Mehanski sistem, ki je sestavljen iz materialne točke (telesa), ki visi na neraztegljivi breztežni niti (njegova masa je zanemarljiva v primerjavi s težo telesa) v enotnem gravitacijskem polju, se imenuje matematično nihalo (drugo ime je oscilator). Obstajajo tudi druge vrste te naprave. Namesto niti lahko uporabite breztežno palico. Matematično nihalo lahko jasno razkrije bistvo mnogih zanimivi pojavi... Z majhno amplitudo nihanja se njegovo gibanje imenuje harmonično.
Splošne informacije o mehanskem sistemu
Formulo za obdobje nihanja tega nihala je izpeljal nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Temu sodobniku I. Newtona je bil ta mehanski sistem zelo všeč. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z nihalom. Merili so čas z izjemno natančnostjo za tiste čase. Ta izum je postal najpomembnejša faza v razvoju fizikalnih eksperimentov in praktičnih dejavnosti.
Če je nihalo v uravnoteženem položaju (visi navpično), bo uravnovešeno s silo napetosti niti. Ravno nihalo na neraztegljivi niti je sistem z dvema svobodnima stopnjama z omejitvijo. Ko spremenite samo eno komponento, se spremenijo lastnosti vseh njenih delov. Torej, če se nit zamenja s palico, bo imel ta mehanski sistem samo 1 stopnjo svobode. Kakšne lastnosti ima matematično nihalo? V tem najpreprostejši sistem kaos nastane pod vplivom periodičnih motenj. V primeru, ko se točka obešanja ne premika, ampak niha, se pri nihalu pojavi nov ravnotežni položaj. S hitrimi tresljaji navzgor in navzdol ta mehanski sistem zavzame stabilen obrnjen položaj. Ima tudi svoje ime. Imenuje se nihalo Kapitsa.
Lastnosti nihala
Matematično nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vse to potrjujejo znani fizikalni zakoni. Obdobje nihanja katerega koli drugega nihala je odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in oblika telesa, razdalja med točko obešanja in težiščem ter porazdelitev mase glede na dano točko. Zato je določitev obdobja visečega telesa precej težka naloga. Veliko lažje je izračunati obdobje matematičnega nihala, katerega formula bo podana spodaj. Kot rezultat opazovanj takšnih mehanskih sistemov je mogoče ugotoviti naslednje vzorce:
Če ob ohranjanju enake dolžine nihala obesimo različne uteži, bo obdobje njihovih nihanj enako, čeprav bodo njihove mase zelo različne. Posledično obdobje takšnega nihala ni odvisno od mase tovora.
Če se pri zagonu sistema nihalo odkloni za ne prevelike, ampak za različne kote, bo začelo nihati z istim obdobjem, vendar z različnimi amplitudami. Dokler odstopanja od ravnotežnega središča niso prevelika, bodo nihanja v svoji obliki dovolj blizu harmoničnim. Perioda takšnega nihala nikakor ni odvisna od amplitude nihanja. Ta lastnost tega mehanskega sistema se imenuje izokronizem (v prevodu iz grščine "chronos" - čas, "isos" - enak).
Obdobje matematičnega nihala
Ta indikator predstavlja obdobje naravnih nihanj. Kljub zapletenemu besedilu je sam postopek zelo preprost. Če je dolžina niti matematičnega nihala L, in pospešek prosti pad g, potem je ta vrednost enaka:
Obdobje majhnih nikakor ni odvisno od mase nihala in amplitude nihanja. V tem primeru se nihalo premika kot matematično z zmanjšano dolžino.
Nihanja matematičnega nihala
Matematično nihalo niha, kar lahko opišemo s preprosto diferencialno enačbo:
x + ω2 sin x = 0,
kjer je x (t) neznana funkcija (to je kot odstopanja od spodnjega ravnotežnega položaja v času t, izražen v radianih); ω je pozitivna konstanta, ki se določi iz parametrov nihala (ω = √g / L, kjer je g gravitacijski pospešek in L dolžina matematičnega nihala (vzmetenja).
Enačba majhnih vibracij blizu ravnotežnega položaja (harmonična enačba) izgleda takole:
x + ω2 sin x = 0
Oscilatorna gibanja nihala
Matematično nihalo, ki povzroča majhna nihanja, se premika po sinusoidi. Diferencialna enačba drugi red izpolnjuje vse zahteve in parametre takega gibanja. Za določitev trajektorije je potrebno nastaviti hitrost in koordinate, iz katerih se nato določijo neodvisne konstante:
x = A sin (θ 0 + ωt),
kjer je θ 0 začetna faza, A je amplituda vibracij, ω je ciklična frekvenca, določena iz enačbe gibanja.
Matematično nihalo (formule za velike amplitude)
Ta mehanski sistem, ki niha s pomembno amplitudo, je podrejen bolj zapletenim zakonom gibanja. Za takšno nihalo se izračunajo po formuli:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
kjer je sn Jakobijev sinus, ki je za u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
kjer je ε = E / mL2 (mL2 je energija nihala).
Določanje obdobja nihanja nelinearnega nihala se izvede po formuli:
kjer je Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K je eliptični integral, π - 3,14.
Gibanje nihala vzdolž ločnice
Pot se imenuje separatrica. dinamični sistem, ki ima dvodimenzionalni fazni prostor. Po njem se matematično nihalo giblje neperiodično. V neskončno oddaljenem trenutku pade iz skrajnega zgornjega položaja na stran z ničelno hitrostjo, nato pa ga postopoma dvigne. Na koncu se ustavi in se vrne v prvotni položaj.
Če se amplituda nihanja nihala približa številki π , to pomeni, da se gibanje na fazni ravnini približuje separatriki. V tem primeru se mehanski sistem pod vplivom majhne periodične sile prisile obnaša kaotično.
Ko matematično nihalo odstopi od ravnotežnega položaja za določen kot φ, nastane tangencialna sila teže Fτ = -mg sin φ. Znak minus pomeni, da je ta tangentna komponenta usmerjena v nasprotni smeri od odstopanja nihala. Ko x označuje premik nihala vzdolž loka kroga s polmerom L, je njegov kotni premik φ = x / L. Drugi zakon za projekcije in sile bo dal želeno vrednost:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Na podlagi tega razmerja je razvidno, da je to nihalo nelinearni sistem, saj je sila, ki ga nagiba, da ga vrne v ravnotežni položaj, vedno sorazmerna ne premiku x, ampak sin x / L.
Šele ko matematično nihalo izvaja majhna nihanja, je harmonski oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki je sposoben izvajati harmonične vibracije. Ta približek praktično velja za kote 15-20 °. Nihanja nihala z velikimi amplitudami niso harmonična.
Newtonov zakon za majhna nihanja nihala
Če dani mehanski sistem izvaja majhne vibracije, bo Newtonov 2. zakon videti takole:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Na podlagi tega lahko sklepamo, da je matematično nihalo sorazmerno s svojim premikom s predznakom minus. To je pogoj, zaradi katerega sistem postane harmonični oscilator. Modul razmerja stranic med premikom in pospeškom je enak kvadratu kotne frekvence:
ω02 = g/L; ω0 = √ g / L.
Ta formula odraža naravno frekvenco majhnih nihanj te vrste nihala. Na podlagi tega,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Izračuni temeljijo na zakonu ohranjanja energije
Lastnosti nihala lahko opišemo tudi z uporabo zakona o ohranjanju energije. Upoštevati je treba, da je nihalo v gravitacijskem polju enako:
E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
Polno je enako kinetičnemu ali največjemu potencialu: Epmax = Ekmsx = E
Ko je zakon o ohranjanju energije zapisan, vzemite izvod desne in leve strani enačbe:
Ker je izpeljanka konstant 0, potem je (Ep + Ek) "= 0. Izvod vsote je enak vsoti izvodov:
Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,
torej:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.
Na podlagi zadnje formule najdemo: α = - g / L * x.
Praktična uporaba matematičnega nihala
Pospešek se spreminja glede na zemljepisno širino kot gostoto skorjo po celem planetu ni enako. Kjer se pojavljajo kamnine z večjo gostoto, bo ta nekoliko višja. Pospešek matematičnega nihala se pogosto uporablja za geološka raziskovanja. V njej iščejo različne minerale. Preprosto s štetjem števila nihanj nihala lahko najdete premog ali rudo v črevesju Zemlje. To je posledica dejstva, da imajo takšni fosili večjo gostoto in maso kot ohlapne kamnine, ki ležijo pod njimi.
Matematično nihalo so uporabljali tako izjemni znanstveniki, kot so Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih so verjeli, da lahko ta mehanski sistem vpliva na usodo in življenje osebe. Arhimed je pri svojih izračunih uporabil matematično nihalo. Dandanes mnogi okultisti in jasnovidci uporabljajo ta mehanski sistem za izpolnitev svojih prerokb ali iskanje pogrešanih ljudi.
Znani francoski astronom in naravoslovec K. Flammarion je za svoje raziskave uporabil tudi matematično nihalo. Trdil je, da je z njegovo pomočjo lahko napovedal odkritje novega planeta, videz Tunguski meteorit in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno je v Nemčiji (Berlin) deloval specializiran inštitut za nihala. Danes se s podobnimi raziskavami ukvarja münchenski inštitut za parapsihologijo. Zaposleni v tej ustanovi svoje delo z nihalom imenujejo "radiestezija".
Obdobje nihanja fizičnega nihala je odvisno od številnih okoliščin: od velikosti in oblike telesa, od razdalje med težiščem in točko obešanja ter od porazdelitve telesne teže glede na to točko; zato je izračun obdobja visečega telesa precej težka naloga... Situacija je enostavnejša za matematično nihalo. Iz opazovanj takšnih nihal je mogoče ugotoviti naslednje preproste zakonitosti.
1. Če ob ohranjanju enake dolžine nihala (razdalja od točke obešanja do težišča bremena) obesimo različne uteži, bo obdobje nihanja enako, čeprav se mase uteži močno razlikujejo . Perioda matematičnega nihala ni odvisna od mase tovora.
2. Če ga ob zagonu nihala odklonimo pod različnimi (vendar ne prevelikimi) koti, potem bo nihalo z isto obdobje, čeprav z različnimi amplitudami. Dokler amplitude niso prevelike, so nihanja po svoji obliki dovolj blizu harmoničnemu (§ 5) in obdobje matematičnega nihala ni odvisno od amplitude nihanja. Ta lastnost se imenuje izohronizem (iz grških besed "isos" - enak, "chronos" - čas).
To dejstvo je leta 1655 prvič ugotovil Galileo, domnevno v naslednjih okoliščinah. Galileo je v katedrali v Pisi opazoval zamah lestenca na dolgi verigi, ki je bil ob vžigu potisnjen. Med bogoslužjem je gugalnica postopoma zbledela (§ 11), to pomeni, da se je amplituda nihanja zmanjšala, vendar je obdobje ostalo enako. Galileo je kot indikator časa uporabil svoj lastni utrip.
Izpeljimo zdaj formulo za obdobje nihanja matematičnega nihala.
riž. 16. Nihanje nihala v ravnini (a) in gibanje vzdolž stožca (b)
Ko nihalo zaniha, se tovor pospešeno premika po loku (slika 16, a) pod delovanjem obnovitvene sile, ki se med gibanjem spreminja. Izračun gibanja telesa pod vplivom nekonstantne sile je precej zapleten. Zato bomo zaradi poenostavitve nadaljevali na naslednji način.
Prisilimo nihalo, da ne izvaja nihanja v eni ravnini, ampak da opiše stožec tako, da se tovor premika v krogu (slika 16, b). To gibanje je mogoče dobiti kot rezultat dodajanja dveh neodvisnih vibracij: enega - še vedno v ravnini risbe in drugega - v pravokotni ravnini. Očitno sta obdobji obeh teh ravninskih nihanj enaki, saj se nobena ravnina nihanja ne razlikuje od katere koli druge. Posledično bo obdobje kompleksnega gibanja - vrtenje nihala vzdolž stožca - enako obdobju nihanja vodne ravnine. Ta sklep je mogoče zlahka ponazoriti z neposrednim poskusom, pri čemer vzamemo dve enaki nihali in enemu rečemo, da se niha v ravnini, drugemu pa naj se vrti vzdolž stožca.
Toda obdobje vrtenja "stožčastega" nihala je enako dolžini kroga, ki ga opisuje obremenitev, deljeno s hitrostjo:
Če je kot odstopanja od navpičnice majhen (majhne amplitude), lahko domnevamo, da je obnovitvena sila usmerjena vzdolž polmera kroga, torej enaka centripetalni sili:
Po drugi strani pa iz podobnosti trikotnikov izhaja, da. Od takrat naprej
Če oba izraza enačimo med seboj, dobimo za hitrost kroženja
Končno, če to nadomestimo z izrazom za obdobje, ugotovimo
Torej je obdobje matematičnega nihala odvisna samo od gravitacijskega pospeška in od dolžine nihala, to je od razdalje od točke vzmetenja do težišča bremena. Iz dobljene formule izhaja, da obdobje nihala ni odvisno od njegove mase in amplitude (pod pogojem, da je dovolj majhna). Z drugimi besedami, dobili smo z izračunom tistih osnovnih zakonov, ki so bili ugotovljeni prej iz opazovanj.
Toda naš teoretični zaključek nam daje več: omogoča nam, da vzpostavimo kvantitativno razmerje med dobo nihala, njegovo dolžino in pospeškom gravitacije. Perioda matematičnega nihala je sorazmerna s kvadratnim korenom razmerja med dolžino nihala in gravitacijskim pospeškom. Razmerje stranic je.
Odvisnost obdobja nihala od gravitacijskega pospeška je zelo natančen način za določitev tega pospeška. Ko smo izmerili dolžino nihala in določili iz veliko število obdobje nihanja, lahko izračunamo s pomočjo nastale formule. Ta metoda se v praksi pogosto uporablja.
Znano je (glej zvezek I, §53), da je gravitacijski pospešek odvisen od geografska širina mestih (na polu in na ekvatorju). Opazovanja obdobja nihanja določenega referenčnega nihala omogočajo preučevanje porazdelitve pospeška zaradi gravitacije v zemljepisni širini. Ta metoda je tako natančna, da jo je mogoče uporabiti za odkrivanje bolj subtilnih razlik v pomenu zemeljska površina... Izkazalo se je, da so tudi na istem vzporedniku vrednosti različne na različnih točkah zemeljske površine. Te anomalije v porazdelitvi gravitacijskega pospeška so povezane z neenakomerno gostoto zemeljske skorje. Uporabljajo se za preučevanje porazdelitve gostote, zlasti za odkrivanje prisotnosti kakršnih koli mineralov v debelini zemeljske skorje. Obsežne gravimetrične spremembe, ki so omogočile presojo o pojavu gostih množic, so bile izvedene v ZSSR na območju tako imenovane Kurske magnetne anomalije (glej zvezek II, § 130) pod vodstvom sovjetskega fizika. Pjotr Petrovič Lazarev. V povezavi s podatki o zemeljski anomaliji magnetno polje Ti gravimetrični podatki so omogočili ugotovitev porazdelitve pojavljanja železnih mas, ki določajo Kurske magnetne in gravitacijske anomalije.
Matematično nihalo je materialna točka, obešena na breztežni in neraztegljivi niti, ki se nahaja v gravitacijskem polju Zemlje. Matematično nihalo je idealiziran model, ki pravilno opisuje pravo nihalo le pod določenimi pogoji. Pravo nihalo lahko štejemo za matematično, če je dolžina niti veliko večja od dimenzij telesa, obešenega na njem, je teža niti zanemarljiva v primerjavi z maso telesa in so deformacije niti tako majhne da jih je mogoče popolnoma zanemariti.
Oscilatorni sistem v v tem primeru tvorijo nit, nanjo sta pritrjena telo in Zemlja, brez katerih ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo.
kje a X – pospešek, g - gravitacijski pospešek, X- odmik, l Je dolžina niti nihala.
Ta enačba se imenuje enačba prostih nihanj matematičnega nihala. Pravilno opisuje obravnavana nihanja le, če so izpolnjene naslednje predpostavke:
2) upoštevajo se le majhna nihanja nihala z majhnim kotom nihanja.
Proste vibracije katerega koli sistema so v vseh primerih opisane s podobnimi enačbami.
Razlogi za prosta nihanja matematičnega nihala so:
1. Delovanje na nihalo sile napetosti in sile teže, ki prepreči njegovo premik iz ravnotežnega položaja in ga prisili, da se ponovno spusti.
2. Vztrajnost nihala, zaradi katere se le-to ob ohranjanju hitrosti ne ustavi v ravnotežnem položaju, ampak gre naprej skozi njega.
Obdobje prostih nihanj matematičnega nihala
Obdobje prostih nihanj matematičnega nihala ni odvisno od njegove mase, temveč je določeno le z dolžino niti in pospeškom teže na mestu, kjer se nihalo nahaja.
Pretvorba energije s harmoničnimi vibracijami
S harmoničnimi nihanji vzmetnega nihala se potencialna energija elastično deformiranega telesa pretvori v njegovo kinetična energija, kje k – koeficient elastičnosti, X - modul premika nihala iz ravnotežnega položaja, m je masa nihala, v je njegova hitrost. Glede na enačbo harmoničnih vibracij:
,
.
Skupna energija vzmetnega nihala:
.
Skupna energija za matematično nihalo:
V primeru matematičnega nihala
Energetske transformacije med nihanjem vzmetnega nihala potekajo v skladu z zakonom o ohranjanju mehanske energije ( 
). Ko se nihalo premakne navzdol ali navzgor iz ravnotežnega položaja, se njegova potencialna energija poveča, medtem ko se njegova kinetična energija zmanjša. Ko nihalo preide ravnotežni položaj ( X= 0), je njegova potencialna energija enaka nič in kinetična energija nihala ima največjo vrednost, ki je enaka njegovi skupni energiji.
Tako se v procesu prostih nihanj nihala njegova potencialna energija spremeni v kinetično, kinetična v potencialno, nato potencialna nazaj v kinetično itd. Toda skupna mehanska energija ostane nespremenjena.
Prisilne vibracije. Resonanca.
Imenujemo nihanja, ki nastanejo pod delovanjem zunanje periodične sile prisilno obotavljanje... Zunanja periodična sila, imenovana siljenje, daje nihajnemu sistemu dodatno energijo, ki se uporablja za nadomestitev izgub energije zaradi trenja. Če se gonilna sila spreminja v času po sinusnem ali kosinusnem zakonu, bodo prisilna nihanja harmonična in neublažena.
Za razliko od prostih nihanj, ko sistem prejme energijo samo enkrat (ko sistem odstranimo iz ravnotežnega stanja), v primeru prisilnih nihanj sistem to energijo neprekinjeno absorbira iz vira zunanje periodične sile. Ta energija nadomesti izgube, porabljene za premagovanje trenja, zato celotna energija nihajnega sistema ne ostane nespremenjena.
Frekvenca prisilnih tresljajev je enaka frekvenci pogonske sile... V primeru, ko je frekvenca pogonske sile υ sovpada z naravno frekvenco nihajnega sistema υ 0 , močno se poveča amplituda prisilnih nihanj - resonanca. Resonanca nastane zaradi dejstva, da kdaj υ = υ 0 zunanja sila, ki deluje v času s prostimi nihanji, je vedno sousmerjena s hitrostjo nihajnega telesa in opravlja pozitivno delo: energija nihajnega telesa se poveča, amplituda njegovih nihanj pa postane velika. Graf odvisnosti amplitude prisilnih vibracij A T na frekvenco gonilne sile υ prikazano na sliki, se ta graf imenuje resonančna krivulja:
Fenomen resonance ima pomembno vlogo v številnih naravnih, znanstvenih in industrijskih procesih. Na primer, pri načrtovanju mostov, zgradb in drugih objektov, ki doživljajo vibracije pod obremenitvijo, je treba upoštevati pojav resonance, sicer se lahko pod določenimi pogoji te konstrukcije uničijo.
(lat. amplituda- vrednost) je največji odklon nihajnega telesa od ravnotežnega položaja.
Za nihalo je to največja razdalja, na katero se žoga premakne od svojega ravnotežnega položaja (slika spodaj). Za nihanja z majhnimi amplitudami lahko takšno razdaljo vzamemo kot dolžino loka 01 ali 02 in dolžine teh segmentov.
Amplituda nihanja se meri v dolžinskih enotah - metrih, centimetrih itd. Na grafu nihanja je amplituda definirana kot največja (modulo) ordinata sinusne krivulje (glej spodnjo sliko).
Obdobje obotavljanja.
Obdobje nihanja- to je najmanjši časovni interval, po katerem se sistem, ki izvaja nihanja, ponovno vrne v isto stanje, v katerem je bil v začetnem trenutku, izbrani poljubno.
Z drugimi besedami, obdobje nihanja ( T) Je čas, v katerem se zaključi eno popolno nihanje. Na primer, na spodnji sliki je to čas, v katerem se teža nihala premakne od skrajne prava točka skozi ravnotežno točko O na skrajno levo točko in nazaj skozi točko O nazaj na skrajno desno.
Tako telo za celotno obdobje nihanja prepotuje pot, ki je enaka štirim amplitudam. Obdobje nihanja se meri v časovnih enotah – sekundah, minutah itd. Obdobje nihanja lahko določimo iz dobro znanega nihajnega grafa (glej spodnjo sliko).
Koncept "obdobja nihanja", strogo gledano, velja le, če se vrednosti nihajne količine natančno ponovijo po določenem časovnem obdobju, torej za harmonična nihanja. Vendar pa ta koncept velja tudi za primere približno ponavljajočih se količin, na primer za dušena nihanja.
Frekvenca nihanja.
Frekvenca nihanja Je število vibracij na enoto časa, na primer 1 s.
Enota frekvence SI se imenuje herc(Hz) v čast nemškemu fiziku G. Hertzu (1857-1894). Če je frekvenca vibracij ( v) je enako 1 Hz, to pomeni, da se za vsako sekundo izvede eno nihanje. Pogostost in obdobje nihanj sta povezani z razmerji:
V teoriji vibracij uporabljajo tudi koncept ciklično, oz krožna frekvenca ω ... Povezan je z običajno frekvenco v in obdobje nihanja T razmerja:
.
Ciklična frekvenca Je število nihanj med 2π sekundah.
Matematično nihalo se imenuje materialna točka, obešena na breztežno in neraztegljivo nit, pritrjeno na vzmetenje in se nahaja v polju gravitacije (ali druge sile).
Raziščimo nihanja matematičnega nihala v inercialnem referenčnem sistemu, glede na katerega točka njegovega obešanja miruje ali se giblje enakomerno v ravni črti. Zanemarili bomo silo zračnega upora (idealno matematično nihalo). Na začetku nihalo miruje v ravnotežnem položaju C. V tem primeru se sila teže \ (\ vec F \) in sila elastičnosti \ (\ vec F_ (ynp) \) niti medsebojno kompenzirata.
Nihalo vzamemo iz ravnotežnega položaja (z odklonom npr. v položaj A) in ga spustimo brez začetne hitrosti (slika 13.11). V tem primeru se sili \ (\ vec F \) in \ (\ vec F_ (ynp) \) ne uravnotežita. Tangencialna komponenta gravitacije \ (\ vec F_ \ tau \), ki deluje na nihalo, jo sporoča tangencialni pospešek\ (\ vec a_ \ tau \) (komponenta skupnega pospeška, usmerjenega vzdolž tangente na trajektorijo matematičnega nihala), in nihalo se začne premikati proti ravnotežnemu položaju z naraščajočo hitrostjo v absolutni vrednosti. Tangencialna komponenta gravitacije \ (\ vec F_ \ tau \) je tako obnovitvena sila. Normalna komponenta \ (\ vec F_n \) gravitacije je usmerjena vzdolž niti proti elastični sili \ (\ vec F_ (ynp) \). Rezultanta sil \ (\ vec F_n \) in \ (\ vec F_ (ynp) \) daje nihalu normalen pospešek \ (~ a_n \), ki spremeni smer vektorja hitrosti, nihalo pa se premika vzdolž lok ABCD.
Bolj ko se nihalo približa ravnotežnemu položaju C, nižja je vrednost tangencialne komponente \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \). V ravnotežnem položaju je enak nič in hitrost doseže največja vrednost, nihalo pa se po inerciji premika naprej in se dviga v loku. V tem primeru je komponenta \ (\ vec F_ \ tau \) usmerjena proti hitrosti. S povečanjem kota upogiba a se modul sile \ (\ vec F_ \ tau \) poveča, modul hitrosti pa se zmanjša, v točki D pa hitrost nihala postane nič. Nihalo se za trenutek ustavi, nato pa se začne premikati v nasprotni smeri od ravnotežnega položaja. Ko ga znova prečka po vztrajnosti, bo nihalo, ki upočasni svoje gibanje, doseglo točko A (ni trenja), t.j. bo popolnoma okleval. Po tem se bo gibanje nihala ponovilo v že opisanem zaporedju.
Dobimo enačbo, ki opisuje prosta nihanja matematičnega nihala.
Naj je nihalo v danem trenutku v točki B. Njegov premik S iz ravnotežnega položaja v tem trenutku je enak dolžini loka SV (to je S = | SV |). Označimo dolžino navoja vzmetenja l, masa nihala pa je m.
Slika 13.11 prikazuje, da je \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \), kjer je \ (\ alpha = \ frac (S) (l). \) Za majhne kote \ (~ (\ alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\ (F_ \ tau = -F \ frac (S) (l) = -mg \ frac (S) (l). \)
Predznak minus v tej formuli je nastavljen, ker je tangencialna komponenta gravitacije usmerjena proti ravnotežnemu položaju, premik pa se šteje od ravnotežnega položaja.
Po Newtonovem drugem zakonu \ (m \ vec a = m \ vec g + F_ (ynp). \) Projicirajmo vektorske količine te enačbe na smer tangente na trajektorijo matematičnega nihala
\ (~ F_ \ tau = ma_ \ tau. \)
Iz teh enačb dobimo
\ (a_ \ tau = - \ frac (g) (l) S \) - dinamična enačba gibanja matematičnega nihala. Tangencialni pospešek matematičnega nihala je sorazmeren z njegovim premikom in je usmerjen proti ravnotežnemu položaju. To enačbo lahko zapišemo kot \. Če jo primerjamo z enačbo harmoničnih nihanj \ (~ a_x + \ omega ^ 2x = 0 \) (glej § 13.3), lahko sklepamo, da matematično nihalo izvaja harmonična nihanja. In ker so se obravnavana nihanja nihala pojavila pod delovanjem samo notranjih sil, so bila to prosta nihanja nihala. zato prosta nihanja matematičnega nihala z majhnimi odstopanji so harmonična.
Označimo \ (\ frac (g) (l) = \ omega ^ 2. \) Od koder je \ (\ omega = \ sqrt \ frac (g) (l) \) ciklična frekvenca nihala.
Obdobje nihanja nihala \ (T = \ frac (2 \ pi) (\ omega). \) Zato je
\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g)) \)
Ta izraz se imenuje po Huygensovi formuli. Določa obdobje prostih nihanj matematičnega nihala. Iz formule izhaja, da pri majhnih kotih odstopanja od ravnotežnega položaja obdobje nihanja matematičnega nihala: 1) ni odvisno od njegove mase in amplitude nihanja; 2) je sorazmeren kvadratnemu korenu dolžine nihala in obratno sorazmeren kvadratnemu korenu gravitacijskega pospeška. To je skladno z eksperimentalnimi zakoni majhnih nihanj matematičnega nihala, ki jih je odkril G. Galileo.
Poudarjamo, da je s to formulo mogoče izračunati obdobje, ko sta hkrati izpolnjena dva pogoja: 1) nihanja nihala morajo biti majhna; 2) točka obešanja nihala mora mirovati ali se gibati enakomerno pravokotno glede na inercialni referenčni okvir, v katerem se nahaja.
Če se točka vzmetenja matematičnega nihala premika s pospeškom \ (\ vec a \), se natezna sila niti spremeni, kar vodi do spremembe obnovitvene sile in posledično frekvence in obdobja nihanja. Izračuni kažejo, da je obdobje nihanja nihala v tem primeru mogoče izračunati po formuli
\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g ")) \)
kjer je \ (~ g "\)" efektivni "pospešek nihala v neinercialnem referenčnem sistemu. Je enak geometrijski vsoti gravitacijskega pospeška \ (\ vec g \) in vektorja nasproti vektor \ (\ vec a \), tj. lahko ga izračunamo po formuli
\ (\ vec g "= \ vec g + (- \ vec a). \)
Literatura
Aksenovich L.A. Fizika v srednji šoli: Teorija. Naloge. Testi: Učbenik. dodatek za ustanove, ki zagotavljajo prejem obs. okolja, izobraževanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Minsk: Adukatsya i vyhavanne, 2004 .-- S. 374-376.
