Naj bo sistem linearen algebraične enačbe, ki ga je treba rešiti (poiščite takšne vrednosti neznank xi, ki vsako enačbo sistema spremenijo v enakost).
Vemo, da lahko sistem linearnih algebrskih enačb:
1) Nimate rešitev (bodite neskupni).
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Imejte eno samo rešitev.
Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda nista primerna v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. Gaussova metoda – najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve za vsak sistem linearne enačbe , ki v vsakem primeru nas bo pripeljal do odgovora! Sam algoritem metode deluje enako v vseh treh primerih. Če Cramerjeva in matrična metoda zahtevata poznavanje determinant, potem za uporabo Gaussove metode potrebujete le znanje aritmetične operacije, zaradi česar je dostopna tudi osnovnošolcem.
Povečane matrične transformacije ( to je matrika sistema - matrika, sestavljena samo iz koeficientov neznank in stolpca prostih členov) sistemi linearnih algebrskih enačb v Gaussovi metodi:
1) z troki matrice Lahko preurediti ponekod.
2) če se v matriki pojavijo (ali obstajajo) sorazmerne (kot poseben primer – enake) vrstice, potem morate izbrisati iz matrike vse te vrstice razen ene.
3) če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, bi morala biti tudi izbrisati.
4) vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno število razen nič.
5) v vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič.
Pri Gaussovi metodi elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb.
Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj:
- "Neposredna poteza" - z uporabo elementarnih transformacij razširite razširjeno matriko sistema linearnih algebrskih enačb v "trikotno" obliko koraka: elementi razširjene matrike, ki se nahajajo pod glavno diagonalo, so enaki nič (premik od zgoraj navzdol). Na primer za to vrsto:
Če želite to narediti, izvedite naslednje korake:
1) Oglejmo si prvo enačbo sistema linearnih algebrskih enačb in koeficient za x 1 je enak K. Drugo, tretjo itd. enačbe transformiramo takole: vsako enačbo (koeficiente neznank, vključno s prostimi členi) delimo s koeficientom neznanke x 1 v vsaki enačbi in pomnožimo s K. Po tem odštejemo prvo od druge enačbe ( koeficienti neznank in prosti členi). Za x 1 v drugi enačbi dobimo koeficient 0. Od tretje transformirane enačbe odštevamo prvo enačbo, dokler nimajo vse enačbe razen prve, za neznano x 1, koeficient 0.
2) Pojdimo na naslednjo enačbo. Naj bo to druga enačba in koeficient za x 2 enak M. Nadaljujemo z vsemi "nižjimi" enačbami, kot je opisano zgoraj. Tako bodo "pod" neznanko x 2 v vseh enačbah ničle.
3) Nadaljujte z naslednjo enačbo in tako naprej, dokler ne ostaneta zadnja neznanka in transformirani prosti člen.
- »Vzvratna poteza« Gaussove metode je pridobitev rešitve sistema linearnih algebrskih enačb (premika »od spodaj navzgor«). Iz zadnje "nižje" enačbe dobimo prvo rešitev - neznanko x n. Da bi to naredili, rešimo osnovno enačbo A * x n = B. V zgornjem primeru je x 3 = 4. Najdeno vrednost nadomestimo v »zgornjo« naslednjo enačbo in jo rešimo glede na naslednjo neznanko. Na primer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. In tako naprej, dokler ne najdemo vseh neznank.
Primer.
Rešimo sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo, kot svetujejo nekateri avtorji:
Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredimo to:
1 korak
. Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.
Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno dejanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).
2. korak . Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici. Prva vrstica, pomnožena s 3, je bila dodana tretji vrstici.
3. korak . Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to za lepoto. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.
4. korak . Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z 2.
5. korak . Tretja vrstica je bila deljena s 3.
Znak, ki označuje napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. Če torej spodaj dobimo nekaj takega (0 0 11 | 23) in v skladu s tem 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake med osnovnim transformacije.
Naredimo obratno; pri oblikovanju primerov sam sistem pogosto ni napisan na novo, ampak so enačbe »vzete neposredno iz dane matrike«. Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. V tem primeru je bil rezultat darilo:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, torej x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Rešimo isti sistem s predlaganim algoritmom. Dobimo
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Drugo enačbo delimo s 5, tretjo pa s 3. Dobimo:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Če drugo in tretjo enačbo pomnožimo s 4, dobimo:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Če odštejemo prvo enačbo od druge in tretje enačbe, imamo:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Tretjo enačbo delite z 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Tretjo enačbo pomnožimo z 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Če od tretje enačbe odštejemo drugo, dobimo "stopničasto" razširjeno matriko:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Tako, ker se je med izračuni nabrala napaka, dobimo x 3 = 0,96 ali približno 1.
x 2 = 3 in x 1 = –1.
S takšnim reševanjem se ne boste nikoli zmotili pri izračunih in boste kljub računskim napakam dobili rezultat.
Ta metoda reševanja sistema linearnih algebrskih enačb je enostavno programabilna in ne upošteva posebnosti koeficientov za neznanke, ker je treba v praksi (v ekonomskih in tehničnih izračunih) opraviti z necelimi koeficienti.
Želim ti uspeh! Se vidimo v razredu! Učitelj Dmitry Aystrahanov.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Ena od univerzalnih in učinkovitih metod za reševanje linearnih algebraičnih sistemov je Gaussova metoda , ki sestoji iz zaporednega izločanja neznank.
Spomnimo se, da se imenujeta dva sistema enakovreden (ekvivalentni), če množice njihovih rešitev sovpadajo. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno. Enakovredne sisteme dobimo, ko elementarne transformacije enačbe sistema:
množenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič;
dodajanje k neki enačbi ustreznih delov druge enačbe, pomnoženih s številom, ki ni nič;
preurejanje dveh enačb.
Naj bo podan sistem enačb
Postopek reševanja tega sistema z Gaussovo metodo je sestavljen iz dveh stopenj. Na prvi stopnji (neposredno gibanje) se sistem z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na postopno , oz trikotne obliki, na drugi stopnji (obratno) pa je zaporedno, začenši od zadnje številke spremenljivke, določanje neznank iz nastalega sistema korakov.
Predpostavimo, da je koeficient tega sistema 
, sicer lahko v sistemu prvo vrstico zamenjamo s katero koli drugo vrstico, tako da je koeficient pri 
je bil drugačen od nič.
Preoblikujemo sistem z odpravo neznanega 
v vseh enačbah razen v prvi. Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z 
in seštejte člen za členom z drugo enačbo sistema. Nato pomnožite obe strani prve enačbe z 
in ga dodajte tretji enačbi sistema. Z nadaljevanjem tega procesa dobimo enakovreden sistem
Tukaj 
– nove vrednosti koeficientov in prostih členov, ki jih dobimo po prvem koraku.
Podobno, če upoštevamo glavni element 
, izključite neznano 
iz vseh enačb sistema, razen prve in druge. Nadaljujmo s tem postopkom čim dlje in kot rezultat bomo dobili stopenjski sistem
,
Kje 
,
,…,
– glavni elementi sistema 
.
Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo enačbe, tj. 
, se zavržejo, ker jih zadovolji kateri koli nabor števil 
. Če pri 
se bo prikazal enačba oblike, ki nima rešitev, potem to kaže na nekompatibilnost sistema.
Med vzvratno potezo je prva neznanka izražena iz zadnje enačbe transformiranega stopenjskega sistema 
skozi vse druge neznanke 
ki se imenujejo prost
.
Nato izraz spremenljivke 
iz zadnje enačbe sistema nadomestimo v predzadnjo enačbo in iz nje izrazimo spremenljivko 
. Spremenljivke so definirane zaporedno na podoben način 
. Spremenljivke 
, izražene s prostimi spremenljivkami, imenujemo osnovni
(odvisno). Rezultat je splošna rešitev sistema linearnih enačb.
Najti zasebna rešitev
sistemi, prosti neznan 
v splošni rešitvi so dodeljene poljubne vrednosti in izračunane so vrednosti spremenljivk 
.
Tehnično bolj priročno je, da elementarnim transformacijam ne podvržemo sistemskih enačb samih, temveč razširjeno matriko sistema
.
Gaussova metoda je univerzalna metoda, ki vam omogoča reševanje ne samo kvadratnih, ampak tudi pravokotnih sistemov, v katerih je število neznank 
ni enako številu enačb 
.
Prednost te metode je tudi v tem, da v procesu reševanja sistem istočasno preverjamo na združljivost, saj po podani razširjeni matriki 
v stopenjsko obliko je enostavno določiti range matrike 
in razširjeno matriko 
in se prijavi Kronecker-Capellijev izrek
.
Primer 2.1 Rešite sistem z Gaussovo metodo
rešitev. Število enačb 
in število neznank 
.
Ustvarimo razširjeno matriko sistema z dodelitvijo koeficientov na desni strani matrike 
stolpec za brezplačne člane 
.
Predstavimo matrico 
na trikotni pogled; Da bi to naredili, bomo pridobili "0" pod elementi, ki se nahajajo na glavni diagonali, z uporabo elementarnih transformacij.
Če želite dobiti "0" na drugem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-1) in jo dodajte drugi vrstici.
To transformacijo zapišemo kot številko (-1) proti prvi vrstici in jo označimo s puščico, ki gre iz prve v drugo vrstico.
Če želite dobiti "0" na tretjem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-3) in dodajte tretji vrstici; Pokažimo to dejanje s puščico, ki gre od prve vrstice do tretje.
.
V dobljeni matriki, zapisani drugi v verigi matrik, dobimo v drugem stolpcu na tretjem mestu »0«. Da bi to naredili, smo drugo vrstico pomnožili z (-4) in jo dodali tretji. V dobljeni matriki drugo vrstico pomnožite z (-1) in tretjo delite z (-8). Vsi elementi te matrike, ki ležijo pod diagonalnimi elementi, so ničle.
Ker , sistem je sodelovalen in definiran.
Sistem enačb, ki ustreza zadnji matriki, ima trikotno obliko:
Iz zadnje (tretje) enačbe 
. Nadomestimo v drugo enačbo in dobimo 
.
Zamenjajmo 
in 
v prvo enačbo, najdemo 
.
Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo. Recimo, da moramo najti rešitev za sistem iz n linearne enačbe z n neznane spremenljivke
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.
Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporednega izločanja neznanih spremenljivk: najprej izločanja x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, je nadalje izključen x 2 iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler v zadnji enačbi ne ostane samo neznana spremenljivka x n. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem napredovanju Gaussove metode iz zadnje enačbe najdemo x n, pri čemer izračunamo to vrednost iz predzadnje enačbe xn-1, in tako naprej, od prve enačbe, ki jo najdemo x 1. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.
Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.
Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Odstranite neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, do nth enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko 
kje in 
.
Do enakega rezultata bi prišli, če bi izrazili x 1 skozi druge neznane spremenljivke v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz je bil substituiran v vse druge enačbe. Torej spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.
V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki 
Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, do nth enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko 
kje in 
. Torej spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb od tretje naprej.
Nato nadaljujemo z odpravljanjem neznanega x 3, v tem primeru ravnamo podobno z delom sistema, označenim na sliki 
Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike 
Od tega trenutka začnemo obratno od Gaussove metode: računamo x n iz zadnje enačbe kot z uporabo dobljene vrednosti x n najdemo xn-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej, najdemo x 1 iz prve enačbe.
Primer.
Reši sistem linearnih enačb 
Gaussova metoda.
Od začetka 16. do 18. stoletja so matematiki intenzivno začeli preučevati funkcije, zaradi katerih se je v našem življenju toliko spremenilo. Računalniška tehnologija brez tega znanja preprosto ne bi bilo. Za rešitve kompleksne naloge, linearne enačbe in funkcije, ustvarjeni so različni koncepti, izreki in tehnike reševanja. Eden od teh univerzalnih in racionalne načine in metode za reševanje linearnih enačb in njihovih sistemov so postale Gaussova metoda. Matrike, njihov rang, determinanta - vse je mogoče izračunati brez uporabe kompleksnih operacij.
Kaj je SLAU
V matematiki obstaja koncept SLAE - sistem linearnih algebrskih enačb. Kakšna je? To je nabor m enačb z zahtevanimi n neznanimi količinami, običajno označenimi z x, y, z ali x 1, x 2 ... x n ali drugimi simboli. Reševanje danega sistema z uporabo Gaussove metode pomeni iskanje vseh neznanih neznank. Če ima sistem enako število neznank in enačb, se imenuje sistem n-tega reda.
Najbolj priljubljene metode za reševanje SLAE
IN izobraževalne ustanove Dijaki se učijo različnih metod reševanja tovrstnih sistemov. Najpogosteje so to preproste enačbe, sestavljene iz dveh neznank, torej katere koli obstoječa metoda Ne bo trajalo veliko časa, da bi našli odgovor nanje. To je lahko podobno substitucijski metodi, ko se iz ene enačbe izpelje druga in nadomesti z izvirno. Ali metoda odštevanja in seštevanja po členih. Toda Gaussova metoda velja za najlažjo in najbolj univerzalno. Omogoča reševanje enačb s poljubnim številom neznank. Zakaj se ta posebna tehnika šteje za racionalno? Enostavno je. Dobra stran matrične metode je, da ne zahteva večkratnega prepisovanja nepotrebnih simbolov kot neznank, dovolj je, da izvedete aritmetične operacije s koeficienti - in dobili boste zanesljiv rezultat.
Kje se SLAE uporabljajo v praksi?
Rešitev SLAE so točke presečišča premic na grafih funkcij. V naši visoki tehnologiji računalniška doba ljudje, ki se tesno ukvarjajo z razvojem iger in drugih programov, morajo vedeti, kako takšne sisteme rešiti, kaj predstavljajo in kako preveriti pravilnost nastalega rezultata. Najpogosteje programerji razvijejo posebne programe za računanje linearne algebre, ki vključujejo tudi sistem linearnih enačb. Gaussova metoda vam omogoča, da izračunate vse obstoječe rešitve. Uporabljajo se tudi druge poenostavljene formule in tehnike.
Kriterij združljivosti SLAU
Takšen sistem je mogoče rešiti le, če je združljiv. Zaradi jasnosti predstavimo SLAE v obliki Ax=b. Ima rešitev, če je rang(A) enako rang(A,b). V tem primeru je (A,b) matrika razširjene oblike, ki jo lahko dobimo iz matrike A tako, da jo prepišemo s prostimi členi. Izkazalo se je, da je reševanje linearnih enačb z uporabo Gaussove metode precej enostavno.
Morda nekateri simboli niso povsem jasni, zato je treba vse obravnavati s primerom. Recimo, da obstaja sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Sestavljena je le iz dveh enačb, v katerih sta 2 neznanki. Sistem bo imel rešitev le, če bo rang njegove matrike enak rangu razširjene matrike. Kaj je rang? To je število neodvisnih linij sistema. V našem primeru je rang matrike 2. Matriko A bodo sestavljali koeficienti, ki se nahajajo blizu neznank, koeficienti, ki se nahajajo za znakom "=", pa se prav tako prilegajo razširjeni matriki.
Zakaj je SLAE mogoče predstaviti v matrični obliki?
Na podlagi kriterija združljivosti v skladu z dokazanim Kronecker-Capellijevim izrekom lahko sistem linearnih algebrskih enačb predstavimo v matrični obliki. Z uporabo Gaussove kaskadne metode lahko rešite matriko in dobite en sam zanesljiv odgovor za celoten sistem. Če je rang navadne matrike enak rangu njene razširjene matrike, vendar je manjši od števila neznank, potem ima sistem neskončno število odgovorov.
Matrične transformacije
Preden nadaljujete z reševanjem matrik, morate vedeti, katera dejanja je mogoče izvesti na njihovih elementih. Obstaja več osnovnih transformacij:
- Če sistem prepišete v matrično obliko in ga rešite, lahko pomnožite vse elemente niza z istim koeficientom.
- Če želite matriko pretvoriti v kanonično obliko, lahko zamenjate dve vzporedni vrstici. Kanonična oblika pomeni, da vsi elementi matrike, ki se nahajajo vzdolž glavne diagonale, postanejo enote, preostali pa postanejo ničle.
- Ustrezne elemente vzporednih vrstic matrike lahko seštevamo drug drugemu.
Jordan-Gaussova metoda
Bistvo reševanja sistemov linearnih homogenih in nehomogenih enačb po Gaussovi metodi je postopno izločanje neznank. Recimo, da imamo sistem dveh enačb, v katerih sta dve neznanki. Če jih želite najti, morate preveriti združljivost sistema. Enačba se zelo preprosto reši z Gaussovo metodo. V matrični obliki je treba zapisati koeficiente, ki se nahajajo blizu vsake neznanke. Za rešitev sistema boste morali izpisati razširjeno matriko. Če ena od enačb vsebuje manjše število neznank, je treba namesto manjkajočega elementa postaviti »0«. Za matriko se uporabljajo vse znane metode transformacije: množenje, deljenje s številom, dodajanje ustreznih elementov serije drug drugemu in drugo. Izkazalo se je, da je treba v vsaki vrstici pustiti eno spremenljivko z vrednostjo "1", ostalo je treba zmanjšati na nič. Za natančnejše razumevanje je treba upoštevati Gaussovo metodo s primeri.
Preprost primer reševanja sistema 2x2
Za začetek vzemimo preprost sistem algebrskih enačb, v katerem bosta 2 neznanki.
Prepišimo ga v razširjeno matriko.
Za rešitev tega sistema linearnih enačb sta potrebni le dve operaciji. Matriko moramo spraviti v kanonično obliko, tako da so enice vzdolž glavne diagonale. Če torej preidemo iz matrične oblike nazaj v sistem, dobimo enačbi: 1x+0y=b1 in 0x+1y=b2, kjer sta b1 in b2 končni odgovor v procesu reševanja.
- Prvo dejanje pri reševanju razširjene matrike bo naslednje: prvo vrstico je treba pomnožiti z -7 in v drugo vrstico dodati ustrezne elemente, da se znebimo ene neznanke v drugi enačbi.
- Ker reševanje enačb po Gaussovi metodi vključuje redukcijo matrike na kanonično obliko, je treba iste operacije izvesti s prvo enačbo in odstraniti drugo spremenljivko. Da bi to naredili, odštejemo drugo vrstico od prve in dobimo zahtevani odgovor - rešitev SLAE. Ali pa, kot je prikazano na sliki, drugo vrstico pomnožimo s faktorjem -1 in dodamo elemente druge vrstice prvi vrstici. Enako je.
Kot lahko vidimo, je bil naš sistem rešen po Jordan-Gaussovi metodi. Prepišemo ga v zahtevani obliki: x=-5, y=7.
Primer rešitve 3x3 SLAE
Recimo, da imamo bolj zapleten sistem linearnih enačb. Gaussova metoda omogoča izračun odgovora tudi za na videz najbolj zmeden sistem. Zato, da bi se poglobili v metodologijo izračuna, lahko preidete na več zapleten primer s tremi neznankami.
Kot v prejšnjem primeru, sistem prepišemo v obliki razširjene matrike in ga začnemo spravljati v njegovo kanonično obliko.
Za rešitev tega sistema boste morali izvesti veliko več dejanj kot v prejšnjem primeru.
- Najprej morate prvi stolpec narediti en enotni element, ostale pa ničle. Če želite to narediti, pomnožite prvo enačbo z -1 in ji dodajte drugo enačbo. Pomembno si je zapomniti, da prvo vrstico prepišemo v izvirni obliki, drugo pa v spremenjeni obliki.
- Nato to isto prvo neznanko odstranimo iz tretje enačbe. Če želite to narediti, pomnožite elemente prve vrstice z -2 in jih dodajte v tretjo vrstico. Zdaj sta prva in druga vrstica prepisani v izvirni obliki, tretja pa s spremembami. Kot lahko vidite iz rezultata, smo prvo dobili na začetku glavne diagonale matrike in preostale ničle. Še nekaj korakov in sistem enačb po Gaussovi metodi bo zanesljivo rešen.
- Zdaj morate izvesti operacije na drugih elementih vrstic. Tretje in četrto dejanje je mogoče združiti v eno. Drugo in tretjo vrstico moramo deliti z -1, da se znebimo minusov na diagonali. Tretjo vrstico smo že pripeljali do zahtevane oblike.
- Nato pripeljemo drugo vrstico v kanonično obliko. Da bi to naredili, pomnožimo elemente tretje vrstice z -3 in jih dodamo drugi vrstici matrike. Iz rezultata je jasno, da je tudi druga vrstica zmanjšana na obliko, ki jo potrebujemo. Opraviti je treba še nekaj operacij in odstraniti koeficiente neznank iz prve vrstice.
- Če želite narediti 0 iz drugega elementa vrstice, morate tretjo vrstico pomnožiti z -3 in jo dodati prvi vrstici.
- Naslednji odločilni korak bo dodajanje potrebnih elementov druge vrstice prvi vrstici. Tako dobimo kanonično obliko matrike in s tem odgovor.
Kot lahko vidite, je reševanje enačb z Gaussovo metodo precej preprosto.
Primer reševanja sistema enačb 4x4
Nekatere bolj zapletene sisteme enačb je mogoče rešiti z Gaussovo metodo z uporabo računalniški programi. V obstoječe prazne celice je potrebno vnesti koeficiente za neznanke in program bo korak za korakom izračunal sam zahtevani rezultat, ki podrobno opisuje vsako dejanje.
Opisano spodaj navodila po korakih rešitve tega primera.
V prvem koraku v prazna polja vnesemo proste koeficiente in števila za neznanke. Tako dobimo enako razširjeno matriko, ki jo pišemo ročno.
Izvedejo se vse potrebne aritmetične operacije, da se razširjena matrika pripelje v njeno kanonično obliko. Treba je razumeti, da odgovor na sistem enačb ni vedno cela števila. Včasih je rešitev lahko iz ulomkov.
Preverjanje pravilnosti rešitve
Jordan-Gaussova metoda omogoča preverjanje pravilnosti rezultata. Da bi ugotovili, ali so koeficienti pravilno izračunani, morate samo nadomestiti rezultat v prvotni sistem enačb. Stran leve roke enačbe se morajo ujemati desna stran, ki se nahaja za znakom enačaja. Če se odgovori ne ujemajo, morate znova izračunati sistem ali poskusiti zanj uporabiti drugo metodo reševanja SLAE, ki vam je znana, kot je zamenjava ali odštevanje in seštevanje po členih. Konec koncev je matematika veda, ki ima ogromno različnih metod reševanja. Vendar ne pozabite: rezultat mora biti vedno enak, ne glede na to, katero metodo rešitve ste uporabili.
Gaussova metoda: najpogostejše napake pri reševanju SLAE
Pri reševanju linearnih sistemov enačb se največkrat pojavljajo napake kot je napačen prenos koeficientov v matrično obliko. Obstajajo sistemi, v katerih v eni od enačb manjka nekaj neznank, ki se lahko pri prenosu podatkov v razširjeno matriko izgubijo. Posledično pri reševanju tega sistema rezultat morda ne ustreza dejanskemu.
Druga velika napaka je lahko napačno pisanje končni rezultat. Jasno je treba razumeti, da bo prvi koeficient ustrezal prvi neznanki iz sistema, drugi - drugi in tako naprej.
Gaussova metoda podrobno opisuje reševanje linearnih enačb. Zahvaljujoč temu je enostavno izvesti potrebne operacije in najti pravi rezultat. Še več, to univerzalno zdravilo najti zanesljiv odgovor na enačbe katere koli kompleksnosti. Morda se zato tako pogosto uporablja pri reševanju SLAE.
Tukaj lahko brezplačno rešite sistem linearnih enačb Gaussova metoda na spletu velike velikosti v kompleksnih številih z zelo podrobno rešitvijo. Naš kalkulator lahko na spletu reši tako običajne določene kot nedoločene sisteme linearnih enačb z uporabo Gaussove metode, ki ima neskončno število rešitev. V tem primeru boste v odgovoru prejeli odvisnost nekaterih spremenljivk od drugih, prostih. Skladnost sistema enačb lahko preverite tudi na spletu z uporabo Gaussove rešitve.
O metodi
Pri spletnem reševanju sistema linearnih enačb z uporabo Gaussove metode se izvedejo naslednji koraki.
- Zapišemo razširjeno matriko.
- Pravzaprav je rešitev razdeljena na korak naprej in nazaj Gaussove metode. Neposredni korak Gaussove metode je redukcija matrike na stopenjsko obliko. Vzvratno Gaussova metoda se imenuje redukcija matrike na posebno stopenjsko obliko. Toda v praksi je bolj priročno takoj izničiti tisto, kar se nahaja nad in pod zadevnim elementom. Naš kalkulator uporablja točno ta pristop.
- Pomembno je omeniti, da pri reševanju z Gaussovo metodo prisotnost v matriki vsaj ene ničelne vrstice z NIčelno desno stranjo (stolpec prostih izrazov) kaže na nedoslednost sistema. rešitev linearni sistem v tem primeru ne obstaja.
Če želite najbolje razumeti, kako deluje Gaussov algoritem na spletu, vnesite poljuben primer, izberite »zelo podrobno rešitev« in si oglejte njegovo rešitev na spletu.
