Video lekcija "Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x" razkriva koncept periodičnosti funkcije, obravnava opis primerov reševanja problemov, v katerih se uporablja koncept periodičnosti funkcije. Ta video vadnica je vizualna pomoč učencem razložiti temo. Tudi ta priročnik lahko postane samostojen del pouka, s čimer se učitelju omogoči individualno delo z učenci.
Prepoznavnost pri predstavitvi te teme je zelo pomembna. Da bi predstavili obnašanje funkcije in jo izrisali, jo je treba vizualizirati. Konstrukcij s tablo in kredo ni vedno mogoče narediti tako, da bi bile razumljive vsem učencem. V video vadnici je mogoče pri konstruiranju dele risbe poudariti z barvo in narediti transformacije z animacijo. Tako postanejo konstrukcije bolj razumljive večini učencev. Poleg tega funkcije video lekcij prispevajo k boljšemu pomnjenju gradiva.
Demonstracija se začne z uvedbo teme lekcije, pa tudi z opomnikom študentov na snov, ki so se jo naučili v prejšnjih lekcijah. Zlasti je povzet seznam lastnosti, ki so bile identificirane v funkcijah y = sin x in y = cos x. Med lastnostmi obravnavanih funkcij so opažene domena definicije, obseg vrednosti, pariteta (neparnost), druge značilnosti - omejenost, monotonost, kontinuiteta, točke najmanjše (največje) vrednosti. Študente obveščamo, da to lekcijo Preučuje se še ena lastnost funkcije - periodičnost.
Predstavljena je definicija periodične funkcije y=f(x), kjer je xϵX, v kateri je pogoj f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) za neko Т≠0. V nasprotnem primeru se število T imenuje perioda funkcije.
Za obravnavane sinusne in kosinusne funkcije se izpolnjevanje pogoja preverja z redukcijskimi formulami. Očitno je, da oblika identitete sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) ustreza obliki izraza, ki določa pogoj periodičnosti funkcije. Enako enakost lahko opazimo pri kosinus cos(x-2π)= cos x= cos (x+2π). Torej podatki trigonometrične funkcije so periodični.
Nadalje je ugotovljeno, kako lastnost periodičnosti pomaga graditi grafe periodičnih funkcij. Upoštevana je funkcija y = sin x. Zaslon se gradi koordinatna ravnina, na katerem so abscise označene od -6π do 8π v korakih po π. Na ravnini je narisan del sinusnega grafa, ki ga predstavlja en val na segmentu. Slika prikazuje, kako se graf funkcije oblikuje čez celotno definicijsko domeno s premikom konstruiranega fragmenta, kar ima za posledico dolgo sinusoido.
Graf funkcije y = cos x je zgrajen z uporabo lastnosti njene periodičnosti. Da bi to naredili, je na sliki zgrajena koordinatna ravnina, na kateri je upodobljen del grafa. Opozoriti je treba, da je običajno tak fragment zgrajen na segmentu [-π/2;3π/2]. Podobno kot pri grafu sinusne funkcije se konstrukcija kosinusnega grafa izvede s premikom fragmenta. Kot rezultat konstrukcije nastane dolg sinusoid.
Grafiranje periodične funkcije ima lastnosti, ki jih je mogoče uporabiti. Zato so podani v posplošeni obliki. Upoštevajte, da je za izgradnjo grafa takšne funkcije najprej zgrajena veja grafa na določenem intervalu dolžine T. Nato je potrebno premakniti zgrajeno vejo v desno in levo za T, 2T, 3T, itd. Hkrati je poudarjena še ena značilnost periode - za vsako celo število k≠0 je število kT tudi perioda funkcije. Vendar se T imenuje glavno obdobje, ker je najmanjše od vseh. Za trigonometrične funkcije sinus in kosinus je osnovna perioda 2π. Vendar pa so obdobja tudi 4π, 6π itd.
Nato je predlagano, da razmislimo o iskanju glavnega obdobja funkcije y = cos 5x. Rešitev se začne s predpostavko, da je T perioda funkcije. To pomeni, da mora biti izpolnjen pogoj f(x-T)= f(x)= f(x+T). V tej identiteti je f(x)= cos 5x in f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). V tem primeru je cos (5x+5T)= cos 5x, torej 5T=2πn. Zdaj lahko najdete T=2π/5. Problem je rešen.
V drugi nalogi morate najti glavno periodo funkcije y=sin(2x/7). Predpostavlja se, da je glavno obdobje funkcije T za dano funkcijo f(x)= sin(2x/7) in po obdobju f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = sin(2x/7 +(2/7)T). po redukciji dobimo (2/7)Т=2πn. Vendar pa moramo najti glavno periodo, zato vzamemo najmanjšo vrednost (2/7)T=2π, iz katere dobimo T=7π. Problem je rešen.
Na koncu demonstracije so rezultati primerov povzeti in tvorijo pravilo za določitev osnovne periode funkcije. Opozoriti je treba, da sta glavni periodi za funkciji y=sinkx in y=coskx 2π/k.
Video lekcijo "Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x" lahko uporabite pri tradicionalni lekciji matematike, da povečate učinkovitost lekcije. To gradivo priporočamo tudi učiteljem, ki izvajajo učenje na daljavo izboljšati jasnost razlage. Videoposnetek lahko priporočite študentu s težavami, da poglobi svoje razumevanje teme.
DEKODIRANJE BESEDILA:
"Periodičnost funkcij y = cos x, y = sin x."
Za izdelavo grafov funkcij y = sin x in y = cos x so bile uporabljene lastnosti funkcij:
1 območje definicije,
2 vrednostno območje,
3 sodo ali liho,
4 monotonost,
5 omejitev,
6 kontinuiteta,
7 najvišja in najnižja vrednost.
Danes bomo preučevali še eno lastnost: periodičnost funkcije.
OPREDELITEV. Funkcijo y = f (x), kjer je x ϵ X (grško je enako ef od x, kjer x pripada množici x), imenujemo periodična, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x iz za množico X velja dvojna enakost: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff iz x minus te je enako ef iz x in enako ef iz x plus te). Število T, ki izpolnjuje to dvojno enakost, imenujemo perioda funkcije
In ker sta sinus in kosinus definirana na celotni številski premici in so za vsak x izpolnjene enakosti sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (sinus od x minus dva pi je enak sinusu od x in enako na sinus od x plus dva pi ) In
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (kosinus x minus dva pi je enak kosinusu x in enak kosinusu x plus dva pi), potem sta sinus in kosinus periodični funkciji s obdobje 2π.
Periodičnost vam omogoča hitro izgradnjo grafa funkcije. Dejansko je za sestavo grafa funkcije y = sin x dovolj, da narišemo en val (najpogosteje na segmentu (od nič do dveh pi), nato pa s premikanjem konstruiranega dela grafa vzdolž x -osi v desno in levo za 2π, nato za 4π in tako naprej, da dobimo sinusni val.
(prikaži premik v desno in levo za 2π, 4π)
Podobno velja za graf funkcije
y = cos x, vendar en val najpogosteje gradimo na segmentu [; ] (od minus pi čez dva do tri pi čez dva).
Povzemimo zgoraj navedeno in naredimo zaključek: če želite zgraditi graf periodične funkcije z obdobjem T, morate najprej zgraditi vejo (ali val ali del) grafa na katerem koli intervalu dolžine T (najpogosteje to je interval s koncema v točkah 0 in T ali - in (minus te za dva in te za dva), nato pa premaknite to vejo vzdolž osi x(x) v desno in levo za T, 2T, 3T itd.
Očitno je, da če je funkcija periodična s periodo T, potem je za vsako celo število k0 (ka ni enako nič) število oblike kT (ka te) tudi perioda te funkcije. Običajno poskušajo izolirati najmanjše pozitivno obdobje, ki se imenuje glavno obdobje.
Kot periodo funkcij y = cos x, y = sin x bi lahko vzeli - 4π, 4π, - 6π, 6π itd. (minus štiri pi, štiri pi, minus šest pi, šest pi itd.) . Toda število 2π je glavna perioda obeh funkcij.
Poglejmo si primere.
PRIMER 1. Poiščite glavno periodo funkcije y = cos5x (y je enak kosinusu petih x).
rešitev. Naj bo T glavna perioda funkcije y = cos5x. Postavimo
f (x) = cos5x, potem je f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (eff od x plus te je enako kosinusu pet, pomnoženem z vsoto x in te je enaka kosinusu vsote pet x in pet te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Zato je 5T = 2πn (pet te je enako dvema pi en), vendar glede na pogoj morate najti glavno periodo, kar pomeni 5T = 2π. Dobimo T=
(perioda te funkcije je dva pi deljeno s pet).
Odgovor: T=.
PRIMER 2. Poiščite glavno periodo funkcije y = sin (y je enak sinusu količnika dva x krat sedem).
rešitev. Naj bo T glavna perioda funkcije y = sin. Postavimo
f (x) = sin, potem f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef od x plus te je enak sinusu produkta dveh sedmin in vsote x in te je enak sinusu vsote dveh sedmin x in dveh sedmin te).
Da je število T perioda funkcije, mora biti izpolnjena identiteta
sin (x + T) = sin. Zato je T= 2πn (dve sedmini te sta enaki dvema pi en), vendar glede na pogoj morate najti glavno periodo, kar pomeni T= 2π. Dobimo T=7
(perioda te funkcije je sedem pi).
Odgovor: T=7.
Če povzamemo rezultate, pridobljene v primerih, lahko sklenemo: glavno obdobje funkcij y = sin kx ali y = cos kx (y je enako sinusu ka x ali y je enako kosinusu ka x) je enako (dva pi deljeno s ka).
Argument x, potem se imenuje periodično, če obstaja število T tako, da je za vsak x F(x + T) = F(x). To število T imenujemo perioda funkcije.
Lahko je več obdobij. Na primer, funkcija F = const ima enako vrednost za katero koli vrednost argumenta, zato se lahko katero koli število šteje za njeno obdobje.
Običajno vas zanima najmanjša različna od nič perioda funkcije. Zaradi kratkosti se preprosto imenuje obdobje.
Klasičen primer periodičnih funkcij je trigonometrija: sinus, kosinus in tangens. Njihova perioda je enaka in enaka 2π, to je sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) in tako naprej. Seveda pa trigonometrične funkcije niso edine periodične.
Za preproste, osnovne funkcije je edini način, da ugotovimo, ali so periodične ali neperiodične, z izračunom. Ampak za kompleksne funkcije jih je že več preprosta pravila.
Če je F(x) s periodo T in je zanjo definiran odvod, potem je tudi ta odvod f(x) = F′(x) periodična funkcija s periodo T. Navsezadnje je vrednost odvoda v točki x je enak tangensu tangentnega kota grafa njegovega antiodvoda na tej točki na os x, in ker se protiodvod ponavlja periodično, se mora ponoviti tudi odvod. Na primer, odvod funkcije sin(x) je enak cos(x) in je periodičen. Če vzamemo izpeljanko cos(x), dobimo –sin(x). Frekvenca ostane nespremenjena.
Vendar pa nasprotno ne drži vedno. Tako je funkcija f(x) = const periodična, njena protiodpeljava F(x) = const*x + C pa ni.
Če je F(x) periodična funkcija s periodo T, potem je G(x) = a*F(kx + b), kjer so a, b in k konstante in k ni enak nič, prav tako periodična funkcija , njegova doba pa je T/k. Na primer, sin(2x) je periodična funkcija, njena perioda pa je π. To je mogoče vizualno predstaviti na naslednji način: z množenjem x z nekim številom se zdi, da stisnete graf funkcije vodoravno natanko tolikokrat
Če sta F1(x) in F2(x) periodični funkciji in sta njuni periodi enaki T1 oziroma T2, potem je lahko tudi vsota teh funkcij periodična. Vendar pa njegovo obdobje ne bo preprosta vsota obdobij T1 in T2. Če je rezultat deljenja T1/T2 racionalno število, potem je vsota funkcij periodična, njena perioda pa enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku (LCM) period T1 in T2. Na primer, če je obdobje prve funkcije 12, obdobje druge pa 15, bo obdobje njune vsote enako LCM (12, 15) = 60.
To lahko vizualno predstavimo na naslednji način: funkcije imajo različne »širine korakov«, a če je razmerje med njihovimi širinami racionalno, potem bodo prej ali slej (ali bolje rečeno, ravno skozi LCM korakov) spet postale enake in njihova vsota se bo začela novo obdobje.
Če pa je razmerje obdobij iracionalno, potem skupna funkcija sploh ne bo periodična. Naj bo na primer F1(x) = x mod 2 (ostanek, ko je x deljen z 2) in F2(x) = sin(x). T1 bo tukaj enak 2, T2 pa bo enak 2π. Razmerje obdobij je enako π – iracionalnemu številu. Zato funkcija sin(x) + x mod 2 ni periodična.
>> Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x
§ 11. Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x
V prejšnjih odstavkih smo uporabili sedem lastnosti funkcij: domeno, sodo ali liho, monotonost, omejenost, največjo in najmanjša vrednost, kontinuiteta, obseg delovanja. Te lastnosti smo uporabili bodisi za izgradnjo grafa funkcije (to se je zgodilo npr. v § 9) bodisi za branje zgrajenega grafa (to se je zgodilo npr. v § 10). Zdaj je prišel ugoden trenutek, da uvedemo še eno (osmo) lastnost funkcij, ki je jasno vidna na zgoraj zgrajenih grafih funkcij y = sin x (glej sliko 37), y = cos x (glej sliko 41).
Opredelitev. Funkcija se imenuje periodična, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x v množicah velja dvojna enakost:
Število T, ki izpolnjuje podani pogoj, se imenuje perioda funkcije y = f(x).
Iz tega sledi, da za vsak x veljajo enakosti:
potem so funkcije y = sin x, y = cos x periodične in je število 2 p služi kot obdobje za obe funkciji.
Periodičnost funkcije je obljubljena osma lastnost funkcij.
Zdaj pa poglejmo graf funkcije y = sin x (slika 37). Če želite zgraditi sinusni val, je dovolj, da narišete enega od njegovih valov (na segmentu in nato premaknete ta val vzdolž osi x za. Kot rezultat, z uporabo enega vala bomo zgradili celoten graf.
Poglejmo z istega zornega kota graf funkcije y = cos x (slika 41). Vidimo, da je tukaj za risanje grafa dovolj, da najprej narišemo en val (na primer na segmentu
In ga nato premaknite vzdolž osi x za
Če povzamemo, naredimo naslednji zaključek.
Če ima funkcija y = f(x) obdobje T, morate za izgradnjo grafa funkcije najprej zgraditi vejo (val, del) grafa na katerem koli intervalu dolžine T (najpogosteje vzemite interval s konci na točkah in nato premaknite to vejo vzdolž osi x v desno in levo na T, 2T, ZT itd.
Periodična funkcija ima neskončno veliko period: če je T period, potem je 2T period in ZT je period in -T je period; V splošnem je perioda poljubno število oblike KT, kjer je k = ±1, ±2, ± 3... Običajno skušajo, če je mogoče, izolirati najmanjšo pozitivno periodo, imenujemo jo glavna perioda.
Torej je poljubno število oblike 2pk, kjer je k = ±1, ± 2, ± 3, perioda funkcij y = sinn x, y = cos x; 2n je glavna doba obeh funkcij.
Primer. Poiščite glavno obdobje funkcije:
a) Naj bo T glavna perioda funkcije y = sin x. Postavimo
Da bi bilo število T obdobje funkcije, je identiteta Ampak, ker govorimo o iskanju glavnega obdobja, dobimo
b) Naj bo T glavna perioda funkcije y = cos 0,5x. Postavimo f(x)=cos 0,5x. Potem je f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).
Da je število T perioda funkcije, mora veljati istovetnost cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
To pomeni 0,5t = 2pp. Ker pa govorimo o iskanju glavnega obdobja, dobimo 0,5T = 2 l, T = 4 l.
Posplošitev rezultatov, dobljenih v primeru, je naslednja trditev: glavno obdobje funkcije 
A.G. Mordkovič algebra 10. razred
Vsebina lekcije opombe o učnih urah podporni okvir predstavitev lekcije metode pospeševanja interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samotestiranje delavnice, treningi, primeri, questi domače naloge diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedijske fotografije, slike, grafi, tabele, diagrami, humor, anekdote, šale, stripi, prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki povzetki članki nasveti za radovedne jaslice učbeniki osnovni in dodatni slovar pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in pouka popravljanje napak v učbeniku posodobitev fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti pri pouku zamenjava zastarelega znanja z novim Samo za učitelje idealen koledarski načrt pouka za leto smernice diskusijski programi Integrirane lekcijeJulija 2020 NASA začne ekspedicijo na Mars. Vesoljsko plovilo bo na Mars dostavilo elektronski medij z imeni vseh prijavljenih udeležencev odprave.
Prijave udeležencev so odprte. Zagotovite si vstopnico za Mars na tej povezavi.
Če je ta objava rešila vašo težavo ali vam je bila le všeč, delite povezavo do nje s prijatelji na družbenih omrežjih.
Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.
MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte gradnik, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgoraj predstavljene kode za prenos in postavite gradnik bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.
Še eno silvestrovo... mrzlo vreme in snežinke na okenskih steklih... Vse to me je spodbudilo, da spet pišem o... fraktalih in o tem, kaj Wolfram Alpha ve o njih. Na to temo obstaja zanimiv članek, ki vsebuje primere dvodimenzionalnih fraktalnih struktur. Tukaj si bomo ogledali več zapleteni primeri tridimenzionalni fraktali.
Fraktal lahko vizualno predstavimo (opišemo) kot geometrijski lik ali telo (kar pomeni, da sta oba množica, v v tem primeru, niz točk), katerih podrobnosti imajo enako obliko kot izvirna figura sama. To pomeni, da je to samopodobna struktura, pri pregledu podrobnosti katere pri povečavi bomo videli enako obliko kot brez povečave. Medtem ko v primeru navadnih geometrijski lik(ne fraktal), pri povečavi bomo videli podrobnosti, ki imajo več preprosta oblika kot izvirna figura sama. Na primer, pri dovolj veliki povečavi je del elipse videti kot odsek ravne črte. Pri fraktalih se to ne zgodi: s kakršnim koli povečanjem le-teh bomo spet videli isto zapleteno obliko, ki se bo z vsakim povečanjem znova in znova ponavljala.
Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalih, je v svojem članku Fraktali in umetnost v imenu znanosti zapisal: »Fraktali so geometrijske oblike, ki so enako zapleteni tako v svojih podrobnostih kot v splošni obliki. To pomeni, da če del fraktala povečamo na velikost celote, se bo prikazal kot celota, bodisi natančno ali morda z rahlo deformacijo."
