Navodila

Če je enačba predstavljena v obliki: dy/dx = q(x)/n(y), jih klasificirajte kot diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami. Lahko jih rešimo tako, da pogoj zapišemo v diferenciale na naslednji način: n(y)dy = q(x)dx. Nato združite obe strani. V nekaterih primerih je rešitev zapisana v obliki integralov, vzetih iz znanih funkcij. Na primer, v primeru dy/dx = x/y dobimo q(x) = x, n(y) = y. Zapiši ga v obliki ydy = xdx in integriraj. Moralo bi biti y^2 = x^2 + c.

Na linearno enačbe povežite enačbe s "prvo". Neznana funkcija s svojimi odpeljankami vstopi v tako enačbo samo na prvo stopnjo. Linear ima obliko dy/dx + f(x) = j(x), kjer sta f(x) in g(x) funkciji, odvisni od x. Rešitev je zapisana z uporabo integralov, vzetih iz znanih funkcij.

Upoštevajte, da mnogi diferencialne enačbe- to so enačbe drugega reda (vsebujejo druge odvode) Na primer, to je enačba enostavnega harmoničnega gibanja, zapisana v splošni obliki: md 2x/dt 2 = –kx. Take enačbe imajo v , posebne rešitve. Enačba preprostega harmoničnega gibanja je primer nečesa precej pomembnega: linearne diferencialne enačbe, ki imajo konstanten koeficient.

Če je v pogojih problema samo ena linearna enačba, potem ste dobili dodatni pogoji, zahvaljujoč kateremu je mogoče najti rešitev. Pozorno preberite težavo, da najdete te pogoje. če spremenljivke x in y označujeta razdaljo, hitrost, težo - lahko nastavite mejo x≥0 in y≥0. Povsem mogoče je, da x ali y skrivata število jabolk itd. – potem so lahko vrednosti le . Če je x sinova starost, je jasno, da ne more biti starejši od očeta, zato to navedite v pogojih problema.

Viri:

kako rešiti enačbo z eno spremenljivko

Težave z diferencialnim in integralnim računom so pomembne elemente utrjevanje teorije matematična analiza, razdelek višja matematika, študiral na univerzah. Diferencial enačba rešujejo z integracijsko metodo.

Navodila

Diferencialni račun raziskuje lastnosti . In obratno, integracija funkcije omogoča dane lastnosti, tj. odvode ali diferenciale funkcije, da jo najde sama. To je rešitev diferencialne enačbe.

Karkoli je razmerje med neznano količino in znanimi podatki. Pri diferencialni enačbi ima vlogo neznanke funkcija, vlogo znanih količin pa njeni odvodi. Poleg tega lahko relacija vsebuje neodvisno spremenljivko: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, kjer je x neznanka spremenljivka, y (x) je funkcija, ki jo je treba določiti, vrstni red enačbe je največji vrstni red odvoda (n).

Takšno enačbo imenujemo navadna diferencialna enačba. Če razmerje vsebuje več neodvisnih spremenljivk in parcialnih odvodov (diferencialov) funkcije glede na te spremenljivke, se enačba imenuje parcialna diferencialna enačba in ima obliko: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , kjer je z(x, y) zahtevana funkcija.

Torej, da bi se naučili reševati diferencialne enačbe, morate biti sposobni najti antiodpeljevanja, tj. reši nalogo, inverzno glede na diferenciacijo. Na primer: rešite enačbo prvega reda y’ = -y/x.

Rešitev Zamenjajte y' z dy/dx: dy/dx = -y/x.

Zmanjšajte enačbo na obliko, primerno za integracijo. Če želite to narediti, pomnožite obe strani z dx in delite z y:dy/y = -dx/x.

Integriraj: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Ta rešitev se imenuje splošna diferencialna enačba. C je konstanta, katere niz vrednosti določa niz rešitev enačbe. Za katero koli specifično vrednost C bo rešitev edinstvena. Ta rešitev je delna rešitev diferencialne enačbe.

Reševanje večine enačb višjega reda stopnje nima jasne formule za iskanje kvadratnih korenov enačbe. Vendar pa obstaja več načinov redukcije, ki vam omogočajo pretvorbo enačbe višje stopnje v bolj vizualno obliko.

Navodila

Najpogostejša metoda za reševanje enačb višje stopnje je ekspanzija. Ta pristop je kombinacija izbire celih korenov, deliteljev prostega člena in kasnejše delitve splošnega polinoma v obliko (x – x0).

Na primer, rešite enačbo x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rešitev: prosti člen tega polinoma je -3, zato sta lahko njegova celoštevilska delitelja števili ±1 in ±3. Enega za drugim jih zamenjajte v enačbo in ugotovite, ali dobite identiteto: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Drugi koren x = -1. Deli z izrazom (x + 1). Zapišite dobljeno enačbo (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Stopnja je znižana na sekundo, zato ima lahko enačba še dva korena. Če jih želite najti, rešite kvadratno enačbo: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminanta je negativna vrednost, kar pomeni, da enačba nima več pravih korenin. Poiščite kompleksne korene enačbe: x = (-2 + i·√11)/2 in x = (-2 – i·√11)/2.

Druga metoda za reševanje enačbe višje stopnje je spreminjanje spremenljivk, da postane kvadratna. Ta pristop se uporablja, ko so vse potence enačbe sode, na primer: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Zdaj poiščite korenine prvotne enačbe: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Nasvet 10: Kako določiti redoks enačbe

Kemična reakcija je proces pretvorbe snovi, ki se pojavi s spremembo njihove sestave. Tiste snovi, ki reagirajo, imenujemo začetne snovi, tiste, ki pri tem nastanejo, pa produkte. Zgodi se, da med kemijska reakcija elementi, ki tvorijo izhodne snovi, spremenijo svoje oksidacijsko stanje. To pomeni, da lahko sprejmejo elektrone nekoga drugega in oddajo svoje. V obeh primerih se njihov naboj spremeni. Take reakcije imenujemo redoks reakcije.

Zapiski predavanj na

diferencialne enačbe

Diferencialne enačbe

Uvod

Pri proučevanju določenih pojavov pogosto pride do situacije, ko procesa ni mogoče opisati z enačbo y=f(x) ali F(x;y)=0. Poleg spremenljivke x in neznane funkcije v enačbo vstopi še odvod te funkcije.

definicija: Pokličemo enačbo, ki povezuje spremenljivko x, neznano funkcijo y(x) in njene odvode diferencialna enačba. IN splošni pogled diferencialna enačba izgleda takole:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

definicija: Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišjega odvoda, ki je v njej vključen.

–diferencialna enačba 1. reda

–diferencialna enačba 3. reda

definicija: Rešitev diferencialne enačbe je funkcija, ki jo, ko jo nadomestimo v enačbo, spremeni v identiteto.

Diferencialne enačbe 1. reda

definicija: Enačba oblike =f(x;y) ali F(x;y; )=0se imenuje diferencialna enačba 1. reda.

definicija: Splošna rešitev diferencialne enačbe 1. reda je funkcija y=γ(x;c), kjer je (c –const), ki jo, ko jo nadomestimo v enačbo, spremeni v identiteto. Geometrijsko na ravnini splošna rešitev ustreza družini integralnih krivulj, odvisnih od parametra c.

definicija: Integralna krivulja, ki poteka skozi točko v ravnini s koordinatami (x 0 ; y 0), ustreza določeni rešitvi diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj:

Izrek o obstoju edinstvenosti rešitve diferencialne enačbe 1. reda

Podana diferencialna enačba 1. reda
in funkcija f(x;y) je zvezna skupaj z delnimi odvodi v nekem območju D ravnine XOY, nato skozi točko M 0 (x 0 ;y 0) D poteka skozi edino krivuljo, ki ustreza določeni rešitvi diferencialne enačbe, ki ustreza začetnemu pogoju y(x 0)=y 0

Ena integralna krivulja poteka skozi točko v ravnini z danimi koordinatami.

Če ni mogoče dobiti splošne rešitve diferencialne enačbe 1. reda v eksplicitni obliki, tj.
, potem ga lahko dobimo implicitno:

F(x; y; c) =0 – implicitna oblika

Splošna rešitev v tej obliki se imenuje splošni integral diferencialna enačba.

V zvezi z diferencialno enačbo 1. reda se postavita 2 problema:

1) Poiščite splošno rešitev (splošni integral)

2) Poiščite partikularno rešitev (delni integral), ki izpolnjuje dani začetni pogoj. Ta problem se imenuje Cauchyjev problem za diferencialno enačbo.

Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami

Enačbe oblike:
se imenuje diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami.

Zamenjajmo

pomnožite z dx

ločimo spremenljivke

deli z

Opomba: treba je upoštevati poseben primer, ko

spremenljivke so ločene

integrirajmo obe strani enačbe

- skupna odločitev

Diferencialno enačbo z ločljivimi spremenljivkami lahko zapišemo kot:

Osamljen primer
!

Integrirajmo obe strani enačbe:

2)
začetek pogoji:

Homogene diferencialne enačbe 1. reda

definicija: funkcija
se imenuje homogena reda n, če

Primer: - homogena funkcija reda n=2

definicija: Imenuje se homogena funkcija reda 0 homogena.

definicija: Diferencialna enačba
se imenuje homogeno, če
- homogena funkcija, tj.

Tako lahko homogeno diferencialno enačbo zapišemo kot:

Uporaba zamenjave , kjer je t funkcija spremenljivke x, se homogena diferencialna enačba reducira na enačbo z ločljivimi spremenljivkami.

- nadomestimo v enačbo

Če ločimo spremenljivke, integrirajmo obe strani enačbe

Naredimo obratno zamenjavo z zamenjavo , dobimo splošno rešitev v implicitni obliki.

Homogeno diferencialno enačbo lahko zapišemo v diferencialni obliki.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, kjer sta M(x;y) in N(x;y) homogeni funkciji istega reda.

Deli z dx in izrazi

Navadna diferencialna enačba je enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo te spremenljivke in njene odvode (ali diferenciale) različnih vrst.

Vrstni red diferencialne enačbe se imenuje vrstni red najvišjega odvoda, ki ga vsebuje.

Poleg navadnih preučujemo tudi parcialne diferencialne enačbe. To so enačbe, ki povezujejo neodvisne spremenljivke, neznano funkcijo teh spremenljivk in njene parcialne odvode glede na iste spremenljivke. Vendar bomo samo upoštevali navadne diferencialne enačbe zato bomo zaradi jedrnatosti izpustili besedo »navaden«.

Primeri diferencialnih enačb:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Enačba (1) je četrtega reda, enačba (2) je tretjega reda, enačbi (3) in (4) sta drugega reda, enačba (5) je prvega reda.

Diferencialna enačba n Ni nujno, da vrstni red vsebuje eksplicitno funkcijo, vse njene izpeljanke od prvega do n reda in neodvisna spremenljivka. Ne sme izrecno vsebovati izpeljank določenih vrst, funkcije ali neodvisne spremenljivke.

Na primer, v enačbi (1) očitno ni odvodov tretjega in drugega reda, pa tudi funkcije; v enačbi (2) - odvod drugega reda in funkcija; v enačbi (4) - neodvisna spremenljivka; v enačbi (5) - funkcije. Le enačba (3) eksplicitno vsebuje vse odvode, funkcijo in neodvisno spremenljivko.

Reševanje diferencialne enačbe vsaka funkcija je klicana y = f(x), ko se nadomesti v enačbo, se spremeni v identiteto.

Postopek iskanja rešitve diferencialne enačbe se imenuje njen integracija.

Primer 1. Poiščite rešitev diferencialne enačbe.

rešitev. Zapišimo to enačbo v obliki . Rešitev je najti funkcijo iz njenega odvoda. Izvirna funkcija je, kot je znano iz integralnega računa, antiderivacija za, tj.

Tako je rešitev te diferencialne enačbe . Spreminjanje v njem C, bomo dobili različne rešitve. Ugotovili smo, da obstaja neskončno število rešitev diferencialne enačbe prvega reda.

Splošna rešitev diferencialne enačbe n vrstni red je njegova rešitev, eksplicitno izražena glede na neznano funkcijo in vsebuje n neodvisne poljubne konstante, tj.

Rešitev diferencialne enačbe v primeru 1 je splošna.

Parcialna rešitev diferencialne enačbe se imenuje rešitev, v kateri so poljubne konstante določene numerične vrednosti.

Primer 2. Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe in posebno rešitev za .

rešitev. Integrirajmo obe strani enačbe tolikokrat, kot je vrstni red diferencialne enačbe.

Kot rezultat smo prejeli splošno rešitev -

dane diferencialne enačbe tretjega reda.

Zdaj pa poiščimo določeno rešitev pod navedenimi pogoji. Če želite to narediti, nadomestite njihove vrednosti namesto poljubnih koeficientov in dobite

Če je poleg diferencialne enačbe začetni pogoj podan v obliki , se tak problem imenuje Cauchyjeva težava . Nadomestite vrednosti in v splošno rešitev enačbe in poiščite vrednost poljubne konstante C, nato pa določeno rešitev enačbe za najdeno vrednost C. To je rešitev Cauchyjevega problema.

Primer 3. Rešite Cauchyjev problem za diferencialno enačbo iz primera 1 ob upoštevanju .

rešitev. Nadomestimo vrednosti iz začetnega pogoja v splošno rešitev l = 3, x= 1. Dobimo

Zapišemo rešitev Cauchyjevega problema za to diferencialno enačbo prvega reda:

Reševanje diferencialnih enačb, tudi najpreprostejših, zahteva dobro integracijo in sposobnosti izpeljave, vključno s kompleksnimi funkcijami. To je razvidno iz naslednjega primera.

Primer 4. Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe.

rešitev. Enačba je zapisana v takšni obliki, da lahko takoj integrirate obe strani.

Uporabimo metodo integracije s spremembo spremenljivke (substitucija). Naj bo potem.

Obvezno vzeti dx in zdaj - pozor - to počnemo v skladu s pravili diferenciacije kompleksne funkcije, saj x in obstaja kompleksna funkcija("jabolko" - ekstrakcija kvadratni koren ali, kar je isto - dvig na moč "ena polovica" in "mleto meso" je sam izraz pod korenom):

Najdemo integral:

Vrnitev k spremenljivki x, dobimo:

To je splošna rešitev te diferencialne enačbe prve stopnje.

Pri reševanju diferencialnih enačb ne bodo potrebna le znanja iz prejšnjih oddelkov višje matematike, temveč tudi znanja iz osnovnošolske, torej šolske matematike. Kot že omenjeno, v diferencialni enačbi katerega koli reda morda ni neodvisne spremenljivke, tj. x. Znanje o razmerjih iz šole, ki ni bilo pozabljeno (vendar, odvisno od tega, kdo) iz šole, bo pomagalo rešiti to težavo. To je naslednji primer.

Ali so že rešeni glede na odvod ali pa jih je mogoče rešiti glede na odvod .

Splošna rešitev diferencialnih enačb tipa na intervalu X, ki je podana, je mogoče najti tako, da vzamemo integral obeh strani te enakosti.

Dobimo .

Če pogledate lastnosti nedoločen integral, potem najdemo želeno splošno rešitev:

y = F(x) + C,

Kje F(x)- eden od antiderivacijske funkcije f(x) vmes X, A Z- poljubna konstanta.

Upoštevajte, da je pri večini težav interval X ne kažejo. To pomeni, da je treba najti rešitev za vse. x, za katero in želeno funkcijo l in izvirna enačba je smiselna.

Če morate izračunati določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj y(x 0) = y 0, potem pa po izračunu splošnega integrala y = F(x) + C, je treba še določiti vrednost konstante C = C 0, z uporabo začetnega pogoja. Se pravi stalnica C = C 0 določeno iz enačbe F(x 0) + C = y 0, in želena delna rešitev diferencialne enačbe bo imela obliko:

y = F(x) + C 0.

Poglejmo primer:

Poiščimo splošno rešitev diferencialne enačbe in preverimo pravilnost rezultata. Poiščimo določeno rešitev te enačbe, ki bi zadostila začetnemu pogoju.

rešitev:

Ko integriramo dano diferencialno enačbo, dobimo:

Vzemimo ta integral z metodo integracije po delih:

to., je splošna rešitev diferencialne enačbe.

Da se prepričamo o pravilnem rezultatu, naredimo preverjanje. Da bi to naredili, zamenjamo rešitev, ki smo jo našli, v dano enačbo:

Se pravi, kdaj prvotna enačba se spremeni v identiteto:

zato je bila splošna rešitev diferencialne enačbe pravilno določena.

Rešitev, ki smo jo našli, je splošna rešitev diferencialne enačbe za vsako realno vrednost argumenta x.

Ostaja še izračunati določeno rešitev ODE, ki bi zadostila začetnemu pogoju. Z drugimi besedami, treba je izračunati vrednost konstante Z, pri kateri bo veljala enakost:

Nato zamenjava C = 2 v splošno rešitev ODE, dobimo partikularno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj:

Navadna diferencialna enačba lahko rešimo za odvod tako, da obe strani enačbe delimo z f(x). Ta transformacija bo enakovredna, če f(x) se v nobenem primeru ne spremeni v nič x iz integracijskega intervala diferencialne enačbe X.

Obstajajo verjetne situacije, ko za nekatere vrednosti argumenta x ∈ X funkcije f(x) in g(x) hkrati postanejo nič. Za podobne vrednosti x splošna rešitev diferencialne enačbe je poljubna funkcija l, ki je v njih opredeljena, saj .

Če za nekatere vrednosti argumentov x ∈ X pogoj je izpolnjen, kar pomeni, da v tem primeru ODE nima rešitev.

Za vse ostale x iz intervala X splošna rešitev diferencialne enačbe je določena iz transformirane enačbe.

Poglejmo si primere:

Primer 1.

Poiščimo splošno rešitev za ODE: .

rešitev.

Iz lastnosti osnovnih elementarnih funkcij je razvidno, da funkcija naravni logaritem je definiran za nenegativne vrednosti argumentov, zato je obseg izraza ln(x+3) obstaja interval x > -3 . To pomeni, da je dana diferencialna enačba smiselna za x > -3 . Za te vrednosti argumentov je izraz x+3 ne izniči, tako da lahko rešite ODE za odvod tako, da 2 dela delite z x + 3.

Dobimo .

Nato integriramo nastalo diferencialno enačbo, rešeno glede na odvod: . Za prevzem tega integrala uporabimo metodo, da ga podstavimo pod diferencialni predznak.

Vsebina članka

DIFERENCIALNE ENAČBE. V obrazcu so zapisane številne fizikalne zakonitosti, ki vladajo določenim pojavom matematična enačba, ki izraža določeno razmerje med nekaterimi količinami. Pogosto govorimo o razmerju med količinami, ki se spreminjajo skozi čas, na primer izkoristek motorja, merjen z razdaljo, ki jo avtomobil lahko prevozi z enim litrom goriva, je odvisen od hitrosti avtomobila. Ustrezna enačba vsebuje eno ali več funkcij in njihove odvode in se imenuje diferencialna enačba. (Stopnja spreminjanja razdalje skozi čas je določena s hitrostjo; zato je hitrost derivat razdalje; podobno je pospešek derivat hitrosti, saj pospešek določa stopnjo spreminjanja hitrosti s časom.) Velik pomen, ki jih imajo diferencialne enačbe za matematiko in še posebej za njene aplikacije, je razloženo z dejstvom, da se preučevanje številnih fizikalnih in tehničnih problemov zmanjša na reševanje takih enačb. Diferencialne enačbe igrajo pomembno vlogo tudi v drugih vedah, kot so biologija, ekonomija in elektrotehnika; pravzaprav se pojavijo povsod tam, kjer obstaja potreba po kvantitativnem (številčnem) opisu pojavov (saj svet spremembe v času in pogoji se spreminjajo od enega kraja do drugega).

Primeri.

Naslednji primeri nudijo boljše razumevanje, kako so različni problemi formulirani v jeziku diferencialnih enačb.

1) Zakon razpada nekaterih radioaktivnih snovi je, da je stopnja razpada sorazmerna z razpoložljivo količino te snovi. če x– količino snovi v določenem trenutku t, potem lahko ta zakon zapišemo takole:

Kje dx/dt je stopnja razpadanja in k– neka pozitivna konstanta, ki označuje dano snov. (Znak minus na desni strani to pomeni x sčasoma se zmanjša; znak plus, ki je vedno impliciran, kadar znak ni izrecno naveden, bi to pomenil x sčasoma narašča.)

2) Posoda na začetku vsebuje 10 kg soli, raztopljene v 100 m 3 vode. če čista voda vlije v posodo s hitrostjo 1 m 3 na minuto in se enakomerno pomeša z raztopino, nastala raztopina pa izteče iz posode z enako hitrostjo, koliko soli bo potem v posodi v katerem koli naslednjem trenutku? če x– količina soli (v kg) v posodi naenkrat t, nato kadar koli t 1 m 3 raztopine v posodi vsebuje x/100 kg soli; zato se količina soli s hitrostjo zmanjšuje x/100 kg/min, oz

3) Naj bodo na telesu mase m obešen na koncu vzmeti, deluje obnovitvena sila sorazmerno z napetostjo vzmeti. Pustiti x– količina odstopanja telesa od ravnotežnega položaja. Potem, v skladu z drugim Newtonovim zakonom, ki pravi, da je pospešek (drugi odvod iz x po času, določeno d 2 x/dt 2) sorazmerno s silo:

Desna stran ima predznak minus, ker povratna sila zmanjša razteg vzmeti.

4) Zakon o ohlajanju telesa pravi, da se količina toplote v telesu zmanjšuje sorazmerno z razliko v telesni temperaturi in okolju. Če je skodelica kave, segreta na temperaturo 90 °C, v prostoru, kjer je temperatura 20 °C, potem

Kje T– temperatura kave ob času t.

5) Zunanji minister države Blefuscu trdi, da orožarski program, ki ga je sprejel Liliput, sili njegovo državo, da čim bolj poveča vojaške izdatke. Minister za zunanje zadeve Liliputa daje podobne izjave. Nastalo situacijo (v najpreprostejši interpretaciji) je mogoče natančno opisati z dvema diferencialnima enačbama. Pustiti x in l- stroški za oborožitev Lilliputa in Blefuscuja. Ob predpostavki, da Liliput povečuje svoje izdatke za oborožitev s stopnjo, ki je sorazmerna s stopnjo povečanja izdatkov za oborožitev Blefuscuja in obratno, dobimo:

kjer so člani sekira In - avtor opišite vojaške izdatke vsake države, k in l so pozitivne konstante. (Ta problem je leta 1939 prvič na ta način formuliral L. Richardson.)

Ko je problem napisan v jeziku diferencialnih enačb, jih poskusite rešiti, tj. poiščite količine, katerih hitrosti spreminjanja so vključene v enačbe. Včasih se rešitve najdejo v obliki eksplicitnih formul, pogosteje pa jih je mogoče predstaviti le v približni obliki ali pa o njih pridobiti kvalitativne informacije. Pogosto je težko ugotoviti, ali rešitev sploh obstaja, kaj šele najti jo. Pomemben del teorije diferencialnih enačb sestavljajo tako imenovani "izreki obstoja", v katerih se dokazuje obstoj rešitve za eno ali drugo vrsto diferencialne enačbe.

Izvirna matematična formulacija fizikalnega problema običajno vsebuje poenostavljene predpostavke; merilo njihove smiselnosti je lahko stopnja skladnosti matematične rešitve z razpoložljivimi opazovanji.

Rešitve diferencialnih enačb.

Diferencialna enačba, na primer dy/dx = x/l, ne izpolnjuje število, temveč funkcija, v tem posebnem primeru tako, da ima njen graf na kateri koli točki, na primer v točki s koordinatami (2,3), tangento z naklon, enako razmerju koordinat (v našem primeru 2/3). To je enostavno preveriti, če gradite velika številka točke in od vsake ločite kratek segment z ustreznim naklonom. Rešitev bo funkcija, katere graf se z vsako svojo točko dotika ustreznega segmenta. Če je dovolj točk in odsekov, potem lahko približno orišemo potek krivulj rešitve (na sliki 1 so prikazane tri takšne krivulje). Skozi vsako točko poteka natanko ena krivulja rešitve lšt. 0. Vsako posamezno rešitev imenujemo parcialna rešitev diferencialne enačbe; če je mogoče najti formulo, ki vsebuje vse partikularne rešitve (z morebitno izjemo nekaj posebnih), potem pravijo, da je bila pridobljena splošna rešitev. Posamezna rešitev predstavlja eno funkcijo, splošna rešitev pa njihovo celotno družino. Reševanje diferencialne enačbe pomeni iskanje njene posebne ali splošne rešitve. V primeru, ki ga obravnavamo, ima splošna rešitev obliko l 2 – x 2 = c, Kje c– poljubno število; določena rešitev, ki poteka skozi točko (1,1), ima obliko l = x in se izkaže, ko c= 0; določena rešitev, ki poteka skozi točko (2,1), ima obliko l 2 – x 2 = 3. Pogoj, ki zahteva, da krivulja rešitve poteka na primer skozi točko (2,1), se imenuje začetni pogoj (ker določa začetno točko na krivulji rešitve).

Lahko se pokaže, da ima splošna rešitev v primeru (1) obliko x = ce –kt, Kje c– konstanta, ki jo je mogoče določiti na primer z navedbo količine snovi pri t= 0. Enačba iz primera (2) je poseben primer enačbe iz primera (1), ki ustreza k= 1/100. Začetno stanje x= 10 at t= 0 daje določeno rešitev x = 10e –t/100 . Enačba iz primera (4) ima splošno rešitev T = 70 + ce –kt in zasebna rešitev 70 + 130 – kt; za določitev vrednosti k, potrebni so dodatni podatki.

Diferencialna enačba dy/dx = x/l se imenuje enačba prvega reda, ker vsebuje prvi odvod (vrstni red diferencialne enačbe se običajno šteje za vrstni red najvišjega odvoda, ki je v njej vključen). Za večino (čeprav ne za vse) diferencialnih enačb prve vrste, ki se pojavljajo v praksi, poteka samo ena krivulja rešitve skozi vsako točko.

Obstaja več pomembnih vrst diferencialnih enačb prvega reda, ki jih je mogoče rešiti v obliki formul, ki vsebujejo samo osnovne funkcije - potence, eksponente, logaritme, sinuse in kosinuse itd. Take enačbe vključujejo naslednje.

Enačbe z ločljivimi spremenljivkami.

Enačbe oblike dy/dx = f(x)/g(l) lahko rešimo tako, da ga zapišemo v diferenciale g(l)dy = f(x)dx in integracijo obeh delov. V najslabšem primeru lahko rešitev predstavimo v obliki integralov znanih funkcij. Na primer v primeru enačbe dy/dx = x/l imamo f(x) = x, g(l) = l. Tako, da ga zapišete v obrazec ydy = xdx in z integracijo dobimo l 2 = x 2 + c. Enačbe z ločljivimi spremenljivkami vključujejo enačbe iz primerov (1), (2), (4) (rešujemo jih na zgoraj opisani način).

Enačbe v totalnih diferencialih.

Če ima diferencialna enačba obliko dy/dx = M(x,l)/n(x,l), Kje M in n sta dve dani funkciji, potem jo lahko predstavimo kot M(x,l)dx – n(x,l)dy= 0. Če je leva stran diferencial neke funkcije F(x,l), potem lahko diferencialno enačbo zapišemo kot dF(x,l) = 0, kar je enakovredno enačbi F(x,l) = konst. Tako so krivulje rešitve enačbe "črte konstantnih nivojev" funkcije ali geometrijsko mesto točk, ki zadovoljujejo enačbe F(x,l) = c. Enačba ydy = xdx(slika 1) - z ločljivimi spremenljivkami in enako - v skupnih razlikah: da se prepričamo o slednjem, ga zapišemo v obliki ydy – xdx= 0, tj. d(l 2 – x 2) = 0. Funkcija F(x,l) je v tem primeru enako (1/2)( l 2 – x 2); Nekatere njegove črte konstantne ravni so prikazane na sl. 1.

Linearne enačbe.

Linearne enačbe so enačbe "prve stopnje" - neznana funkcija in njeni odvodi se v takšnih enačbah pojavljajo le na prvi stopnji. Tako ima linearna diferencialna enačba prvega reda obliko dy/dx + str(x) = q(x), Kje str(x) In q(x) – funkcije, ki so odvisne samo od x. Njegovo rešitev lahko vedno zapišemo z uporabo integralov znanih funkcij. Številne druge vrste diferencialnih enačb prvega reda se rešujejo s posebnimi tehnikami.

Enačbe višjega reda.

Številne diferencialne enačbe, s katerimi se srečujejo fiziki, so enačbe drugega reda (tj. enačbe, ki vsebujejo druge odvode). Takšna je na primer enačba preprostega harmoničnega gibanja iz primera (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Na splošno lahko pričakujemo, da ima enačba drugega reda delne rešitve, ki izpolnjujejo dva pogoja; lahko na primer zahtevamo, da gre krivulja rešitve skozi dano točko v dani smeri. V primerih, ko diferencialna enačba vsebuje določen parameter (število, katerega vrednost je odvisna od okoliščin), obstajajo rešitve zahtevanega tipa samo za določene vrednosti tega parametra. Na primer, razmislite o enačbi md 2 x/dt 2 = –kx in to bomo zahtevali l(0) = l(1) = 0. Funkcija lê 0 je očitno rešitev, vendar če je celoštevilski večkratnik str, tj. k = m 2 n 2 str 2, kjer n je celo število, vendar v resnici samo v tem primeru obstajajo druge rešitve, in sicer: l= greh npx. Vrednosti parametrov, za katere ima enačba posebne rešitve, imenujemo značilne oz lastne vrednosti; igrajo pomembno vlogo pri številnih opravilih.

Enačba preprostega harmoničnega gibanja je primer pomembnega razreda enačb, in sicer linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti. Splošnejši primer (tudi drugega reda) je enačba

Kje a in b– dane konstante, f(x) je dana funkcija. Take enačbe je mogoče rešiti različne poti, na primer z uporabo integralne Laplaceove transformacije. Enako lahko rečemo za linearne enačbe višjih redov s konstantnimi koeficienti. Imajo tudi pomembno vlogo linearne enačbe s spremenljivimi kvotami.

Nelinearne diferencialne enačbe.

Enačbe, ki vsebujejo neznane funkcije in njihove odvode na stopnje, višje od prve ali na kakšen bolj zapleten način, imenujemo nelinearne. IN Zadnja leta vzbujajo vse več pozornosti. Dejstvo je, da so fizikalne enačbe običajno linearne le do prvega približka; Nadaljnje in natančnejše raziskave praviloma zahtevajo uporabo nelinearnih enačb. Poleg tega so številni problemi nelinearne narave. Ker so rešitve nelinearnih enačb pogosto zelo zapletene in jih je težko predstaviti s preprostimi formulami, pomemben del sodobna teorija predan kvalitativna analiza njihovo vedenje, tj. razvoj metod, ki omogočajo, da brez reševanja enačbe povemo nekaj pomembnega o naravi rešitev kot celote: na primer, da so vse omejene ali imajo periodično naravo ali so na določen način odvisne od koeficientov.

Približne rešitve diferencialnih enačb lahko najdemo numerično, vendar to zahteva veliko časa. S pojavom hitrih računalnikov se je ta čas močno skrajšal, kar je odprlo nove možnosti za numerično reševanje številnih problemov, ki so bili prej za takšno rešitev nerešljivi.

Izreki obstoja.

Izrek obstoja je izrek, ki pravi, da ima dana diferencialna enačba pod določenimi pogoji rešitev. Obstajajo diferencialne enačbe, ki nimajo rešitev ali pa jih imajo več od pričakovanega. Namen eksistencnega izreka je, da nas prepriča, da ima dana enačba dejansko rešitev, največkrat pa nam zagotovi, da ima natanko eno rešitev zahtevanega tipa. Na primer enačba, s katero smo se že srečali dy/dx = –2l ima natanko eno rešitev, ki poteka skozi vsako točko ravnine ( x,l), in ker smo eno takšno rešitev že našli, smo s tem v celoti rešili to enačbo. Po drugi strani pa enačba ( dy/dx) 2 = 1 – l 2 ima veliko rešitev. Med njimi so naravnost l = 1, l= –1 in krivulje l= greh( x + c). Rešitev je lahko sestavljena iz več segmentov teh ravnih črt in krivulj, ki prehajajo drug v drugega na stičnih točkah (slika 2).

Parcialne diferencialne enačbe.

Navadna diferencialna enačba je izjava o odvodu neznane funkcije ene spremenljivke. Parcialna diferencialna enačba vsebuje funkcijo dveh ali več spremenljivk in odvode te funkcije glede na vsaj dve različni spremenljivki.

V fiziki so primeri takih enačb Laplaceova enačba

X, l) znotraj kroga, če so vrednosti u določeno na vsaki točki mejnega kroga. Ker so težave z več kot eno spremenljivko v fiziki prej pravilo kot izjema, si lahko predstavljamo, kako obsežen je predmet teorije parcialnih diferencialnih enačb.