Ortaokulda (9. sınıf) cebir çalışırken önemli konulardan biri geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayısal dizilerin incelenmesidir. Bu yazıda aritmetik ilerlemeye ve çözümlü örneklere bakacağız.
Aritmetik ilerleme nedir?
Bunu anlamak için hem söz konusu ilerlemeyi tanımlamak hem de daha sonra problemlerin çözümünde kullanılacak temel formülleri sağlamak gerekir.
Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulup bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.
Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını yerine koyalım: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Böylece problemin ilk kısmını cevaplamış olduk.
Diziyi 7. terime geri döndürmek için tanımı kullanmalısınız. cebirsel ilerleme yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d vb. Sonuç olarak tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Örnek No. 3: bir ilerlemenin hazırlanması
Sorunu daha da karmaşık hale getirelim. Şimdi aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: İki sayı veriliyor örneğin - 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha yerleştirilecek şekilde cebirsel bir ilerleme oluşturmak gerekiyor.
Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede nasıl bir yer tutacağını anlamalısınız. Aralarında üç terim daha olacağı için a 1 = -4 ve a 5 = 5 olur. Bunu belirledikten sonra bir öncekine benzer probleme geçiyoruz. Yine formülü kullandığımız n'inci terim için şunu elde ederiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Başlangıç: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Burada elde ettiğimiz şey farkın tam sayı değeri değil, rasyonel bir sayıdır, dolayısıyla cebirsel ilerlemenin formülleri aynı kalır.
Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik terimlerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, bunlar çakıştı Sorunun koşulları ile.
Örnek No. 4: ilerlemenin ilk dönemi
Örnekler vermeye devam edelim aritmetik ilerleme bir çözümle. Önceki problemlerin hepsinde cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıyla başladığını bulmak gerekiyor.
Şu ana kadar kullanılan formüller a 1 ve d'nin bilgisini varsaymaktadır. Problem ifadesinde bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmemektedir. Bununla birlikte, hakkında bilgi bulunan her terim için ifadeleri yazacağız: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklem aldık. Bu, problemin bir doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgendiği anlamına gelir.
Bu sistemi çözmenin en kolay yolu, her denklemde 1'i ifade etmek ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırmaktır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dolayısıyla fark d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnızca 3 ondalık basamak verilmiştir).
D'yi bildiğinize göre, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin ilk olarak: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin durumda belirtilen ilerlemenin 43. dönemini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Küçük hata, hesaplamalarda binde birine yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.
Örnek No. 5: tutar
Şimdi aritmetik ilerlemenin toplamının çözümlerini içeren birkaç örneğe bakalım.
Aşağıdaki formun sayısal ilerlemesi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?
Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorunu çözmek, yani tüm sayıları sırayla eklemek mümkündür; kişi Enter tuşuna bastığı anda bilgisayarın yapacağı bunu yapar. Ancak sunulan sayı serisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1'e eşit olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Bu problemin “Gaussian” olarak adlandırılması ilginçtir çünkü 18. yüzyılın başında, henüz 10 yaşında olan ünlü Alman, bu problemi birkaç saniye içinde kafasında çözebilmiştir. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu ama dizinin sonundaki sayıları çiftler halinde toplarsanız her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100/2) olacağından doğru cevabı almak için 50'yi 101 ile çarpmak yeterlidir.
Örnek No. 6: n'den m'ye kadar terimlerin toplamı
Aritmetik ilerlemenin toplamının bir başka tipik örneği şudur: 3, 7, 11, 15, ... gibi bir sayı dizisi verildiğinde, 8'den 14'e kadar olan terimlerin toplamının neye eşit olacağını bulmanız gerekir. .
Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla toplamayı içerir. Terim sayısı az olduğundan bu yöntem pek emek yoğun değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci bir yöntemle çözülmesi önerilmektedir.
Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:
- S m = m * (bir m + bir 1) / 2.
- S n = n * (bir n + bir 1) / 2.
n > m olduğundan 2. toplamın birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda S n toplamından çıkarılırsa) soruna gerekli cevabı elde edeceğimiz anlamına gelir. Elimizde: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadede a n ve a m formüllerini yerine koymak gerekir. O zaman şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ortaya çıkan formül biraz hantaldır, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz: S mn = 301.
Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terimin ifadesi ve ilk terimler kümesinin toplamı formülü bilgisine dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, neyi bulmanız gerektiğini net bir şekilde anlamanız ve ancak bundan sonra çözüme devam etmeniz önerilir.
Başka bir ipucu da basitlik için çabalamaktır, yani bir soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabiliriz ve kırmak ortak görev ayrı alt görevlere (içinde bu durumdaönce a n ve a m) terimlerini bulun.
Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol etmeniz önerilir. Aritmetik ilerlemeyi nasıl bulacağımızı öğrendik. Bunu anlarsanız, o kadar da zor değil.
Her doğal sayı için ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR sonra verildi diyorlar sayı dizisi :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .
Dolayısıyla sayı dizisi doğal argümanın bir fonksiyonudur.
Sayı A 1 isminde dizinin ilk terimi , sayı A 2 — dizinin ikinci terimi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde n'inci terim diziler ve bir doğal sayı N — onun numarası .
İki bitişik üyeden BİR Ve BİR +1 dizi üyesi BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).
Bir dizi tanımlamak için, dizinin herhangi bir sayıdaki üyesini bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmeniz gerekir.
Çoğu zaman sıra kullanılarak belirtilir. n'inci terim formülleri yani bir dizinin bir üyesini numarasına göre belirlemenize olanak tanıyan bir formül.
Örneğin,
bir dizi pozitif tek sayı formülle verilebilir
BİR= 2N- 1,
ve alternatif dizi 1 Ve -1 - formül
B N = (-1)N +1 . ◄
Sıra belirlenebilir tekrarlanan formül, yani, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar dizinin herhangi bir üyesini ifade eden bir formül.
Örneğin,
Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Eğer 1= 1, bir 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , sonra ilk yedi üye sayı dizisi aşağıdaki gibi yükleyin:
1 = 1,
bir 2 = 1,
3 = 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,
4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sıralar olabilir son Ve sonsuz .
Sıra denir nihai Eğer sınırlı sayıda üyesi varsa. Sıra denir sonsuz sonsuz sayıda üyesi varsa.
Örneğin,
iki basamaklı dizi doğal sayılar:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Asal sayılar dizisi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sonsuz. ◄
Sıra denir artan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha büyükse.
Sıra denir azalan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.
Örneğin,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - artan sıra;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - azalan dizi. ◄
Sayı arttıkça elemanları azalmayan veya tam tersi artmayan diziye ne ad verilir? monoton dizi .
Monotonik diziler özellikle artan diziler ve azalan dizilerdir.
Aritmetik ilerleme
Aritmetik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin aynı sayının eklendiği bir öncekine eşit olduğu bir dizidir.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .
herhangi bir doğal sayı için aritmetik bir ilerlemedir N koşul yerine getirildi:
BİR +1 = BİR + D,
Nerede D - belirli bir sayı.
Böylece, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki terimleri arasındaki fark her zaman sabittir:
bir 2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.
Sayı D isminde aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.
Örneğin,
Eğer A 1 = 3, D = 4 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:
1 =3,
bir 2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,
3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N
BİR = 1 + (N- 1)D.
Örneğin,
Aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, D = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
bir n-1 = 1 + (N- 2)D,
BİR= 1 + (N- 1)D,
BİR +1 = A 1 + ve,
o zaman açıkçası
| BİR=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Bir aritmetik ilerlemenin ikinciden başlayarak her üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.
a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bir aritmetik ilerlemenin ardışık terimleridir.
Örneğin,
BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.
Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:
BİR = 2N- 7,
bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Buradan,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = BİR,
|
| 2
| 2
|
◄
Dikkat N Bir aritmetik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: A 1 , aynı zamanda daha önceki herhangi bir bir k
BİR = bir k + (N- k)D.
Örneğin,
İçin A 5 yazılabilir
5 = 1 + 4D,
5 = bir 2 + 3D,
5 = 3 + 2D,
5 = 4 + D. ◄
BİR = bir n-k + kd,
BİR = bir n+k - kd,
o zaman açıkçası
| BİR=
| A n-k
+bir n+k
|
| 2
|
Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik ilerlemenin eşit aralıklı üyelerinin toplamının yarısına eşittir.
Ayrıca herhangi bir aritmetik ilerleme için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
bir m + bir n = bir k + bir l,
m + n = k + l.
Örneğin,
aritmetik ilerlemede
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (bir 7 + bir 13)/2;
4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,
Birinci N Bir aritmetik ilerlemenin terimleri, uç terimlerin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpımına eşittir:
Buradan özellikle şu sonuç çıkar: terimleri toplamanız gerekiyorsa
bir k, bir k +1 , . . . , BİR,
bu durumda önceki formül yapısını korur:
Örneğin,
aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Aritmetik bir ilerleme verilirse, miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle birbirine bağlanır:
Bu nedenle eğer üç kelimesinin anlamları Bu miktarlardan biri verilir, daha sonra diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri bu formüllerden belirlenir ve iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilir.
Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. Burada:
- Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
- Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
- Eğer D = 0 , bu durumda dizi durağan olacaktır.
Geometrik ilerleme
Geometrik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu bir dizidir.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .
herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul yerine getirildi:
bn +1 = bn · Q,
Nerede Q ≠ 0 - belirli bir sayı.
Dolayısıyla, belirli bir geometrik ilerlemenin sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.
Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.
Geometrik bir ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.
Örneğin,
Eğer B 1 = 1, Q = -3 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:
b 1 = 1,
b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 ve payda Q o N Bu terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
bn = B 1 · qn -1 .
Örneğin,
geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
bn = b 1 · qn -1 ,
bn +1 = B 1 · qn,
o zaman açıkçası
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.
Bunun tersi de doğru olduğundan aşağıdaki ifade geçerlidir:
a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bir geometrik ilerlemenin ardışık terimleridir.
Örneğin,
Formülün verdiği diziyi kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:
bn= -3 2 N,
bn -1 = -3 2 N -1 ,
bn +1 = -3 2 N +1 .
Buradan,
bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
bu da istenen ifadeyi kanıtlıyor. ◄
Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir üye bk bunun için formülü kullanmak yeterlidir
bn = bk · qn - k.
Örneğin,
İçin B 5 yazılabilir
b5 = b 1 · Q 4 ,
b5 = b2 · 3. soru,
b5 = b3 · q 2,
b5 = b4 · Q. ◄
bn = bk · qn - k,
bn = bn - k · q k,
o zaman açıkçası
bn 2 = bn - k· bn + k
İkinciden başlayarak geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin karesi, bu ilerlemenin kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerinin çarpımına eşittir.
Ayrıca herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:
bm· bn= bk· b l,
M+ N= k+ ben.
Örneğin,
geometrik ilerlemede
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn
Birinci N paydalı geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:
Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre
Sn= not 1
Terimleri toplamanız gerekiyorsa şunu unutmayın:
bk, bk +1 , . . . , bn,
daha sonra formül kullanılır:
| Sn- Sk -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - Q
|
Örneğin,
geometrik ilerlemede 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Eğer verilirse geometrik ilerleme, ardından miktarlar B 1 , bn, Q, N Ve Sn iki formülle birbirine bağlanır:
Bu nedenle, bu miktarlardan herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.
İlk terimle geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluğun özellikleri :
- Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artıyor:
B 1 > 0 Ve Q> 1;
B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;
- Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme azalıyor:
B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;
B 1 < 0 Ve Q> 1.
Eğer Q< 0 , bu durumda geometrik ilerleme dönüşümlüdür: tek sayılı terimler ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimler ters işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.
İlk ürünün ürünü N geometrik ilerlemenin üyeleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Pn= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .
Örneğin,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Sonsuz azalan geometrik ilerleme
Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz geometrik ilerleme denir 1 , yani
|Q| < 1 .
Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor
1 < Q< 0 .
Böyle bir paydayla dizi değişiyor. Örneğin,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı ilklerin toplamının sınırsız olarak yaklaştığı sayıyı adlandırın N sayısında sınırsız bir artış olan bir ilerlemenin üyeleri N . Bu sayı her zaman sonludur ve aşağıdaki formülle ifade edilir:
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Örneğin,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki
Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneğe bakalım.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O
ba bir 1 , ba bir 2 , ba bir 3 , . . . b d .
Örneğin,
1, 3, 5, . . . - farkla aritmetik ilerleme 2 Ve
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - paydayla geometrik ilerleme 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . - paydayla geometrik ilerleme Q , O
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farkla aritmetik ilerleme bir günlüğe kaydetQ .
Örneğin,
2, 12, 72, . . . - paydayla geometrik ilerleme 6 Ve
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄
Numara dizisi
O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:
Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:
Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.
Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .
Bizim durumumuzda: 
Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin: 
vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından tanıtıldı ve daha geniş anlamda sonsuz bir sayısal dizi olarak anlaşıldı. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.
Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.
Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:
A)
B)
C)
D)
Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.
Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.
1. Yöntem
İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:
Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.
2. Yöntem
İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:
Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım: 
Başka bir deyişle:
Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.
Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:
Aritmetik ilerlemenin terimlerini sırayla önceki değere eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişisellikten arındırmaya" çalışalım - hadi hayata geçirelim Genel form ve şunu elde ederiz:
|
Aritmetik ilerleme denklemi. |
Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.
Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:
Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:
Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak, bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:
O zamandan beri:
Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.
Sonuçları karşılaştıralım:
Aritmetik ilerleme özelliği
Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:
Haydi o zaman:
Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.
Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:
- ilerlemenin önceki dönemi:
- ilerlemenin bir sonraki dönemi:
İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:
İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Yani önceki ve ardışık değerleri bilinen bir ilerleme teriminin değerini bulmak için bunları toplayıp bölmeniz gerekir.
Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.
Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye göre tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Karl Gauss tarafından kolayca çıkarılabilen tek bir formül bulmak kalıyor...
Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu görevi verdi: "Diğer kaynaklara göre dahil olan tüm doğal sayıların toplamını hesapla." Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözüpek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...
Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?
Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara daha yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın. 
Bunu denediniz mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir
Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak, toplam toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:
.
Böylece herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için formül şu şekilde olacaktır:
Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?
Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.
Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Karar verdiğin şey bu mu?
Aslında aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandılar.
Örneğin, Eski Mısır'ı ve o zamanın en büyük inşaat projesini hayal edin - bir piramidin inşası... Resimde bunun bir tarafı gösteriliyor. 
Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun. 
Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse bir duvar inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?
Bu durumda ilerleme şu şekilde görünür: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).
Yöntem 1.
Yöntem 2.
Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Becerebildin mi?
Doğru cevap bloklardır:
Eğitim
Görevler:
- Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
- İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
- Günlükleri saklarken, günlükçüler bunları, her üst katman bir öncekinden bir günlük daha az içerecek şekilde istifler. Duvar işçiliğinin temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?
Yanıtlar:
- Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
(haftalar = günler).Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.
- İlk tek sayı, son sayı.
Aritmetik ilerleme farkı.
Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:Sayılar tek sayılar içerir.
Mevcut verileri formülde değiştirelim:Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.
- Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir grup katman vardır, yani.
Verileri formülde yerine koyalım:Cevap: Duvarda kütükler var.
Özetleyelim
- - Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
- Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi - formülüyle yazılır; burada ilerlemedeki sayıların sayısı bulunur.
- Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
- Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:
değerlerin sayısı nerede.
ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE
Numara dizisi
Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.
Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.
Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin th üyesi denir.
Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .
Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilebilmesi çok uygundur. Örneğin, formül
sırayı ayarlar:
Ve formül aşağıdaki dizidir:
Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (buradaki ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).
n'inci terim formülü
Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:
Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin üçüncü terimini bulmak için önceki dokuz terimi hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:
Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?
Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:
Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:
Kendin için karar ver:
Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.
Çözüm:
İlk terim eşittir. Fark ne? İşte şu:
(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).
Yani formül:
O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:
'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?
Efsaneye göre büyük matematikçi Carl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. İlk ve son sayıların toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayıların toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve 3'üncü sayıların toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,
Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:
Örnek:
Hepsinin toplamını bulun çift haneli sayılar, katları.
Çözüm:
Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.
Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:
Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?
Çok kolay: .
İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:
Cevap: .
Şimdi kendiniz karar verin:
- Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
- Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
- Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan bir buzdolabının altı yıl sonra ruble karşılığında satılması durumunda, buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.
Yanıtlar:
- Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
.
Cevap: - Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
.
Değerleri değiştirin:Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
(km).
Cevap: - Verilen: . Bulmak: .
Daha basit olamazdı:
(ovmak).
Cevap:
ARİTMETİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA
Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.
Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.
Örneğin:
Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü
artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.
Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti
Bir ilerlemenin bir terimini, eğer komşu terimleri biliniyorsa (ilerlemedeki sayıların sayısı nerede) kolayca bulmanızı sağlar.
Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı
Tutarı bulmanın iki yolu vardır:
Değerlerin sayısı nerede.
Değerlerin sayısı nerede.
Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.
Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...
Ne için?
Başarılı için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...
Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.
Ancak asıl mesele bu değil.
Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?
BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.
Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.
Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.
Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.
Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
- Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.
Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.
“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Birçok kişi aritmetik ilerlemeyi duymuştur, ancak herkes bunun ne olduğu konusunda iyi bir fikre sahip değildir. Bu makalede ilgili tanımı vereceğiz ve ayrıca bir aritmetik ilerlemenin farkının nasıl bulunacağı sorusunu ele alacağız ve bir dizi örnek vereceğiz.
Matematiksel tanım
Dolayısıyla, eğer aritmetik veya cebirsel bir ilerlemeden bahsediyorsak (bu kavramlar aynı şeyi tanımlar), o zaman bu, şu yasayı karşılayan belirli bir sayı serisinin olduğu anlamına gelir: serideki her iki bitişik sayı aynı değerde farklılık gösterir. Matematiksel olarak şöyle yazılır:
Burada n, dizideki a n öğesinin sayısı anlamına gelir ve d sayısı ilerlemenin farkıdır (adı sunulan formülden gelir).
Farkı bilmek ne anlama geliyor? Komşu sayıların birbirinden ne kadar "uzak" olduğu hakkında. Bununla birlikte, d'nin bilgisi tüm ilerlemeyi belirlemek (geri yüklemek) için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Söz konusu serinin kesinlikle herhangi bir öğesi olabilecek bir sayı daha bilmek gerekir, örneğin 4, a10, ancak kural olarak ilk sayıyı, yani 1'i kullanırlar.
İlerleme öğelerini belirlemek için formüller
Genel olarak yukarıdaki bilgiler zaten çözüme geçmek için yeterli özel görevler. Bununla birlikte, aritmetik ilerleme verilmeden önce ve bunun farkını bulmak gerekli olacak, birkaç yararlı formül sunacağız, böylece sonraki problem çözme sürecini kolaylaştıracağız.
N numaralı dizinin herhangi bir elemanının aşağıdaki şekilde bulunabileceğini göstermek kolaydır:
bir n = bir 1 + (n - 1) * d
Aslında herkes bu formülü basit bir aramayla kontrol edebilir: n = 1 yerine koyarsanız ilk öğeyi alırsınız, n = 2 yerine koyarsanız ifade ilk sayının toplamını ve farkı verir, vb.
Pek çok problemin koşulları öyle bir şekilde oluşturulmuştur ki, sayıları da sırayla verilen bilinen bir sayı çifti verildiğinde, tüm sayı serisinin yeniden yapılandırılması (farkın ve ilk elemanın bulunması) gerekli olacaktır. Şimdi bu sorunu genel biçimde çözeceğiz.
O halde sayıları n ve m olan iki eleman verilsin. Yukarıda elde edilen formülü kullanarak iki denklemden oluşan bir sistem oluşturabilirsiniz:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Bilinmeyen miktarları bulmak için bilinenleri kullanırız basit numara böyle bir sistemin çözümü: çiftler halinde sol ve sağ tarafları çıkarın, eşitlik geçerli kalacaktır. Sahibiz:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
bir n - bir m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Böylece bir bilinmeyeni (a 1) hariç tuttuk. Artık d'yi belirlemek için son ifadeyi yazabiliriz:
d = (a n - a m) / (n - m), burada n > m
Çok basit bir formül aldık: Sorunun koşullarına göre d farkını hesaplamak için, yalnızca elemanların kendileri ile bunların arasındaki farkların oranını almak gerekir. seri numaraları. Birine dikkat etmeli önemli nokta Dikkat: "en yüksek" ve "en düşük" üyeler arasındaki farklar dikkate alınır, yani n > m ("en yüksek", dizinin başlangıcından daha uzakta bulunan anlamına gelir; mutlak değeri şundan büyük veya küçük olabilir: “küçük” unsur).
İlk terimin değerini elde etmek için, problemin çözümünün başında fark d ilerlemesi ifadesi herhangi bir denklemde değiştirilmelidir.
Bilgisayar teknolojisinin geliştiği çağımızda, pek çok okul çocuğu ödevlerine internette çözüm bulmaya çalışıyor, bu nedenle bu tür sorular sıklıkla ortaya çıkıyor: aritmetik ilerlemenin farkını çevrimiçi olarak bulun. Böyle bir talep için, arama motoru, durumdan bilinen verileri girmeniz gereken bir dizi web sayfasını döndürecektir (bu, ilerlemenin iki terimi veya belirli bir sayısının toplamı olabilir) ) ve anında bir cevap alın. Ancak problemin çözümüne yönelik bu yaklaşım, öğrencinin gelişimi ve kendisine verilen görevin özünü anlaması açısından verimsizdir.
Formül kullanmadan çözüm
Verilen formüllerden hiçbirini kullanmadan ilk problemi çözelim. Serinin elemanları verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Aritmetik ilerlemenin farkını bulun.
Bilinen unsurlar üst üste birbirine yakın durmaktadır. En büyüğü elde etmek için d farkının en küçüğüne kaç kez eklenmesi gerekir? Üç kez (ilk kez d'yi eklediğimizde 7. elementi elde ederiz, ikinci kez - sekizinci, son olarak üçüncü kez - dokuzuncu). 18 elde etmek için üçe üç kez hangi sayı eklenmelidir? Bu beş numara. Gerçekten mi:
Böylece bilinmeyen fark d = 5 olur.
Elbette uygun formül kullanılarak çözüm gerçekleştirilebilirdi ancak bu kasıtlı olarak yapılmadı. Sorunun çözümünün detaylı açıklaması açık ve net olmalıdır. parlak bir örnek Aritmetik ilerleme nedir?
Öncekine benzer bir görev
Şimdi benzer bir sorunu çözelim ancak giriş verilerini değiştirelim. Yani a3 = 2, a9 = 19 ise bulmalısınız.
Elbette yine “kafa kafaya” çözüm yöntemine başvurabilirsiniz. Ancak serinin birbirinden nispeten uzak olan elemanları verildiği için bu yöntem tam olarak uygun olmayacaktır. Ancak ortaya çıkan formülü kullanmak bizi hızla cevaba götürecektir:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Burada son sayıyı yuvarladık. Bu yuvarlamanın ne ölçüde hataya yol açtığı, sonuç kontrol edilerek değerlendirilebilir:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Bu sonuç, koşulda verilen değerden yalnızca %0,1 farklıdır. Bu nedenle en yakın yüzlüğe yuvarlamanın başarılı bir seçim olduğu düşünülebilir.
Bir terim için formülün uygulanmasıyla ilgili sorunlar
Bilinmeyen d'yi belirlemeye yönelik klasik bir problem örneğini ele alalım: a1 = 12, a5 = 40 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulun.
Bilinmeyen bir cebirsel dizinin iki sayısı verildiğinde ve bunlardan biri a 1 elemanıysa, o zaman uzun süre düşünmenize gerek kalmaz, ancak a n terimi için formülü hemen uygulamanız gerekir. Bu durumda elimizde:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Bölme sırasında tam sayıyı aldık, bu nedenle önceki paragrafta yapıldığı gibi hesaplanan sonucun doğruluğunu kontrol etmenin bir anlamı yok.
Benzer bir problemi daha çözelim: a1 = 16, a8 = 37 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulmamız gerekiyor.
Öncekine benzer bir yaklaşım kullanıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Aritmetik ilerleme hakkında başka ne bilmelisiniz?
Bilinmeyen bir farkın veya bireysel elemanların bulunması problemlerine ek olarak, bir dizinin ilk terimlerinin toplamı problemlerinin çözülmesi sıklıkla gereklidir. Ancak sunduğumuz bilgilerin eksiksizliği nedeniyle bu görevlerin dikkate alınması makalenin kapsamı dışındadır. Genel formül bir serideki n sayının toplamı için:
∑ n ben = 1 (a ben) = n * (a 1 + a n) / 2
Sayı dizisi kavramı, her doğal sayının bir gerçek değere karşılık geldiğini ima eder. Böyle bir sayı dizisi keyfi olabilir veya belirli özelliklere sahip olabilir - bir ilerleme. İkinci durumda, dizinin her bir sonraki elemanı (üyesi), bir önceki kullanılarak hesaplanabilir.
Aritmetik ilerleme, komşu üyelerinin birbirinden aynı sayıda farklılık gösterdiği bir sayısal değerler dizisidir (2'den başlayarak serinin tüm öğeleri benzer bir özelliğe sahiptir). Bu numara– Önceki ve sonraki terimler arasındaki fark sabittir ve ilerleme farkı olarak adlandırılır.
İlerleme farkı: tanım
A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j'nin N doğal sayılar kümesine ait j değerlerinden oluşan bir dizi düşünün. ilerleme, tanımına göre bir dizidir ve burada a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d değeri bu ilerlemenin istenen farkıdır.
d = a(j) – a(j-1).
Vurgulamak:
- Artan bir ilerleme, bu durumda d > 0. Örnek: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- İlerleme azalıyor, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Fark ilerlemesi ve keyfi unsurları
İlerlemenin 2 rastgele terimi biliniyorsa (i-th, k-th), o zaman belirli bir dizi için fark, ilişkiye dayalı olarak belirlenebilir:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, bunun anlamı d = (a(i) – a(k))/(i-k).
İlerleme farkı ve ilk dönemi
Bu ifade, yalnızca dizi öğesinin sayısının bilindiği durumlarda bilinmeyen bir değerin belirlenmesine yardımcı olacaktır.
İlerleme farkı ve toplamı
Bir ilerlemenin toplamı, terimlerinin toplamıdır. İlk j elemanlarının toplam değerini hesaplamak için uygun formülü kullanın:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, fakat beri a(j) = a(1) + d(j – 1), sonra S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
