Razlika naravnih logaritmov. Logaritemske formule. Logaritmi primeri rešitve

V povezavi z

lahko se zastavi naloga, da najde katero koli od treh števil iz drugih dveh danih. Če sta podana a in nato N, ju najdemo s potenciranjem. Če sta N in nato a podana tako, da vzamemo koren iz stopnje x (ali ga dvignemo na potenco). Zdaj razmislite o primeru, ko moramo glede na a in N najti x.

Naj bo število N pozitivno: število a bo pozitivno in ne enako ena: .

Opredelitev. Logaritem števila N na osnovo a je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo število N; logaritem je označen z

Tako je v enačbi (26.1) eksponent najden kot logaritem N na osnovo a. Objave

imajo enak pomen. Enakost (26.1) včasih imenujemo glavna identiteta teorije logaritmov; v resnici izraža definicijo pojma logaritem. Avtor: ta definicija Osnova logaritma a je vedno pozitivna in različna od enote; logaritemsko število N je pozitivno. Negativna števila in ničla nimajo logaritmov. Lahko se dokaže, da ima vsako število z dano osnovo točno definiran logaritem. Enakost torej vključuje. Upoštevajte, da je pogoj tukaj bistven; sicer sklep ne bi bil upravičen, saj enakost velja za vse vrednosti x in y.

Primer 1. Najdi

rešitev. Če želite dobiti število, morate osnovo 2 dvigniti na potenco Torej.

Pri reševanju takšnih primerov lahko naredite opombe v naslednji obliki:

Primer 2. Najdi .

rešitev. Imamo

V primerih 1 in 2 smo enostavno našli želeni logaritem tako, da smo logaritemsko število predstavili kot potenco osnove z racionalnim eksponentom. V splošnem primeru, na primer za itd., Tega ni mogoče storiti, ker ima logaritem iracionalno vrednost. Bodimo pozorni na eno vprašanje, povezano s to izjavo. V 12. odstavku smo podali koncept možnosti določitve poljubne realne potence danega pozitivnega števila. To je bilo potrebno za uvedbo logaritmov, ki so na splošno lahko iracionalna števila.

Oglejmo si nekaj lastnosti logaritmov.

Lastnost 1. Če sta število in osnova enaka, je logaritem enak ena, in obratno, če je logaritem enak ena, sta število in osnova enaki.

Dokaz. Naj Po definiciji logaritma imamo in od koder

Nasprotno pa naj Potem po definiciji

Lastnost 2. Logaritem ena na poljubno osnovo je enak nič.

Dokaz. Po definiciji logaritma (ničelna potenca katere koli pozitivne baze je enaka ena, glej (10.1)). Od tod

Q.E.D.

Velja tudi obratna izjava: če je , potem je N = 1. Dejansko imamo .

Preden formuliramo naslednjo lastnost logaritmov, se dogovorimo, da dve števili a in b ležita na isti strani tretjega števila c, če sta obe večji od c ali manjši od c. Če je eno od teh števil večje od c, drugo pa manjše od c, potem bomo rekli, da ležijo vzdolž različne strani iz vasi

Lastnost 3. Če ležita število in osnova na isti strani ene, je logaritem pozitiven; Če ležita število in osnova na nasprotnih straneh ena, je logaritem negativen.

Dokaz lastnosti 3 temelji na dejstvu, da je potenca a večja od ena, če je osnova večja od ena in je eksponent pozitiven ali če je osnova manjša od ena in je eksponent negativen. Potencija je manjša od ena, če je osnova večja od ena in je eksponent negativen ali če je osnova manjša od ena in je eksponent pozitiven.

Upoštevati je treba štiri primere:

Omejili se bomo na analizo prvega od njih, ostale bo bralec obravnaval sam.

Naj potem v enakosti eksponent ne more biti niti negativen niti enak nič, torej je pozitiven, torej kot je treba dokazati.

Primer 3. Ugotovite, kateri od spodnjih logaritmov so pozitivni in kateri negativni:

Rešitev, a) ker se število 15 in osnova 12 nahajata na isti strani ene;

b) ker sta 1000 in 2 na eni strani enote; v tem primeru ni pomembno, da je osnova večja od logaritemskega števila;

c) ker 3,1 in 0,8 ležita na nasprotnih straneh enote;

G) ; Zakaj?

d) ; Zakaj?

Naslednje lastnosti 4-6 se pogosto imenujejo pravila logaritmiranja: omogočajo, da ob poznavanju logaritmov nekaterih števil najdete logaritme njihovega produkta, količnika in stopnje vsakega od njih.

Lastnost 4 (pravilo produktnega logaritma). Logaritem produkta več pozitivnih števil na dano osnovo enaka vsoti logaritmi teh števil na isto osnovo.

Dokaz. Naj bodo podana števila pozitivna.

Za logaritem njihovega produkta zapišemo enakost (26.1), ki določa logaritem:

Od tu bomo našli

Če primerjamo eksponente prvega in zadnjega izraza, dobimo zahtevano enakost:

Upoštevajte, da je pogoj bistven; logaritem produkta dveh negativnih števil je smiseln, vendar v tem primeru dobimo

Na splošno, če je produkt več faktorjev pozitiven, potem je njegov logaritem enak vsoti logaritmov absolutnih vrednosti teh faktorjev.

Lastnost 5 (pravilo za logaritmiranje količnikov). Logaritem količnika pozitivnih števil je enak razliki med logaritmama dividende in delitelja, vzetima na isto osnovo. Dokaz. Dosledno ugotavljamo

Q.E.D.

Lastnost 6 (pravilo potenčnega logaritma). Logaritem potence katerega koli pozitivnega števila je enak logaritmu tega števila, pomnoženemu z eksponentom.

Dokaz. Ponovno zapišimo glavno identiteto (26.1) za število:

Q.E.D.

Posledica. Logaritem korena pozitivnega števila je enak logaritmu radikala, deljenemu z eksponentom korena:

Veljavnost te posledice je mogoče dokazati tako, da si predstavljate, kako in uporabite lastnost 6.

Primer 4. Vzemite logaritem za osnovo a:

a) (predpostavlja se, da so vse vrednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (predpostavlja se, da ).

Rešitev, a) V tem izrazu je priročno iti na ulomke:

Na podlagi enakosti (26.5)-(26.7) lahko zdaj zapišemo:

Opazimo, da se z logaritmi števil izvajajo preprostejše operacije kot s samimi števili: pri množenju števil se njihovi logaritmi seštevajo, pri deljenju se odštevajo itd.

Zato se v računalniški praksi uporabljajo logaritmi (glej odstavek 29).

Inverzno delovanje logaritma imenujemo potenciranje, in sicer: potenciranje je dejanje, s katerim iz danega logaritma števila najdemo samo število. V bistvu potenciranje ni nobeno posebno dejanje: gre za povišanje osnove na potenco (enako logaritmu števila). Izraz "potenciranje" lahko štejemo za sinonim za izraz "potenciranje".

Pri potenciranju morate uporabiti pravila, inverzna pravilom logaritmiranja: vsoto logaritmov zamenjajte z logaritmom produkta, razliko logaritmov z logaritmom količnika itd. Še posebej, če je spredaj faktor predznaka logaritma, potem ga je treba med potenciranjem prenesti v eksponentne stopinje pod predznakom logaritma.

Primer 5. Poišči N, če je znano, da

rešitev. V zvezi s pravkar navedenim pravilom potenciranja bomo faktorja 2/3 in 1/3, ki stojita pred znaki logaritmov na desni strani te enakosti, prenesli v eksponente pod znaki teh logaritmov; dobimo

Zdaj zamenjamo razliko logaritmov z logaritmom količnika:

da bi dobili zadnji ulomek v tej verigi enačb, smo prejšnji ulomek osvobodili iracionalnosti v imenovalcu (klavzula 25).

Lastnost 7. Če je osnova večja od ena, potem večje število ima večji logaritem (manjše število pa manjšega), če je osnova manjša od ena, ima večje število manjši logaritem (manjše število pa večjega).

Ta lastnost je formulirana tudi kot pravilo za logaritmiranje neenakosti, katerih obe strani sta pozitivni:

Pri logaritmiranju neenakosti na osnovo, večjo od ena, se predznak neenakosti ohrani, pri logaritmiranju na osnovo, manjšo od ena, pa se predznak neenakosti spremeni v nasprotno (glej tudi odstavek 80).

Dokaz temelji na lastnostih 5 in 3. Razmislite o primeru, ko Če , potem in ob logaritmiranju dobimo

(a in N/M ležita na isti strani enote). Od tod

Primer a sledi, bralec bo ugotovil sam.

glavne lastnosti.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

enake podlage

Log6 4 + log6 9.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo.

Primeri reševanja logaritmov

Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Prehod na novo podlago

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Poglej tudi:

Osnovne lastnosti logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovne lastnosti logaritmov

Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

4. Kje .

Primer 2. Poiščite x, če

Primer 3. Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ampak saj logaritmi niso ravno navadne številke, tukaj veljajo pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi so zgrajeni na tem dejstvu testne naloge. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem.

Logaritemske formule. Logaritmi primeri rešitve.

Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številski izrazi. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je samo logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Poglej tudi:

Logaritem b na osnovi a označuje izraz. Izračunati logaritem pomeni najti potenco x (), pri kateri je enakost izpolnjena

Osnovne lastnosti logaritma

Zgornje lastnosti je treba poznati, saj so skoraj vsi problemi in primeri, povezani z logaritmi, rešeni na njihovi podlagi. Ostale eksotične lastnosti je mogoče izpeljati z matematičnimi manipulacijami s temi formulami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunu formule za vsoto in razliko logaritmov (3.4) naletite precej pogosto. Ostali so nekoliko zapleteni, vendar so v številnih nalogah nepogrešljivi za poenostavitev kompleksnih izrazov in izračun njihovih vrednosti.

Pogosti primeri logaritmov

Nekateri pogosti logaritmi so tisti, pri katerih je osnova celo deset, eksponentna ali dve.
Logaritemu na osnovi deset se običajno reče decimalni logaritem in ga preprosto označimo z lg(x).

Iz posnetka je razvidno, da v posnetku niso zapisane osnove. Na primer

Naravni logaritem je logaritem, katerega osnova je eksponent (označen z ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja. Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

In še en pomemben logaritem z osnovo dve je označen z

Odvod logaritma funkcije je enak ena deljeno s spremenljivko

Integralni ali antiderivacijski logaritem je določen z razmerjem

Dano gradivo je dovolj za reševanje širokega razreda problemov, povezanih z logaritmi in logaritmi. Da boste lažje razumeli gradivo, bom navedel le nekaj običajnih primerov iz šolski kurikulum in univerze.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

2.
Z lastnostjo razlike logaritmov imamo

3.
Z uporabo lastnosti 3.5 najdemo

4. Kje .

Navidezno zapleten izraz je poenostavljen v obliki z uporabo številnih pravil

Iskanje vrednosti logaritmov

Primer 2. Poiščite x, če

rešitev. Za izračun uporabimo zadnji izraz 5 in 13 lastnosti

Zabeležimo in žalujemo

Ker sta bazi enaki, izraza enačimo

Logaritmi. Prva stopnja.

Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Rešitev: Vzemimo logaritem spremenljivke, da zapišemo logaritem skozi vsoto njenih členov

To je šele začetek našega spoznavanja logaritmov in njihovih lastnosti. Vadite računanje, obogatite svoje praktične spretnosti - pridobljeno znanje boste kmalu potrebovali za reševanje logaritemskih enačb. Ko smo preučili osnovne metode za reševanje takšnih enačb, bomo vaše znanje razširili za nič manj pomembna tema- logaritemske neenakosti...

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log6 4 + log6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Prehod na novo podlago

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je samo logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Z razvojem družbe in kompleksnostjo proizvodnje se je razvila tudi matematika. Gibanje od preprostega k zapletenemu. Iz običajnega računovodstva z metodo seštevanja in odštevanja z njihovim večkratnim ponavljanjem smo prišli do pojma množenje in deljenje. Zmanjšanje ponavljajoče se operacije množenja je postalo koncept potenciranja. Prve tabele odvisnosti števil od osnove in stopnjevanja števila je že v 8. stoletju sestavil indijski matematik Varasena. Iz njih lahko računate čas pojavljanja logaritmov.

Zgodovinska skica

Oživitev Evrope v 16. stoletju je spodbudila tudi razvoj mehanike. T zahteval veliko količino računanja povezanih z množenjem in deljenjem večmestna števila. Starodavne mize so odlično služile. Dovolili so zamenjavo kompleksne operacije na preprostejše - seštevanje in odštevanje. Velik korak naprej je bilo delo matematika Michaela Stiefela, objavljeno leta 1544, v katerem je uresničil idejo mnogih matematikov. To je omogočilo uporabo tabel ne le za potence v obliki praštevil, ampak tudi za poljubne racionalne.

Leta 1614 je Škot John Napier, ki je razvijal te ideje, prvi uvedel nov izraz "logaritem števila". Sestavljene so bile nove kompleksne tabele za izračun logaritmov sinusov in kosinusov ter tangentov. To je zelo zmanjšalo delo astronomov.

Začele so se pojavljati nove tabele, ki so jih znanstveniki uspešno uporabljali tri stoletja. Prej je minilo veliko časa nova operacija v algebri je dobil popolno obliko. Podana je bila definicija logaritma in preučene so bile njegove lastnosti.

Šele v 20. stoletju, s pojavom kalkulatorja in računalnika, je človeštvo opustilo starodavne tabele, ki so uspešno delovale vsa 13. stoletja.

Danes imenujemo logaritem od b za osnovo a število x, ki je potenca od a, da naredi b. To je zapisano kot formula: x = log a(b).

Na primer, log 3(9) bi bil enak 2. To je očitno, če sledite definiciji. Če 3 dvignemo na potenco 2, dobimo 9.

Tako formulirana definicija postavlja samo eno omejitev: števili a in b morata biti realni.

Vrste logaritmov

Klasična definicija se imenuje realni logaritem in je pravzaprav rešitev enačbe a x = b. Možnost a = 1 je mejna in ni zanimiva. Pozor: 1 na katero koli potenco je enako 1.

Realna vrednost logaritma definirano le, če sta osnova in argument večja od 0, osnova pa ne sme biti enaka 1.

Posebno mesto na področju matematike igrajte logaritme, ki bodo poimenovani glede na velikost njihove osnove:

Pravila in omejitve

Temeljna lastnost logaritmov je pravilo: logaritem produkta je enak logaritemski vsoti. log abp = log a(b) + log a(p).

Kot različica te izjave bo: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funkcija kvocienta je enaka razliki funkcij.

Iz prejšnjih dveh pravil je lahko videti, da: log a(b p) = p * log a(b).

Druge lastnosti vključujejo:

Komentiraj. Ni treba delati pogoste napake - logaritem vsote ni enak vsoti logaritmov.

Več stoletij je bila operacija iskanja logaritma precej zamudna naloga. Matematiki so uporabili dobro znano formulo logaritemske teorije polinomske ekspanzije:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kjer je n - naravno število večja od 1, ki določa natančnost izračuna.

Logaritme z drugimi bazami smo izračunali s pomočjo izreka o prehodu iz ene baze v drugo in lastnosti logaritma produkta.

Ker je ta metoda zelo delovno intenzivna in pri reševanju praktičnih problemov težko izvedljivo, smo uporabili vnaprej sestavljene tabele logaritmov, kar je bistveno pohitrilo vse delo.

V nekaterih primerih so bili uporabljeni posebej sestavljeni grafi logaritmov, ki so dali manjšo natančnost, vendar so bistveno pospešili iskanje želene vrednosti. Krivulja funkcije y = log a(x), zgrajena na več točkah, vam omogoča, da uporabite navadno ravnilo za iskanje vrednosti funkcije na kateri koli drugi točki. Inženirji dolgo časa V te namene je bil uporabljen tako imenovani milimetrski papir.

V 17. stoletju so se pojavili prvi pomožni analogni računalniški pogoji, ki 19. stoletje dobilo dovršen videz. Najuspešnejša naprava se je imenovala diapozitiv. Kljub preprostosti naprave je njen videz bistveno pospešil proces vseh inženirski izračuni, in to je težko preceniti. Trenutno malo ljudi pozna to napravo.

Pojav kalkulatorjev in računalnikov je onemogočil uporabo vseh drugih naprav.

Enačbe in neenačbe

Za reševanje različnih enačb in neenačb z uporabo logaritmov se uporabljajo naslednje formule:

Prehod iz ene baze v drugo: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Kot posledica prejšnje možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).

Za reševanje neenačb je koristno vedeti:

Vrednost logaritma bo pozitivna le, če sta osnova in argument večja ali manjša od ena; če je vsaj en pogoj kršen, bo vrednost logaritma negativna.
Če se funkcija logaritma uporabi za desno in levo stran neenakosti in je osnova logaritma večja od ena, se predznak neenakosti ohrani; drugače se spremeni.

Vzorčne težave

Razmislimo o več možnostih uporabe logaritmov in njihovih lastnosti. Primeri z reševanjem enačb:

Razmislite o možnosti postavitve logaritma na potenco:

Naloga 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešitev: v pogojih problema je vnos podoben naslednjemu (5^2)^log5(3) ali 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo drugače: 5^log 5(3*2) ali kvadrat števila kot argument funkcije lahko zapišemo kot kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Z uporabo lastnosti logaritmov je ta izraz enak 3^2. Odgovor: kot rezultat izračuna dobimo 9.

Praktična uporaba

Ker gre za povsem matematično orodje, se zdi daleč od tega resnično življenje da je logaritem nenadoma pridobil velik pomen za opis predmetov iz resničnega sveta. Težko je najti znanost, kjer se ne uporablja. To je v na polno velja ne samo za naravoslovna, temveč tudi za humanitarna področja znanja.

Logaritemske odvisnosti

Tukaj je nekaj primerov številskih odvisnosti:

Mehanika in fizika

Zgodovinsko gledano sta se mehanika in fizika vedno razvijali z matematičnimi raziskovalnimi metodami in hkrati služili kot spodbuda za razvoj matematike, vključno z logaritmi. Teorija večine fizikalnih zakonov je napisana v jeziku matematike. Naj navedemo le dva primera opisovanja fizikalnih zakonov z logaritmom.

Problem izračuna tako zapletene količine, kot je hitrost rakete, je mogoče rešiti z uporabo formule Ciolkovskega, ki je postavila temelje za teorijo raziskovanja vesolja:

V = I * ln (M1/M2), kjer je

V je končna hitrost letala.
I – specifični impulz motorja.
M 1 – začetna masa rakete.
M 2 – končna masa.

Še en pomemben primer- to se uporablja v formuli drugega velikega znanstvenika Maxa Plancka, ki služi za oceno ravnotežnega stanja v termodinamiki.

S = k * ln (Ω), kjer je

S – termodinamična lastnost.
k – Boltzmannova konstanta.
Ω je statistična utež različnih stanj.

kemija

Manj očitna je uporaba formul v kemiji, ki vsebujejo razmerje logaritmov. Naj navedemo samo dva primera:

Nernstova enačba, pogoj redoks potenciala medija glede na aktivnost snovi in konstanto ravnotežja.
Izračun konstant, kot sta indeks avtolize in kislost raztopine, prav tako ni mogoč brez naše funkcije.

Psihologija in biologija

In sploh ni jasno, kaj ima psihologija s tem. Izkazalo se je, da je moč občutka dobro opisana s to funkcijo kot inverzno razmerje med vrednostjo intenzivnosti dražljaja in nižjo vrednostjo intenzivnosti.

Po zgornjih primerih ni več presenetljivo, da se tema logaritmov pogosto uporablja v biologiji. O bioloških oblikah, ki ustrezajo logaritemskim spiralam, bi lahko napisali cele knjige.

Druga področja

Zdi se, da je obstoj sveta nemogoč brez povezave s to funkcijo in vlada vsem zakonom. Še posebej, ko so naravni zakoni povezani z geometrijsko napredovanje. Vredno se je obrniti na spletno stran MatProfi in takih primerov je veliko na naslednjih področjih delovanja:

Seznam je lahko neskončen. Ko obvladate osnovna načela te funkcije, se lahko potopite v svet neskončne modrosti.