Za faktorizacijo je potrebno izraze poenostaviti. To je potrebno, da se lahko še zmanjša. Razširitev polinoma je smiselna, če njegova stopnja ni nižja od dve. Polinom s prvo stopnjo imenujemo linearen.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Članek bo zajemal vse koncepte razgradnje, teoretična osnova in metode faktoriziranja polinoma.
Teorija
1. izrekKo je kateri koli polinom s stopnjo n, ki ima obliko P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, so predstavljeni kot produkt s konstantnim faktorjem z najvišjo stopnjo a n in n linearnimi faktorji (x - x i), i = 1, 2, ..., n, potem P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kjer so x i, i = 1, 2, …, n korenine polinoma.
Izrek velja za korenine kompleksen tip x i, i = 1, 2, …, n in za kompleksne koeficiente a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je osnova vsake razgradnje.
Če so koeficienti oblike a k, k = 0, 1, 2, …, n realna števila, se bodo kompleksni koreni pojavili v konjugiranih parih. Na primer, korena x 1 in x 2, povezana s polinomom oblike P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 štejemo za kompleksne konjugirane, potem so drugi koreni pravi, iz česar dobimo, da ima polinom obliko P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kjer je x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentiraj
Korenine polinoma se lahko ponovijo. Oglejmo si dokaz algebrskega izreka, posledice Bezoutovega izreka.
Temeljni izrek algebre
2. izrekVsak polinom stopnje n ima vsaj en koren.
Bezoutov izrek
Po deljenju polinoma oblike P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), potem dobimo ostanek, ki je enak polinomu v točki s, potem dobimo
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kjer je Q n - 1 (x) polinom s stopnjo n - 1.
Posledica Bezoutovega izreka
Če se šteje, da je koren polinoma P n (x) s, potem je P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Ta posledica zadostuje, če se uporablja za opis rešitve.
Faktoriziranje kvadratnega trinoma
Kvadratni trinom oblike a x 2 + b x + c je mogoče faktorizirati na linearne faktorje. potem dobimo, da je a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kjer sta x 1 in x 2 korena (kompleksna ali realna).
To kaže, da se sama razširitev zmanjša na kasnejše reševanje kvadratne enačbe.
Primer 1
Izvedite razgradnjo kvadratni trinom z množitelji.
rešitev
Treba je najti korenine enačbe 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Če želite to narediti, morate po formuli najti vrednost diskriminanta, potem dobimo D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Od tu imamo to
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Iz tega dobimo, da je 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Za izvedbo preverjanja morate odpreti oklepaje. Nato dobimo izraz v obliki:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po preverjanju pridemo do izvirnega izraza. To pomeni, da lahko sklepamo, da je bila razgradnja izvedena pravilno.
Primer 2
Faktoriziraj kvadratni trinom oblike 3 x 2 - 7 x - 11 .
rešitev
Dobimo, da moramo izračunati rezultat kvadratna enačba v obliki 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Če želite najti korenine, morate določiti vrednost diskriminante. To razumemo
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Iz tega dobimo, da je 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Primer 3
Polinom faktoriziraj 2 x 2 + 1.
rešitev
Zdaj moramo rešiti kvadratno enačbo 2 x 2 + 1 = 0 in poiskati njene korenine. To razumemo
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ti koreni se imenujejo kompleksni konjugati, kar pomeni, da lahko samo razširitev prikažemo kot 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Primer 4
Razčlenite kvadratni trinom x 2 + 1 3 x + 1 .
rešitev
Najprej morate rešiti kvadratno enačbo oblike x 2 + 1 3 x + 1 = 0 in poiskati njene korenine.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Ko smo pridobili korenine, pišemo
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentiraj
Če je diskriminantna vrednost negativna, bodo polinomi ostali polinomi drugega reda. Iz tega sledi, da jih ne bomo razširili na linearne faktorje.
Metode faktoriziranja polinoma stopnje, višje od dve
Pri razgradnji se predpostavlja univerzalna metoda. Večina vseh primerov temelji na posledici Bezoutovega izreka. Če želite to narediti, morate izbrati vrednost korena x 1 in zmanjšati njegovo stopnjo z deljenjem s polinomom z 1 z deljenjem z (x - x 1). Nastali polinom mora najti koren x 2, postopek iskanja pa je cikličen, dokler ne dobimo popolne razširitve.
Če korena ni mogoče najti, se uporabijo druge metode faktorizacije: združevanje, dodatni izrazi. Ta tema vključuje reševanje enačb z višjimi potencami in celimi koeficienti.
Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja
Razmislite o primeru, ko je prosti člen enak nič, potem postane oblika polinoma P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.
Vidimo lahko, da bo koren takšnega polinoma enak x 1 = 0, potem lahko polinom predstavimo kot izraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ta metoda se šteje za jemanje skupnega faktorja iz oklepajev.
Primer 5
Faktoriziraj polinom tretje stopnje 4 x 3 + 8 x 2 - x.
rešitev
Vidimo, da je x 1 = 0 koren danega polinoma, potem lahko x odstranimo iz oklepajev celotnega izraza. Dobimo:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pojdimo k iskanju korenin kvadratnega trinoma 4 x 2 + 8 x - 1. Poiščimo diskriminanco in korenine:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Potem sledi tole
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Za začetek vzemimo v obzir metodo dekompozicije, ki vsebuje celoštevilske koeficiente oblike P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kjer je koeficient najvišje stopnje 1.
Če ima polinom celoštevilske korenine, se te štejejo za delitelje prostega člena.
Primer 6
Razstavite izraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
rešitev
Razmislimo, ali obstajajo popolne korenine. Treba je zapisati delilnike števila - 18. Dobimo, da je ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Iz tega sledi, da ima ta polinom cele korenine. Lahko preverite s Hornerjevo shemo. Je zelo priročno in vam omogoča hitro pridobivanje koeficientov razširitve polinoma:
Iz tega sledi, da sta x = 2 in x = - 3 korena prvotnega polinoma, ki ga lahko predstavimo kot produkt oblike:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Nadaljujemo z razširitvijo kvadratnega trinoma oblike x 2 + 2 x + 3.
Ker je diskriminanta negativna, to pomeni, da pravih korenin ni.
odgovor: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentiraj
Namesto Hornerjeve sheme je dovoljeno uporabljati izbiranje korena in deljenje polinoma s polinomom. Preidimo na obravnavo razširitve polinoma, ki vsebuje celoštevilske koeficiente oblike P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pri čemer je najvišji enak ena.
Ta primer se pojavi pri racionalnih ulomkih.
Primer 7
Faktoriziraj f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
rešitev
Treba je zamenjati spremenljivko y = 2 x, preiti na polinom s koeficienti enakimi 1 na najvišji stopnji. Začeti morate z množenjem izraza s 4. To razumemo
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Če ima nastala funkcija oblike g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celoštevilske korene, potem je njihova lokacija med delitelji prostega člena. Vnos bo izgledal takole:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Preidimo na izračun funkcije g (y) na teh točkah, da bi kot rezultat dobili nič. To razumemo
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Ugotovimo, da je y = - 5 koren enačbe oblike y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, kar pomeni, da je x = y 2 = - 5 2 koren prvotne funkcije.
Primer 8
Treba je razdeliti s stolpcem 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 z x + 5 2.
rešitev
Zapišimo in dobimo:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Preverjanje deliteljev bo vzelo veliko časa, zato je bolj donosno faktorizirati dobljeni kvadratni trinom v obliki x 2 + 7 x + 3. Z enačenjem na nič najdemo diskriminanco.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Sledi, da
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umetne tehnike faktoriziranja polinoma
Racionalni koreni niso lastni vsem polinomom. Če želite to narediti, morate uporabiti posebne metode za iskanje faktorjev. Toda vseh polinomov ni mogoče razširiti ali predstaviti kot produkt.
Metoda združevanja
Obstajajo primeri, ko lahko združite člane polinoma, da poiščete skupni faktor in ga postavite iz oklepaja.
Primer 9
Polinom faktoriziraj x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
rešitev
Ker so koeficienti cela števila, so lahko tudi koreni cela števila. Če želite preveriti, vzemite vrednosti 1, - 1, 2 in - 2, da izračunate vrednost polinoma na teh točkah. To razumemo
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To kaže, da ni korenin, potrebna je druga metoda razširitve in rešitve.
Združiti je treba:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Ko prvotni polinom združite v skupine, ga morate predstaviti kot produkt dveh kvadratnih trinomov. Da bi to naredili, moramo faktorizirati. to razumemo
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentiraj
Enostavnost združevanja ne pomeni, da je izbira izrazov dovolj enostavna. Posebne metode reševanja ni, zato je treba uporabiti posebne izreke in pravila.
Primer 10
Polinom faktoriziraj x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
rešitev
Dani polinom nima celih korenin. Izrazi naj bodo združeni. To razumemo
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktorizaciji to dobimo
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Uporaba skrajšanih formul za množenje in Newtonovega binoma za faktorizacijo polinoma
Iz videza pogosto ni jasno, katero metodo je treba uporabiti med razgradnjo. Po opravljenih transformacijah lahko zgradite premico, sestavljeno iz Pascalovega trikotnika, sicer se imenujejo Newtonov binom.
Primer 11
Polinom faktoriziraj x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
rešitev
Izraz je treba pretvoriti v obliko
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Zaporedje koeficientov vsote v oklepaju je označeno z izrazom x + 1 4 .
To pomeni, da imamo x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Po uporabi razlike kvadratov dobimo
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Razmislite o izrazu v drugem oklepaju. Jasno je, da tam ni vitezov, zato bi morali znova uporabiti formulo razlike kvadratov. Dobimo izraz forme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Primer 12
Faktoriziraj x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
rešitev
Začnimo preoblikovati izraz. To razumemo
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Uporabiti je treba formulo za skrajšano množenje razlike kock. Dobimo:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda za zamenjavo spremenljivke pri faktoriziranju polinoma
Pri zamenjavi spremenljivke se stopnja zmanjša in polinom faktorizira.
Primer 13
Polinom oblike x 6 + 5 x 3 + 6 faktoriziraj.
rešitev
Glede na pogoj je jasno, da je treba opraviti zamenjavo y = x 3. Dobimo:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Koreni dobljene kvadratne enačbe so y = - 2 in y = - 3, potem
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Uporabiti je treba formulo za skrajšano množenje vsote kubov. Dobimo izraze oblike:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To pomeni, da smo dobili želeno razgradnjo.
Zgoraj obravnavani primeri bodo pomagali pri obravnavanju in faktoriziranju polinoma na različne načine.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Poglejmo si konkretni primeri, kako faktorizirati polinom.
Polinome bomo razširili v skladu z .
Faktorski polinomi:
Preverimo, ali obstaja skupni faktor. ja, enako je 7cd. Vzemimo iz oklepajev:
Izraz v oklepaju je sestavljen iz dveh izrazov. Skupnega faktorja ni več, izraz ni formula za vsoto kubov, kar pomeni, da je razgradnja končana.
Preverimo, ali obstaja skupni faktor. št. Polinom je sestavljen iz treh členov, zato preverimo, ali obstaja formula za polni kvadrat. Dva člena sta kvadrata izrazov: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², tretji člen je enak dvojnemu produktu teh izrazov: 2∙5x∙3y=30xy. To pomeni, da je ta polinom popoln kvadrat. Ker ima dvojni produkt znak minus, je:
Preverimo, ali je mogoče skupni faktor vzeti iz oklepaja. Obstaja skupni faktor, enak je a. Vzemimo iz oklepajev:
V oklepaju sta dva izraza. Preverimo, ali obstaja formula za razliko kvadratov ali razliko kubov. a² je kvadrat a, 1=1². To pomeni, da lahko izraz v oklepaju zapišemo s formulo razlike kvadratov:
Obstaja skupni faktor, enak je 5. Vzemimo ga iz oklepaja:
v oklepaju so trije izrazi. Preverimo, ali je izraz popoln kvadrat. Dva člena sta kvadrata: 16=4² in a² - kvadrat a, tretji člen je enak dvojnemu produktu 4 in a: 2∙4∙a=8a. Zato je popoln kvadrat. Ker imajo vsi izrazi znak "+", je izraz v oklepaju popolni kvadrat vsote:
Splošni množitelj -2x vzamemo iz oklepaja:
V oklepajih je vsota dveh členov. Preverimo, ali je ta izraz vsota kock. 64=4³, x³- kocka x. To pomeni, da lahko binom razširimo s formulo:
Obstaja skupni množitelj. Ker pa je polinom sestavljen iz 4 členov, bomo najprej in šele nato skupni faktor vzeli iz oklepaja. Združimo prvi člen s četrtim, drugega pa s tretjim:
Iz prvega oklepaja vzamemo skupni faktor 4a, iz drugega - 8b:
Skupnega množitelja še ni. Da bi ga dobili, vzamemo "-" iz drugega oklepaja in vsak znak v oklepaju se spremeni v nasprotno:
Zdaj pa vzemimo skupni faktor (1-3a) iz oklepajev:
V drugem oklepaju je skupni faktor 4 (to je isti faktor, ki ga nismo dali iz oklepaja na začetku primera):
Ker je polinom sestavljen iz štirih členov, izvedemo združevanje. Združimo prvi člen z drugim, tretji s četrtim:
V prvih oklepajih ni skupnega faktorja, je pa formula za razliko kvadratov, v drugih oklepajih je skupni faktor -5:
Pojavil se je skupni množitelj (4m-3n). Izločimo ga iz enačbe.
Spletni kalkulator.
Izolacija kvadrata binoma in faktorizacija kvadratnega trinoma.
Ta matematični program razlikuje kvadratni binom od kvadratnega trinoma, tj. naredi transformacijo, kot je: \(ax^2+bx+c \desna puščica a(x+p)^2+q \) in faktorizira kvadratni trinom: \(ax^2+bx+c \desna puščica a(x+n)(x+m) \)
Tisti. težave se skrčijo na iskanje števil \(p, q\) in \(n, m\)
Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja.
Ta program je lahko koristen za srednješolce v srednjih šolah kot priprave na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? Domača naloga pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.
Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.
Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega trinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.
Pravila za vnos kvadratnega polinoma
Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.
Števila lahko vnesete kot cela ali ulomka.
Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.
Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celega ločen s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke takole: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vstopu številčni ulomekŠtevec je od imenovalca ločen z znakom za deljenje: /
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)
Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju vneseni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Primer podrobne rešitve
Izolacija kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\levo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \levo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\levo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \desno) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \desno) -1 \left(x +2 \desno) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$
Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.
Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...
Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.
Naše igre, uganke, emulatorji:
Malo teorije.
Ločitev kvadrata binoma od kvadratnega trinoma
Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kot a(x+p) 2 +q, kjer sta p in q realni števili, potem pravimo, da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je poudarjen.
Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izluščimo kvadrat binoma.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Če želite to narediti, si predstavljajte 6x kot zmnožek 2*3*x, nato pa seštejte in odštejte 3 2. Dobimo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
to. mi izlušči kvadratni binom iz kvadratnega trinoma in pokazal, da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Faktoriziranje kvadratnega trinoma
Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen v obliki a(x+n)(x+m), kjer sta n in m realni števili, se reče, da je bila operacija izvedena faktorizacija kvadratnega trinoma.
S primerom pokažimo, kako poteka ta preobrazba.
Razčlenimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.
Vzemimo koeficient a iz oklepaja, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Transformirajmo izraz v oklepajih.
Če želite to narediti, si predstavljajte 2x kot razliko 3x-1x in -3 kot -1*3. Dobimo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
to. mi faktoriziral kvadratni trinom in pokazal, da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Upoštevajte, da je faktoriziranje kvadratnega trinoma možno le, če ima kvadratna enačba, ki ustreza temu trinomu, korenine.
Tisti. v našem primeru je možno faktorizirati trinom 2x 2 +4x-6, če ima kvadratna enačba 2x 2 +4x-6 =0 korene. V procesu faktorizacije smo ugotovili, da ima enačba 2x 2 + 4x-6 = 0 dva korena 1 in -3, ker s temi vrednostmi se enačba 2(x-1)(x+3)=0 spremeni v pravo enakost.
Podanih je 8 primerov faktoriziranja polinomov. Vključujejo primere reševanja kvadratnih in bikvadratnih enačb, primere recipročnih polinomov in primere iskanja celoštevilskih korenin polinomov tretje in četrte stopnje.
1. Primeri z reševanjem kvadratne enačbe
Primer 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
rešitev
Vzamemo x 2
zunaj oklepaja:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Koreni enačbe:
, .
.
Odgovori
Primer 1.2
Faktor polinom tretje stopnje:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
rešitev
Vzemimo x iz oklepaja:
.
Reševanje kvadratne enačbe x 2 + 6 x + 9 = 0:
Njegov diskriminant: .
Ker je diskriminanta nič, so koreni enačbe večkratniki: ;
.
Od tu dobimo faktorizacijo polinoma:
.
Odgovori
Primer 1.3
Deformirajte polinom pete stopnje:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
rešitev
Vzamemo x 3
zunaj oklepaja:
.
Reševanje kvadratne enačbe x 2 - 2 x + 10 = 0.
Njegov diskriminant: .
Ker je diskriminant manjši od nič, so koreni enačbe kompleksni: ;
, .
Faktorizacija polinoma ima obliko:
.
Če nas zanima faktorizacija z realnimi koeficienti, potem:
.
Odgovori
Primeri faktoriziranja polinomov z uporabo formul
Primeri z bikvadratnimi polinomi
Primer 2.1
Faktorirajte bikvadratni polinom:
x 4 + x 2 - 20.
rešitev
Uporabimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Odgovori
Primer 2.2
Faktoriziraj polinom, ki se reducira na bikvadraten:
x 8 + x 4 + 1.
rešitev
Uporabimo formule:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Odgovori
Primer 2.3 s ponavljajočim se polinomom
Faktorirajte recipročni polinom:
.
rešitev
Recipročni polinom ima liho stopnjo. Zato ima koren x = - 1
. Polinom delite z x - (-1) = x + 1. Kot rezultat dobimo:
.
Naredimo zamenjavo:
, ;
;
;
.
Odgovori
Primeri faktoriziranja polinomov s celimi koreni
Primer 3.1
Faktoriraj polinom:
.
rešitev
Predpostavimo, da enačba
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Tako smo našli tri korenine:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Ker je prvotni polinom tretje stopnje, nima več kot treh korenin. Ker smo našli tri korene, so preprosti. Potem
.
Odgovori
Primer 3.2
Faktoriraj polinom:
.
rešitev
Predpostavimo, da enačba
ima vsaj enega cela korenina. Potem je to delitelj števila 2
(član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
-2, -1, 1, 2
.
Te vrednosti zamenjamo eno za drugo:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Če predpostavimo, da ima ta enačba celoštevilski koren, potem je delitelj števila 2
(član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil:
1, 2, -1, -2
.
Zamenjajmo x = -1
:
.
Torej, našli smo še en koren x 2
= -1
. Možno bi bilo, kot v prejšnjem primeru, deliti polinom z , vendar bomo člene združili v skupine:
.
Ker je enačba x 2 + 2 = 0 nima pravih korenin, potem ima faktorizacija polinoma obliko.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
