“Üstel büyüme” tabiri, hızlı ve genellikle kontrol edilemeyen artış anlamında sözlüğümüze girmiştir. Örneğin şehirlerin hızlı büyümesini veya nüfus artışını tanımlamak için sıklıkla kullanılır. Ancak matematikte bu terimin kesin bir anlamı ve anlamı vardır. belirli tip büyüme.
Üstel büyüme, nüfustaki artışın (doğum sayısı eksi ölüm sayısı) nüfustaki birey sayısıyla orantılı olduğu popülasyonlarda meydana gelir. Örneğin bir insan popülasyonu için doğum oranı yaklaşık olarak üreme çiftlerinin sayısıyla orantılıdır ve ölüm oranı da yaklaşık olarak popülasyondaki insan sayısıyla orantılıdır (bunu belirtiyoruz). N). Daha sonra makul bir yaklaşımla,
nüfus artışı = doğum sayısı - ölüm sayısı
(Burada R- Lafta orantılılık faktörü Orantılılık ifadesini bir denklem olarak yazmamızı sağlar.)
bırak d N— d zamanı boyunca popülasyona eklenen bireylerin sayısı T, o zaman toplam popülasyonda ise N bireyler, o zaman üstel büyüme koşulları şu şekilde karşılanacaktır:
D N = rN D T
Isaac Newton 17. yüzyılda diferansiyel hesabı icat ettiğinden bu denklemi nasıl çözeceğimizi biliyoruz. N— herhangi bir zamandaki nüfus büyüklüğü. (Referans olarak: bu denklem denir diferansiyel.) İşte onun çözümü:
N=Hayır e rt
Nerede N 0, geri sayımın başlangıcında popülasyondaki bireylerin sayısıdır ve T- bu andan bu yana geçen zaman. E sembolü öyle özel bir sayıyı ifade eder ki buna denir temel doğal logaritma (ve yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir) ve denklemin sağ tarafının tamamı denir üstel fonksiyon.
Üstel büyümenin ne olduğunu daha iyi anlamak için başlangıçta tek bir bakteriden oluşan bir popülasyon hayal edin. Belirli bir süre sonra (birkaç saat veya dakika) bakteri ikiye bölünür ve böylece popülasyon büyüklüğü iki katına çıkar. Bir sonraki sürenin sonunda bu iki bakterinin her biri tekrar ikiye bölünecek ve popülasyon büyüklüğü tekrar iki katına çıkacak; artık dört bakteri olacak. Bu tür on katlamadan sonra binden fazla bakteri olacak, yirmiden sonra bir milyonun üzerinde vb. Nüfus her bölünmede iki katına çıkarsa, büyüme süresiz olarak devam edecektir.
Satrancı icat eden adamın, padişahına, herhangi bir isteğini yerine getireceğine söz verecek kadar zevk verdiğine dair bir efsane vardır (büyük olasılıkla doğru değildir). Adam, padişahtan satranç tahtasının birinci karesine bir, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört buğday tanesi koymasını istedi. Padişah, bu talebi, verdiği hizmetin yanında önemsiz bularak tebaasından başka bir talepte bulunmasını istedi ancak o reddetti. Doğal olarak, 64'üncü katlanmayla birlikte tahıl sayısı o kadar arttı ki, tüm dünyada bu isteği karşılayacak kadar buğday kalmayacaktı. Efsanenin benim bildiğim versiyonunda padişah o anda mucidin kafasının kesilmesini emretmiştir. Öğrencilerime söylediğim gibi ders şu: bazen çok akıllı olmamalısın!
Satranç tahtası örneği (aynı zamanda hayali bakteriler de) bize hiçbir popülasyonun sonsuza kadar büyüyemeyeceğini gösteriyor. Er ya da geç, kaynakları tükenecek; uzay, enerji, su, her ne ise. Bu nedenle popülasyonlar yalnızca bir süreliğine katlanarak büyüyebilir ve er ya da geç büyümelerinin yavaşlaması gerekir. Bunu yapmak için denklemi, nüfus büyüklüğü mümkün olan maksimuma yaklaştığında (dış çevre tarafından desteklenebilir) büyüme hızı yavaşlayacak şekilde değiştirmeniz gerekir. Buna maksimum nüfus büyüklüğü diyelim k. Daha sonra değiştirilmiş denklem şöyle görünecektir:
D N = rN(1 — (N/k)) D T
Ne zaman N daha az k, üye Yok ihmal edilebilir ve sıradan üstel büyümenin orijinal denklemine geri döneriz. Ancak ne zaman N ona yaklaşmak maksimum değer k, değer 1 - ( N/k) sıfıra yöneliyor ve buna bağlı olarak nüfus artışı da sıfıra yaklaşıyor. Bu durumda toplam nüfus büyüklüğü sabitlenir ve aynı seviyede kalır. k. Bu denklemle tanımlanan eğrinin ve denklemin kendisinin birkaç adı vardır: S eğrisi, lojistik denklem, Volterra denklemi, Lotka-Volterra denklemi. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - seçkin İtalyan matematikçi ve öğretmen; Alfred Lotka, 1880-1949 - Amerikalı matematikçi ve sigorta analisti.) Adı ne olursa olsun, bu, hızla katlanarak büyüyen ve daha sonra bir sınıra yaklaştıkça yavaşlayan bir nüfusun büyüklüğünün oldukça basit bir ifadesidir. Ve gerçek nüfus artışını olağan üstel fonksiyondan çok daha iyi yansıtıyor.
Üs, bir miktarın kendisiyle kaç kez çarpılması gerektiğini gösteren sayıdır. Örneğin üs 3 ve büyüklük 4 ise 4 3 ifadesi 4 x 4x4 yani 64 anlamına gelir. Matematiksel ifade 2'de araç en X en ve 2 sayısı üs.
Üstel büyümenin doğrusal büyümeden farkı nedir? Doğrusal büyüme ile değer her aşamada artar. aynı şey tamam ve açık değil çoklu sayı. Başlangıç sermayem 1.000$ ise ve her yıl 100$ artarsa, 10 yıl içinde bunu ikiye katlarım ve 2.000$'ım olur. Bu, her yıl aynı miktarda doğrusal bir büyümedir. Ancak 1.000 $'lık başlangıç sermayem her yıl yüzde 10 artarsa, on yıl sonra 2.594 $'a sahip olacağım. Bu, 1,1'in katı yıllık sabit bir artışla üstel büyümenin bir örneğidir. Eğer işime 10 yıl daha devam edersem, o zaman doğrusal büyüme bana toplam 3.000 $ kazandıracak, üstel büyüme ise bana toplam 6.727 $ kazandıracak.
Uzun bir süre boyunca yüzde 10 veya daha yüksek bir büyüme oranını koruyan herhangi bir pazar veya işletme, sezgisel olarak tahmin ettiğimizden çok daha fazla değer yaratımı yaşayacaktır. 1950'den 1950'ye kadar olan dönemde IBM veya McDonald's gibi bazı şirketler
1985 ya da 1990'larda Microsoft - yılda yüzde 15'i aşan büyüme oranları yakalamayı başardılar ve sermayelerini defalarca artırdılar. 100 Dolar ile başlarsanız ve sermayenizi 15 yıl boyunca yılda yüzde 15 oranında artırırsanız, başladığınızın neredeyse 33 katı olan 3.292 Dolara ulaşırsınız. Büyüme yüzdesindeki küçük bir artış, sonuçlarda büyük bir fark yaratır.
Örneğin Amerikalı borsacı William O'Neill, sınıf arkadaşları için bir fon oluşturdu ve bunu 1961'den 1986'ya kadar yönetti. Bu süre zarfında başlangıçtaki 850 dolar, tüm vergiler ödendikten sonra 51.653 dolara dönüştü. 25 yıl boyunca ortalama artış 17,85 oldu. Yani, 25 yıl boyunca yüzde 15'lik bir büyüme sermayeyi 33 kat artırırsa, yıllık büyüme oranına yüzde 3'ten daha az bir artış eklenmesinin sermayeyi artırdığını görüyoruz. sonuç 33 kere 61 kere.
Üstel büyüme her şeyi yalnızca niceliksel olarak değil niteliksel olarak da değiştirir. Örneğin sektörün hızlı büyümesiyle birlikte - Peter Drucker bu rakamın 10 yılda yüzde 40 olduğunu söylüyor - yapısı değişiyor ve yeni pazar liderleri öne çıkıyor. Hızlı büyüme pazarlar yenilik, düzenlilik eksikliği, yeni ürünler, teknolojiler veya tüketiciler tarafından yönlendirilmektedir. Yenilikçiler, tanımları gereği işleri herkesten farklı yaparlar. Yeni yollar nadiren mevcut firmaların alışkanlıkları, fikirleri, prosedürleri ve yapılarıyla bir arada bulunur. Yenilikçilerin genellikle geleneksel liderler bir karşı saldırı başlatmaya karar verene kadar birkaç yıl boyunca kaçma fırsatı vardır, ancak o zaman çok geç olabilir.
Nüfus artışı birey sayısıyla orantılı ise nüfus büyüklüğü katlanarak artacaktır.
“Üstel büyüme” tabiri, hızlı ve genellikle kontrol edilemeyen artış anlamında sözlüğümüze girmiştir. Örneğin şehirlerin hızlı büyümesini veya nüfus artışını tanımlamak için sıklıkla kullanılır. Ancak matematikte bu terimin kesin bir anlamı vardır ve belirli bir tür büyümeyi ifade eder.
Üstel büyüme, nüfustaki artışın (doğum sayısı eksi ölüm sayısı) nüfustaki birey sayısıyla orantılı olduğu popülasyonlarda meydana gelir. Örneğin bir insan popülasyonu için doğum oranı kabaca üreme çiftlerinin sayısıyla orantılıdır ve ölüm oranı da kabaca popülasyondaki insan sayısıyla orantılıdır (buna N diyelim). Daha sonra makul bir yaklaşımla,
nüfus artışı = doğum sayısı - ölüm sayısı
(Burada r, orantılılık ifadesini denklem olarak yazmamızı sağlayan orantı katsayısı olarak adlandırılır.)
dN, dt süresi boyunca popülasyona eklenen bireylerin sayısı olsun, o zaman popülasyonda toplam N birey varsa, o zaman üstel büyüme koşulları şu şekilde karşılanacaktır:
Isaac Newton 17. yüzyılda diferansiyel hesabı icat ettiğinden beri, bu denklemi herhangi bir zamanda bir popülasyonun büyüklüğü olan N için nasıl çözeceğimizi biliyoruz. (Referans olarak: böyle bir denkleme diferansiyel denir.) İşte çözümü:
burada N 0, geri sayımın başlangıcında popülasyondaki bireylerin sayısıdır ve t, bu andan bu yana geçen süredir. E sembolü bu özel sayıyı temsil eder, buna doğal logaritmanın tabanı denir (ve yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir) ve denklemin sağ tarafının tamamına üstel fonksiyon denir.
Üstel büyümenin ne olduğunu daha iyi anlamak için başlangıçta tek bir bakteriden oluşan bir popülasyon hayal edin. Belirli bir süre sonra (birkaç saat veya dakika) bakteri ikiye bölünür ve böylece popülasyon büyüklüğü iki katına çıkar. Bir sonraki sürenin sonunda bu iki bakterinin her biri tekrar ikiye bölünecek ve popülasyon büyüklüğü tekrar iki katına çıkacak; artık dört bakteri olacak. Bu tür on katlamadan sonra binden fazla bakteri olacak, yirmiden sonra bir milyonun üzerinde vb. Nüfus her bölünmede iki katına çıkarsa, büyüme süresiz olarak devam edecektir.
Satrancı icat eden adamın, padişahına, herhangi bir isteğini yerine getireceğine söz verecek kadar zevk verdiğine dair bir efsane vardır (büyük olasılıkla doğru değildir). Adam, padişahtan satranç tahtasının birinci karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört buğday tanesi koymasını istedi. Padişah, bu talebi, verdiği hizmetin yanında önemsiz bularak tebaasından başka bir talepte bulunmasını istedi ancak o reddetti. Doğal olarak, 64'üncü katlanmayla birlikte tahıl sayısı o kadar arttı ki, tüm dünyada bu isteği karşılayacak kadar buğday kalmayacaktı. Efsanenin benim bildiğim versiyonunda padişah o anda mucidin kafasının kesilmesini emretmiştir. Öğrencilerime söylediğim gibi ders şu: bazen çok akıllı olmamalısın!
Satranç tahtası örneği (aynı zamanda hayali bakteriler de) bize hiçbir popülasyonun sonsuza kadar büyüyemeyeceğini gösteriyor. Er ya da geç kaynaklar tükenecek; uzay, enerji, su vb. Bu nedenle popülasyonlar yalnızca bir süreliğine katlanarak büyüyebilir ve er ya da geç büyümelerinin yavaşlaması gerekir. Bunu yapmak için denklemi, nüfus büyüklüğü mümkün olan maksimuma yaklaştığında (dış çevre tarafından desteklenebilir) büyüme hızı yavaşlayacak şekilde değiştirmeniz gerekir. Buna maksimum popülasyon büyüklüğüne K diyelim. O zaman değiştirilmiş denklem şu şekilde görünecektir:
dN = rN(1 - (N/K)) dt
N, K'dan çok daha küçük olduğunda, N/K terimi ihmal edilebilir ve orijinal üstel büyüme denklemine geri döneriz. Ancak N, maksimum değeri olan K'ya yaklaştığında 1 - (N/K) değeri sıfıra yönelir ve buna bağlı olarak nüfus artışı da sıfıra yönelir. Bu durumda toplam nüfus büyüklüğü sabitlenir ve K seviyesinde kalır. Bu denklemle açıklanan eğrinin yanı sıra denklemin kendisinin de birkaç adı vardır - S eğrisi, lojistik denklem, Volterra denklemi, Lotka-Volterra denklemi. (Vito Volterra (1860–1940) seçkin bir İtalyan matematikçi ve öğretmendi; Alfred Lotka (1880–1949) Amerikalı bir matematikçi ve sigorta analistiydi.) Adı ne olursa olsun, büyüyen bir nüfusun boyutunun oldukça basit bir ifadesidir. keskin bir şekilde üstel olarak artıyor ve belirli bir sınıra yaklaştıkça yavaşlıyor. Ve gerçek nüfus artışını olağan üstel fonksiyondan çok daha iyi yansıtıyor.
Üstel büyüme
Nüfus artışı birey sayısıyla orantılı ise nüfus büyüklüğü katlanarak artacaktır.
“Üstel büyüme” tabiri, hızlı ve genellikle kontrol edilemeyen artış anlamında sözlüğümüze girmiştir. Örneğin şehirlerin hızlı büyümesini veya nüfus artışını tanımlamak için sıklıkla kullanılır. Ancak matematikte bu terimin kesin bir anlamı vardır ve belirli bir tür büyümeyi ifade eder.
Üstel büyüme, nüfustaki artışın (doğum sayısı eksi ölüm sayısı) nüfustaki birey sayısıyla orantılı olduğu popülasyonlarda meydana gelir. Örneğin bir insan popülasyonu için doğum oranı yaklaşık olarak üreme çiftlerinin sayısıyla orantılıdır ve ölüm oranı da yaklaşık olarak popülasyondaki insan sayısıyla orantılıdır (bunu belirtiyoruz). ) . Daha sonra makul bir yaklaşımla,
nüfus artışı = doğum sayısı - ölüm sayısı
veya
(İşte orantılılık ifadesini denklem şeklinde yazmamızı sağlayan orantı katsayısı denir.)
Zaman içinde popülasyona eklenen bireylerin sayısı olsun, o zaman popülasyonda toplam birey varsa, üstel büyüme koşulları şu şekilde karşılanacaktır:
Isaac Newton 17. yüzyılda diferansiyel hesabı icat ettiğinden beri, herhangi bir zamanda bir popülasyonun büyüklüğü için bu denklemi nasıl çözeceğimizi biliyoruz. (Referans olarak: böyle bir denkleme diferansiyel denir.) İşte çözümü:
geri sayımın başlangıcında popülasyondaki birey sayısı ve o andan bu yana geçen süredir. Sembol bu özel sayıyı temsil eder, buna doğal logaritmanın tabanı denir (ve yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir) ve denklemin sağ tarafının tamamına üstel fonksiyon denir.
Üstel büyümenin ne olduğunu daha iyi anlamak için başlangıçta tek bir bakteriden oluşan bir popülasyon hayal edin. Belirli bir süre sonra (birkaç saat veya dakika) bakteri ikiye bölünür ve böylece popülasyon büyüklüğü iki katına çıkar. Bir sonraki sürenin sonunda bu iki bakterinin her biri tekrar ikiye bölünecek ve popülasyon büyüklüğü tekrar iki katına çıkacak; artık dört bakteri olacak. Bu tür on katlamadan sonra binden fazla bakteri olacak, yirmiden sonra bir milyonun üzerinde vb. Nüfus her bölünmede iki katına çıkarsa, büyüme süresiz olarak devam edecektir.
Satrancı icat eden adamın, padişahına, herhangi bir isteğini yerine getireceğine söz verecek kadar zevk verdiğine dair bir efsane vardır (büyük olasılıkla doğru değildir). Adam, padişahtan satranç tahtasının birinci karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört buğday tanesi koymasını istedi. Padişah, bu talebi, verdiği hizmetin yanında önemsiz bularak tebaasından başka bir talepte bulunmasını istedi ancak o reddetti. Doğal olarak, 64'üncü katlanmayla birlikte tahıl sayısı o kadar arttı ki, tüm dünyada bu isteği karşılayacak kadar buğday kalmayacaktı. Efsanenin benim bildiğim versiyonunda padişah o anda mucidin kafasının kesilmesini emretmiştir. Öğrencilerime söylediğim gibi ders şu: bazen çok akıllı olmamalısın!
Satranç tahtası örneği (aynı zamanda hayali bakteriler de) bize hiçbir popülasyonun sonsuza kadar büyüyemeyeceğini gösteriyor. Er ya da geç kaynaklar tükenecek; uzay, enerji, su vb. Bu nedenle popülasyonlar yalnızca bir süreliğine katlanarak büyüyebilir ve er ya da geç büyümelerinin yavaşlaması gerekir. Bunu yapmak için denklemi, nüfus büyüklüğü mümkün olan maksimuma yaklaştığında (dış çevre tarafından desteklenebilir) büyüme hızı yavaşlayacak şekilde değiştirmeniz gerekir. Buna maksimum nüfus büyüklüğü diyelim. Daha sonra değiştirilmiş denklem şöyle görünecektir:
Çok daha az olduğunda terim ihmal edilebilir ve sıradan üstel büyümenin orijinal denklemine geri döneriz. Ancak maksimum değerine yaklaştığında değer sıfıra yönelir ve buna bağlı olarak nüfus artışı da sıfıra yönelir. Bu durumda toplam nüfus büyüklüğü sabitlenir ve aynı seviyede kalır. Bu denklemle tanımlanan eğrinin ve denklemin kendisinin birkaç adı vardır - S-eğrisi, lojistik denklem, Volterra denklemi, Lotka-Volterra denklemi. (Vito Volterra, 1860–1940 - seçkin İtalyan matematikçi ve öğretmen; Alfred Lotka, 1880–1949 - Amerikalı matematikçi ve sigorta analisti.) Adı ne olursa olsun, katlanarak hızla büyüyen bir nüfusun büyüklüğünün oldukça basit bir ifadesidir ve daha sonra Belirli bir sınıra yaklaşıldığında yavaşlama. Ve gerçek nüfus artışını olağan üstel fonksiyondan çok daha iyi yansıtıyor.
Yırtıcı-av ilişkisi
Yırtıcı hayvanlarla avları arasındaki ilişki döngüsel olarak gelişir ve bu da tarafsız bir dengeyi gösterir.
Bazen basit bir matematiksel model, karmaşık bir modeli iyi bir şekilde açıklayabilir biyolojik sistem. Bunun bir örneği, bir ekosistemdeki yırtıcı ve av türleri arasındaki uzun vadeli ilişkidir. Tek bir tür için popülasyon artışına ilişkin matematiksel hesaplamalar (yukarıya bakınız), popülasyon yoğunluğunun sınırlarının, karakteristik bir S-şekilli eğri üreten basit denklemlerle tanımlanabileceğini göstermektedir. Bu, küçükken katlanarak büyüyen ve ekosistemin onu destekleme yeteneğinin sınırlarına ulaştıkça dengelenen bir nüfus eğrisidir. Bu kavramın basit bir uzantısı, iki türün (avcı ve yırtıcı) etkileşime girdiği bir ekosistemi anlamamızı sağlar.
Yani, eğer otçul avların sayısı ve etobur avcıların sayısı ise, o zaman bir yırtıcının bir otoburla karşılaşma olasılığı ürünle orantılıdır. Yani bir türün bolluğu ne kadar yüksekse, bu tür karşılaşmaların olasılığı da o kadar yüksek olur. Yırtıcı hayvanların yokluğunda av popülasyonu katlanarak artacak (en azından başlangıçta) ve avın yokluğunda yırtıcı popülasyonu açlık veya göç nedeniyle sıfıra düşecek. Şimdi, otçulların popülasyonundaki zaman içindeki değişim ve aynı zaman aralığında etobur popülasyonundaki değişim ise, o zaman iki popülasyon aşağıdaki denklemlerle tanımlanır:
Burada yırtıcı hayvanların yokluğunda otçulların sayısındaki artış oranı ve otçulların yokluğunda etoburların sayısındaki azalma oranıdır. Sabitler ve, yırtıcı hayvanlarla av arasındaki karşılaşmaların otçulları popülasyondan çıkarma hızı ve bu karşılaşmaların yırtıcı hayvanların popülasyonlarına eklenmesine izin verme hızıdır. İlk denklemdeki eksi işareti, karşılaşmaların av popülasyonunu azalttığını, ikinci denklemdeki artı işareti ise karşılaşmaların yırtıcı popülasyonunu artırdığını gösterir. Gördüğünüz gibi otçulların sayısındaki herhangi bir değişiklik etoburların sayısını da etkiliyor ve bunun tersi de geçerli. Her iki popülasyonun birlikte değerlendirilmesi gerekir.
Bu denklemlerin çözülmesi, her iki popülasyonun da döngüsel olarak geliştiğini gösterir. Otçul popülasyonu artarsa yırtıcı-av karşılaşma olasılığı artar ve buna bağlı olarak (bir süre sonra) yırtıcı hayvan popülasyonu da artar. Ancak yırtıcı hayvanların popülasyonundaki bir artış, otçulların popülasyonunda bir azalmaya yol açar (yine bir miktar gecikmeden sonra), bu da yırtıcı hayvanların yavrularının sayısında bir azalmaya yol açar ve bu da otçulların sayısını artırır, vb. Bu iki popülasyon zaman içinde vals yapıyor gibi görünüyor; biri değiştiğinde diğeri de değişiyor.
James Trefil'in Ansiklopedisi “Bilimin Doğası. Evrenin 200 kanunu."
James Trefil, popüler bilim kitaplarının en ünlü Batılı yazarlarından biri olan George Mason Üniversitesi'nde (ABD) fizik profesörüdür.
Bir kartopu dağdan aşağı yuvarlandığında giderek büyür. Büyüdükçe daha hızlı yuvarlanır, daha hızlı yuvarlanır, daha hızlı büyür.
Matematikçiler ve fizikçiler dünyayı sayıları kullanarak tanımlamayı severler. Ve daha da fazlası - fonksiyonların yardımıyla. Bir işlev, bir sayının (örneğin, X) başka biriyle yazışmaya konur (örneğin sen). İşlevler aşağıdaki gibi basit olabilir: y=10x veya y=x2, ancak bunun gibi daha karmaşık olanlar da var y=10*sin(7x2+3x-9). Bunun yerine X Ve sen Belirli fiziksel parametrelerin yerine koyup onları birbirine bağlayan fonksiyonu bulduğunuzda bir doğa kanunu elde edersiniz.
Fonksiyonların türevleri de vardır. Bu, bir fonksiyonun değişim hızıdır. Yani ne kadar değişecek? sen en küçük değişim X. Örneğin, fonksiyon durumunda y=10x türev her zaman sabittir: sen her zaman 10 kat daha hızlı büyüyecek X. Ve bir fonksiyon durumunda y=x2 türevi değişecektir. Eğer arttırırsak X 0'dan 1'e, o zaman sen ayrıca 0'dan 1'e artacak. X 1'den 2'ye kadar, o zaman sen 1'den 4'e yükselecek. Yani büyümenin türevi X artırılmış.
Bir fonksiyona üs denir y=ex, Nerede e- yaklaşık olarak 2,72'ye eşit olan aldatıcı bir matematiksel sayı. Dikkate değer bir özelliği var: Türevi kendine eşit. Yani, bir kartopunun kat ettiği mesafe üstel olarak zamana bağlıysa, hızı da aynı üstel ile ifade edilir. Bu özellik, matematikçilerin farklı problemleri çözmelerine büyük ölçüde yardımcı olur. diferansiyel denklemler. Onunla çalışmayı gerçekten seviyorlar ve grafiği kaydırarak, uzatarak veya çevirerek diğer çeşitli fonksiyonları üstel fonksiyona dönüştürmeye çalışıyorlar. Bu tür fonksiyonların tümü üstel olarak adlandırılabilir. Üstel olarak meydana gelen süreçlerin ortak bir özelliği vardır: aynı zaman aralığında parametreleri aynı sayıda değişir. Banka mevduatları her yıl %7 oranında artıyor, kartopları dakikada üç katına çıkıyor ve nükleer santrallerdeki uranyum-235 miktarı her 700 milyon yılda bir yarıya iniyor. Üstel fonksiyonlar etrafımızdadır. Sonuç sürecin hızını etkilediğinde geri bildirimin olduğu tüm olgular katlanarak gelişir. Bir kartopu durumunda geri bildirim olumludur: Sonuç ne kadar büyük olursa süreç o kadar hızlı olur. Ve kartopunun kütlesi ve hızı sen zamanla katlanarak artmak X. Bir bankadaki para sabit bir faiz oranında benzer şekilde davranır. Nasıl daha fazla para yıllık artış ne kadar büyükse - ve o kadar fazla paradan daha hızlı Maldivler'de bir ev için yeterli. Dış tehditlerin yokluğunda hayvan sayısı da artar: Popülasyon ne kadar büyükse, üreyen bireyler ne kadar fazlaysa, o kadar hızlı artar. Ayrıca mikrofonu hoparlöre yaklaştırdığınızda en sessiz hışırtı bile bir saniye içinde çınlayan bir uğultuya dönüşecek.
Geri bildirimin olumsuz olduğu görülür: sonuç ne kadar büyük olursa süreç o kadar yavaş olur. Örneğin acıktığımızda yemeği hızla emmeye başlarız, ancak açlık hissi azaldığında sakince yemeye başlarız, sonra tembelce tatlıyı bitiririz. Çay da katlanarak soğur: Çay ile hava arasındaki sıcaklık farkı ne kadar büyükse, o kadar hızlı soğur. Yani acilen 15 dakikalığına dikkatinizi dağıtmaya ihtiyacınız varsa ama sıcak çay içmek istiyorsanız içine soğuk süt veya su dökün. Daha sonra sıcaklık farkı azalacak ve çay sıcakmış gibi çabuk soğumayacaktır.
Bir gitar teli ne kadar hızlı hareket ederse havaya karşı o kadar hızlı yavaşlar, dolayısıyla tel çekildikten sonra sesin şiddeti katlanarak azalır. Başka bir örnek nükleer bozunmadır. Her çekirdek, zamanın rastgele bir anında bozunabilir, ancak ne kadar çok çekirdek varsa, bir dakika içinde o kadar çok bozunma meydana gelecektir. Çekirdekler ne kadar hızlı bozunursa o kadar az olur, bu da zamanla radyasyon yoğunluğunun azalması anlamına gelir.
