olasılığı eşittir. Havaalanı alçak bulutlarla kaplıysa pilot, yalnızca aletlerin rehberliğinde uçağı indirir. Bu durumda güvenli iniş olasılığı; . Kör iniş sağlayan cihazlar güvenilirdir (arızasız çalışma olasılığı) P. Alçak bulutların ve kör iniş araçlarının arızalı olduğu durumlarda başarılı iniş olasılığı; . İstatistikler gösteriyor ki kİnişlerin yüzdesi havaalanı alçak bulutlarla kaplıdır. Bulmak bir olayın toplam olasılığı A- uçağın güvenli inişi.
Çözüm. Hipotezler:
Alçak bulut yok;
Alçak bulutlar var.
Bu hipotezlerin (olayların) olasılıkları:
;
Şartlı olasılık.
Yine hipotezlerle birlikte toplam olasılık formülünü kullanarak koşullu olasılığı bulacağız.
Kör iniş cihazları çalışır durumda;
Kör iniş aletleri başarısız oldu.
Bu hipotezlerin olasılıkları:
Toplam olasılık formülüne göre
Örnek 4. Cihaz iki modda çalışabilir: normal ve anormal. Cihazın tüm çalışma durumlarının% 80'inde normal mod ve vakaların% 20'sinde anormal mod gözlenir. Belirli bir süre içinde cihazın arızalanma olasılığı T 0,1'e eşit; anormal 0.7'de. Bulmak tam olasılık cihazın zamanla arızalanması T.
Çözüm. Yine cihazın arızalanma olasılığını şu şekilde belirtiyoruz: A. Dolayısıyla, cihazın her modda (olay) çalışmasına ilişkin olasılıklar duruma göre bilinir: normal mod için bu% 80 (), anormal mod için -% 20 (). Olayın olasılığı A(yani cihaz arızası) ilk olaya (normal mod) bağlı olarak 0,1'e () eşittir; ikinci olaya bağlı olarak (anormal mod) - 0,7 ( 
). Bu değerleri toplam olasılık formülüne (yani, sistemdeki her bir olayın olasılığının, olayın koşullu olasılığına göre çarpımlarının toplamı) yerine koyarız. A sistem olaylarının her biri ile ilgili) ve önümüzde gerekli sonuç var.
