Kako preveriti pariteto funkcije. Kako prepoznati sode in lihe funkcije

Ki so vam bili tako ali drugače poznani. Tam so tudi zapisali, da se bo zaloga funkcijskih lastnosti postopoma dopolnjevala. V tem razdelku bomo obravnavali dve novi lastnosti.

Definicija 1.

Funkcija y = f(x), x є X, se kliče tudi, če za katero koli vrednost x iz množice X velja enakost f (-x) = f (x).

Definicija 2.

Funkcija y = f(x), x є X, se imenuje liha, če za katero koli vrednost x iz množice X velja enakost f (-x) = -f (x).

Dokaži, da je y = x 4 soda funkcija.

rešitev. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Toda (-x) 4 = x 4. To pomeni, da za vsak x velja enakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je enakomerna.

Podobno je mogoče dokazati, da so funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 sode.

Dokaži, da je y = x 3 ~ nenavadna funkcija.

rešitev. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Toda (-x) 3 = -x 3. To pomeni, da za vsak x velja enakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je čudna.

Podobno je mogoče dokazati, da so funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 lihe.

Z vami smo se že večkrat prepričali, da imajo novi pojmi v matematiki največkrat »zemeljski« izvor, tj. jih je mogoče nekako razložiti. To velja za sode in lihe funkcije. Glej: y - x 3, y = x 5, y = x 7 so lihe funkcije, medtem ko so y = x 2, y = x 4, y = x 6 sode funkcije. In na splošno lahko za katero koli funkcijo oblike y = x" (v nadaljevanju bomo posebej preučevali te funkcije), kjer je n naravno število, sklepamo: če n ni sodo število, potem je funkcija y = x" liha; če je n sodo število, potem je funkcija y = xn soda.

Obstajajo tudi funkcije, ki niso niti sode niti lihe. Takšna je na primer funkcija y = 2x + 3. Dejansko je f(1) = 5 in f (-1) = 1. Kot lahko vidite, tukaj torej ne velja niti identiteta f(-x) = f ( x), niti identitete f(-x) = -f(x).

Torej je funkcija lahko soda, liha ali nobena.

Preučevanje vprašanja, ali to funkcijo sodo ali liho se običajno imenuje preučevanje funkcije za pariteto.

Definiciji 1 in 2 se nanašata na vrednosti funkcije v točkah x in -x. To predpostavlja, da je funkcija definirana v točki x in točki -x. To pomeni, da točka -x sodi v domeno definicije funkcije hkrati s točko x. če nabor številk X skupaj z vsakim svojim elementom x vsebuje tudi nasprotni element -x, potem X imenujemo simetrična množica. Recimo, da so (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrične množice, medtem ko \).

Ker je \(x^2\geqslant 0\) , je leva stran enačbe (*) večja ali enaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Tako je enakost (*) lahko resnična le, če sta obe strani enačbe enaki \(\mathrm(tg)^2\,1\) . In to pomeni to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zato nam ustreza vrednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

odgovor:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Naloga 2 #3923

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih je graf funkcije \

simetričen glede izvora.

Če je graf funkcije simetričen glede na izvor, potem je taka funkcija liha, kar pomeni, da \(f(-x)=-f(x)\) velja za kateri koli \(x\) iz domene definicije funkcije. Zato je potrebno najti tiste vrednosti parametrov, za katere \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\levo(3\mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \konec(poravnano)\]

Zadnja enačba mora biti izpolnjena za vse \(x\) iz domene \(f(x)\), torej, \(\sin(2\pi a)=0 \Desna puščica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Naloga 3 #3069

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\) , za vsako od katerih ima enačba \ 4 rešitve, kjer je \(f\) soda periodična funkcija s periodo \(T=\dfrac(16)3\) definirana na celotni številski premici in \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Naloga naročnikov)

Ker je \(f(x)\) soda funkcija, je njen graf simetričen glede na ordinatno os, torej, ko \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Torej, ko \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), in to je odsek dolžine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .

1) Naj \(a>0\) . Potem bo graf funkcije \(f(x)\) videti takole:


Potem, da ima enačba 4 rešitve, je potrebno, da gre graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) skozi točko \(A\):


torej \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(poravnano)\end(zbrano)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zbrano)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( zbrano)\desno.\] Ker je \(a>0\), potem je \(a=\dfrac(18)(23)\) primeren.

2) Naj \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Potrebno je, da gre graf \(g(x)\) skozi točko \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end(zbrano)\desno.\] Ker \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Primer, ko \(a=0\) ni primeren, saj potem \(f(x)=0\) za vse \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) in enačba bo imela samo 1 koren.

odgovor:

\(a\in \levo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)

Naloga 4 #3072

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti \(a\), za vsako od katerih enačba \

ima vsaj en koren.

(Naloga naročnikov)

Prepišimo enačbo v obliki \ in upoštevajte dve funkciji: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) in \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je soda in ima točko minimuma \(x=0\) (in \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je padajoča in za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Dejansko, ko \(x>0\) se bo drugi modul odprl pozitivno (\(|x|=x\)), torej ne glede na to, kako se bo odprl prvi modul, bo \(f(x)\) enako na \( kx+A\) , kjer je \(A\) izraz \(a\) in \(k\) enako \(-9\) ali \(-3\) . Ko \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Poiščimo vrednost \(f\) na največji točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \(f\) in \(g\) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ \\]

odgovor:

\(a\v \(-7\)\skodelica\)

Naloga 5 #3912

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih enačba \

ima šest različnih rešitev.

Naredimo zamenjavo \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potem bo enačba dobila obliko \ Postopoma bomo izpisali pogoje, pod katerimi bo imela prvotna enačba šest rešitev.
Upoštevajte, da ima lahko kvadratna enačba \((*)\) največ dve rešitvi. Katera koli kubična enačba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ima lahko največ tri rešitve. Torej, če ima enačba \((*)\) dve različni rešitvi (pozitivni!, ker mora biti \(t\) večji od nič) \(t_1\) in \(t_2\) , potem z obratno zamenjavo , dobimo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(poravnano)\end(zbrano)\desno.\] Ker je lahko vsako pozitivno število do neke mere predstavljeno kot \(\sqrt2\), na primer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), potem bo prva enačba množice prepisana v obliki \ Kot smo že povedali, katera koli kubična enačba nima več kot tri rešitve, zato bo vsaka enačba v nizu imela največ tri rešitve. To pomeni, da celoten niz ne bo imel več kot šest rešitev.
To pomeni, da mora imeti prvotna enačba šest rešitev kvadratna enačba \((*)\) dve različni rešitvi in ​​vsaka nastala kubična enačba (iz niza) mora imeti tri različne rešitve (in ne ene same rešitve ena enačba mora sovpadati s katero koli - po odločitvi druge!)
Očitno je, da če ima kvadratna enačba \((*)\) eno rešitev, potem ne bomo dobili šestih rešitev prvotne enačbe.

Tako postane načrt rešitve jasen. Zapišimo pogoje, ki morajo biti izpolnjeni po točkah.

1) Da ima enačba \((*)\) dve različni rešitvi, mora biti njen diskriminant pozitiven: \

2) Prav tako je potrebno, da sta oba korena pozitivna (ker \(t>0\) ). Če je zmnožek dveh korenov pozitiven in je njuna vsota pozitivna, bosta korena sama pozitivna. Zato potrebujete: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Tako smo si že zagotovili dva različna pozitivna korena \(t_1\) in \(t_2\) .

3) Poglejmo to enačbo \ Za kaj \(t\) bo imel tri različne rešitve?
Razmislite o funkciji \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Lahko se faktorizira: \ Zato so njene ničle: \(x=-1;2\) .
Če najdemo odvod \(f"(x)=3x^2-6x\) , potem dobimo dve ekstremni točki \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Zato je graf videti takole:


Vidimo, da je vsaka vodoravna črta \(y=k\), kjer je \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) imel tri različne rešitve, je potrebno, da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Torej potrebujete: \[\začetek(primeri) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Naj takoj opazimo tudi, da če sta števili \(t_1\) in \(t_2\) različni, potem bosta števili \(\log_(\sqrt2)t_1\) in \(\log_(\sqrt2)t_2\) različne, kar pomeni enačbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) in \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bodo imeli različne korenine.
Sistem \((**)\) je mogoče prepisati na naslednji način: \[\začetek(primeri) 1

Tako smo ugotovili, da morata oba korena enačbe \((*)\) ležati v intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ta pogoj?
Korenov ne bomo izrecno zapisali.
Razmislite o funkciji \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njen graf je parabola z vejami navzgor, ki ima dve presečni točki z osjo x (ta pogoj smo zapisali v 1. odstavku)). Kako naj bo videti njegov graf, da bodo presečišča z osjo x v intervalu \((1;4)\)? Torej:


Prvič, vrednosti \(g(1)\) in \(g(4)\) funkcije v točkah \(1\) in \(4\) morajo biti pozitivne, in drugič, oglišče parabola \(t_0\ ) mora biti tudi v intervalu \((1;4)\) . Zato lahko zapišemo sistem: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ima vedno vsaj en koren \(x=0\) . To pomeni, da je za izpolnjevanje pogojev problema potrebno, da enačba \

je imela štiri različne korene, različne od nič, ki skupaj z \(x=0\) predstavljajo aritmetično progresijo.

Upoštevajte, da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) soda, kar pomeni, da če je \(x_0\) koren enačbe \( (*)\ ) , potem bo \(-x_0\) tudi njegov koren. Potem je potrebno, da so koreni te enačbe števila, urejena v naraščajočem vrstnem redu: \(-2d, -d, d, 2d\) (nato \(d>0\)). Takrat bo teh pet števil tvorilo aritmetično progresijo (z razliko \(d\)).

Da so te korenine števila \(-2d, -d, d, 2d\) , morajo biti številke \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) korenine enačba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Potem, po Vietovem izreku:

Prepišimo enačbo v obliki \ in upoštevajte dve funkciji: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) in \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcija \(g(x)\) ima največjo točko \(x=0\) (in \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Ničelni derivat: \(x=0\) . Ko \(x<0\) имеем: \(g">0\), za \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) narašča in za \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Dejansko, ko \(x>0\) se bo prvi modul odprl pozitivno (\(|x|=x\)), torej ne glede na to, kako se bo odprl drugi modul, bo \(f(x)\) enako na \( kx+A\), kjer je \(A\) izraz \(a\) in \(k\) je enako \(13-10=3\) ali \(13+10 =23\). Ko \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Poiščimo vrednost \(f\) na najmanjši točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \(f\) in \(g\) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ Če rešimo ta sklop sistemov, dobimo odgovor: \\]

odgovor:

\(a\v \(-2\)\skodelica\)

Če želite to narediti, uporabite grafični papir ali grafični kalkulator. Izberite poljubno število vrednosti neodvisne spremenljivke x (\displaystyle x) in jih vključite v funkcijo za izračun vrednosti odvisne spremenljivke y (\displaystyle y). Narišite najdene koordinate točk na koordinatni ravnini in nato povežite te točke, da zgradite graf funkcije.

• V funkcijo nadomestite pozitivne številske vrednosti x (\displaystyle x) in ustrezne negativne številske vrednosti. Na primer, glede na funkcijo. Vanjo nadomestite naslednje vrednosti x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Imamo točko s koordinatami (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Imamo točko s koordinatami (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Imamo točko s koordinatami (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).